个人博客-初高中数学

导数基础 7：导数的应用

Sun, 04 Oct 2026 00:00:00 GMT

导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

一、函数的单调性#

导数符号与单调性#

设 fff 在 [a,b][a,b][a,b] 连续、在 (a,b)(a,b)(a,b) 可导。若区间内部处处 f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，则 fff 严格递增；若处处 f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，则严格递减。若处处 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0，则 fff 为常值函数。

这些结论可以用拉格朗日中值定理证明：任取 u<vu<vu<v，存在 ξ∈(u,v)\xi\in(u,v)ξ∈(u,v) 使 f(v)−f(u)=f′(ξ)(v−u)f(v)-f(u)=f'(\xi)(v-u)f(v)−f(u)=f′(ξ)(v−u)。符号对应关系须在一个区间内使用，不能直接跨越定义域中的断点。

严格单调的充要条件如下：

f 严格递增⟺f′(x)≥0，且 f′ 不在任何正长度子区间上恒为 0;f 严格递减⟺f′(x)≤0，且 f′ 不在任何正长度子区间上恒为 0.\begin{aligned} f\text{ 严格递增} \quad\Longleftrightarrow\quad &f'(x)\ge0\text{，且 }f'\text{ 不在任何正长度子区间上恒为 }0;\\ f\text{ 严格递减} \quad\Longleftrightarrow\quad &f'(x)\le0\text{，且 }f'\text{ 不在任何正长度子区间上恒为 }0. \end{aligned}f 严格递增⟺f 严格递减⟺f′(x)≥0，且 f′ 不在任何正长度子区间上恒为 0;f′(x)≤0，且 f′ 不在任何正长度子区间上恒为 0.

导数零点集必须不含正长度区间，仅要求整个零点集不是一个区间并不充分。否则零点集由一个区间和若干孤立点组成时会被错误地放行。

f′≥0f'\ge0f′≥0 本身只保证非减。若某 u<vu<vu<v 满足 f(u)=f(v)f(u)=f(v)f(u)=f(v)，由非减性，[u,v][u,v][u,v] 上必为常值，这正是严格递增需要排除的情形。切线水平的孤立点并不妨碍严格递增，例如 x3x^3x3 在原点的导数为零。

例 1：确定单调区间#

求（1）f(x)=ex−x−1f(x)=e^x-x-1f(x)=ex−x−1；（2）f(x)=2x3−9x2+12x−3f(x)=2x^3-9x^2+12x-3f(x)=2x3−9x2+12x−3 的单调区间。

查看答案

（1）递减区间 (−∞,0](-\infty,0](−∞,0]；递增区间 [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)。

（2）递增区间 (−∞,1](-\infty,1](−∞,1]、[2,+∞)[2,+\infty)[2,+∞)；递减区间 [1,2][1,2][1,2]。

查看分析思路

先求导并寻找导数零点，再在分隔出的每个区间判断符号。

查看详细解析

（1）f′(x)=ex−1f'(x)=e^x-1f′(x)=ex−1。当 x<0x<0x<0 时导数负，当 x>0x>0x>0 时导数正，因此先减后增。

（2）

f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2).f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2).f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2).

导数符号依次为 +,−,++,-,++,−,+，由此得到答案。表述单调区间时可以把相邻临界点列入区间端点；但两个不相邻的递增区间应分别写出，不能声称它们的并集上整体递增。

交互实验：例1：导数符号与单调性

切换两道原题函数，比较导数符号与函数趋势。

打开本题交互实验

例 2：由原函数图像判断导数不等式#

已知 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的图像如下，求不等式 f′(x)/x<0f'(x)/x<0f′(x)/x<0 的解集。

例2的函数图像

A. (−3,1)(-3,1)(−3,1)；B. (0,1)(0,1)(0,1)；C. (−3,−1)∪(0,1)(-3,-1)\cup(0,1)(−3,−1)∪(0,1)；D. (−∞,−3)∪(1,+∞)(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)(−∞,−3)∪(1,+∞)。

查看答案

选 C：(−3,−1)∪(0,1)(-3,-1)\cup(0,1)(−3,−1)∪(0,1)。

查看分析思路

商为负要求分子、分母异号，先按 xxx 的正负分两种情况；不能把 fff 的正负误作 f′f^{\prime}f′ 的正负。

查看详细解析

按原示意图，fff 在 (−3,−1)(-3,-1)(−3,−1) 递增，在 (−1,1)(-1,1)(−1,1) 递减，在其余两侧区间分别表现为递减、递增。

当 x<0x<0x<0 时，需要 f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，得到 (−3,−1)(-3,-1)(−3,−1)；当 x>0x>0x>0 时，需要 f′(x)<0f'(x)<0f′(x)<0，得到 (0,1)(0,1)(0,1)。x=0x=0x=0 使分母为零，必须排除；x=−3,−1,1x=-3,-1,1x=−3,−1,1 是图示水平切线点，不满足严格不等式。

本题按原图表达的单调及切线信息作答，不能从示意图恢复出唯一的函数解析式。

交互实验：例2：导数商的符号

拓展模型只保留原示意图转折位置，不代表唯一原函数。

打开本题交互实验

随堂练 1：非负导数与严格递增#

求（1）f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin xf(x)=x−sinx；（2）f(x)=x3−xf(x)=x^3-xf(x)=x3−x 的单调区间。

查看答案

（1）在 R\mathbb RR 上严格递增。

（2）递增区间 (−∞,−1/3](-\infty,-1/\sqrt3](−∞,−1/3]、[1/3,+∞)[1/\sqrt3,+\infty)[1/3,+∞)；递减区间 [−1/3,1/3][-1/\sqrt3,1/\sqrt3][−1/3,1/3]。

查看分析思路

第一题导数虽能为零，却不在任何正长度区间恒为零；第二题是二次导数表达式的符号判断。

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（1）f′(x)=1−cos⁡x≥0f'(x)=1-\cos x\ge0f′(x)=1−cosx≥0，等号只在 x=2kπx=2k\pix=2kπ（k∈Zk\in\mathbb Zk∈Z）成立。零点集不含正长度区间，因此 fff 严格递增，不能因为导数有零点就否定严格性。

（2）f′(x)=3x2−1f'(x)=3x^2-1f′(x)=3x2−1，其两个零点为 ±1/3\pm1/\sqrt3±1/3。开口向上的二次式在两根外正、两根间负，得到所列区间。

交互实验：随堂练1：零导数与严格单调

孤立零点不妨碍严格单调；可切换x³−x。

打开本题交互实验

随堂练 2：识别可能的导函数图像#

图中给出函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的示意图及四幅候选导函数图，问哪幅可能是 y=f′(x)y=f'(x)y=f′(x) 的图像。

原函数示意图及A至D导函数选项

查看答案

按示意图，选 D。

查看分析思路

比较原函数上升或下降与导函数正负的对应，不比较两张图的绝对高度。

查看详细解析

在负半轴，原图函数上升，因此导函数应取正值；右半轴则先上升、再下降、最后上升，导函数对应 +,−,++,-,++,−,+，并在两个转折位置经过横轴。

A、B 的右侧符号变化不符合这一规律；C 的负半轴图形出现负导数，与原图上升趋势冲突；D 符合原图给出的变化趋势。原图在 x=0x=0x=0 附近是分支形态，不能把两侧跨过该点直接连接。

图示说明： 本题判断“可能”，依据的是定性图形，而非从有限像素严格证明某个精确函数的全部性质。

例 3：把数列放入连续函数中研究#

讨论数列 an=n1/na_n=n^{1/n}an=n1/n（n=1,2,3,…n=1,2,3,\ldotsn=1,2,3,…）的单调性。

查看答案

a1<a2<a3a_1<a_2<a_3a1<a2<a3；从 n=3n=3n=3 起严格递减，最大项为 a3=33a_3=\sqrt[3]3a3=33。

查看分析思路

先研究 f(x)=x1/xf(x)=x^{1/x}f(x)=x1/x 的连续单调性，再单独比较跨越连续极值点 eee 的两个相邻整数。

查看详细解析

对 x>0x>0x>0，

f(x)=eln⁡x/x,f′(x)=x1/x1−ln⁡xx2.f(x)=e^{\ln x/x},\qquad f'(x)=x^{1/x}\frac{1-\ln x}{x^2}.f(x)=elnx/x,f′(x)=x1/xx21−lnx.

故 fff 在 (0,e](0,e](0,e] 递增、在 [e,+∞)[e,+\infty)[e,+∞) 递减。于是整数 n≥3n\ge3n≥3 时数列递减；a1=1<2=a2a_1=1<\sqrt2=a_2a1=1<2=a2。

还需比较 a2a_2a2 与 a3a_3a3：二者都正，取六次方得 (2)6=8<9=(33)6(\sqrt2)^6=8<9=(\sqrt[3]3)^6(2)6=8<9=(33)6，故 a2<a3a_2<a_3a2<a3。连续函数最大点是 x=ex=ex=e，数列最大项的指标却是整数 333，二者不能混淆。

交互实验：例3：连续极值与整数采样

连续最大点e与数列最大指标3必须分开。

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例 4：用单调性证明不等式#

证明：（1）当 x>1x>1x>1 时，2x>3−1x2\sqrt x>3-\dfrac1x2x>3−x1；（2）当 0<x<π/20<x<\pi/20<x<π/2 时，tan⁡x>x−x33\tan x>x-\dfrac{x^3}{3}tanx>x−3x3。

查看答案

两式在题设范围内均严格成立。

查看分析思路

把左右两侧移到同一边，构造在边界值为零且随后严格递增的函数。

查看详细解析

（1）设 F(x)=2x−3+1/xF(x)=2\sqrt x-3+1/xF(x)=2x−3+1/x，则 F(1)=0F(1)=0F(1)=0，且

F′(x)=1x−1x2=xx−1x2>0(x>1).F'(x)=\frac1{\sqrt x}-\frac1{x^2} =\frac{x\sqrt x-1}{x^2}>0\qquad(x>1).F′(x)=x1−x21=x2xx−1>0(x>1).

所以 F(x)>F(1)=0F(x)>F(1)=0F(x)>F(1)=0。

（2）设 G(x)=tan⁡x−x+x3/3G(x)=\tan x-x+x^3/3G(x)=tanx−x+x3/3，在 [0,π/2)[0,\pi/2)[0,π/2) 上有定义，G(0)=0G(0)=0G(0)=0，且

G′(x)=sec⁡2x−1+x2=tan⁡2x+x2>0(0<x<π/2).G'(x)=\sec^2x-1+x^2=\tan^2x+x^2>0\qquad(0<x<\pi/2).G′(x)=sec2x−1+x2=tan2x+x2>0(0<x<π/2).

于是 G(x)>0G(x)>0G(x)>0。题面右侧为 x−x3/3x-x^3/3x−x3/3，不是 x+x3/3x+x^3/3x+x3/3，不能在转写时更换正负号。

随堂练 3：指数与平方根不等式#

证明当 x>0x>0x>0 时，（1）ex>1+xe^x>1+xex>1+x；（2）1+x2>1+x1+\dfrac x2>\sqrt{1+x}1+2x>1+x。

查看答案

两式都在 x>0x>0x>0 严格成立；延拓到 x=0x=0x=0 时取等号。

查看分析思路

与例 4 一样，构造两边之差，并从零点向右研究导数。

查看详细解析

（1）F(x)=ex−1−xF(x)=e^x-1-xF(x)=ex−1−x，F(0)=0F(0)=0F(0)=0，F′(x)=ex−1>0F'(x)=e^x-1>0F′(x)=ex−1>0（x>0x>0x>0），故 F(x)>0F(x)>0F(x)>0。

（2）G(x)=1+x/2−1+xG(x)=1+x/2-\sqrt{1+x}G(x)=1+x/2−1+x，G(0)=0G(0)=0G(0)=0，

G′(x)=12−121+x>0(x>0).G'(x)=\frac12-\frac1{2\sqrt{1+x}}>0\qquad(x>0).G′(x)=21−21+x1>0(x>0).

故 G(x)>0G(x)>0G(x)>0。这里平方根求导的系数 1/21/21/2 必须保留。

二、函数的极值#

定义与必要条件#

局部极值与水平切线示意图

严格局部极值的定义：若在 x0x_0x0 的某去心邻域内总有 f(x)<f(x0)f(x)<f(x_0)f(x)<f(x0)，则 f(x0)f(x_0)f(x0) 为极大值；若总有 f(x)>f(x0)f(x)>f(x_0)f(x)>f(x0)，则为极小值。极值描述附近的比较，不一定是整个定义域上的最大或最小。

原图中 x1,x4,x6x_1,x_4,x_6x1,x4,x6 为极小值位置，x2,x5x_2,x_5x2,x5 为极大值位置，x3x_3x3 虽切线水平却不是极值位置。可导函数在内点取得极值时，必有 f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0；不可导点也可能有极值，如 ∣x∣|x|∣x∣ 在 000 的极小值。

补充证明： 极大值点右侧差商非正、左侧差商非负；若两侧导数存在并相等，该值只能为零。反过来 f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0 并不保证极值，x3x^3x3 在零点就是反例。

交互实验：知识点：驻点、不可导点与极值

用x²、x³、x⁴和|x|比较必要条件与反例。

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定理 4：一阶导数判别#

fff 在 x0x_0x0 连续且在某去心邻域可导时，导数由正变负对应极大值，由负变正对应极小值。两侧保持非负或保持非正时，不能出现上述严格局部极值。不可导点须用两侧单调趋势或直接用定义判断。

例 5：求函数的极值#

求（1）f(x)=x−ln⁡(1+x)f(x)=x-\ln(1+x)f(x)=x−ln(1+x)；（2）f(x)=3x2+4x+4x2+x+1f(x)=\dfrac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1}f(x)=x2+x+13x2+4x+4 的极值。

查看答案

（1）在 x=0x=0x=0 处有极小值 000，无极大值；（2）在 x=−2x=-2x=−2 处有极小值 8/38/38/3，在 x=0x=0x=0 处有极大值 444。

查看分析思路

先判断定义域，再化简求导。第二题先做多项式除法，计算更短。

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（1）定义域 (−1,+∞)(-1,+\infty)(−1,+∞)，

f′(x)=1−11+x=x1+x.f'(x)=1-\frac1{1+x}=\frac{x}{1+x}.f′(x)=1−1+x1=1+xx.

分母正，故导数在 (−1,0)(-1,0)(−1,0) 负、在 (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) 正，x=0x=0x=0 为极小值点，f(0)=0f(0)=0f(0)=0。

（2）x2+x+1=(x+1/2)2+3/4>0x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0x2+x+1=(x+1/2)2+3/4>0，定义域为 R\mathbb RR。写成

f(x)=3+x+1x2+x+1,f′(x)=−x(x+2)(x2+x+1)2.f(x)=3+\frac{x+1}{x^2+x+1},\qquad f'(x)=-\frac{x(x+2)}{(x^2+x+1)^2}.f(x)=3+x2+x+1x+1,f′(x)=−(x2+x+1)2x(x+2).

导数在 (−∞,−2)(-\infty,-2)(−∞,−2)、(−2,0)(-2,0)(−2,0)、(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) 上依次为 −,+,−-,+,-−,+,−。代入临界点得到 f(−2)=8/3f(-2)=8/3f(−2)=8/3、f(0)=4f(0)=4f(0)=4。

交互实验：例5：定义域与极值

先比较x−ln(1+x)，再切换有理函数。

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随堂练 4：三次函数的局部极值#

求 f(x)=2x3−6x2−18x+7f(x)=2x^3-6x^2-18x+7f(x)=2x3−6x2−18x+7 的极值。

查看答案

极大值 f(−1)=17f(-1)=17f(−1)=17；极小值 f(3)=−47f(3)=-47f(3)=−47。

查看分析思路

对导数因式分解，然后检查各零点左右的符号变化。

查看详细解析

f′(x)=6x2−12x−18=6(x+1)(x−3).f'(x)=6x^2-12x-18=6(x+1)(x-3).f′(x)=6x2−12x−18=6(x+1)(x−3).

导数符号从左到右为 +,−,++,-,++,−,+，故 −1-1−1 为极大值点，333 为极小值点。计算

f(−1)=−2−6+18+7=17,f(3)=54−54−54+7=−47.f(-1)=-2-6+18+7=17,\qquad f(3)=54-54-54+7=-47.f(−1)=−2−6+18+7=17,f(3)=54−54−54+7=−47.

三次函数在全实轴上无最大、最小值；本题所求的是局部极值。

交互实验：随堂练4：局部极值与区间最值

闭区间最值与全实轴局部极值不同。

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三、函数的最值#

闭区间最值的检查步骤#

连续函数在闭区间上一定取得最大、最小值。候选点包括：区间内部导数为零的点、内部不可导点、两个端点。把候选点的函数值比较后得到最值；只检查导数零点会漏掉边界最值。

若候选点无穷多，不能未经证明就把它们当作有限列表；本讲各计算题的候选点可由具体函数逐一确定。

例 6：闭区间上的最大与最小#

求（1）f(x)=(x−1)(x−2)2f(x)=(x-1)(x-2)^2f(x)=(x−1)(x−2)2，x∈[0,5/2]x\in[0,5/2]x∈[0,5/2]；（2）f(x)=x2−54/xf(x)=x^2-54/xf(x)=x2−54/x，x∈[−6,−1]x\in[-6,-1]x∈[−6,−1] 的最大值与最小值。

查看答案

（1）最小值 −4-4−4，在 x=0x=0x=0 取得；最大值 3/83/83/8，在 x=5/2x=5/2x=5/2 取得。

（2）最小值 272727，在 x=−3x=-3x=−3 取得；最大值 555555，在 x=−1x=-1x=−1 取得。

查看分析思路

对端点与内部驻点统一列表比较，尤其注意第二问负数代入分式的符号。

查看详细解析

（1）

f′(x)=(x−2)2+2(x−1)(x−2)=(x−2)(3x−4).f'(x)=(x-2)^2+2(x-1)(x-2)=(x-2)(3x-4).f′(x)=(x−2)2+2(x−1)(x−2)=(x−2)(3x−4).

候选点为 0,4/3,2,5/20,4/3,2,5/20,4/3,2,5/2，对应函数值

f(0)=−4,f(4/3)=4/27,f(2)=0,f(5/2)=3/8.f(0)=-4,\quad f(4/3)=4/27,\quad f(2)=0,\quad f(5/2)=3/8.f(0)=−4,f(4/3)=4/27,f(2)=0,f(5/2)=3/8.

比较得到答案。

（2）

f′(x)=2x+54x2=2(x3+27)x2.f'(x)=2x+\frac{54}{x^2}=\frac{2(x^3+27)}{x^2}.f′(x)=2x+x254=x22(x3+27).

区间内部唯一驻点是 −3-3−3。三个候选值为

f(−6)=36+9=45,f(−3)=9+18=27,f(−1)=1+54=55.f(-6)=36+9=45,\quad f(-3)=9+18=27,\quad f(-1)=1+54=55.f(−6)=36+9=45,f(−3)=9+18=27,f(−1)=1+54=55.

代入得 f(−1)=55f(-1)=55f(−1)=55，所以最大值为 555555。

交互实验：例6：端点与驻点的统一比较

第二问预设显示最大值55。

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随堂练 5：根式端点也要比较#

求 f(x)=x+1−xf(x)=x+\sqrt{1-x}f(x)=x+1−x 在 [−5,1][-5,1][−5,1] 上的最大值与最小值。

查看答案

最大值 5/45/45/4，在 x=3/4x=3/4x=3/4 取得；最小值 −5+6-5+\sqrt6−5+6，在 x=−5x=-5x=−5 取得。

查看分析思路

在 x<1x<1x<1 求导，另外把端点 x=1x=1x=1 列入比较，不能因该点公式分母为零就删去函数值。

查看详细解析

f′(x)=1−121−x=0⟺x=34.f'(x)=1-\frac1{2\sqrt{1-x}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac34.f′(x)=1−21−x1=0⟺x=43.

候选值为 f(−5)=−5+6f(-5)=-5+\sqrt6f(−5)=−5+6、f(3/4)=5/4f(3/4)=5/4f(3/4)=5/4、f(1)=1f(1)=1f(1)=1。比较得最大最小值。x=1x=1x=1 虽没有上述有限导数，却仍是原函数有定义且连续的区间端点。

交互实验：随堂练5：有定义的根式端点

x=1虽无有限导数，仍应比较其函数值。

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例 7：球内接圆柱的两个优化目标#

半径为 R>0R>0R>0 的球面内接圆柱体，求（1）圆柱总表面积最大值；（2）圆柱体积最大值。

查看答案

（1）Smax⁡=(1+5)πR2S_{\max}=(1+\sqrt5)\pi R^2Smax=(1+5)πR2。

（2）Vmax⁡=4πR333V_{\max}=\dfrac{4\pi R^3}{3\sqrt3}Vmax=334πR3，此时底半径 r=R2/3r=R\sqrt{2/3}r=R2/3、高 h=2R/3h=2R/\sqrt3h=2R/3。

查看分析思路

把截面的直角三角形约束参数化：r=Rcos⁡θr=R\cos\thetar=Rcosθ、h=2Rsin⁡θh=2R\sin\thetah=2Rsinθ。表面积与体积是不同目标，最优圆柱一般不同。

查看详细解析

设圆柱底半径 rrr、高 hhh。球的中心截面给出 r2+(h/2)2=R2r^2+(h/2)^2=R^2r2+(h/2)2=R2。令

r=Rcos⁡θ,h=2Rsin⁡θ,0<θ<π2.r=R\cos\theta,\quad h=2R\sin\theta,\quad0<\theta<\frac\pi2.r=Rcosθ,h=2Rsinθ,0<θ<2π.

（1）总表面积含两底面及侧面：

S=2πr2+2πrh=πR2(1+cos⁡2θ+2sin⁡2θ)≤(1+5)πR2.\begin{aligned} S&=2\pi r^2+2\pi rh\\ &=\pi R^2(1+\cos2\theta+2\sin2\theta) \le(1+\sqrt5)\pi R^2. \end{aligned}S=2πr2+2πrh=πR2(1+cos2θ+2sin2θ)≤(1+5)πR2.

等号要求 cos⁡2θ=1/5\cos2\theta=1/\sqrt5cos2θ=1/5、sin⁡2θ=2/5\sin2\theta=2/\sqrt5sin2θ=2/5，即

θ=12arctan⁡2=π4−12arctan⁡12.\theta=\frac12\arctan2 =\frac\pi4-\frac12\arctan\frac12.θ=21arctan2=4π−21arctan21.

这在允许区间内，故最大值可取到。

（2）令 t=sin⁡θ∈(0,1)t=\sin\theta\in(0,1)t=sinθ∈(0,1)，则

V=πr2h=2πR3(t−t3),dVdt=2πR3(1−3t2).V=\pi r^2h=2\pi R^3(t-t^3),\qquad \frac{dV}{dt}=2\pi R^3(1-3t^2).V=πr2h=2πR3(t−t3),dtdV=2πR3(1−3t2).

t=1/3t=1/\sqrt3t=1/3 前导数正、后导数负，因此

Vmax⁡=2πR3(13−133)=4πR333.V_{\max}=2\pi R^3\left(\frac1{\sqrt3}-\frac1{3\sqrt3}\right) =\frac{4\pi R^3}{3\sqrt3}.Vmax=2πR3(31−331)=334πR3.

此时 h=2R/3h=2R/\sqrt3h=2R/3，r=R2/3r=R\sqrt{2/3}r=R2/3。角度 arcsin⁡(1/3)≈35.264∘\arcsin(1/\sqrt3)\approx35.264^\circarcsin(1/3)≈35.264∘。两个最优角不同，不能将两问的取等条件合并。

交互实验：例7：表面积与体积两个最优目标

分别点击最大表面积和最大体积预设。

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例 8：固定容积油罐的最省表面积设计#

圆柱形油罐体积为 V>0V>0V>0，底半径 rrr 和高 hhh 各取多少时表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

查看答案

按原解答使用的**封闭圆柱（有上下两个底面）**模型，

r=V2π3,h=2r,2r:h=1:1.r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},\qquad h=2r,\qquad2r:h=1:1.r=32πV,h=2r,2r:h=1:1.

最小表面积为 6π(V/(2π))2/36\pi(V/(2\pi))^{2/3}6π(V/(2π))2/3。

查看分析思路

用固定体积消去高度，把表面积写成半径的单变量函数。先明确是否有盖，否则目标函数会不同。

查看详细解析

由 V=πr2hV=\pi r^2hV=πr2h 得 h=V/(πr2)h=V/(\pi r^2)h=V/(πr2)。按包含两个底面的模型，

S(r)=2πr2+2πrh=2πr2+2Vr,r>0.S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{2V}{r},\qquad r>0.S(r)=2πr2+2πrh=2πr2+r2V,r>0.S′(r)=4πr−2Vr2=2(2πr3−V)r2.S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=\frac{2(2\pi r^3-V)}{r^2}.S′(r)=4πr−r22V=r22(2πr3−V).

设 r0=(V/(2π))1/3r_0=(V/(2\pi))^{1/3}r0=(V/(2π))1/3，则 S′S'S′ 在 r<r0r<r_0r<r0 时负、在 r>r0r>r_0r>r0 时正，因此取得全局最小值。代回得 h=2r0h=2r_0h=2r0，且 Smin⁡=6πr02S_{\min}=6\pi r_0^2Smin=6πr02。

本题不是无盖容器模型，不能直接把结果搬到只含一个底面的情况。

交互实验：例8：封闭油桶最小用料

保持容积约束，观察半径、高度及面积。

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例 9：圆铁片剪扇形制成漏斗#

从半径为 RRR 的圆铁片上剪去一个扇形，把剩余扇形做成圆锥形漏斗。留下的扇形圆心角 φ\varphiφ 为多少时容积最大？

查看答案

φ=2π23=263π,Vmax⁡=2πR393.\varphi=2\pi\sqrt{\frac23}=\frac{2\sqrt6}{3}\pi, \qquad V_{\max}=\frac{2\pi R^3}{9\sqrt3}.φ=2π32=326π,Vmax=932πR3.

这里 φ\varphiφ 是留下部分的圆心角，以弧度计。

查看分析思路

留下扇形的弧长等于圆锥底面周长，原铁片半径等于圆锥母线长，先据此建立约束。

查看详细解析

若圆锥底半径为 rrr、高为 hhh，则

Rφ=2πr,h=R2−r2.R\varphi=2\pi r,\qquad h=\sqrt{R^2-r^2}.Rφ=2πr,h=R2−r2.

令 u=r/R=φ/(2π)∈(0,1)u=r/R=\varphi/(2\pi)\in(0,1)u=r/R=φ/(2π)∈(0,1)，则

V=πR33u21−u2.V=\frac{\pi R^3}{3}u^2\sqrt{1-u^2}.V=3πR3u21−u2.

因为 V>0V>0V>0，最大化 VVV 等价于最大化它的平方。再令 t=u2∈(0,1)t=u^2\in(0,1)t=u2∈(0,1)，只需最大化 t2(1−t)t^2(1-t)t2(1−t)，其导数为 t(2−3t)t(2-3t)t(2−3t)，故最大值在 t=2/3t=2/3t=2/3 取得。

于是 r=R2/3r=R\sqrt{2/3}r=R2/3、h=R/3h=R/\sqrt3h=R/3、φ=2π2/3\varphi=2\pi\sqrt{2/3}φ=2π2/3，代入 V=πr2h/3V=\pi r^2h/3V=πr2h/3 得上述最大容积。若问剪去部分，其角为 2π−φ2\pi-\varphi2π−φ，不是本题直接所求。

交互实验：例9：留下角与漏斗容积

留下角与剪去角同时显示，防止混用。

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随堂练 6：无盖纸盒与球内正四棱锥#

（1）一块长 8 cm8\,\mathrm{cm}8cm、宽 5 cm5\,\mathrm{cm}5cm 的长方形纸板，四角剪去同样大小的正方形后折成无盖纸盒。剪去小正方形的边长为多少时容积最大？

（2）半径为 RRR 的球内作内接正四棱锥，求体积最大值。

查看答案

（1）边长 x=1 cmx=1\,\mathrm{cm}x=1cm；最大容积 18 cm318\,\mathrm{cm}^318cm3。

（2）Vmax⁡=64R3/81V_{\max}=64R^3/81Vmax=64R3/81；此时高与底边长均为 4R/34R/34R/3。

查看分析思路

纸盒用剪角边长作参数；正四棱锥用高度作参数，先求底面外接圆半径，再转为正方形面积。

查看详细解析

（1）非退化纸盒要求 0<x<5/20<x<5/20<x<5/2，

V(x)=x(8−2x)(5−2x)=4x3−26x2+40x.V(x)=x(8-2x)(5-2x)=4x^3-26x^2+40x.V(x)=x(8−2x)(5−2x)=4x3−26x2+40x.V′(x)=12x2−52x+40=4(3x−10)(x−1).V'(x)=12x^2-52x+40=4(3x-10)(x-1).V′(x)=12x2−52x+40=4(3x−10)(x−1).

允许范围内唯一临界点为 111，两侧导数正后负；两端退化极限为零，故 Vmax⁡=V(1)=18V_{\max}=V(1)=18Vmax=V(1)=18。

（2）取球心为坐标原点，四棱锥顶点位于球的最高点，底面水平，棱锥高为 h∈(0,2R)h\in(0,2R)h∈(0,2R)。正四棱锥的对称轴经过球心：球心到四个底面顶点等距，必在底面中心的垂线上。

底面平面高度为 R−hR-hR−h，其外接圆半径 ρ\rhoρ 满足

ρ2=R2−(R−h)2=2Rh−h2.\rho^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2.ρ2=R2−(R−h)2=2Rh−h2.

设正方形底边为 aaa，则对角线 a2=2ρa\sqrt2=2\rhoa2=2ρ，因此底面积 a2=2ρ2a^2=2\rho^2a2=2ρ2。棱锥体积为

V(h)=13a2h=23h2(2R−h),V′(h)=2h3(4R−3h).V(h)=\frac13a^2h=\frac23h^2(2R-h), \qquad V'(h)=\frac{2h}{3}(4R-3h).V(h)=31a2h=32h2(2R−h),V′(h)=32h(4R−3h).

在 h=4R/3h=4R/3h=4R/3 处导数正变负，端点退化极限均为零，所以

Vmax⁡=23⋅16R29⋅2R3=64R381.V_{\max}=\frac23\cdot\frac{16R^2}{9}\cdot\frac{2R}{3} =\frac{64R^3}{81}.Vmax=32⋅916R2⋅32R=8164R3.

此时 ρ2=8R2/9\rho^2=8R^2/9ρ2=8R2/9，故 a2=16R2/9a^2=16R^2/9a2=16R2/9，即 a=4R/3a=4R/3a=4R/3。

交互实验：随堂练6（1）：剪角纸盒

观察展开图、剪角边长与容积。

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交互实验：随堂练6（2）：球内正四棱锥

底面对角线截面与底边长度分别标明。

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四、函数的凹凸性#

凹凸性的命名约定#

本节采用下表的名称，并标明图形形态；这些名称与一些教材的“凸函数、凹函数”命名相反，阅读时以不等式方向与二阶导数符号为准。

本节名称	弦中点比较（x1≠x2x_1\ne x_2x1=x2）	图形形态	本讲充分条件
凹函数	f((x1+x2)/2)<[f(x1)+f(x2)]/2f((x_1+x_2)/2)<[f(x_1)+f(x_2)]/2f((x1+x2)/2)<[f(x1)+f(x2)]/2	向上弯，形似 ∪\cup∪，图像在弦下方	f′′>0f''>0f′′>0
凸函数	f((x1+x2)/2)>[f(x1)+f(x2)]/2f((x_1+x_2)/2)>[f(x_1)+f(x_2)]/2f((x1+x2)/2)>[f(x1)+f(x2)]/2	向下弯，形似 ∩\cap∩，图像在弦上方	f′′<0f''<0f′′<0

弦中点与函数值比较图

若 fff 在闭区间连续、内部二阶可导且 f′′>0f''>0f′′>0，则按本讲约定为凹；f′′<0f''<0f′′<0 时为凸。这里采用严格中点不等式。凹凸性反映斜率怎样变化，不等于原函数是否递增。

交互实验：知识点：弦中点与凹凸方向

以形态和不等式方向理解本讲命名约定。

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例 10：对数与三次函数的凹凸性#

判定（1）f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx；（2）f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 的凹凸性。

查看答案

（1）在 (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) 为本讲“凸”（向下弯）；（2）在 (−∞,0](-\infty,0](−∞,0] 为本讲“凸”，在 [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) 为本讲“凹”（向上弯）。

查看分析思路

求二阶导数，按本讲约定将其符号翻译成图形形态。

查看详细解析

（1）f′(x)=1/xf'(x)=1/xf′(x)=1/x，f′′(x)=−1/x2<0f''(x)=-1/x^2<0f′′(x)=−1/x2<0，故整个定义域向下弯。

（2）f′(x)=3x2f'(x)=3x^2f′(x)=3x2，f′′(x)=6xf''(x)=6xf′′(x)=6x。负半轴二阶导数负、正半轴正，故在原点两侧凹凸性改变。写闭端点区间只表示连续延伸到端点，不意味着二阶导数在该端点也严格正或负。

交互实验：例10：对数与三次曲线

切换ln x与x³，观察跨拐点反例。

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拐点#

若曲线在连续点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0,f(x0)) 两侧的凹凸性改变，则该点为拐点。若函数在该点二阶可导，拐点必须满足 f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0)=0，但这个条件不充分；例如 x4x^4x4 在零点二阶导数为零，两侧仍向上弯，因此没有拐点。

拐点也不必是驻点。例如 x3+xx^3+xx3+x 在零点改变凹凸性，但一阶导数为 111。这两例说明驻点与拐点是不同概念。

例 11：求凹凸区间与拐点#

求曲线 y=ln⁡(1+x2)y=\ln(1+x^2)y=ln(1+x2) 的凹凸区间及拐点。

查看答案

本讲“凹”（向上弯）区间为 [−1,1][-1,1][−1,1]；本讲“凸”（向下弯）区间为 (−∞,−1](-\infty,-1](−∞,−1] 与 [1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞)；拐点为 (−1,ln⁡2)(-1,\ln2)(−1,ln2)、(1,ln⁡2)(1,\ln2)(1,ln2)。

查看分析思路

二阶导数分母始终为正，只需检查分子 1−x21-x^21−x2 的符号并验证两侧确有变化。

查看详细解析

y′=2x1+x2,y′′=2(1+x2)−4x2(1+x2)2=2(1−x2)(1+x2)2.y'=\frac{2x}{1+x^2},\qquad y''=\frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.y′=1+x22x,y′′=(1+x2)22(1+x2)−4x2=(1+x2)22(1−x2).

当 ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1 时二阶导数正，∣x∣>1|x|>1∣x∣>1 时负。x=±1x=\pm1x=±1 两侧符号均发生变化，函数在这些点连续，且 y=ln⁡2y=\ln2y=ln2，所以两点都是拐点。不能只求出 y′′=0y''=0y′′=0 就停止判别。

交互实验：例11：二阶导数变号

在(-1,1)内和跨拐点区间作比较。

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随堂练 7：三次函数的拐点#

求 y=2x3+3x2−12x+14y=2x^3+3x^2-12x+14y=2x3+3x2−12x+14 的凹凸区间和拐点。

查看答案

本讲“凸”区间 (−∞,−1/2](-\infty,-1/2](−∞,−1/2]，“凹”区间 [−1/2,+∞)[-1/2,+\infty)[−1/2,+∞)；拐点 (−1/2,41/2)(-1/2,41/2)(−1/2,41/2)。

查看分析思路

二阶导数为一次函数，其零点两侧符号直接判断。

查看详细解析

y′=6x2+6x−12,y′′=12x+6.y'=6x^2+6x-12,\qquad y''=12x+6.y′=6x2+6x−12,y′′=12x+6.

x<−1/2x<-1/2x<−1/2 时二阶导数负，x>−1/2x>-1/2x>−1/2 时正，故在 −1/2-1/2−1/2 处凹凸性改变。代入原函数，

y(−1/2)=−14+34+6+14=412.y(-1/2)=-\frac14+\frac34+6+14=\frac{41}{2}.y(−1/2)=−41+43+6+14=241.

定理 8：二阶导数判别局部极值#

若 fff 在 x0x_0x0 的某邻域可导，在 x0x_0x0 存在二阶导数，且 f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0、f′′(x0)≠0f''(x_0)\ne0f′′(x0)=0，则 f′′(x0)<0f''(x_0)<0f′′(x0)<0 对应极大值，f′′(x0)>0f''(x_0)>0f′′(x0)>0 对应极小值。

局部条件只能推出“取得极小值”，不能保证全局最小。f′′(x0)=0f''(x_0)=0f′′(x0)=0 时该判别法不作结论，应继续检查符号或定义。

随堂练 8：从导数关系式判断极值#

设 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 满足 y′′+y′−esin⁡x=0y''+y'-e^{\sin x}=0y′′+y′−esinx=0，且 f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0。则函数：

A. 在 x0x_0x0 某邻域单调增加；B. 在 x0x_0x0 某邻域单调减少；C. 在 x0x_0x0 取得极小值；D. 在 x0x_0x0 取得极大值。

查看答案

选 C：在 x0x_0x0 处取得极小值。

查看分析思路

不必求出函数解析式，直接将驻点条件代入已知微分关系。

查看详细解析

在 x0x_0x0 代入得

f′′(x0)=esin⁡x0−f′(x0)=esin⁡x0>0.f''(x_0)=e^{\sin x_0}-f'(x_0)=e^{\sin x_0}>0.f′′(x0)=esinx0−f′(x0)=esinx0>0.

结合 f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0，二阶导数判别得严格局部极小值。指数函数恒正这一点保证了判别结论；本题没有给出足够信息判断全局最小值。

导数基础 3：导数的概念

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

导数基础 3：导数的概念#

一、导数的背景#

背景问题 1：平均速度与瞬时速度#

s(t)=t2s(t)=t^2s(t)=t2（米、秒）。求：（1）1至2秒的平均速度；（2）1至1+Δt1+\Delta t1+Δt的平均速度；（3）t0t_0t0至t0+Δtt_0+\Delta tt0+Δt的平均速度；（4）t0t_0t0的瞬时速度。

查看答案

依次为 3,2+Δt,2t0+Δt,2t03,2+\Delta t,2t_0+\Delta t,2t_03,2+Δt,2t0+Δt,2t0，单位均为米/秒。

查看分析思路

平均速度是位移增量除以非零时间增量，再令时间增量趋零得到瞬时速度。

查看详细解析

（1）[s(2)−s(1)]/(2−1)=(4−1)/1=3[s(2)-s(1)]/(2-1)=(4-1)/1=3[s(2)−s(1)]/(2−1)=(4−1)/1=3，不是4。

（2）[(1+Δt)2−1]/Δt=2+Δt[(1+\Delta t)^2-1]/\Delta t=2+\Delta t[(1+Δt)2−1]/Δt=2+Δt。

（3）展开平方后，[(t0+Δt)2−t02]/Δt=2t0+Δt[(t_0+\Delta t)^2-t_0^2]/\Delta t=2t_0+\Delta t[(t0+Δt)2−t02]/Δt=2t0+Δt。

（4）令 Δt→0\Delta t\to0Δt→0，得 v(t0)=2t0v(t_0)=2t_0v(t0)=2t0。若物理时间只取非负数，初始端点采用右侧极限，所有时间取值须在模型定义范围内。

交互实验：背景问题1：平均速度与瞬时速度

比较真实两点差商与理论导数。时间平方模型的 1→2 秒平均速度为 3 m/s；倒数曲线在零点断开。

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背景问题 2：割线与切线#

曲线 y=x3y=x^3y=x3。求横坐标分别为（1）1与2；（2）1与1+Δx1+\Delta x1+Δx；（3）x0x_0x0与x0+Δxx_0+\Delta xx0+Δx的两点连线斜率；（4）求x0x_0x0处切线斜率。

查看答案

依次为 7,3+3Δx+(Δx)2,3x02+3x0Δx+(Δx)2,3x027,3+3\Delta x+(\Delta x)^2,3x_0^2+3x_0\Delta x+(\Delta x)^2,3x_0^27,3+3Δx+(Δx)2,3x02+3x0Δx+(Δx)2,3x02。

查看分析思路

割线斜率是纵增量除以横增量；切线斜率是该商的极限。

查看详细解析

（1）(8−1)/(2−1)=7(8-1)/(2-1)=7(8−1)/(2−1)=7。

（2）令 h=Δx≠0h=\Delta x\ne0h=Δx=0，[(1+h)3−1]/h=3+3h+h2[(1+h)^3-1]/h=3+3h+h^2[(1+h)3−1]/h=3+3h+h2。

（3）同理 [(x0+h)3−x03]/h=3x02+3x0h+h2[(x_0+h)^3-x_0^3]/h=3x_0^2+3x_0h+h^2[(x0+h)3−x03]/h=3x02+3x0h+h2。

（4）令 h 趋零，后两项消失，得切线斜率 3x023x_0^23x02。相应切线是 y−x03=3x02(x−x0)y-x_0^3=3x_0^2(x-x_0)y−x03=3x02(x−x0)。不是把两点重合后直接计算0/0。

交互实验：背景问题2：割线趋于切线

比较真实两点差商与理论导数。时间平方模型的 1→2 秒平均速度为 3 m/s；倒数曲线在零点断开。

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交互实验：背景问题2拓展：水平切线与竖直法线

法线由方向向量确定；平方根端点和三次函数零导数必须区别。

打开本题交互实验

二、导数的概念#

fff 在 x0x_0x0 邻域有定义，若差商的极限存在为有限实数，称在 x0x_0x0 可导：

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.f′(x0)=h→0limhf(x0+h)−f(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0).

记号还包括 y′∣x=x0y'|_{x=x_0}y′∣x=x0、dydx∣x=x0\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}dxdyx=x0。极限过程中 h 非零，但中心点函数值必须有定义。

若在区间处处可导，则各点导数组成导函数 f′(x)f'(x)f′(x)。f′(x0)f'(x_0)f′(x0) 是一个数，f′f'f′ 是一个函数。fff 是 f′f'f′ 的一个原函数；加常数不改变导数，所以通常不唯一。

三、几何意义、单侧导数与连续性#

切线斜率与倾角

切点 P=(x0,f(x0))P=(x_0,f(x_0))P=(x0,f(x0)) 的切线方程是

y−f(x0)=f′(x0)(x−x0).y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).y−f(x0)=f′(x0)(x−x0).

法线与切线垂直：若 f′(x0)≠0f'(x_0)\ne0f′(x0)=0，法线斜率为 −1/f′(x0)-1/f'(x_0)−1/f′(x0)；若导数为零，法线是 x=x0x=x_0x=x0。统一可写

x−x0+f′(x0)[y−f(x0)]=0.x-x_0+f'(x_0)[y-f(x_0)]=0.x−x0+f′(x0)[y−f(x0)]=0.

“可导则图像光滑”是一种局部切线直觉，不代表导函数连续或具有任意阶导数。

例 1：绝对值函数的尖点#

判断 ∣x∣|x|∣x∣ 在0处的连续性、可导性。

查看答案

连续但不可导；左导数−1、右导数1。

查看分析思路

连续检查函数值，导数检查差商，两者不同。

查看详细解析

∣x∣→0=f(0)|x|\to0=f(0)∣x∣→0=f(0)，所以连续。但差商 ∣h∣/h|h|/h∣h∣/h 在h<0时为−1，h>0时为1，左右极限不同，因此不可导。

单侧导数：将导数定义中的 h→0h\to0h→0 换成 0−0^-0− 或 0+0^+0+，分别得到 f−′(x0)f'_-(x_0)f−′(x0)、f+′(x0)f'_+(x_0)f+′(x0)。可导等价于两侧导数均存在为有限数且相等。

可导必连续，连续未必可导。 前者证明为

f(x0+h)−f(x0)=f(x0+h)−f(x0)h h→f′(x0)⋅0=0.f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\,h\to f'(x_0)\cdot0=0.f(x0+h)−f(x0)=hf(x0+h)−f(x0)h→f′(x0)⋅0=0.

反命题被例1否定。

交互实验：例1：绝对值尖点

实际左、右差商与原题分母为 h 的对称商分别计算；对称商为零不保证可导。

打开本题交互实验

例 2：用定义求倒数函数的导数#

已知 f(x)=1/xf(x)=1/xf(x)=1/x。（1）求导函数；（2）求x=2处切线。

查看答案

（1）−1/x2-1/x^2−1/x2，x≠0；（2）x+4y−4=0x+4y-4=0x+4y−4=0。

查看分析思路

差商通分；切线同时需要切点和斜率。

查看详细解析

（1）固定x≠0，取充分小的非零h，使x+h≠0：

1/(x+h)−1/xh=−1x(x+h)→−1x2.\frac{1/(x+h)-1/x}{h}=-\frac1{x(x+h)}\to-\frac1{x^2}.h1/(x+h)−1/x=−x(x+h)1→−x21.

（2）切点为 (2,1/2)(2,1/2)(2,1/2)，斜率−1/4，故 y−1/2=−(x−2)/4y-1/2=-(x-2)/4y−1/2=−(x−2)/4，整理得所求直线。

交互实验：例2：倒数函数切线

比较真实两点差商与理论导数。时间平方模型的 1→2 秒平均速度为 3 m/s；倒数曲线在零点断开。

打开本题交互实验

随堂练 1：平方根与法线#

f(x)=xf(x)=\sqrt xf(x)=x。（1）求导函数；（2）求x=4处法线。

查看答案

（1）1/(2x)1/(2\sqrt x)1/(2x)，x>0；（2）4x+y−18=04x+y-18=04x+y−18=0。

查看分析思路

根式差商有理化，再取负倒数斜率。

查看详细解析

（1）对x>0，

x+h−xh=1x+h+x→12x.\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}=\frac1{\sqrt{x+h}+\sqrt x}\to\frac1{2\sqrt x}.hx+h−x=x+h+x1→2x1.

在0处右差商 1/h→+∞1/\sqrt h\to+\infty1/h→+∞，没有有限右导数。

（2）切点(4,2)，切线斜率1/4，法线斜率−4，所以 y−2=−4(x−4)y-2=-4(x-4)y−2=−4(x−4)。

交互实验：随堂练1：平方根法线

法线由方向向量确定；平方根端点和三次函数零导数必须区别。

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例 3：正弦的绝对值#

f(x)=∣sin⁡x∣f(x)=|\sin x|f(x)=∣sinx∣。（1）求0处左右导数；（2）判断连续性、可导性。

查看答案

左导数−1、右导数1；连续但不可导。

查看分析思路

原题有绝对值；近零处正弦和自变量同号。

查看详细解析

（1）左侧 ∣sin⁡h∣=−sin⁡h|\sin h|=-\sin h∣sinh∣=−sinh，差商趋于−1；右侧 ∣sin⁡h∣=sin⁡h|\sin h|=\sin h∣sinh∣=sinh，差商趋于1。

（2）∣sin⁡x∣→0=f(0)|\sin x|\to0=f(0)∣sinx∣→0=f(0)，所以连续；左右导数不相等，故不可导。误抄为sin x会改变结论。

交互实验：例3：正弦绝对值尖点

实际左、右差商与原题分母为 h 的对称商分别计算；对称商为零不保证可导。

打开本题交互实验

例 4：匹配真实自变量增量#

已知相应点可导，求h→0时：（1）[f(x0+3h)−f(x0)]/h[f(x_0+3h)-f(x_0)]/h[f(x0+3h)−f(x0)]/h；（2）[f(x0−2h)−f(x0)]/h[f(x_0-2h)-f(x_0)]/h[f(x0−2h)−f(x0)]/h；（3）[f(a+2h)−f(a)]/sin⁡h[f(a+2h)-f(a)]/\sin h[f(a+2h)−f(a)]/sinh 的极限。

查看答案

依次为 3f′(x0),−2f′(x0),2f′(a)3f^{\prime}(x_0),-2f^{\prime}(x_0),2f^{\prime}(a)3f′(x0),−2f′(x0),2f′(a)。

查看分析思路

定义里的分母必须与内层输入的增量一致，系数和符号要补回。

查看详细解析

（1）写成 3[f(x0+3h)−f(x0)]/(3h)3[f(x_0+3h)-f(x_0)]/(3h)3[f(x0+3h)−f(x0)]/(3h)，极限为3f’(x₀)。

（2）写成 −2[f(x0−2h)−f(x0)]/(−2h)-2[f(x_0-2h)-f(x_0)]/(-2h)−2[f(x0−2h)−f(x0)]/(−2h)，极限为−2f’(x₀)。

（3）写成

f(a+2h)−f(a)2h⋅2⋅hsin⁡h→2f′(a).\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}\cdot2\cdot\frac h{\sin h}\to2f'(a).2hf(a+2h)−f(a)⋅2⋅sinhh→2f′(a).

交互实验：例4：缩放与负增量

二次函数为拓展模型；原题反例保留 f(a)=a−1。分母 h 或 sin h 与端点距离须区别。

打开本题交互实验

（1）若 lim⁡h→0[f(1+h)−f(1−h)]/h\lim_{h\to0}[f(1+h)-f(1-h)]/hlimh→0[f(1+h)−f(1−h)]/h 存在，是否保证 f′(1)f^{\prime}(1)f′(1) 存在？（2）已知 f′(a)f^{\prime}(a)f′(a) 存在，求 lim⁡h→0[f(a+2h)−f(a−h)]/h\lim_{h\to0}[f(a+2h)-f(a-h)]/hlimh→0[f(a+2h)−f(a−h)]/h。

查看答案

（1）不能；（2）3f′(a)3f^{\prime}(a)3f′(a)。

查看分析思路

第一问是逆推；第二问有可导前提，可以拆标准差商。

查看详细解析

（1）原反例取f(x)=x（x≠1），f(1)=0，题给商恒为2却不连续。

补充更强反例：f(x)=∣x−1∣f(x)=|x-1|f(x)=∣x−1∣ 连续，对称差商恒为0，但在1处左右导数不同。即使增加连续性，也不能推出可导。

（2）原式等于

2f(a+2h)−f(a)2h+f(a−h)−f(a)−h→3f′(a).2\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\to3f'(a).22hf(a+2h)−f(a)+−hf(a−h)−f(a)→3f′(a).

交互实验：随堂练3(1、2)：原反例与可导前提

二次函数为拓展模型；原题反例保留 f(a)=a−1。分母 h 或 sin h 与端点距离须区别。

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交互实验：随堂练3(1)拓展：连续反例

实际左、右差商与原题分母为 h 的对称商分别计算；对称商为零不保证可导。

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例 7：衰减振荡仍可能不可导#

f(x)=xsin⁡(1/x)f(x)=x\sin(1/x)f(x)=xsin(1/x)（x≠0），f(0)=0。判断0处连续性、可导性。

查看答案

连续、不可导。

查看分析思路

差商会约去衰减因子x，连续性与导数需分别判断。

查看详细解析

∣f(x)∣≤∣x∣→0|f(x)|\le|x|\to0∣f(x)∣≤∣x∣→0，所以连续。差商为 sin⁡(1/h)\sin(1/h)sin(1/h)，取h为 1/(2nπ+π/2)1/(2n\pi+\pi/2)1/(2nπ+π/2) 和 1/(2nπ+3π/2)1/(2n\pi+3\pi/2)1/(2nπ+3π/2)，函数值分别为1、−1，所以差商没有极限，导数不存在。

交互实验：例7：一次衰减连续但不可导

p=1、2 对应原题；p=0 是拓展。相位采样和特殊序列揭示有限分辨率，中心未解析区间断开。

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随堂练 4：再乘一个 x#

f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x)=x^2\sin(1/x)f(x)=x2sin(1/x)（x≠0），f(0)=0。判断0处连续性、可导性。

查看答案

连续且可导，f′(0)=0f^{\prime}(0)=0f′(0)=0。

查看分析思路

约去一个x后还有衰减因子。

查看详细解析

∣f(x)∣≤x2→0|f(x)|\le x^2\to0∣f(x)∣≤x2→0，所以连续。差商为 hsin⁡(1/h)h\sin(1/h)hsin(1/h)，绝对值不超过|h|，所以趋零，导数为0。这不自动保证导函数在0连续，下一讲会进一步检验。

交互实验：随堂练4：二次衰减与零点导数

p=1、2 对应原题；p=0 是拓展。相位采样和特殊序列揭示有限分辨率，中心未解析区间断开。

打开本题交互实验

导数基础 4：函数的求导法则

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

导数基础 4：函数的求导法则#

cos⁡h−1h=−sin⁡h2⋅sin⁡(h/2)h/2⟶0,\frac{\cos h-1}{h}=-\sin\frac h2\cdot\frac{\sin(h/2)}{h/2}\longrightarrow0,hcosh−1=−sin2h⋅h/2sin(h/2)⟶0,

有

sin⁡(x+h)−sin⁡xh=sin⁡xcos⁡h−1h+cos⁡xsin⁡hh⟶cos⁡x.\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h} \longrightarrow\cos x.hsin(x+h)−sinx=sinxhcosh−1+cosxhsinh⟶cosx.

同理，

cos⁡(x+h)−cos⁡xh=cos⁡xcos⁡h−1h−sin⁡xsin⁡hh⟶−sin⁡x.\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} =\cos x\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\frac{\sin h}{h} \longrightarrow-\sin x.hcos(x+h)−cosx=cosxhcosh−1−sinxhsinh⟶−sinx.

注意这里求的是导函数 y′=−sin⁡xy'=-\sin xy′=−sinx。

例 4：对数函数#

求（1）log⁡ax\log_a xlogax（a>0,a≠1a>0,a\ne1a>0,a=1）；（2）ln⁡x\ln xlnx 的导数。

查看答案

（1）1/(xln⁡a)1/(x\ln a)1/(xlna)；（2）1/x1/x1/x。均要求 x>0x>0x>0。

查看分析思路

先求自然对数的导数，再利用换底公式。

查看详细解析

固定 x>0x>0x>0，当 hhh 足够小时 x+h>0x+h>0x+h>0，故

ln⁡(x+h)−ln⁡xh=1xln⁡(1+h/x)h/x⟶1x.\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h} =\frac1x\frac{\ln(1+h/x)}{h/x}\longrightarrow\frac1x.hln(x+h)−lnx=x1h/xln(1+h/x)⟶x1.

再由 log⁡ax=ln⁡x/ln⁡a\log_a x=\ln x/\ln alogax=lnx/lna，而 ln⁡a\ln alna 为非零常数，得到

(log⁡ax)′=1xln⁡a.(\log_a x)'=\frac1{x\ln a}.(logax)′=xlna1.

当 0<a<10<a<10<a<1 时 ln⁡a<0\ln a<0lna<0，导数为负，与函数递减相符。

例 5：指数函数#

求（1）exe^xex；（2）axa^xax（a>0,a≠1a>0,a\ne1a>0,a=1）的导数。

查看答案

（1）exe^xex；（2）axln⁡aa^x\ln aaxlna。

查看分析思路

利用指数的乘法法则提取原函数，再把增量变成已知重要极限。

查看详细解析

ex+h−exh=exeh−1h⟶ex.\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\frac{e^h-1}{h}\longrightarrow e^x.hex+h−ex=exheh−1⟶ex.

对于一般底数，ah=ehln⁡aa^h=e^{h\ln a}ah=ehlna，所以

ax+h−axh=axln⁡aehln⁡a−1hln⁡a⟶axln⁡a.\frac{a^{x+h}-a^x}{h} =a^x\ln a\frac{e^{h\ln a}-1}{h\ln a} \longrightarrow a^x\ln a.hax+h−ax=axlnahlnaehlna−1⟶axlna.

补充：若 a=1a=1a=1，函数恒为 111，导数为 000，公式也能给出这一结果；负底数不在这里的通常实指数函数范围内。

二、导数的运算法则#

定理 1：四则运算#

若 f,gf,gf,g 在所论点可导，则

(f±g)′=f′±g′,(fg)′=f′g+fg′,(Cf)′=Cf′.(f\pm g)'=f'\pm g',\qquad (fg)'=f' g+fg',\qquad (Cf)'=Cf'.(f±g)′=f′±g′,(fg)′=f′g+fg′,(Cf)′=Cf′.

当 g(x)≠0g(x)\ne0g(x)=0 时，

(fg)′=f′g−fg′g2.\left(\frac fg\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}.(gf)′=g2f′g−fg′.

补充证明思路： 乘积差分可拆成

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)=[f(x+h)−f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)−g(x)].f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) =[f(x+h)-f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)-g(x)].f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)=[f(x+h)−f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)−g(x)].

除以 hhh，利用可导蕴含连续，即得乘积法则。商的差分先通分：

f(x+h)g(x+h)−f(x)g(x)h=g(x)f(x+h)−f(x)h−f(x)g(x+h)−g(x)hg(x+h)g(x).\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}h =\frac{g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}h-f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}h}{g(x+h)g(x)}.hg(x+h)f(x+h)−g(x)f(x)=g(x+h)g(x)g(x)hf(x+h)−f(x)−f(x)hg(x+h)−g(x).

由连续性及 g(x)≠0g(x)\ne0g(x)=0，分母在充分小邻域内不为零，再取极限。特别注意：乘积的导数不是两个导数的乘积，商的导数也不是两个导数的商。

例 6：四则运算练习#

求下列函数的导数：

（1）x2+sin⁡xx^2+\sin xx2+sinx；（2）5x3−2x+3ex5x^3-2^x+3e^x5x3−2x+3ex；（3）ex(sin⁡x+cos⁡x)e^x(\sin x+\cos x)ex(sinx+cosx)；（4）ln⁡x/x2\ln x/x^2lnx/x2。

查看答案

（1）2x+cos⁡x2x+\cos x2x+cosx；（2）15x2−2xln⁡2+3ex15x^2-2^x\ln2+3e^x15x2−2xln2+3ex；

（3）2excos⁡x2e^x\cos x2excosx；（4）(1−2ln⁡x)/x3(1-2\ln x)/x^3(1−2lnx)/x3，x>0x>0x>0。

查看分析思路

先识别运算层次：前两题逐项求导，第三题使用乘积法则，第四题使用商法则。

查看详细解析

（1）(x2+sin⁡x)′=2x+cos⁡x(x^2+\sin x)'=2x+\cos x(x2+sinx)′=2x+cosx。

（2）2x2^x2x 的底数为 222，求导必须乘 ln⁡2\ln2ln2，故

(5x3−2x+3ex)′=15x2−2xln⁡2+3ex.(5x^3-2^x+3e^x)'=15x^2-2^x\ln2+3e^x.(5x3−2x+3ex)′=15x2−2xln2+3ex.

（3）

[ex(sin⁡x+cos⁡x)]′=ex(sin⁡x+cos⁡x)+ex(cos⁡x−sin⁡x)=2excos⁡x.[e^x(\sin x+\cos x)]' =e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)=2e^x\cos x.[ex(sinx+cosx)]′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx−sinx)=2excosx.

（4）

(ln⁡xx2)′=x2/x−2xln⁡xx4=1−2ln⁡xx3.\left(\frac{\ln x}{x^2}\right)' =\frac{x^2/x-2x\ln x}{x^4}=\frac{1-2\ln x}{x^3}.(x2lnx)′=x4x2/x−2xlnx=x31−2lnx.

交互实验：例6(3)：乘积增量

矩形模型是拓展，原题 eˣ(sin x+cos x) 是独立分支。有限交叉项和错误 u′v′ 都真实计算。

打开本题交互实验

随堂练 1：多项式、平方根与指数商#

求（1）2x3−5x2+3x−72x^3-5x^2+3x-72x3−5x2+3x−7；（2）x−2cos⁡x\sqrt x-2\cos xx−2cosx；（3）ex/xe^x/xex/x 的导数。

查看答案

（1）6x2−10x+36x^2-10x+36x2−10x+3；（2）12x+2sin⁡x\dfrac1{2\sqrt x}+2\sin x2x1+2sinx，x>0x>0x>0；（3）ex(x−1)x2\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}x2ex(x−1)，x≠0x\ne0x=0。

查看分析思路

平方根导数中的系数 1/21/21/2 容易漏掉；商法则中的分子要保留先后顺序。

查看详细解析

（1）逐项求导，常数 −7-7−7 的导数为 000。

（2）由上一讲平方根的差商推导，(x)′=1/(2x)(\sqrt x)'=1/(2\sqrt x)(x)′=1/(2x)。而 (−2cos⁡x)′=2sin⁡x(-2\cos x)'=2\sin x(−2cosx)′=2sinx，相加即得答案。

平方根项求导需保留系数 1/21/21/2。例如 x=4x=4x=4 时，平方根部分的导数应为 1/41/41/4，不是 1/21/21/2。在 x=0x=0x=0 处不能套用这个有限导数公式。

（3）

(exx)′=xex−exx2=ex(x−1)x2.\left(\frac{e^x}{x}\right)'=\frac{xe^x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.(xex)′=x2xex−ex=x2ex(x−1).

例 7：正切与余切#

求（1）tan⁡x\tan xtanx；（2）cot⁡x\cot xcotx 的导数。

查看答案

（1）sec⁡2x\sec^2xsec2x，cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0；（2）−csc⁡2x-\csc^2x−csc2x，sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0。

查看分析思路

把正切、余切分别写成正弦与余弦的商。

查看详细解析

(tan⁡x)′=(sin⁡xcos⁡x)′=cos⁡2x+sin⁡2xcos⁡2x=sec⁡2x.(\tan x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' =\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\sec^2x.(tanx)′=(cosxsinx)′=cos2xcos2x+sin2x=sec2x.(cot⁡x)′=(cos⁡xsin⁡x)′=−sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡2x=−csc⁡2x.(\cot x)'=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' =\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\csc^2x.(cotx)′=(sinxcosx)′=sin2x−sin2x−cos2x=−csc2x.

函数原本无定义的点，不能讨论其通常意义的导数。

例 8：正割与余割#

求（1）sec⁡x\sec xsecx；（2）csc⁡x\csc xcscx 的导数。

查看答案

（1）sec⁡xtan⁡x\sec x\tan xsecxtanx；（2）−csc⁡xcot⁡x-\csc x\cot x−cscxcotx，分别在 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0、sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0 处成立。

查看分析思路

使用 sec⁡x=1/cos⁡x\sec x=1/\cos xsecx=1/cosx 与 csc⁡x=1/sin⁡x\csc x=1/\sin xcscx=1/sinx。

查看详细解析

(sec⁡x)′=sin⁡xcos⁡2x=sec⁡xtan⁡x,(csc⁡x)′=−cos⁡xsin⁡2x=−csc⁡xcot⁡x.(\sec x)'=\frac{\sin x}{\cos^2x}=\sec x\tan x, \qquad (\csc x)'=-\frac{\cos x}{\sin^2x}=-\csc x\cot x.(secx)′=cos2xsinx=secxtanx,(cscx)′=−sin2xcosx=−cscxcotx.

前者正号、后者负号，分别来自余弦和正弦的求导。

例 9：由位移求速度#

一物体沿直线运动，位移与时间的关系为 s=3t2−2t+1s=3t^2-2t+1s=3t2−2t+1，求 v=v(t)v=v(t)v=v(t)。

查看答案

v(t)=6t−2v(t)=6t-2v(t)=6t−2。

查看分析思路

速度是位移对时间的导数，而不是位移除以时间。

查看详细解析

对 s(t)s(t)s(t) 求导得 v(t)=s′(t)=6t−2v(t)=s'(t)=6t-2v(t)=s′(t)=6t−2。补充理解：若采用通常 t≥0t\ge0t≥0 的计时方式，t=1/3t=1/3t=1/3 时速度为零；速度的正负反映方向，速率则为 ∣6t−2∣|6t-2|∣6t−2∣。

例 10：切线与法线#

求曲线 y=tan⁡x+xy=\tan x+xy=tanx+x 在横坐标 x=0x=0x=0 的点处的切线和法线。

查看答案

切线 y=2xy=2xy=2x；法线 y=−x/2y=-x/2y=−x/2。

查看分析思路

先确定切点，再由导数得到切线斜率，最后取负倒数得到法线斜率。

查看详细解析

切点为 (0,0)(0,0)(0,0)，且 y′=sec⁡2x+1y'=\sec^2x+1y′=sec2x+1，故 y′(0)=2y'(0)=2y′(0)=2。切线为 y−0=2(x−0)y-0=2(x-0)y−0=2(x−0)。法线与切线垂直，斜率为 −1/2-1/2−1/2，方程为 y=−x/2y=-x/2y=−x/2。补充：若某题切线斜率为零，法线应直接写成竖直直线，不能除以零。

随堂练 2：再求切线与法线#

求曲线 y=sin⁡x3+x2y=\dfrac{\sin x}{3}+x^2y=3sinx+x2 在横坐标 x=0x=0x=0 的点处的切线和法线。

查看答案

切线 y=x/3y=x/3y=x/3；法线 y=−3xy=-3xy=−3x。

查看分析思路

注意原式是 (sin⁡x)/3+x2(\sin x)/3+x^2(sinx)/3+x2，不是 sin⁡(x/3)+2x\sin(x/3)+2xsin(x/3)+2x。

查看详细解析

切点为 (0,0)(0,0)(0,0)。y′=13cos⁡x+2xy'=\frac13\cos x+2xy′=31cosx+2x，故切线斜率为 1/31/31/3，法线斜率为 −3-3−3。分别代入点斜式即得两条直线。

三、反函数的求导法则#

思考 1：反函数的切线斜率#

函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 有反函数，经过 (a,b)(a,b)(a,b)，该点切线斜率为 k≠0k\ne0k=0。反函数在 (b,a)(b,a)(b,a) 处的切线斜率是多少？

查看答案

在反函数满足相应可导条件时，斜率为 1/k1/k1/k。

查看分析思路

关于 y=xy=xy=x 对称会交换横、纵增量，因此斜率取倒数，而不是负倒数。

查看详细解析

原函数的增量比为 Δy/Δx→k\Delta y/\Delta x\to kΔy/Δx→k，反函数的增量比为 Δx/Δy→1/k\Delta x/\Delta y\to1/kΔx/Δy→1/k。下述定理给出可保证这一结论的条件。法线斜率为 −1/k-1/k−1/k，与反函数切线斜率不同。

交互实验：思考1：反函数切线的倒数斜率

原函数与反函数的切线关于 y=x 对称；法线负倒数作为对照。零导数边界显示竖直切线而非无限数。

打开本题交互实验

定理 2：反函数求导#

若 fff 在某区间内严格单调、可导且 f′≠0f'\ne0f′=0，则其反函数在相应值域内点处可导，且

(f−1)′(y)=1f′(f−1(y)).(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(f^{-1}(y))}.(f−1)′(y)=f′(f−1(y))1.

等价地，(f−1)′(f(x))=1/f′(x)(f^{-1})'(f(x))=1/f'(x)(f−1)′(f(x))=1/f′(x)。这里 f−1f^{-1}f−1 是反函数，不是 1/f1/f1/f。

补充证明： 固定 y0=f(x0)y_0=f(x_0)y0=f(x0)，令 x0+Δx=f−1(y0+h)x_0+\Delta x=f^{-1}(y_0+h)x0+Δx=f−1(y0+h)。由反函数的连续性，h→0h\to0h→0 时 Δx→0\Delta x\to0Δx→0；严格单调性保证 h≠0h\ne0h=0 时 Δx≠0\Delta x\ne0Δx=0。于是

f−1(y0+h)−f−1(y0)h=1[f(x0+Δx)−f(x0)]/Δx⟶1f′(x0).\frac{f^{-1}(y_0+h)-f^{-1}(y_0)}h =\frac1{[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]/\Delta x} \longrightarrow\frac1{f'(x_0)}.hf−1(y0+h)−f−1(y0)=[f(x0+Δx)−f(x0)]/Δx1⟶f′(x0)1.

例 11：反正弦与反余弦#

求（1）arcsin⁡x\arcsin xarcsinx；（2）arccos⁡x\arccos xarccosx 的导数。

查看答案

（1）1/1−x21/\sqrt{1-x^2}1/1−x2；（2）−1/1−x2-1/\sqrt{1-x^2}−1/1−x2，均要求 −1<x<1-1<x<1−1<x<1。

查看分析思路

先写出原三角函数关系，再根据反三角函数的主值范围确定根号前符号。

查看详细解析

（1）设 y=arcsin⁡xy=\arcsin xy=arcsinx，则 x=sin⁡yx=\sin yx=siny，y∈(−π/2,π/2)y\in(-\pi/2,\pi/2)y∈(−π/2,π/2)，因此 cos⁡y>0\cos y>0cosy>0。反函数公式给出

y′=1cos⁡y=11−x2.y'=\frac1{\cos y}=\frac1{\sqrt{1-x^2}}.y′=cosy1=1−x21.

（2）设 y=arccos⁡xy=\arccos xy=arccosx，则 x=cos⁡yx=\cos yx=cosy，y∈(0,π)y\in(0,\pi)y∈(0,π)，因此 sin⁡y>0\sin y>0siny>0。

y′=−1sin⁡y=−11−x2.y'=-\frac1{\sin y}=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}.y′=−siny1=−1−x21.

两个函数在 x=±1x=\pm1x=±1 有定义，但上述有限导数公式只适用于开区间 (−1,1)(-1,1)(−1,1)。

交互实验：例11(1)：正弦主支与反正弦

原函数与反函数的切线关于 y=x 对称；法线负倒数作为对照。零导数边界显示竖直切线而非无限数。

打开本题交互实验

例 12：反正切#

查看分析思路

逐层辨认外函数与内函数，不能漏掉任何一层的导数。

查看详细解析

（1）sin⁡(x2)\sin(x^2)sin(x2) 的外层是正弦，内层是平方：cos⁡(x2)⋅2x\cos(x^2)\cdot2xcos(x2)⋅2x。注意它不同于 (sin⁡x)2(\sin x)^2(sinx)2。

（2）50(3x−2)49⋅3=150(3x−2)4950(3x-2)^{49}\cdot3=150(3x-2)^{49}50(3x−2)49⋅3=150(3x−2)49。

（3）[ln⁡(sin⁡x)]′=cos⁡x/sin⁡x=cot⁡x[\ln(\sin x)]'=\cos x/\sin x=\cot x[ln(sinx)]′=cosx/sinx=cotx。原函数要求 sin⁡x>0\sin x>0sinx>0，不能因为最终式在更多点有意义就扩大原导数的定义域。

（4）

[1+e2x]′=121+e2x⋅2e2x=e2x1+e2x.[\sqrt{1+e^{2x}}]' =\frac1{2\sqrt{1+e^{2x}}}\cdot2e^{2x} =\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}.[1+e2x]′=21+e2x1⋅2e2x=1+e2xe2x.

交互实验：例13(1)：平方内层与链式法则

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

打开本题交互实验

交互实验：例13(3)：对数真数定义域

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

打开本题交互实验

交互实验：例13(4)：根式与指数复合

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

打开本题交互实验

随堂练 3：嵌套函数#

求（1）arctan⁡(ex)\arctan(e^x)arctan(ex)；（2）sin⁡ ⁣(2x1+x2)\sin\!\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)sin(1+x22x)；（3）ln⁡(cos⁡(ex))\ln(\cos(e^x))ln(cos(ex)) 的导数。

查看答案

（1）ex1+e2x\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}1+e2xex；（2）2(1−x2)(1+x2)2cos⁡ ⁣(2x1+x2)\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\cos\!\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)(1+x2)22(1−x2)cos(1+x22x)；（3）−extan⁡(ex)-e^x\tan(e^x)−extan(ex)，cos⁡(ex)>0\cos(e^x)>0cos(ex)>0。

查看分析思路

第一题反正切公式中需要对整个内层函数平方；第二题内层用商法则；第三题有三层复合。

查看详细解析

（1）设 u=exu=e^xu=ex，则 y′=u′/(1+u2)=ex/(1+e2x)y'=u'/(1+u^2)=e^x/(1+e^{2x})y′=u′/(1+u2)=ex/(1+e2x)。

分母为 1+e2x1+e^{2x}1+e2x。例如 x=ln⁡2x=\ln2x=ln2 时导数为 2/52/52/5，不是 2/32/32/3。

（2）

(2x1+x2)′=2(1+x2)−4x2(1+x2)2=2(1−x2)(1+x2)2.\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)' =\frac{2(1+x^2)-4x^2}{(1+x^2)^2} =\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}.(1+x22x)′=(1+x2)22(1+x2)−4x2=(1+x2)22(1−x2).

再乘外层的余弦即可。

（3）从外到内依次求导：[cos⁡(ex)]−1⋅[−sin⁡(ex)]⋅ex=−extan⁡(ex)[\cos(e^x)]^{-1}\cdot[-\sin(e^x)]\cdot e^x=-e^x\tan(e^x)[cos(ex)]−1⋅[−sin(ex)]⋅ex=−extan(ex)。对数真数必须为正。

交互实验：随堂练3(1)：反正切复合函数求导

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

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交互实验：随堂练3(3)：三层复合与对数域

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

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例 14：乘积求导后使用和角公式#

求 y=sin⁡(nx)sin⁡nxy=\sin(nx)\sin^n xy=sin(nx)sinnx（nnn 为正整数）的导数。

查看答案

y′=nsin⁡n−1xsin⁡((n+1)x)y'=n\sin^{n-1}x\sin((n+1)x)y′=nsinn−1xsin((n+1)x)。

查看分析思路

两因子分别求导，再提取公因子，最后用正弦和角公式。

查看详细解析

y′=ncos⁡(nx)sin⁡nx+nsin⁡(nx)sin⁡n−1xcos⁡x=nsin⁡n−1x[cos⁡(nx)sin⁡x+sin⁡(nx)cos⁡x]=nsin⁡n−1xsin⁡((n+1)x).\begin{aligned} y'&=n\cos(nx)\sin^n x+n\sin(nx)\sin^{n-1}x\cos x\\ &=n\sin^{n-1}x[\cos(nx)\sin x+\sin(nx)\cos x]\\ &=n\sin^{n-1}x\sin((n+1)x). \end{aligned}y′=ncos(nx)sinnx+nsin(nx)sinn−1xcosx=nsinn−1x[cos(nx)sinx+sin(nx)cosx]=nsinn−1xsin((n+1)x).

n=1n=1n=1 时即 (sin⁡2x)′=sin⁡2x(\sin^2x)'=\sin2x(sin2x)′=sin2x；此时提取的 sin⁡0x\sin^{0}xsin0x 表示恒为 111 的因子。

随堂练 4：指数与反三角函数的乘积#

求 y=ex2arcsin⁡(2x)y=e^{x^2}\arcsin(2x)y=ex2arcsin(2x) 的导数。

查看答案

y′=2xex2arcsin⁡(2x)+2ex21−4x2y'=2xe^{x^2}\arcsin(2x)+\dfrac{2e^{x^2}}{\sqrt{1-4x^2}}y′=2xex2arcsin(2x)+1−4x22ex2，∣x∣<1/2|x|<1/2∣x∣<1/2。

查看分析思路

外层使用乘积法则，两个因子内部都还需要链式法则。

查看详细解析

(ex2)′=2xex2,[arcsin⁡(2x)]′=21−(2x)2.(e^{x^2})'=2xe^{x^2},\qquad [\arcsin(2x)]'=\frac2{\sqrt{1-(2x)^2}}.(ex2)′=2xex2,[arcsin(2x)]′=1−(2x)22.

所以原函数导数是“第一个的导数乘第二个”加上“第一个乘第二个的导数”，得到答案。原函数在 [−1/2,1/2][-1/2,1/2][−1/2,1/2] 有定义，但这里的有限导数仅在开区间内讨论。

例 15：底数和指数都含变量#

求（1）y=xxy=x^xy=xx（x>0x>0x>0）；（2）y=xln⁡xy=x^{\ln x}y=xlnx 的导数。

查看答案

（1）xx(ln⁡x+1)x^x(\ln x+1)xx(lnx+1)；（2）2xln⁡x−1ln⁡x2x^{\ln x-1}\ln x2xlnx−1lnx。两题均取 x>0x>0x>0。

查看分析思路

改写成自然指数函数，或两边取自然对数，不能把变化的指数当作常数。

查看详细解析

（1）xx=exln⁡xx^x=e^{x\ln x}xx=exlnx，所以

y′=exln⁡x(xln⁡x)′=xx(ln⁡x+1).y'=e^{x\ln x}(x\ln x)'=x^x(\ln x+1).y′=exlnx(xlnx)′=xx(lnx+1).

（2）xln⁡x=e(ln⁡x)2x^{\ln x}=e^{(\ln x)^2}xlnx=e(lnx)2，所以

y′=e(ln⁡x)22ln⁡xx=2xln⁡x−1ln⁡x.y'=e^{(\ln x)^2}\frac{2\ln x}{x}=2x^{\ln x-1}\ln x.y′=e(lnx)2x2lnx=2xlnx−1lnx.

对可导的 u,vu,vu,v，若 u>0u>0u>0，则

[uv]′=uv(v′ln⁡u+vu′u).[u^v]'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right).[uv]′=uv(v′lnu+vuu′).

这一公式同时包含指数变化与底数变化两部分。

交互实验：例15(1)：变指数与冻结曲线

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

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交互实验：例15(2)：对数作为指数

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

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例 16：实数次幂公式#

设 y=xky=x^ky=xk，x>0x>0x>0，kkk 为常数，证明 y′=kxk−1y'=kx^{k-1}y′=kxk−1。

查看答案

对任意固定实数 kkk，在 x>0x>0x>0 上均有 (xk)′=kxk−1(x^k)'=kx^{k-1}(xk)′=kxk−1。

查看分析思路

把实数幂定义为 ekln⁡xe^{k\ln x}eklnx，再用链式法则。

查看详细解析

(xk)′=(ekln⁡x)′=ekln⁡xkx=kxk−1.(x^k)'=(e^{k\ln x})'=e^{k\ln x}\frac{k}{x}=kx^{k-1}.(xk)′=(eklnx)′=eklnxxk=kxk−1.

k=0k=0k=0 时即常数函数的导数。对整数幂，公式可在适当的更大定义域成立；实数幂统一使用 x>0x>0x>0，不未经检查就扩展到负半轴或零点。

交互实验：例16：固定实指数

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

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随堂练 5：幂指函数的两种结构#

求（1）xsin⁡xx^{\sin x}xsinx，x>0x>0x>0；（2）(x1+x)x\left(\dfrac{x}{1+x}\right)^x(1+xx)x，x>0x>0x>0 的导数。

查看答案

（1）xsin⁡x(cos⁡xln⁡x+sin⁡xx)x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)xsinx(cosxlnx+xsinx)；

（2）(x1+x)x[ln⁡x1+x+11+x]\left(\dfrac{x}{1+x}\right)^x\left[\ln\dfrac{x}{1+x}+\dfrac1{1+x}\right](1+xx)x[ln1+xx+1+x1]。

查看分析思路

先取对数，把幂指结构变成乘积，再对乘积求导。

查看详细解析

（1）ln⁡y=sin⁡xln⁡x\ln y=\sin x\ln xlny=sinxlnx，故 y′/y=cos⁡xln⁡x+sin⁡x/xy'/y=\cos x\ln x+\sin x/xy′/y=cosxlnx+sinx/x，乘回 yyy。

（2）ln⁡y=x[ln⁡x−ln⁡(1+x)]\ln y=x[\ln x-\ln(1+x)]lny=x[lnx−ln(1+x)]，故

y′y=ln⁡x1+x+x(1x−11+x)=ln⁡x1+x+11+x.\frac{y'}{y}=\ln\frac{x}{1+x}+x\left(\frac1x-\frac1{1+x}\right) =\ln\frac{x}{1+x}+\frac1{1+x}.yy′=ln1+xx+x(x1−1+x1)=ln1+xx+1+x1.

题设 x>0x>0x>0 保证两题所用对数和实数幂均有定义。

交互实验：随堂练5(1)：正弦变指数

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

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交互实验：随堂练5(2)：分式底数变指数

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

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例 17：可导不保证导函数连续#

设

f(x)={x2sin⁡(1/x),x≠0,0,x=0.f(x)=\begin{cases}x^2\sin(1/x),&x\ne0,\\0,&x=0.\end{cases}f(x)={x2sin(1/x),0,x=0,x=0.

（1）求导函数；（2）判断 f′f'f′ 在 000 处是否连续。

查看答案

f′(x)={2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x),x≠0,0,x=0.f'(x)=\begin{cases}2x\sin(1/x)-\cos(1/x),&x\ne0,\\0,&x=0.\end{cases}f′(x)={2xsin(1/x)−cos(1/x),0,x=0,x=0.

fff 在 000 可导，但 f′f'f′ 在 000 不连续。

查看分析思路

非零点用乘积与链式法则；分段点必须重新使用导数定义；最后用两列趋于零的点判断导函数极限。

查看详细解析

当 x≠0x\ne0x=0，

f′(x)=2xsin⁡(1/x)+x2cos⁡(1/x)(−1/x2)=2xsin⁡(1/x)−cos⁡(1/x).f'(x)=2x\sin(1/x)+x^2\cos(1/x)(-1/x^2) =2x\sin(1/x)-\cos(1/x).f′(x)=2xsin(1/x)+x2cos(1/x)(−1/x2)=2xsin(1/x)−cos(1/x).

当 x=0x=0x=0，

f′(0)=lim⁡h→0h2sin⁡(1/h)h=lim⁡h→0hsin⁡(1/h)=0,f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^2\sin(1/h)}h =\lim_{h\to0}h\sin(1/h)=0,f′(0)=h→0limhh2sin(1/h)=h→0limhsin(1/h)=0,

最后一步由绝对值不超过 ∣h∣|h|∣h∣ 的夹逼得到。

取 xn=1/(2πn)x_n=1/(2\pi n)xn=1/(2πn)，则 f′(xn)=−1f'(x_n)=-1f′(xn)=−1；取 zn=1/((2n+1)π)z_n=1/((2n+1)\pi)zn=1/((2n+1)π)，则 f′(zn)=1f'(z_n)=1f′(zn)=1。两列自变量都趋于零，导函数值却不同，因此 lim⁡x→0f′(x)\lim_{x\to0}f'(x)limx→0f′(x) 不存在，更不可能等于 f′(0)f'(0)f′(0)。

结论区分： 可导必连续，说的是 fff 本身；“可导且导函数连续”是更强的性质。本例不能作为“可导但函数不连续”的反例。

交互实验：例17：导函数的两列点

原点单独用定义求导；两列点的导函数值分别为 −1、1。观察窗口只改变采样，不改变导数。

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导数基础 5：高阶导数

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

导数基础 5：高阶导数#

(−1)ne−x(-1)^ne^{-x}(−1)ne−x。

查看分析思路

内层−x每次贡献−1。

查看详细解析

一阶−e⁻ˣ，二阶e⁻ˣ；假设第n阶为 (−1)ne−x(-1)^ne^{-x}(−1)ne−x，下一阶再乘−1，即 (−1)n+1e−x(-1)^{n+1}e^{-x}(−1)n+1e−x。由归纳法成立。

例 4：三角函数的四阶循环#

求（1）sin x；（2）cos x 的n阶导数。

查看答案

（1）sin⁡(x+nπ/2)\sin(x+n\pi/2)sin(x+nπ/2)；（2）cos⁡(x+nπ/2)\cos(x+n\pi/2)cos(x+nπ/2)。

查看分析思路

连续四次求导回到原函数，用相位平移统一表示。

查看详细解析

正弦依次变成cos x、−sin x、−cos x、sin x；余弦依次变成−sin x、−cos x、sin x、cos x。

每求一次导数相当于把相位增加π/2。例如 [sin⁡(x+nπ/2)]′=cos⁡(x+nπ/2)=sin⁡(x+(n+1)π/2)[\sin(x+n\pi/2)]^{\prime}=\cos(x+n\pi/2)=\sin(x+(n+1)\pi/2)[sin(x+nπ/2)]′=cos(x+nπ/2)=sin(x+(n+1)π/2)，故归纳成立；余弦同理。

交互实验：例4：三角函数四阶循环

sin/cos 两个原题分支共享整数阶数。

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例 5：多项式次数逐次降低#

求 xkx^kxk（k为正整数）的n阶导数。

查看答案

y(n)={k!(k−n)!xk−n,1≤n≤k,0,n≥k+1.y^{(n)}=\begin{cases}\dfrac{k!}{(k-n)!}x^{k-n},&1\le n\le k,\\0,&n\ge k+1.\end{cases}y(n)=⎩⎨⎧(k−n)!k!xk−n,0,1≤n≤k,n≥k+1.

查看分析思路

每次系数乘当前幂指数，次数下降一；常数之后才变零。

查看详细解析

逐次得到 kxk−1,k(k−1)xk−2,…kx^{k-1},k(k-1)x^{k-2},\ldotskxk−1,k(k−1)xk−2,…。第n阶系数是n个连续下降因子的乘积，即k!/(k−n)!。n=k时是常数k!；再求导为0。n>k必须分段，不能使用负阶乘。

交互实验：例5：x^k的阶数分界

n=k的常数与n>k的零函数分开。

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x=Asin⁡(ωt+φ)x=A\sin(\omega t+\varphi)x=Asin(ωt+φ)。求（1）速度；（2）加速度；（3）合外力与位移关系，说明运动类型。

查看答案

v=Aωcos⁡(ωt+φ)v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)v=Aωcos(ωt+φ)，a=−Aω2sin⁡(ωt+φ)a=-A\omega^2\sin(\omega t+\varphi)a=−Aω2sin(ωt+φ)，F=−mω2xF=-m\omega^2xF=−mω2x。通常非退化参数下为简谐运动。

查看分析思路

连续求导两次，识别加速度与位移的负比例关系。

查看详细解析

（1）位移求导得到v。（2）再求导得到a，且a=−ω²x。（3）F=ma=−mω²x，指向平衡位置，大小与偏离量成正比，符合简谐振动。若A=0或ω=0，公式仍成立，但为静止的退化情形，不能描述为非平凡振动。

交互实验：随堂练2：由位移确定速度、加速度和合力

原题直接角频率分支，允许ω=0退化对照。

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导数基础 2：两个重要的极限

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

导数基础 2：两个重要的极限#

一、第一重要极限#

1. 数列夹逼定理#

从某项起有 an≤bn≤cna_n\le b_n\le c_nan≤bn≤cn，且 an,cna_n,c_nan,cn 都趋于同一个有限数 AAA，则 bn→Ab_n\to Abn→A。有限个开头项不影响极限。本节先练习数列夹逼，再证明 sin⁡x/x\sin x/xsinx/x 的极限；所有三角函数自变量均为弧度。

例 1：振荡量除以 n#

求 lim⁡n→∞sin⁡n/n\lim_{n\to\infty}\sin n/nlimn→∞sinn/n。

查看答案

000。

查看分析思路

不要求分子单独收敛，只需它有界。

查看详细解析

−1/n≤sin⁡n/n≤1/n-1/n\le\sin n/n\le1/n−1/n≤sinn/n≤1/n，两边趋于零，所以夹逼得到结果。

例 2：项数也在增加的和#

求：（1）lim⁡n→∞∑k=1n1/n2+k\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n1/\sqrt{n^2+k}limn→∞∑k=1n1/n2+k；（2）lim⁡n→∞∑k=1nk/(n2+n+k)\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nk/(n^2+n+k)limn→∞∑k=1nk/(n2+n+k)。

查看答案

（1）111；（2）1/21/21/2。

查看分析思路

先为每项找统一上下界，再求和。不能因为每一项趋零就认定整个和趋零。

查看详细解析

（1）1≤k≤n1\le k\le n1≤k≤n，求和后得

nn2+n≤∑k=1n1n2+k≤nn2+1.\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+k}} \le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.n2+nn≤k=1∑nn2+k1≤n2+1n.

左右分别为 1/1+1/n1/\sqrt{1+1/n}1/1+1/n、1/1+1/n21/\sqrt{1+1/n^2}1/1+1/n2，都趋于 111。

（2）分子为正，可把分母夹在 n2+n+1n^2+n+1n2+n+1 和 n2+2nn^2+2nn2+2n 之间。用 ∑k=n(n+1)/2\sum k=n(n+1)/2∑k=n(n+1)/2，有

n(n+1)2(n2+2n)≤∑k=1nkn2+n+k≤n(n+1)2(n2+n+1).\frac{n(n+1)}{2(n^2+2n)}\le\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+n+k} \le\frac{n(n+1)}{2(n^2+n+1)}.2(n2+2n)n(n+1)≤k=1∑nn2+n+kk≤2(n2+n+1)n(n+1).

两端都趋于 1/21/21/2，故结论成立。

交互实验：例2：项数增加与和式夹逼

总和按全部n项实算，图仅抽样最多120条带；每项趋零与项数增长共同决定和，不能交换无限过程。

打开本题交互实验

对 x≥0x\ge0x≥0，定义 f(x)=lim⁡n→∞[1+xn+(x2/2)n]1/nf(x)=\lim_{n\to\infty}[1+x^n+(x^2/2)^n]^{1/n}f(x)=limn→∞[1+xn+(x2/2)n]1/n，求值域并画大致图像。

查看答案

f(x)=max⁡{1,x,x2/2}={1,0≤x<1,x,1≤x<2,x2/2,x≥2.f(x)=\max\{1,x,x^2/2\}=\begin{cases}1,&0\le x<1,\\x,&1\le x<2,\\x^2/2,&x\ge2. \end{cases}f(x)=max{1,x,x2/2}=⎩⎨⎧1,x,x2/2,0≤x<1,1≤x<2,x≥2.

值域 [1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞)。

查看分析思路

对每个固定 x 应用最大底数结论，再比较三个底数。

查看详细解析

0≤x≤10\le x\le10≤x≤1 时最大底数为 111；1≤x≤21\le x\le21≤x≤2 时 x≥1x\ge1x≥1 且 x≥x2/2x\ge x^2/2x≥x2/2；x≥2x\ge2x≥2 时 x2/2≥x≥1x^2/2\ge x\ge1x2/2≥x≥1。在两个连接点公式一致，故图像连续；最后一段无界增加，得到值域。

分段极限函数的图像

图示：水平线段、直线段、抛物线段依次连接。本极限对每个固定 x 求取，不让 x 与 n 任意同步变化。

交互实验：随堂练2：最大底数与分段包络

固定x后改变n，避免将同步变化误当逐点极限；比例缩放防止大幂溢出。例4实例固定底数1<2<3。

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2. 函数夹逼定理与正弦极限#

在某去心邻域中有 u(x)≤h(x)≤v(x)u(x)\le h(x)\le v(x)u(x)≤h(x)≤v(x)，且 u,v→Au,v\to Au,v→A，则 h→Ah\to Ah→A。

第一重要极限：lim⁡x→0sin⁡x/x=1\boxed{\lim_{x\to0}\sin x/x=1}x→0limsinx/x=1。

证明补写：单位圆中，0<x<π/20<x<\pi/20<x<π/2 时内接三角形、扇形、外切三角形面积依次为 sin⁡x/2,x/2,tan⁡x/2\sin x/2,x/2,\tan x/2sinx/2,x/2,tanx/2。所以 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x<x<\tan xsinx<x<tanx，进而

cos⁡x<sin⁡xx<1.\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.cosx<xsinx<1.

正侧两端趋于 111。由于 sin⁡(−x)/(−x)=sin⁡x/x\sin(-x)/(-x)=\sin x/xsin(−x)/(−x)=sinx/x，负侧结果相同。弧度是扇形面积能写成 x/2x/2x/2 的关键，不能把角度数直接当作弧度数。

例 5：第一重要极限的三个变形#

求 x→0x\to0x→0 时：（1）tan⁡x/x\tan x/xtanx/x；（2）(1−cos⁡x)/x2(1-\cos x)/x^2(1−cosx)/x2；（3）arcsin⁡x/x\arcsin x/xarcsinx/x。

查看答案

依次为 1,1/2,11,1/2,11,1/2,1。

查看分析思路

正切拆分，余弦用半角，反正弦作逆向换元。

查看详细解析

（1）tan⁡x/x=(sin⁡x/x)/cos⁡x→1\tan x/x=(\sin x/x)/\cos x\to1tanx/x=(sinx/x)/cosx→1。

（2）

1−cos⁡xx2=12[sin⁡(x/2)x/2]2→12.\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12\left[\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right]^2\to\frac12.x21−cosx=21[x/2sin(x/2)]2→21.

（3）令 t=arcsin⁡x→0t=\arcsin x\to0t=arcsinx→0，则 x=sin⁡tx=\sin tx=sint，原式为 t/sin⁡t→1t/\sin t\to1t/sint→1。

还可得到 sin⁡x,tan⁡x,arcsin⁡x,arctan⁡x,ex−1,ln⁡(1+x)\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,e^x-1,\ln(1+x)sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ex−1,ln(1+x) 分别与 xxx 的比值趋于 111。反正切可令 t=arctan⁡xt=\arctan xt=arctanx，用 t/tan⁡t→1t/\tan t\to1t/tant→1；指数、对数结论见例 13。等价无穷小用于乘除时很方便，但两项相减时不能未经检查便分别替换。

交互实验：例5：单位圆面积夹逼

零点原比值无定义。单位圆三块面积按实际几何计算；减半角度可观察夹逼间隙缩小。

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随堂练 3：缩放与单侧符号#

（1）lim⁡x→0tan⁡5x/x\lim_{x\to0}\tan5x/xlimx→0tan5x/x；（2）lim⁡x→0+x/1−cos⁡x\lim_{x\to0^+}x/\sqrt{1-\cos x}limx→0+x/1−cosx。

查看答案

（1）555；（2）2\sqrt22。

查看分析思路

匹配自变量；根式化简保留绝对值，再使用右侧条件。

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（1）tan⁡5x/x=5(tan⁡5x/(5x))→5\tan5x/x=5(\tan5x/(5x))\to5tan5x/x=5(tan5x/(5x))→5。

（2）1−cos⁡x=2∣sin⁡(x/2)∣\sqrt{1-\cos x}=\sqrt2|\sin(x/2)|1−cosx=2∣sin(x/2)∣，充分小的 x>0x>0x>0 时正弦为正，因此

x1−cos⁡x=2x/2sin⁡(x/2)→2.\frac{x}{\sqrt{1-\cos x}}=\sqrt2\frac{x/2}{\sin(x/2)}\to\sqrt2.1−cosxx=2sin(x/2)x/2→2.

若改为左侧，结果是 −2-\sqrt2−2。

交互实验：随堂练3：单位圆面积夹逼

零点原比值无定义。单位圆三块面积按实际几何计算；减半角度可观察夹逼间隙缩小。

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二、第二重要极限与自然常数 e#

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例 9：平方根迭代#

a>0,a1>0a>0,a_1>0a>0,a1>0，an+1=(an+a/an)/2a_{n+1}=(a_n+a/a_n)/2an+1=(an+a/an)/2，证明极限存在。

查看答案

极限存在，且等于 a\sqrt aa；从第二项起非增。

查看分析思路

均值不等式给下界，再在该范围内作差。

查看详细解析

各项均正，且 an+1≥an(a/an)=aa_{n+1}\ge\sqrt{a_n(a/a_n)}=\sqrt aan+1≥an(a/an)=a。故对 n≥2n\ge2n≥2，

an+1−an=a−an22an≤0.a_{n+1}-a_n=\frac{a-a_n^2}{2a_n}\le0.an+1−an=2ana−an2≤0.

尾数列非增且有下界，设极限 L≥a>0L\ge\sqrt a>0L≥a>0，则 2L=L+a/L2L=L+a/L2L=L+a/L，得 L=aL=\sqrt aL=a。

递减结论需要检查起始项；a=4,a1=1a=4,a_1=1a=4,a1=1 时 a2=2.5>1a_2=2.5>1a2=2.5>1。初值等于 a\sqrt aa 时是常数数列，不能一律称严格递减。

交互实验：例9：递推第一步与尾部趋势

保留首项与第一步，蛛网实算；例8仅尾部非减，例9仅尾部非增。误差趋小不是收敛证明。

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2. e 的引入#

考虑一个假设性复利模型：本金为 111，名义年利率设为 100%100\%100%，一年分 nnn 次计息，每次增长 1/n1/n1/n，年末本利和为 (1+1/n)n(1+1/n)^n(1+1/n)n。这是数学算例，不是现实收益预测。

n=1,2,4,12,365n=1,2,4,12,365n=1,2,4,12,365 时，值依次为 2,2.25,2.44140625,约 2.61303529,约 2.7145674822,2.25,2.44140625,\text{约 }2.61303529,\text{约 }2.7145674822,2.25,2.44140625,约 2.61303529,约 2.714567482。次数增加并不会使结果无界，它趋于 e=2.718281828459045…e=2.718281828459045\ldotse=2.718281828459045…。下面证明该极限存在。

例 10：从上下夹逼定义 e#

设 en=(1+1/n)ne_n=(1+1/n)^nen=(1+1/n)n，en′=(1+1/n)n+1e_n^{\prime}=(1+1/n)^{n+1}en′=(1+1/n)n+1。撇号在这里是第二个数列的名称，不是导数。

（1）证明：① ene_nen 严格递增且有上界；② en′e_n^{\prime}en′ 严格递减且有下界；③ 两者有共同极限，记作 eee。

（2）证明：① en<e<en′e_n<e<e_n^{\prime}en<e<en′；② 1/(n+1)<ln⁡((n+1)/n)<1/n1/(n+1)<\ln((n+1)/n)<1/n1/(n+1)<ln((n+1)/n)<1/n；③ ∑k=1n1/(k+1)<ln⁡(n+1)<∑k=1n1/k\sum_{k=1}^n1/(k+1)<\ln(n+1)<\sum_{k=1}^n1/k∑k=1n1/(k+1)<ln(n+1)<∑k=1n1/k。

查看答案

六项均成立；两列位于 [2,4][2,4][2,4] 内，其差不超过 4/n4/n4/n。

查看分析思路

相邻项比较使用均值不等式；第二列取倒数比较。共同极限来自差趋零，后续不等式来自取对数与累加。

查看详细解析

（1）① 对 nnn 个 1+1/n1+1/n1+1/n 和一个 111 使用严格均值不等式：

en<(n(1+1/n)+1n+1)n+1=en+1.e_n<\left(\frac{n(1+1/n)+1}{n+1}\right)^{n+1}=e_{n+1}.en<(n+1n(1+1/n)+1)n+1=en+1.

② 记 bn=en′b_n=e_n^{\prime}bn=en′。对 n+1n+1n+1 个 n/(n+1)n/(n+1)n/(n+1) 和一个 111 使用均值不等式：

(nn+1)n+1<((n+1)n/(n+1)+1n+2)n+2=(n+1n+2)n+2.\left(\frac n{n+1}\right)^{n+1} <\left(\frac{(n+1)n/(n+1)+1}{n+2}\right)^{n+2} =\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}.(n+1n)n+1<(n+2(n+1)n/(n+1)+1)n+2=(n+2n+1)n+2.

即 1/bn<1/bn+11/b_n<1/b_{n+1}1/bn<1/bn+1，所以 bn+1<bnb_{n+1}<b_nbn+1<bn。又 en<bne_n<b_nen<bn，故 2=e1≤en<bn≤b1=42=e_1\le e_n<b_n\le b_1=42=e1≤en<bn≤b1=4，两列单调有界。

③ bn−en=en/n≤4/n→0b_n-e_n=e_n/n\le4/n\to0bn−en=en/n≤4/n→0，故两列极限相同。

（2）① 固定 nnn，由 en<en+1≤ee_n<e_{n+1}\le een<en+1≤e 与 e≤bn+1<bne\le b_{n+1}<b_ne≤bn+1<bn 得严格夹逼。

② 取自然对数：nln⁡(1+1/n)<1<(n+1)ln⁡(1+1/n)n\ln(1+1/n)<1<(n+1)\ln(1+1/n)nln(1+1/n)<1<(n+1)ln(1+1/n)，除以正数得到题设不等式。

③ 将②对 k=1,…,nk=1,\ldots,nk=1,…,n 累加，中间 ∑ln⁡((k+1)/k)=ln⁡(n+1)\sum\ln((k+1)/k)=\ln(n+1)∑ln((k+1)/k)=ln(n+1)，得到左右调和和式的夹逼。

交互实验：例10：上下数列与指数变形

log1p稳定计算保留实际上下差与理论a_n/n。e参考值是机器常数。α模式仅对应例11(3)(4)(5)，其他小问仍保留正文推导。

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函数形式的第二重要极限#

实数 x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时，令 m=⌊x⌋m=\lfloor x\rfloorm=⌊x⌋，有

(1+1m+1)m≤(1+1x)x≤(1+1m)m+1.\left(1+\frac1{m+1}\right)^m\le\left(1+\frac1x\right)^x\le\left(1+\frac1m\right)^{m+1}.(1+m+11)m≤(1+x1)x≤(1+m1)m+1.

左右均趋 e，故中间也趋 e。若 x→−∞x\to-\inftyx→−∞，令 t=−x−1→+∞t=-x-1\to+\inftyt=−x−1→+∞，则原式等于 (1+1/t)t+1→e(1+1/t)^{t+1}\to e(1+1/t)t+1→e。再令 u=1/xu=1/xu=1/x，得到

lim⁡x→∞(1+1/x)x=e,lim⁡u→0(1+u)1/u=e.\boxed{\lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x=e,\qquad\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e.}x→∞lim(1+1/x)x=e,u→0lim(1+u)1/u=e.

实数幂底数须正。一般地，若 u→0u\to0u→0、uv→Luv\to Luv→L，则 (1+u)v=[(1+u)1/u]uv→eL(1+u)^v=[(1+u)^{1/u}]^{uv}\to e^L(1+u)v=[(1+u)1/u]uv→eL；u=0u=0u=0 的项直接处理，不能除以零。

例 11：数列型第二重要极限#

求 n→∞n\to\inftyn→∞ 时：（1）(1+1/(n+2))n(1+1/(n+2))^n(1+1/(n+2))n；（2）(1+1/(n+1))n−3(1+1/(n+1))^{n-3}(1+1/(n+1))n−3；（3）(1+2/n)n(1+2/n)^n(1+2/n)n；（4）(1−1/n)n(1-1/n)^n(1−1/n)n；（5）(1+k/n)n(1+k/n)^n(1+k/n)n，k∈Zk\in\mathbb Zk∈Z；（6）((n+1)/(n+2))2n+3((n+1)/(n+2))^{2n+3}((n+1)/(n+2))2n+3。

查看答案

依次为 e,e,e2,e−1,ek,e−2e,e,e^2,e^{-1},e^k,e^{-2}e,e,e2,e−1,ek,e−2。

查看分析思路

记录“底数减一”乘以指数的极限。

查看详细解析

各问的 unu_nun 依次为 1/(n+2),1/(n+1),2/n,−1/n,k/n,−1/(n+2)1/(n+2),1/(n+1),2/n,-1/n,k/n,-1/(n+2)1/(n+2),1/(n+1),2/n,−1/n,k/n,−1/(n+2)。

乘上各自指数后，依次得到 n/(n+2)→1n/(n+2)\to1n/(n+2)→1、(n−3)/(n+1)→1(n-3)/(n+1)\to1(n−3)/(n+1)→1、222、−1-1−1、kkk、−(2n+3)/(n+2)→−2-(2n+3)/(n+2)\to-2−(2n+3)/(n+2)→−2，故应用上面的统一变形得到答案。

第（5）问 k=0k=0k=0 时原式恒为 1=e01=e^01=e0，单独处理；负 kkk 时从充分大的 n 起底数为正，有限个开头项不影响极限。

交互实验：例11：上下数列与指数变形

log1p稳定计算保留实际上下差与理论a_n/n。e参考值是机器常数。α模式仅对应例11(3)(4)(5)，其他小问仍保留正文推导。

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随堂练 4：分母移位与指数匹配#

求 n→∞n\to\inftyn→∞ 时：（1）(1+1/(n−3))n(1+1/(n-3))^n(1+1/(n−3))n；（2）(1−1/(n−2))n(1-1/(n-2))^n(1−1/(n−2))n；（3）((n+1)/(n+2))n((n+1)/(n+2))^n((n+1)/(n+2))n；（4）(1+1/(2n2))4n2(1+1/(2n^2))^{4n^2}(1+1/(2n2))4n2；（5）(1−3/n)n(1-3/n)^n(1−3/n)n。

查看答案

依次为 e,e−1,e−1,e2,e−3e,e^{-1},e^{-1},e^2,e^{-3}e,e−1,e−1,e2,e−3。

查看分析思路

方法与例 11 相同，注意一些开头项没有定义。

查看详细解析

“底数减一 × 指数”依次为

nn−3→1,−nn−2→−1,−nn+2→−1,2,−3.\frac n{n-3}\to1,\quad-\frac n{n-2}\to-1,\quad-\frac n{n+2}\to-1,\quad2,\quad-3.n−3n→1,−n−2n→−1,−n+2n→−1,2,−3.

代入 eLe^LeL 即得答案。第（1）（2）（5）问可统一从 n≥4n\ge4n≥4 起考虑，不影响极限。

例 12：函数型第二重要极限#

（1）lim⁡x→∞(1−1/x)x\lim_{x\to\infty}(1-1/x)^xlimx→∞(1−1/x)x；（2）lim⁡x→0(1+3x)1/x\lim_{x\to0}(1+3x)^{1/x}limx→0(1+3x)1/x；（3）lim⁡x→∞(1−1/x2)x\lim_{x\to\infty}(1-1/x^2)^xlimx→∞(1−1/x2)x；（4）lim⁡x→0(1+tan⁡x)cot⁡x\lim_{x\to0}(1+\tan x)^{\cot x}limx→0(1+tanx)cotx；（5）lim⁡x→0(1+2x)1/sin⁡x\lim_{x\to0}(1+2x)^{1/\sin x}limx→0(1+2x)1/sinx。

查看答案

依次为 e−1,e3,1,e,e2e^{-1},e^3,1,e,e^2e−1,e3,1,e,e2。

查看分析思路

参数是连续实数，使用已经证明的函数形式；底数减一的阶数很关键。

查看详细解析

（1）u=−1/xu=-1/xu=−1/x，xu=−1xu=-1xu=−1，极限为 e−1e^{-1}e−1，两个无穷方向均成立。

（2）令 u=3xu=3xu=3x，原式为 [(1+u)1/u]3→e3[(1+u)^{1/u}]^3\to e^3[(1+u)1/u]3→e3。

（3）u=−1/x2u=-1/x^2u=−1/x2，xu=−1/x→0xu=-1/x\to0xu=−1/x→0；在 ∣x∣>1|x|>1∣x∣>1 底数为正，故趋于 e0=1e^0=1e0=1。

（4）令 u=tan⁡xu=\tan xu=tanx，cot⁡x=1/u\cot x=1/ucotx=1/u，直接得到 e。

（5）原式为 [(1+2x)1/(2x)]2x/sin⁡x[(1+2x)^{1/(2x)}]^{2x/\sin x}[(1+2x)1/(2x)]2x/sinx，内层趋 e，外指数趋 222，故结果为 e2e^2e2。

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

导数基础 6：洛必达法则#

一、洛必达第一法则：0/0型#

分子分母都趋于零时，不能直接套商的极限法则，这称为0/0型不定型；无穷比无穷型类似。不定型是结构分类，不是可以计算的数。

导入算例：(1−ex)/sin⁡x(1-e^x)/\sin x(1−ex)/sinx 的分子求导时需保留负号：

lim⁡x→01−exsin⁡x=lim⁡x→0−excos⁡x=−1,\lim_{x\to0}\frac{1-e^x}{\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{-e^x}{\cos x}=-1,x→0limsinx1−ex=x→0limcosx−ex=−1,

另一个算例 lim⁡x→+∞x/2x=lim⁡1/(2xln⁡2)=0\lim_{x\to+\infty}x/2^x=\lim1/(2^x\ln2)=0limx→+∞x/2x=lim1/(2xln2)=0 正确。

定理1-1：有限点的单侧0/0型#

f、g在(x0,x0+δ)(x_0,x_0+\delta)(x0,x0+δ)可导，都在x→x0+x\to x_0^+x→x0+时趋零，且区间内g’≠0。如果f′/g′→Af'/g'\to Af′/g′→A，其中A为有限实数或有符号的±∞，则f/g→Af/g\to Af/g→A。左侧同理；双侧要分别满足条件并得到同一结果。充分靠近目标点时分母亦不为零：连续补g(x₀)=0，再用中值定理可排除另一个零点。

一般证明需要柯西中值定理；下列计算逐项检查条件，不把图像直觉当成一般定理的证明。

使用顺序：先判断不定型，再分别求导，再检查导数比的极限；再次使用前，对新分子分母重新检查。不能对任何分式不加条件地连续求导。

例 1：指数差与反正切余项#

（1）lim⁡x→0(2x−3x)/x\lim_{x\to0}(2^x-3^x)/xlimx→0(2x−3x)/x；（2）lim⁡x→0(x−arctan⁡x)/x3\lim_{x\to0}(x-\arctan x)/x^3limx→0(x−arctanx)/x3。

查看答案

（1）ln⁡(2/3)\ln(2/3)ln(2/3)；（2）1/3。

查看分析思路

两题均为0/0型；第二题一次求导后先约分，不必机械求三阶。

查看详细解析

（1）分母导数为1；分子导数为2xln⁡2−3xln⁡32^x\ln2-3^x\ln32xln2−3xln3，极限ln⁡2−ln⁡3=ln⁡(2/3)\ln2-\ln3=\ln(2/3)ln2−ln3=ln(2/3)，故原极限相同。

（2）去心邻域中分母导数3x²≠0：

1−1/(1+x2)3x2=13(1+x2)→13.\frac{1-1/(1+x^2)}{3x^2}=\frac1{3(1+x^2)}\to\frac13.3x21−1/(1+x2)=3(1+x2)1→31.

所以原极限为1/3。约分只用于x≠0。

交互实验：例1：指数差与反正切余项的求导链

含两个实际小问，默认反正切分支；可切换指数差。

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随堂练 1：五个基本一阶极限#

求x→0时：（1）tan x/x；（2）arctan x/x；（3）arcsin x/x；（4）ln(1+x)/x；（5）(e^x−1)/x 的极限。

查看答案

全部为1；第（3）问中，反正弦求导为 1/1−x21/\sqrt{1-x^2}1/1−x2。

查看分析思路

分母导数均为1；分子导数在零点附近趋于1。

查看详细解析

分别求导后的比值为

sec⁡2x,11+x2,11−x2,11+x,ex,\sec^2x,\quad\frac1{1+x^2},\quad\frac1{\sqrt{1-x^2}},\quad\frac1{1+x},\quad e^x,sec2x,1+x21,1−x21,1+x1,ex,

均趋于1。各题在适当去心邻域可导，且原分子分母均趋零。第（4）问原中间式已经是1/(1+x)，最后误填0，应为1。

逻辑顺序：这些极限在前讲已经独立建立，用于证明导数公式。本练习是在导数理论成立后重新计算，不可反过来用于证明同一导数公式而形成循环。

等价无穷小：x,sin⁡x,tan⁡x,arcsin⁡x,arctan⁡x,ln⁡(1+x),ex−1x,\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln(1+x),e^x-1x,sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln(1+x),ex−1 任取两个相除，在x→0时趋于1。因为它们各自除以x都趋于1，两式相除即得。

交互实验：随堂练1：基本极限的局部线性观察

用2sin x和e^x−1作代表，其他三题见对应证明。

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交互实验：随堂练1(4)：末步答案与导入负号纠错

默认展示本题的对数分支。

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例 2：余弦作差#

求 lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x2\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2limx→0(1−cosx)/x2。

查看答案

1/2。

查看分析思路

一次洛必达后即可使用正弦重要极限；也可再验证条件后求导一次。

查看详细解析

原式0/0型，分母导数2x在去心邻域非零，所以

lim⁡1−cos⁡xx2=lim⁡sin⁡x2x=12.\lim\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim\frac{\sin x}{2x}=\frac12.limx21−cosx=lim2xsinx=21.

若再次用洛必达，新式仍为0/0，分母导数2非零，导数比cos x/2也趋1/2。

交互实验：例2：余弦作差的条件检查

当前原式与一阶导数比并非有限点恒等。

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交互实验：例2：零斜率切线不确定比值极限

两条切线都是y=0，但原比值仍趋1/2。

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随堂练 2：正弦的三阶余项#

求 lim⁡x→0(x−sin⁡x)/x3\lim_{x\to0}(x-\sin x)/x^3limx→0(x−sinx)/x3。

查看答案

1/6。

查看分析思路

每次检查新式是否仍是0/0，注意系数累计。

查看详细解析

lim⁡x−sin⁡xx3=lim⁡1−cos⁡x3x2=lim⁡sin⁡x6x=16.\lim\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim\frac{\sin x}{6x}=\frac16.limx3x−sinx=lim3x21−cosx=lim6xsinx=61.

两次使用时对应分母导数3x²、6x在去心邻域非零；最后利用sin x/x→1，或再求导一次得cos x/6→1/6。

交互实验：随堂练2：正弦三阶余项的条件链

每个整数阶段核对新式类型。

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第一法则的几何解释#

f(x)=2sin⁡xf(x)=2\sin xf(x)=2sinx、g(x)=ex−1g(x)=e^x-1g(x)=ex−1在零点局部放大时接近切线y=2xy=2xy=2x、y=xy=xy=x。

四档局部放大图

本例f(0)=g(0)=0f(0)=g(0)=0f(0)=g(0)=0，f′(0)=2,g′(0)=1f'(0)=2,g'(0)=1f′(0)=2,g′(0)=1，所以f(x)/g(x)=[f(x)/x]/[g(x)/x]→2f(x)/g(x)=[f(x)/x]/[g(x)/x]\to2f(x)/g(x)=[f(x)/x]/[g(x)/x]→2。这是非零一阶系数情形的解释。若两个导数都为零，直接写f’(0)/g’(0)仍是0/0，不能当作一般证明。

定理1-2：无穷远的0/0型#

f、g在(a,+∞)(a,+\infty)(a,+∞)可导且均趋零，g’≠0，若f’/g’→A，则f/g→A。令t=1/x，把正无穷转为t→0⁺，两个复合导数中公共因子−1/t²相消，即归结于定理1-1。负无穷版本类似。

例 3：趋近水平渐近线的速度#

求 lim⁡x→+∞(π/2−arctan⁡x)/(1/x)\lim_{x\to+\infty}(\pi/2-\arctan x)/(1/x)limx→+∞(π/2−arctanx)/(1/x)。

查看答案

1。

查看分析思路

分子分母在无穷远都趋零，不是无穷比无穷型。

查看详细解析

分子导数−1/(1+x²)，分母导数−1/x²非零，相除为x²/(1+x²)→1。两个负号相消，因此原极限为1。

二、洛必达第二法则：分母趋于无穷#

定理2-1#

f、g在(a,+∞)(a,+\infty)(a,+∞)可导，g趋于+∞或−∞，g’≠0。若f’/g’→A（有限或有符号无穷），则f/g→A。负无穷及合适的单侧版本类似。

虽然标题称“∞/∞型”，原定理正文的这一较强版本只要求分母无界，不另要求分子也有无穷极限。不要把标题当成比定理本身更强的必要条件。

例 4：对数、幂与指数的增长#

求x→+∞时：（1）ln x/x²；（2）x²/2^x；（3）log_a x/x^k，k>0；（4）x^k/a^x，a>1且k>0。第（3）问对数需a>0且a≠1。

查看答案

四问均为0。

查看分析思路

对数求导降为负幂，指数求导保持形状。非整数幂用整数幂上界，不写非法阶乘。

查看详细解析

（1）导数比为(1/x)/(2x)=1/(2x²)→0。

（2）求导两次分别得到 2x/(2xln⁡2)2x/(2^x\ln2)2x/(2xln2) 与 2/[2x(ln⁡2)2]2/[2^x(\ln2)^2]2/[2x(ln2)2]，后者趋零，每次分母导数非零且满足无穷型条件。

（3）导数比为 [1/(xln⁡a)]/(kxk−1)=1/(kxkln⁡a)→0[1/(x\ln a)]/(kx^{k-1})=1/(kx^k\ln a)\to0[1/(xlna)]/(kxk−1)=1/(kxklna)→0。a<1时分子趋负无穷，结果仍为零。

（4）先对正整数m使用m次洛必达，得m!/[ax(ln⁡a)m]→0m!/[a^x(\ln a)^m]\to0m!/[ax(lna)m]→0。对任意实数k>0，取整数m≥k；x≥1时0≤xk/ax≤xm/ax0\le x^k/a^x\le x^m/a^x0≤xk/ax≤xm/ax，夹逼得零。

交互实验：例4拓展：洛必达不能逆向推断

正文拓展反例，非原题作答要求。

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交互实验：例4：四问增长比较的数值观察

参数初值对应(1)(2)，一般底数对数为固定倍数；(3)(4)按固定k解释。

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增长比较与第二法则的直觉#

上述“指数快于幂，幂快于对数”指无穷远的比值关系，不保证每个小x都按同一大小顺序排列。

x	10	100	1000
ln x	约2.3	约4.6	约6.9
√x	约3.2	10	约31.6
x²	100	10⁴	10⁶
e^x	约2.20×1042.20\times10^42.20×104	约2.69×10432.69\times10^{43}2.69×1043	约1.97×104341.97\times10^{434}1.97×10434

若额外有f’→k₁、g’→k₂且两者为非零有限数，可把增长理解为分别接近斜率k₁、k₂的线性尺度，从而f/g→k₁/k₂。这不是一般证明；斜率为零、无穷或单个导数不收敛时，不能直接套这一图形解释。

线性增长尺度示意；仅适用于所述非零有限斜率条件

定理2-2：有限点的分母无穷型#

f、g在某一侧去心邻域可导，g→±∞、g’≠0，且f’/g’→A，则f/g→A。令t=1/(x−x0)t=1/(x-x_0)t=1/(x−x0)，使x=x0+1/tx=x_0+1/tx=x0+1/t，复合导数中的−1/t²相消，可归结为无穷远版本。双侧结果仍要分别核对。

例 5：两个对数趋于负无穷#

求 lim⁡x→0+ln⁡(sin⁡3x)/ln⁡(sin⁡2x)\lim_{x\to0^+}\ln(\sin3x)/\ln(\sin2x)limx→0+ln(sin3x)/ln(sin2x)。

查看答案

1。

查看分析思路

对数真数先确保为正；求导后使用正弦重要极限。

查看详细解析

充分小的x>0使两个正弦均正、cos2x非零。两对数均趋−∞，分母导数2cot2x非零，故

lim⁡3cot⁡3x2cot⁡2x=32lim⁡sin⁡2xsin⁡3xlim⁡cos⁡3xcos⁡2x=32⋅23⋅1=1.\lim\frac{3\cot3x}{2\cot2x} =\frac32\lim\frac{\sin2x}{\sin3x}\lim\frac{\cos3x}{\cos2x} =\frac32\cdot\frac23\cdot1=1.lim2cot2x3cot3x=23limsin3xsin2xlimcos2xcos3x=23⋅32⋅1=1.

不能仅凭内部系数3与2便误判为3/2。

随堂练 3：单侧与双侧的区别#

（1）lim⁡x→π/2tan⁡x/tan⁡3x\lim_{x\to\pi/2}\tan x/\tan3xlimx→π/2tanx/tan3x；（2）lim⁡x→0+ln⁡x/ln⁡(sin⁡x)\lim_{x\to0^+}\ln x/\ln(\sin x)limx→0+lnx/ln(sinx)。

查看答案

（1）3；（2）1。

查看分析思路

第一问要检查左右结果一致；第二问求导后回到sin x/x。

查看详细解析

（1）在左右小去心邻域分别使用无穷型法则，导数比为

sec⁡2x3sec⁡23x=13(cos⁡3xcos⁡x)2.\frac{\sec^2x}{3\sec^23x}=\frac13\left(\frac{\cos3x}{\cos x}\right)^2.3sec23xsec2x=31(cosxcos3x)2.

因cos⁡3x/cos⁡x=4cos⁡2x−3→−3\cos3x/\cos x=4\cos^2x-3\to-3cos3x/cosx=4cos2x−3→−3，两侧都得到3，故双侧极限为3。

（2）两对数均趋−∞，导数比为 (1/x)/(cos⁡x/sin⁡x)=sin⁡x/(xcos⁡x)→1(1/x)/(\cos x/\sin x)=\sin x/(x\cos x)\to1(1/x)/(cosx/sinx)=sinx/(xcosx)→1。

补充：两种常见误用#

导数比没有极限，不代表原比值没有极限。例如在 x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时，(x+sin⁡x)/x→1(x+\sin x)/x\to1(x+sinx)/x→1，但导数比1+cos⁡x1+\cos x1+cosx不收敛；只能说不能这样直接用洛必达。

“分别求导得到f’/g’”也不是“对商求导”。商的导数为(f′g−fg′)/g2(f'g-fg')/g^2(f′g−fg′)/g2，与洛必达中的式子不同。后者只有在定理条件下才能替代原极限。

导数基础 1：函数的极限

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

导数基础 1：函数的极限#

一、函数极限#

1. 自变量趋于无穷#

当 x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时，若 f(x)f(x)f(x) 趋近有限常数 AAA，记为 lim⁡x→+∞f(x)=A\lim_{x\to+\infty}f(x)=Alimx→+∞f(x)=A；负无穷方向类似。例如

lim⁡x→+∞x+1x=1,lim⁡x→−∞arctan⁡x=−π2.\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x}=1,\qquad \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac\pi2.x→+∞limxx+1=1,x→−∞limarctanx=−2π.

记号约定：x→∞x\to\inftyx→∞ 表示 ∣x∣→∞|x|\to\infty∣x∣→∞，要求正、负无穷方向有相同的极限：

lim⁡x→∞f(x)=A ⟺ lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→−∞f(x)=A.\lim_{x\to\infty}f(x)=A \iff \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=A.x→∞limf(x)=A⟺x→+∞limf(x)=x→−∞limf(x)=A.

如 (2x−1)/x=2−1/x(2x-1)/x=2-1/x(2x−1)/x=2−1/x 在两端都趋于 222。注意区分 ∞\infty∞ 和 +∞+\infty+∞。

计算方法：有理式比较最高次幂；根式作差有理化；有界量乘趋零量用夹逼。无穷大不是一个可以像实数一样代入和四则运算的数。

例 1：三个无穷远极限#

（1）lim⁡x→∞−2x2+x−13x2−x+2\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{-2x^2+x-1}{3x^2-x+2}x→∞lim3x2−x+2−2x2+x−1；（2）lim⁡x→∞(x2+1−x2)\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2})x→∞lim(x2+1−x2)；（3）lim⁡x→+∞sin⁡xx\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}x→+∞limxsinx。

查看答案

依次为 −2/3,0,0-2/3,0,0−2/3,0,0。

查看分析思路

依次使用最高次项、有理化、夹逼；第二问必须保留 x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|x2=∣x∣。

查看详细解析

（1）分子分母同除以 x2x^2x2，得

−2+1/x−1/x23−1/x+2/x2→−23.\frac{-2+1/x-1/x^2}{3-1/x+2/x^2}\to-\frac23.3−1/x+2/x2−2+1/x−1/x2→−32.

（2）有理化得到

x2+1−∣x∣=1x2+1+∣x∣→0.\sqrt{x^2+1}-|x|=\frac1{\sqrt{x^2+1}+|x|}\to0.x2+1−∣x∣=x2+1+∣x∣1→0.

分母在两个方向都趋于正无穷，不能把负无穷方向的 ∣x∣|x|∣x∣ 写成 xxx。

（3）x>0x>0x>0 时 −1/x≤sin⁡x/x≤1/x-1/x\le\sin x/x\le1/x−1/x≤sinx/x≤1/x，两端均趋于零，夹逼得极限为零。分子自身没有极限不妨碍整个商收敛。

例 2：两端不同，整体极限不存在#

判断 lim⁡x→∞1/(1+2x)\lim_{x\to\infty}1/(1+2^x)limx→∞1/(1+2x) 是否存在。

查看答案

不存在：正无穷方向趋于 000，负无穷方向趋于 111。

查看分析思路

按本讲义的双向无穷约定分别计算。

查看详细解析

x→+∞x\to+\inftyx→+∞ 时 2x→+∞2^x\to+\infty2x→+∞，倒数式趋于零；x→−∞x\to-\inftyx→−∞ 时 2x→02^x\to02x→0，倒数式趋于 111。两个方向结果不同，因此不存在共同极限。

交互实验：例2：比较左右极限

比较实际左右函数值；单侧读数不能证明双侧极限。下溢为零属于机器精度，不表示有限输入已取到极限。

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指数函数与数列的使用条件#

若 ∣g(x)∣≤M|g(x)|\le M∣g(x)∣≤M，且 f(x)→0f(x)\to0f(x)→0，则 ∣f(x)g(x)∣≤M∣f(x)∣→0|f(x)g(x)|\le M|f(x)|\to0∣f(x)g(x)∣≤M∣f(x)∣→0，所以乘积趋于零。

实指数函数 axa^xax 需 a>0a>0a>0，其极限分类为

lim⁡x→+∞ax={0,0<a<1,1,a=1,+∞,a>1.\lim_{x\to+\infty}a^x=\begin{cases}0,&0<a<1,\\1,&a=1,\\+\infty,&a>1.\end{cases}x→+∞limax=⎩⎨⎧0,1,+∞,0<a<1,a=1,a>1.

最后一项是无穷发散，不是有限极限。若改为整数指标数列 ana^nan，才可讨论负底数：∣a∣<1|a|<1∣a∣<1 时趋零；a=−1a=-1a=−1 时振荡；a<−1a<-1a<−1 时振荡且绝对值无界。

随堂练 1：无穷远极限计算#

（1）lim⁡x→+∞arctan⁡x\lim_{x\to+\infty}\arctan xlimx→+∞arctanx；（2）lim⁡x→∞1/x2\lim_{x\to\infty}1/x^2limx→∞1/x2；（3）lim⁡x→−∞2x\lim_{x\to-\infty}2^xlimx→−∞2x；（4）lim⁡x→+∞(x+1−x)\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt x)limx→+∞(x+1−x)；（5）lim⁡x→−∞cos⁡2x/x\lim_{x\to-\infty}\cos^2x/xlimx→−∞cos2x/x；（6）lim⁡x→∞4x4+x3−2x2+x−13x4−2x3+x2−5\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x^4+x^3-2x^2+x-1}{3x^4-2x^3+x^2-5}x→∞lim3x4−2x3+x2−54x4+x3−2x2+x−1；（7）lim⁡x→+∞x2+x/x\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}/xlimx→+∞x2+x/x。

查看答案

依次为 π/2,0,0,0,0,4/3,1\pi/2,0,0,0,0,4/3,1π/2,0,0,0,0,4/3,1。

查看分析思路

前几问识别函数趋势，后几问将表达式改为标准可取极限的形式。

查看详细解析

（1）反正切在正无穷方向趋于其值域上端 π/2\pi/2π/2。（2）x2→+∞x^2\to+\inftyx2→+∞，倒数趋于零。（3）令 u=−x→+∞u=-x\to+\inftyu=−x→+∞，2x=2−u→02^x=2^{-u}\to02x=2−u→0。

（4）有理化：x+1−x=1/(x+1+x)→0\sqrt{x+1}-\sqrt x=1/(\sqrt{x+1}+\sqrt x)\to0x+1−x=1/(x+1+x)→0。

（5）∣cos⁡2x/x∣≤1/∣x∣→0|\cos^2x/x|\le1/|x|\to0∣cos2x/x∣≤1/∣x∣→0。

（6）同除以 x4x^4x4 后，分子趋于 444、分母趋于 333，故比值趋于 4/34/34/3。

（7）在 x>0x>0x>0 时 x2+x/x=1+1/x→1\sqrt{x^2+x}/x=\sqrt{1+1/x}\to1x2+x/x=1+1/x→1。若改成负无穷方向，结果为 −1-1−1，因此原题的正号不能省略。

2. 自变量趋于有限点、左极限与右极限#

fff 在 x0x_0x0 的某个去心邻域内有定义。若 x→x0x\to x_0x→x0、x≠x0x\ne x_0x=x0 时 f(x)→Af(x)\to Af(x)→A，记为 lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\to x_0}f(x)=Alimx→x0f(x)=A。极限不要求 f(x0)f(x_0)f(x0) 本身有定义。例如

lim⁡x→3x2−9x−3=lim⁡x→3(x+3)=6.\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6.x→3limx−3x2−9=x→3lim(x+3)=6.

只从 x<x0x<x_0x<x0 或 x>x0x>x_0x>x0 趋近，分别记 x→x0−x\to x_0^-x→x0−、x→x0+x\to x_0^+x→x0+。双侧有限极限存在，当且仅当两侧极限存在且相等。

例如

f(x)={x+1,x>0,x2,x≤0f(x)=\begin{cases}x+1,&x>0,\\x^2,&x\le0\end{cases}f(x)={x+1,x2,x>0,x≤0

的正确结论为 lim⁡x→0−f(x)=0\lim_{x\to0^-}f(x)=0limx→0−f(x)=0、lim⁡x→0+f(x)=1\lim_{x\to0^+}f(x)=1limx→0+f(x)=1。左右极限不同，因此双侧极限不存在。

例 3：单侧指数与消去零因子#

（1）求 lim⁡x→0−101/x\lim_{x\to0^-}10^{1/x}limx→0−101/x；（2）求 lim⁡x→1(x3−1)/(x−1)\lim_{x\to1}(x^3-1)/(x-1)limx→1(x3−1)/(x−1)。

查看答案

（1）000；（2）333。

查看分析思路

第一问先分析内层，第二问先因式分解。

查看详细解析

（1）x→0−x\to0^-x→0− 时 1/x→−∞1/x\to-\infty1/x→−∞，所以 101/x→010^{1/x}\to0101/x→0。右极限则为 +∞+\infty+∞。

（2）x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)x3−1=(x−1)(x2+x+1)。在去心邻域 x≠1x\ne1x=1 可以约分，随后取极限得 1+1+1=31+1+1=31+1+1=3。这不是在 x=1x=1x=1 处做除以零运算。

交互实验：例3：去心极限与中心值

空心点保持原式的去心定义域；补值实验为拓展。跳跃模型任何补值都不能恢复双侧连续。

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例 4：复合函数的左右极限#

求 lim⁡x→01/(1+101/x)\lim_{x\to0}1/(1+10^{1/x})limx→01/(1+101/x)。

查看答案

左极限为 111、右极限为 000，双侧极限不存在。

查看分析思路

依次跟踪倒数、指数、外层分式。

查看详细解析

左侧 1/x→−∞1/x\to-\infty1/x→−∞，指数趋零，外层趋 111；右侧 1/x→+∞1/x\to+\infty1/x→+∞，指数趋正无穷，外层趋零。两侧不相等。即便另行规定该函数在零点的值，也不能改变此结论。

交互实验：例4：比较左右极限

比较实际左右函数值；单侧读数不能证明双侧极限。下溢为零属于机器精度，不表示有限输入已取到极限。

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随堂练 2：有限点的极限#

（1）lim⁡x→−1(5x+2)\lim_{x\to-1}(5x+2)limx→−1(5x+2)；（2）lim⁡x→4x\lim_{x\to4}\sqrt xlimx→4x；（3）lim⁡x→2x2\lim_{x\to2}x^2limx→2x2；（4）lim⁡x→5(x2−6x+5)/(x−5)\lim_{x\to5}(x^2-6x+5)/(x-5)limx→5(x2−6x+5)/(x−5)；（5）lim⁡x→0cos⁡x\lim_{x\to0}\cos xlimx→0cosx；（6）lim⁡x→9log⁡3x\lim_{x\to9}\log_3xlimx→9log3x；（7）lim⁡x→2+1/(2+31/(x−2))\lim_{x\to2^+}1/(2+3^{1/(x-2)})limx→2+1/(2+31/(x−2))；（8）同一函数在 x→2−x\to2^-x→2− 时的极限。

查看答案

依次为 −3,2,4,4,1,2,0,1/2-3,2,4,4,1,2,0,1/2−3,2,4,4,1,2,0,1/2。

查看分析思路

连续且有定义的地方代入；零分母处先化简或分侧。

查看详细解析

（1）—（3）对应函数在目标点连续，代入得 −3,2,4-3,2,4−3,2,4。

（4）分子为 (x−1)(x−5)(x-1)(x-5)(x−1)(x−5)，约分后趋于 5−1=45-1=45−1=4。（5）cos⁡0=1\cos0=1cos0=1。（6）log⁡39=2\log_39=2log39=2。

（7）右侧 1/(x−2)→+∞1/(x-2)\to+\infty1/(x−2)→+∞，分母趋正无穷，商趋零。

（8）左侧 1/(x−2)→−∞1/(x-2)\to-\infty1/(x−2)→−∞，指数趋零，分母趋于 222，商趋于 1/21/21/2。

交互实验：随堂练2：比较左右极限

比较实际左右函数值；单侧读数不能证明双侧极限。下溢为零属于机器精度，不表示有限输入已取到极限。

打开本题交互实验

3. 函数值趋于无穷#

lim⁡x→0+1/x=+∞\lim_{x\to0^+}1/x=+\inftylimx→0+1/x=+∞，lim⁡x→0−1/x=−∞\lim_{x\to0^-}1/x=-\inftylimx→0−1/x=−∞。双侧 1/x1/x1/x 趋于无符号 ∞\infty∞ 表示绝对值无界增大。这一记号既不是有限实数极限，也不是两侧同号的扩充实数极限。运算时必须分清正负方向。

随堂练 3：无穷极限的符号#

（1）lim⁡x→0+log⁡2x\lim_{x\to0^+}\log_2xlimx→0+log2x；（2）lim⁡x→0+log⁡1/3x\lim_{x\to0^+}\log_{1/3}xlimx→0+log1/3x；（3）lim⁡x→−∞(1/2)x\lim_{x\to-\infty}(1/2)^xlimx→−∞(1/2)x；（4）lim⁡x→π/2tan⁡x\lim_{x\to\pi/2}\tan xlimx→π/2tanx；（5）lim⁡x→+∞(−x3+4x2+18x+2)\lim_{x\to+\infty}(-x^3+4x^2+18x+2)limx→+∞(−x3+4x2+18x+2)。

查看答案

（1）−∞-\infty−∞；（2）+∞+\infty+∞；（3）+∞+\infty+∞；（4）左 +∞+\infty+∞、右 −∞-\infty−∞；（5）−∞-\infty−∞。

查看分析思路

底数小于一会改变对数的方向；正切在渐近线两侧符号不同。

查看详细解析

（1）log⁡2x=ln⁡x/ln⁡2\log_2x=\ln x/\ln2log2x=lnx/ln2，分母为正，分子趋负无穷。

（2）ln⁡(1/3)<0\ln(1/3)<0ln(1/3)<0，所以 log⁡1/3x=ln⁡x/ln⁡(1/3)→+∞\log_{1/3}x=\ln x/\ln(1/3)\to+\inftylog1/3x=lnx/ln(1/3)→+∞。也可取 x=3−nx=3^{-n}x=3−n，对数恰为 n→+∞n\to+\inftyn→+∞。

（3）(1/2)x=2−x(1/2)^x=2^{-x}(1/2)x=2−x，−x→+∞-x\to+\infty−x→+∞。

（4）正弦趋于 111；余弦在左侧趋于 0+0^+0+、右侧趋于 0−0^-0−，故分别为正、负无穷。无符号 ∞\infty∞ 仅指绝对值趋势。

（5）提出 x3x^3x3，括号为 −1+4/x+18/x2+2/x3→−1-1+4/x+18/x^2+2/x^3\to-1−1+4/x+18/x2+2/x3→−1，乘上趋于正无穷的 x3x^3x3，故结果为负无穷。

交互实验：随堂练3：对数底数与无穷符号

底数1严格无定义；正切两侧为符号相反的无穷。

打开本题交互实验

二、极限的运算法则#

若在同一过程中 f→A,g→Bf\to A,g\to Bf→A,g→B，且 A,BA,BA,B 为有限数，则 f±g→A±Bf\pm g\to A\pm Bf±g→A±B、fg→ABfg\to ABfg→AB；当 B≠0B\ne0B=0 时，f/g→A/Bf/g\to A/Bf/g→A/B。

复合极限：若 φ(x)→a\varphi(x)\to aφ(x)→a，lim⁡u→af(u)=A\lim_{u\to a}f(u)=Alimu→af(u)=A，且充分靠近目标点的去心邻域内 φ(x)≠a\varphi(x)\ne aφ(x)=a，则 f(φ(x))→Af(\varphi(x))\to Af(φ(x))→A。排除 φ=a\varphi=aφ=a 是因为去心极限不约束 f(a)f(a)f(a)；若外函数在 aaa 连续，则不必额外排除。

三、连续函数#

1. 增量、连续与单侧连续#

Δx=x2−x1\Delta x=x_2-x_1Δx=x2−x1，Δy=f(x2)−f(x1)\Delta y=f(x_2)-f(x_1)Δy=f(x2)−f(x1)。例如 y=t2y=t^2y=t2 从 t=1t=1t=1 到 1.11.11.1，Δt=0.1\Delta t=0.1Δt=0.1，Δy=0.21\Delta y=0.21Δy=0.21。增量是带符号的差，不是总为正的距离。

fff 在 x0x_0x0 连续，当且仅当

lim⁡h→0[f(x0+h)−f(x0)]=0 ⟺ lim⁡x→x0f(x)=f(x0).\lim_{h\to0}[f(x_0+h)-f(x_0)]=0 \iff\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).h→0lim[f(x0+h)−f(x0)]=0⟺x→x0limf(x)=f(x0).

需同时满足：点值有定义、极限存在、二者相等。左连续、右连续分别把极限改为相应单侧极限；两者同时成立等价于连续。

在开区间处处连续记为 f∈C(a,b)f\in C(a,b)f∈C(a,b)；若再在 aaa 右连续、bbb 左连续，则记为 f∈C[a,b]f\in C[a,b]f∈C[a,b]。端点只考察定义域内的一侧。

振荡与衰减振荡图示

图像的有限分辨率不能代替对无限振荡的极限判断。

例 5：左连续而不连续#

设 f(x)=cos⁡xf(x)=\cos xf(x)=cosx（x<0x<0x<0），f(0)=1f(0)=1f(0)=1，f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2（x>0x>0x>0），比较两侧极限与点值。

查看答案

左极限及点值均为 111，右极限为 000；左连续，不右连续，也不连续。

查看分析思路

左右邻近点和中心点分别使用各自分支。

查看详细解析

左侧由 cos⁡x→1\cos x\to1cosx→1，右侧由 x2→0x^2\to0x2→0。中心值由题面规定为 111，因此仅左极限与中心值相等。不能把中心分支代入两侧极限。

交互实验：例5：去心极限与中心值

空心点保持原式的去心定义域；补值实验为拓展。跳跃模型任何补值都不能恢复双侧连续。

打开本题交互实验

例 6：振荡函数的连续性#

在零点均补值 000，判断（1）xsin⁡(1/x)x\sin(1/x)xsin(1/x)；（2）sin⁡(1/x)\sin(1/x)sin(1/x) 在零点是否连续。

查看答案

（1）连续；（2）不连续。

查看分析思路

关键是振幅是否衰减；不收敛可用两列输入证明。

查看详细解析

（1）∣xsin⁡(1/x)∣≤∣x∣→0|x\sin(1/x)|\le|x|\to0∣xsin(1/x)∣≤∣x∣→0，等于补入点值，故连续。

（2）取 xn=1/(2nπ+π/2)x_n=1/(2n\pi+\pi/2)xn=1/(2nπ+π/2)、zn=1/(2nπ+3π/2)z_n=1/(2n\pi+3\pi/2)zn=1/(2nπ+3π/2)，两列趋于零，函数值却分别恒为 111、−1-1−1。若极限存在，两列函数值应趋于同一数，矛盾。因此极限不存在，不能靠补值使其连续。

交互实验：例6：振幅衰减与零点连续性

相位采样仅展示有限段振荡；两列输入证明无衰减模型不存在极限。补值不会改变去心极限。

打开本题交互实验

随堂练 4：分段函数的连接点#

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin xf(x)=sinx（0≤x≤π0\le x\le\pi0≤x≤π），f(x)=1f(x)=1f(x)=1（−π≤x<0-\pi\le x<0−π≤x<0）。讨论 000 处连续性。

查看答案

右连续、不左连续，故不连续。

查看分析思路

先确定零点属于哪一支。

查看详细解析

f(0)=0f(0)=0f(0)=0；右极限为 sin⁡0=0\sin0=0sin0=0，左极限为 111。只有右极限等于函数值。

交互实验：随堂练4：去心极限与中心值

空心点保持原式的去心定义域；补值实验为拓展。跳跃模型任何补值都不能恢复双侧连续。

打开本题交互实验

2. 连续函数的运算#

基本初等函数在各自定义区间内连续。有限次四则运算与复合保持连续性，但除法分母不为零，对数、根式、反三角函数也必须满足定义域条件。“表达式能形式化写出”不等于在所有实数处有定义。

例 7：辨认结构再连续代入#

指出 f(x)=∣2sin⁡x−13log⁡2(π/x)+1∣f(x)=\left|\frac{2\sin x-1}{3\log_2(\pi/x)+1}\right|f(x)=3log2(π/x)+12sinx−1 的结构，并求 x→π/2x\to\pi/2x→π/2 的极限。

查看答案

由三角、对数、四则运算及绝对值复合而成；极限为 1/41/41/4。

查看分析思路

检查对数真数与外层分母，绝对值不可漏抄。

查看详细解析

先取 sin⁡x\sin xsinx 与 π/x\pi/xπ/x，对后者取对数，再作线性运算、取商、取绝对值。绝对值也可写作 ∣u∣=u2|u|=\sqrt{u^2}∣u∣=u2。

定义条件是 x>0x>0x>0、x≠π21/3x\ne\pi2^{1/3}x=π21/3。π/2\pi/2π/2 满足条件，所以连续代入得

∣2sin⁡(π/2)−13log⁡22+1∣=14.\left|\frac{2\sin(\pi/2)-1}{3\log_22+1}\right|=\frac14.3log22+12sin(π/2)−1=41.

例 8：最大值与最小值函数的连续性#

若 f,gf,gf,g 在区间 III 连续，判断 max⁡{f,g}\max\{f,g\}max{f,g}、min⁡{f,g}\min\{f,g\}min{f,g} 是否连续。

查看答案

两者均连续。

查看分析思路

用绝对值把选择大小改写成普通运算。

查看详细解析

max⁡{f,g}=f+g+∣f−g∣2,min⁡{f,g}=f+g−∣f−g∣2.\max\{f,g\}=\frac{f+g+|f-g|}{2},\qquad \min\{f,g\}=\frac{f+g-|f-g|}{2}.max{f,g}=2f+g+∣f−g∣,min{f,g}=2f+g−∣f−g∣.

右边均由连续函数经过保持连续性的运算得到，结论成立。这不保证可导，例如 max⁡{x,−x}=∣x∣\max\{x,-x\}=|x|max{x,−x}=∣x∣ 在零点不可导。

随堂练 5：初等复合函数的极限#

（1）lim⁡x→3(x−1)/(x+1)\lim_{x\to3}\sqrt{(x-1)/(x+1)}limx→3(x−1)/(x+1)；（2）lim⁡x→1log⁡a(x2+x+1)\lim_{x\to1}\log_a(x^2+\sqrt x+1)limx→1loga(x2+x+1)。

查看答案

（1）2/2\sqrt2/22/2；（2）log⁡a3\log_a3loga3，a>0,a≠1a>0,a\ne1a>0,a=1。

查看分析思路

目标点附近各层均有定义，可逐层连续代入。

查看详细解析

（1）x=3x=3x=3 附近根号内为正，代入得 2/4=2/2\sqrt{2/4}=\sqrt2/22/4=2/2。（2）x=1x=1x=1 附近 x>0x>0x>0，对数真数为正，代入得 log⁡a(1+1+1)=log⁡a3\log_a(1+1+1)=\log_a3loga(1+1+1)=loga3。

3. 闭区间连续函数的性质#

最值定理：f∈C[a,b]f\in C[a,b]f∈C[a,b] 时，最大值 MMM 与最小值 mmm 均能在区间内取到。

零点定理：若还满足 f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0，则至少有 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b) 使 f(ξ)=0f(\xi)=0f(ξ)=0。只保证存在，不自动保证唯一。

介值定理：上述连续函数能取到 m,Mm,Mm,M 之间的每个值，因此 f([a,b])=[m,M]f([a,b])=[m,M]f([a,b])=[m,M]。连续性与闭区间条件不可随意删除。

f,g∈C[a,b]f,g\in C[a,b]f,g∈C[a,b]，f(a)<g(a)f(a)<g(a)f(a)<g(a)、f(b)>g(b)f(b)>g(b)f(b)>g(b)，证明某 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b) 满足 f(ξ)=g(ξ)f(\xi)=g(\xi)f(ξ)=g(ξ)。

查看答案

至少存在一个这样的点。

查看分析思路

沿用差函数法。

查看详细解析

令 φ=f−g\varphi=f-gφ=f−g，它在闭区间连续，在左端为负、右端为正，故内部有零点。由 φ(ξ)=0\varphi(\xi)=0φ(ξ)=0 得所证。没有额外单调性，不能进一步声称交点唯一。

4. 反函数的连续性#

连续且严格单调的函数，在其值域区间上有连续的反函数，反函数保持相应的严格递增或严格递减性。严格单调保证唯一对应；连续性使值域没有缺口。

理解：在 x0x_0x0 左右各选一个近点，其函数值把 f(x0)f(x_0)f(x0) 夹住；当 yyy 位于这两个像之间，反函数值就被夹在两个输入之间。这说明反函数在对应点连续，端点按单侧解释。

七年级数学 11.1：同底数幂的乘法与幂的乘方

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

系列阅读：本篇：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习。

前置复习：第10章整式的加减综合复习。

阅读提示

本篇正整数幂的三条基本规则可双向使用；涉及非整数指数的提升题以正底数为前提。填指数、辨析运算的题通常按恒等变形理解，单个底数取特殊值时不能直接比较指数。

一、知识清单#

知识点 1 同底数幂的乘法#

将 nnn 个 aaa 相乘的运算叫乘方，记作 ana^nan；乘方的结果叫幂。aaa 是底数，正整数 nnn 是指数，ana^nan 读作“aaa 的 nnn 次方”或“aaa 的 nnn 次幂”。例如 a⋅a⋅a=a3a\cdot a\cdot a=a^3a⋅a⋅a=a3，称为 aaa 的立方。规定 a1=aa^1=aa1=a。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

am⋅an=am+n(m,n 为正整数).a^m\cdot a^n=a^{m+n}\qquad(m,n\text{ 为正整数}).am⋅an=am+n(m,n 为正整数).

底数可以是数，也可以是整式；三个或更多同底数幂相乘时同样适用，例如 amanap=am+n+pa^ma^na^p=a^{m+n+p}amanap=am+n+p。逆用得 am+n=amana^{m+n}=a^ma^nam+n=aman。注意区分 am+am=2ama^m+a^m=2a^mam+am=2am 与 amam=a2ma^ma^m=a^{2m}amam=a2m。

即学即练#

即学即练 1#

计算：（1）33⋅353^3\cdot3^533⋅35；（2）−b4⋅b5-b^4\cdot b^5−b4⋅b5；（3）(−x)⋅x2⋅(−x)4(-x)\cdot x^2\cdot(-x)^4(−x)⋅x2⋅(−x)4；（4）(a+b)3⋅(a+b)4(a+b)^3\cdot(a+b)^4(a+b)3⋅(a+b)4。

查看答案

（1）383^838；（2）−b9-b^9−b9；（3）−x7-x^7−x7；（4）(a+b)7(a+b)^7(a+b)7。

查看分析思路

先处理符号，再保持底数、相加指数；把括号内的整式看作整体。

查看详细解析

（1）33⋅35=33+5=383^3\cdot3^5=3^{3+5}=3^833⋅35=33+5=38。

（2）−b4⋅b5=−b4+5=−b9-b^4\cdot b^5=-b^{4+5}=-b^9−b4⋅b5=−b4+5=−b9。

（3）(−x)⋅x2⋅(−x)4=−x⋅x2⋅x4=−x7(-x)\cdot x^2\cdot(-x)^4=-x\cdot x^2\cdot x^4=-x^7(−x)⋅x2⋅(−x)4=−x⋅x2⋅x4=−x7。

（4）(a+b)3(a+b)4=(a+b)3+4=(a+b)7(a+b)^3(a+b)^4=(a+b)^{3+4}=(a+b)^7(a+b)3(a+b)4=(a+b)3+4=(a+b)7。

即学即练 2#

计算：（1）24×232^4\times2^324×23；（2）x3⋅x5x^3\cdot x^5x3⋅x5；（3）bm⋅bnb^m\cdot b^nbm⋅bn；（4）a3⋅am⋅ana^3\cdot a^m\cdot a^na3⋅am⋅an（m,nm,nm,n 是正整数）。

查看答案

（1）272^727；（2）x8x^8x8；（3）bm+nb^{m+n}bm+n；（4）am+n+3a^{m+n+3}am+n+3。

查看分析思路

逐项确认底数相同，将各因子的指数相加。

查看详细解析

（1）24+3=272^{4+3}=2^724+3=27；（2）x3+5=x8x^{3+5}=x^8x3+5=x8；（3）bmbn=bm+nb^mb^n=b^{m+n}bmbn=bm+n；（4）a3+m+n=am+n+3a^{3+m+n}=a^{m+n+3}a3+m+n=am+n+3。

即学即练 3#

计算：（1）(−2)12×(−2)5(-2)^{12}\times(-2)^5(−2)12×(−2)5；（2）(x−y)3⋅(x−y)5(x-y)^3\cdot(x-y)^5(x−y)3⋅(x−y)5；（3）−tm⋅tm+1-t^m\cdot t^{m+1}−tm⋅tm+1；（4）(110)4(110)3(110)2\left(\frac1{10}\right)^4\left(\frac1{10}\right)^3\left(\frac1{10}\right)^2(101)4(101)3(101)2；（5）(−a)2n+1⋅(−a)3n+2⋅(−a)(-a)^{2n+1}\cdot(-a)^{3n+2}\cdot(-a)(−a)2n+1⋅(−a)3n+2⋅(−a)。

查看答案

（1）(−2)17(-2)^{17}(−2)17；（2）(x−y)8(x-y)^8(x−y)8；（3）−t2m+1-t^{2m+1}−t2m+1；（4）(110)9\left(\frac1{10}\right)^9(101)9；（5）(−a)5n+4(-a)^{5n+4}(−a)5n+4。

查看分析思路

括号中的负底数整体保持不变；单独一个因子的指数是 1。

查看详细解析

（1）(−2)12+5=(−2)17(-2)^{12+5}=(-2)^{17}(−2)12+5=(−2)17；（2）(x−y)3+5=(x−y)8(x-y)^{3+5}=(x-y)^8(x−y)3+5=(x−y)8。

（3）−tm+(m+1)=−t2m+1-t^{m+(m+1)}=-t^{2m+1}−tm+(m+1)=−t2m+1；（4）(110)4+3+2=(110)9\left(\frac1{10}\right)^{4+3+2}=\left(\frac1{10}\right)^9(101)4+3+2=(101)9。

（5）指数和为 (2n+1)+(3n+2)+1=5n+4(2n+1)+(3n+2)+1=5n+4(2n+1)+(3n+2)+1=5n+4，故得 (−a)5n+4(-a)^{5n+4}(−a)5n+4。

即学即练 4#

am+2a^{m+2}am+2 可以写成（　）。

A．2am2a^m2am　B．am+a2a^m+a^2am+a2　C．am⋅a2a^m\cdot a^2am⋅a2　D．2a⋅am+12a\cdot a^{m+1}2a⋅am+1

查看答案

C。

查看分析思路

逆用同底数幂的乘法，将指数的和拆成积。

查看详细解析

am+2=am⋅a2a^{m+2}=a^m\cdot a^2am+2=am⋅a2，所以选 C。

即学即练 5#

已知 xm=6x^m=6xm=6，xn=4x^n=4xn=4，则 xm+nx^{m+n}xm+n 的值为（　）。

A．4　B．6　C．10　D．24

查看答案

D，24。

查看分析思路

把所求的幂拆成题设中的两个幂相乘。

查看详细解析

xm+n=xmxn=6×4=24x^{m+n}=x^mx^n=6\times4=24xm+n=xmxn=6×4=24，选 D。

知识点 2 幂的乘方#

观察 (23)2=23×23=23+3=23×2(2^3)^2=2^3\times2^3=2^{3+3}=2^{3\times2}(23)2=23×23=23+3=23×2、(a3)2=a6(a^3)^2=a^6(a3)2=a6、(am)2=a2m(a^m)^2=a^{2m}(am)2=a2m。

幂的乘方，底数不变，指数相乘：

(am)n=am⋅am⋯am⏟n 个=am+m+⋯+m⏞n 个=amn. (a^m)^n=\underbrace{a^m\cdot a^m\cdots a^m}_{n\text{ 个}}=a^{\overbrace{m+m+\cdots+m}^{n\text{ 个}}}=a^{mn}.(am)n=n 个am⋅am⋯am=am+m+⋯+mn 个=amn.

这里 m,nm,nm,n 是正整数，不必附加 a≠0a\ne0a=0。推广得 [(am)n]p=amnp[(a^m)^n]^p=a^{mnp}[(am)n]p=amnp；逆用得 amn=(am)n=(an)ma^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^mamn=(am)n=(an)m。同底数幂相乘用“指数相加”，幂的乘方用“指数相乘”。

即学即练#

即学即练 6#

计算：（1）(y2)3⋅(−y)2(y^2)^3\cdot(-y)^2(y2)3⋅(−y)2；（2）4(x2)6−(−x3)44(x^2)^6-(-x^3)^44(x2)6−(−x3)4。

查看答案

（1）y8y^8y8；（2）3x123x^{12}3x12。

查看分析思路

先算幂的乘方、判断负号，最后相乘或合并同类项。

查看详细解析

（1）y2×3y2=y8y^{2\times3}y^2=y^8y2×3y2=y8；（2）4x12−x12=3x124x^{12}-x^{12}=3x^{12}4x12−x12=3x12。

即学即练 7#

计算：（1）(−22)3(-2^2)^3(−22)3；（2）(x4)4(x^4)^4(x4)4；（3）[(x−y)2]3[(x-y)^2]^3[(x−y)2]3；（4）(ym)2⋅(−y3)(y^m)^2\cdot(-y^3)(ym)2⋅(−y3)；（5）−b⋅(−b3)5-b\cdot(-b^3)^5−b⋅(−b3)5；（6）2(x3)5−(x5)32(x^3)^5-(x^5)^32(x3)5−(x5)3。

查看答案

（1）−64-64−64；（2）x16x^{16}x16；（3）(x−y)6(x-y)^6(x−y)6；（4）−y2m+3-y^{2m+3}−y2m+3；（5）b16b^{16}b16；（6）x15x^{15}x15。

查看分析思路

负号是否在乘方范围内决定结果的符号，指数按乘方或相乘关系分别计算。

查看详细解析

（1）(−22)3=(−4)3=−64(-2^2)^3=(-4)^3=-64(−22)3=(−4)3=−64。

（2）(x4)4=x16(x^4)^4=x^{16}(x4)4=x16；（3）[(x−y)2]3=(x−y)6[(x-y)^2]^3=(x-y)^6[(x−y)2]3=(x−y)6。

（4）y2m(−y3)=−y2m+3y^{2m}(-y^3)=-y^{2m+3}y2m(−y3)=−y2m+3；（5）−b(−b15)=b16-b(-b^{15})=b^{16}−b(−b15)=b16。

（6）2x15−x15=x152x^{15}-x^{15}=x^{15}2x15−x15=x15。

即学即练 8#

已知 x4=ax^4=ax4=a，则 x8x^8x8 等于（　）。

A．2a2a2a　B．4a4a4a　C．a2a^2a2　D．a4a^4a4

查看答案

C。

查看分析思路

把 8 写成 4imes24 imes24imes2，逆用幂的乘方。

查看详细解析

x8=(x4)2=a2x^8=(x^4)^2=a^2x8=(x4)2=a2，选 C。

即学即练 9#

已知 xm=2x^m=2xm=2，xn=4x^n=4xn=4（m,nm,nm,n 是正整数），求：（1）x2m+3nx^{2m+3n}x2m+3n；（2）x2m+x3nx^{2m}+x^{3n}x2m+x3n。

查看答案

（1）256；（2）68。

查看分析思路

指数中的加号表示同底数幂的积；两个幂之间的加号表示求和。

查看详细解析

（1）x2m+3n=(xm)2(xn)3=22×43=256x^{2m+3n}=(x^m)^2(x^n)^3=2^2\times4^3=256x2m+3n=(xm)2(xn)3=22×43=256；（2）x2m+x3n=(xm)2+(xn)3=4+64=68x^{2m}+x^{3n}=(x^m)^2+(x^n)^3=4+64=68x2m+x3n=(xm)2+(xn)3=4+64=68。

二、题型精讲#

区分负号属于底数还是作为幂外的系数。

查看详细解析

A 的底数分别是 x,ax,ax,a；B 中平方的底数是 −a-a−a，−a3-a^3−a3 的三次幂部分底数是 aaa；C 的底数分别是 x−y,y−xx-y,y-xx−y,y−x，不能因平方相等就说写法中的底数相同。

D 写为 (−1)x2(-1)x^2(−1)x2 与 x1x^1x1，两个幂部分均以 xxx 为底，所以选 D。严格说 −x2-x^2−x2 是幂的相反数，此处题意是在比较幂部分的底数。

已知 a2⋅ax−4=a5a^2\cdot a^{x-4}=a^5a2⋅ax−4=a5，那么 xxx 的值为（　）。

A．5　B．6　C．7　D．8

题设说明：原题未限定 aaa。若把等式理解为关于底数 aaa 的恒等式，答案为 C；若只要求对某个 aaa 成立，则不能唯一确定 xxx。

查看答案

按指数恒等式意图选 C，x=7x=7x=7；仅按原题单个等式不能唯一确定。

查看分析思路

比较指数需要适用条件，不能从 1u=1v1^u=1^v1u=1v 推出 u=vu=vu=v。

查看详细解析

按恒等式比较指数，2+(x−4)=52+(x-4)=52+(x−4)=5，得 x=7x=7x=7。

但当 a=1a=1a=1 时，任意允许的 xxx 都使等式成立，例如 x=5x=5x=5 也有 12⋅11=151^2\cdot1^1=1^512⋅11=15。因此原题缺少“恒成立”或足以保证指数唯一的底数条件（如 a>0,a≠1a>0,a\ne1a>0,a=1）；需要明确这一底数限制。

题型 05 幂的乘方运算性质基础填空#

题型 05 · 典例 1#

填空：（1）幂的乘方，底数____，指数____；（2）(a2)3=(a^2)^3=(a2)3=____；（3）(a3)(□)=a12(a^3)^{(\square)}=a^{12}(a3)(□)=a12；（4）[a(□)]2=a12[a^{(\square)}]^2=a^{12}[a(□)]2=a12；（5）(a3)4=a2⋅a(□)(a^3)^4=a^2\cdot a^{(\square)}(a3)4=a2⋅a(□)；（6）(a4)3=[a(□)]4(a^4)^3=[a^{(\square)}]^4(a4)3=[a(□)]4。

查看答案

（1）不变、相乘；（2）a6a^6a6；（3）4；（4）6；（5）10；（6）3。

查看分析思路

按幂的恒等变形比较指数，区别“乘方指数相乘”与“相乘指数相加”。

查看详细解析

（2）a2×3=a6a^{2\times3}=a^6a2×3=a6；（3）3□=123\square=123□=12，填4；（4）2□=122\square=122□=12，填6；（5）a12=a2a10a^{12}=a^2a^{10}a12=a2a10；（6）a12=(a3)4a^{12}=(a^3)^4a12=(a3)4。

题型 05 · 变式 1#

填空：（1）1012=(□)310^{12}=(\square)^31012=(□)3；（2）b27=(b3)(□)b^{27}=(b^3)^{(\square)}b27=(b3)(□)；（3）(ym)3=(□)m(y^m)^3=(\square)^m(ym)3=(□)m；（4）p3n+3=(□)3p^{3n+3}=(\square)^3p3n+3=(□)3。

若 2x+5y−3=02x+5y-3=02x+5y−3=0，求 4x⋅32y4^x\cdot32^y4x⋅32y 的值。

查看答案

8。

查看分析思路

都改成底数 2，让指数出现已知整体 2x+5y2x+5y2x+5y。

查看详细解析

4x32y=22x25y=22x+5y4^x32^y=2^{2x}2^{5y}=2^{2x+5y}4x32y=22x25y=22x+5y。由 2x+5y=32x+5y=32x+5y=3 得原式为 23=82^3=823=8。

题型 08 比较幂的大小#

题型 08 · 典例 1#

探究：（1）计算 (22)3=(2^2)^3=(22)3=，26=2^6=26=；据此猜想 (am)n=(a^m)^n=(am)n=____。

（2）①若 a2n=3a^{2n}=3a2n=3，求 (a3n)2(a^{3n})^2(a3n)2；②比较 3555,4444,53333^{555},4^{444},5^{333}3555,4444,5333，用“<<<”连接。

查看答案

（1）64，64，amna^{mn}amn；（2）①27；②5333<3555<44445^{333}<3^{555}<4^{444}5333<3555<4444。

查看分析思路

同底数比较指数；底数和指数都不同时，可将指数统一为公因数的倍数。

查看详细解析

（1）(22)3=43=64=26(2^2)^3=4^3=64=2^6(22)3=43=64=26，规律为 (am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}(am)n=amn。

（2）①(a3n)2=a6n=(a2n)3=33=27(a^{3n})^2=a^{6n}=(a^{2n})^3=3^3=27(a3n)2=a6n=(a2n)3=33=27。

②3555=(35)111=2431113^{555}=(3^5)^{111}=243^{111}3555=(35)111=243111，4444=(44)111=2561114^{444}=(4^4)^{111}=256^{111}4444=(44)111=256111，5333=(53)111=1251115^{333}=(5^3)^{111}=125^{111}5333=(53)111=125111；因 125<243<256125<243<256125<243<256，故 5333<3555<44445^{333}<3^{555}<4^{444}5333<3555<4444。

题型 08 · 变式 1#

已知 a=961a=9^{61}a=961，b=8131b=81^{31}b=8131，c=2741c=27^{41}c=2741，则大小关系为（　）。

A．a>b>ca>b>ca>b>c　B．a>c>ba>c>ba>c>b　C．b>c>ab>c>ab>c>a　D．c>b>ac>b>ac>b>a

查看答案

C。

查看分析思路

统一为大于 1 的底数 3，然后比较指数。

查看详细解析

a=(32)61=3122a=(3^2)^{61}=3^{122}a=(32)61=3122，b=(34)31=3124b=(3^4)^{31}=3^{124}b=(34)31=3124，c=(33)41=3123c=(3^3)^{41}=3^{123}c=(33)41=3123。因为 124>123>122124>123>122124>123>122 且 3>13>13>1，所以 b>c>ab>c>ab>c>a。

题型 08 · 变式 2#

阅读理解：比较正底数幂 am,bna^m,b^nam,bn（m,nm,nm,n 是正整数）时，若 a=b>1,m>na=b>1,m>na=b>1,m>n，则 am>bna^m>b^nam>bn；若 a>b>0,m=na>b>0,m=na>b>0,m=n，则 am>bna^m>b^nam>bn。

底数条件：同底数“指数大的幂大”须补充底数大于 1；底数等于 1 时两幂相等，底数在 0 与 1 之间时方向相反。

尝试比较 21002^{100}2100 与 3753^{75}375：2100=(24)25=16252^{100}=(2^4)^{25}=16^{25}2100=(24)25=1625，375=(33)25=27253^{75}=(3^3)^{25}=27^{25}375=(33)25=2725（第 1 步），由 16<2716<2716<27 得 2100<3752^{100}<3^{75}2100<375（第 2 步）。

（1）第 1 步将两个幂转化为何种形式？第 2 步依据是什么？

（2）比较：①4504^{50}450 与 8338^{33}833；②31003^{100}3100 与 5605^{60}560。

查看答案

三角形运算的底数与指数位置

五角星运算的标签位置

若下列三角形的值为 4，求下列五角星的值。

已知三角形标签为3、x、2y

待求五角星标签为2、81、y、9、x

查看答案

32。

查看分析思路

已知三角形给出 3x+2y=43^{x+2y}=43x+2y=4；待求式可改写为其平方的 2 倍。

查看详细解析

由三角形定义，3x⋅32y=3x+2y=43^x\cdot3^{2y}=3^{x+2y}=43x⋅32y=3x+2y=4。

待求五角星为 2⋅(9x⋅81y)=2⋅32x+4y=2(3x+2y)2=2×42=322\cdot(9^x\cdot81^y)=2\cdot3^{2x+4y}=2(3^{x+2y})^2=2\times4^2=322⋅(9x⋅81y)=2⋅32x+4y=2(3x+2y)2=2×42=32。

三、强化训练#

查看详细解析

A 为 a5a^5a5，B 为 a8a^8a8，C 为 a6a^6a6，D 为 6a6a6a，所以选 C。

强化训练 4#

结果等于 a2ka^{2k}a2k 的是（　）。

A．ak+aka^k+a^kak+ak　B．ak−aka^k-a^kak−ak　C．ak⋅aka^k\cdot a^kak⋅ak　D．(ak)k(a^k)^k(ak)k

查看答案

C。

查看分析思路

按关于指数参数的恒等式判断各式。

查看详细解析

A 为 2ak2a^k2ak，B 为 0，C 为 ak+k=a2ka^{k+k}=a^{2k}ak+k=a2k，D 为 ak2a^{k^2}ak2，故 C 是所求的恒等变形。

强化训练 5#

下列等式正确的个数是（　）。①a5+a5=a10a^5+a^5=a^{10}a5+a5=a10；②(−a)6⋅(−a)3⋅a=a10(-a)^6\cdot(-a)^3\cdot a=a^{10}(−a)6⋅(−a)3⋅a=a10；③−a4⋅(−a)5=a20-a^4\cdot(-a)^5=a^{20}−a4⋅(−a)5=a20；④25+25=262^5+2^5=2^625+25=26。

A．1 个　B．2 个　C．3 个　D．4 个

查看答案

A，1 个。

查看分析思路

先化符号，再分别用乘法与加法法则。

查看详细解析

①左侧 2a52a^52a5；②左侧 −a10-a^{10}−a10；③左侧 a9a^9a9，均不是所写的恒等式。④25+25=2×25=262^5+2^5=2\times2^5=2^625+25=2×25=26 正确，共1个。

强化训练 6#

(x−y)3⋅(y−x)=(x-y)^3\cdot(y-x)=(x−y)3⋅(y−x)=（　）。

A．(x−y)4(x-y)^4(x−y)4　B．−(x−y)4-(x-y)^4−(x−y)4　C．(y−x)4(y-x)^4(y−x)4　D．(x+y)4(x+y)^4(x+y)4

查看答案

B。

查看分析思路

把 y−xy-xy−x 写成 −(x−y)-(x-y)−(x−y)。

查看详细解析

(x−y)3(y−x)=−(x−y)3(x−y)=−(x−y)4(x-y)^3(y-x)=-(x-y)^3(x-y)=-(x-y)^4(x−y)3(y−x)=−(x−y)3(x−y)=−(x−y)4，选 B。

强化训练 7#

xm+n⋅x−2m+3nx^{m+n}\cdot x^{-2m+3n}xm+n⋅x−2m+3n 的结果为（　）。

A．x3m+4nx^{3m+4n}x3m+4n　B．x−m+nx^{-m+n}x−m+n　C．x−m+4nx^{-m+4n}x−m+4n　D．x−6mnx^{-6mn}x−6mn

查看答案

C。

查看分析思路

指数相加后合并同类项；出现负指数时要求幂有意义。

查看详细解析

x(m+n)+(−2m+3n)=x−m+4nx^{(m+n)+(-2m+3n)}=x^{-m+4n}x(m+n)+(−2m+3n)=x−m+4n，选 C。若指数是整数而某项为负，需 x≠0x\ne0x=0。

强化训练 8#

如果 am=4a^m=4am=4，an=2a^n=2an=2，那么 a2m+3na^{2m+3n}a2m+3n 的值为（　）。

A．128　B．32　C．96　D．无法确定

查看答案

A。

查看分析思路

按指数拆分成已知幂的乘方。

查看详细解析

a2m+3n=(am)2(an)3=42×23=128a^{2m+3n}=(a^m)^2(a^n)^3=4^2\times2^3=128a2m+3n=(am)2(an)3=42×23=128。

强化训练 9#

若正整数 m,nm,nm,n 满足 4m+4m+4m+4m=2n×2n×2n×2n4^m+4^m+4^m+4^m=2^n\times2^n\times2^n\times2^n4m+4m+4m+4m=2n×2n×2n×2n，则关系正确的是（　）。

A．m=nm=nm=n　B．m+1=2nm+1=2nm+1=2n　C．m+1=n2m+1=n^2m+1=n2　D．2m=n22m=n^22m=n2

查看答案

B。

查看分析思路

左侧先合并系数，右侧相加指数，然后统一底数 2。

查看详细解析

左侧 4×4m=4m+1=22m+24\times4^m=4^{m+1}=2^{2m+2}4×4m=4m+1=22m+2，右侧 24n2^{4n}24n。故 2m+2=4n2m+2=4n2m+2=4n，即 m+1=2nm+1=2nm+1=2n。

强化训练 10#

已知 x=212x=2^{12}x=212，y=66y=6^6y=66，z=85z=8^5z=85，大小关系为（　）。

A．x<z<yx<z<yx<z<y　B．y<x<zy<x<zy<x<z　C．x<y<zx<y<zx<y<z　D．z<y<xz<y<xz<y<x

强化训练 17#

计算：（1）x2⋅x6x^2\cdot x^6x2⋅x6；（2）a2n⋅an+1a^{2n}\cdot a^{n+1}a2n⋅an+1；（3）(−y)⋅y2⋅(−y)3(-y)\cdot y^2\cdot(-y)^3(−y)⋅y2⋅(−y)3；（4）(p−q)5⋅(q−p)2(p-q)^5\cdot(q-p)^2(p−q)5⋅(q−p)2；（5）(s−t)m⋅(s−t)m+n⋅(t−s)(s-t)^m\cdot(s-t)^{m+n}\cdot(t-s)(s−t)m⋅(s−t)m+n⋅(t−s)（m,nm,nm,n 是正整数）；（6）xn⋅xn+1+x2n⋅xx^n\cdot x^{n+1}+x^{2n}\cdot xxn⋅xn+1+x2n⋅x（nnn 是正整数）。

查看答案

（1）x8x^8x8；（2）a3n+1a^{3n+1}a3n+1；（3）y6y^6y6；（4）(p−q)7(p-q)^7(p−q)7；（5）−(s−t)2m+n+1-(s-t)^{2m+n+1}−(s−t)2m+n+1；（6）2x2n+12x^{2n+1}2x2n+1。

查看分析思路

互为相反数的底数先统一，最后的和式只合并系数。

查看详细解析

（1）x2+6=x8x^{2+6}=x^8x2+6=x8；（2）a2n+n+1=a3n+1a^{2n+n+1}=a^{3n+1}a2n+n+1=a3n+1；（3）(−y3)(−y3)=y6(-y^3)(-y^3)=y^6(−y3)(−y3)=y6；（4）(p−q)5(p−q)2=(p−q)7(p-q)^5(p-q)^2=(p-q)^7(p−q)5(p−q)2=(p−q)7；（5）−(s−t)m+m+n+1=−(s−t)2m+n+1-(s-t)^{m+m+n+1}=-(s-t)^{2m+n+1}−(s−t)m+m+n+1=−(s−t)2m+n+1；（6）x2n+1+x2n+1=2x2n+1x^{2n+1}+x^{2n+1}=2x^{2n+1}x2n+1+x2n+1=2x2n+1。

强化训练 18#

计算：（1）−p⋅(p2)3-p\cdot(p^2)^3−p⋅(p2)3；（2）(yn)2⋅yn−1(y^n)^2\cdot y^{n-1}(yn)2⋅yn−1（整数 n>1n>1n>1）；（3）2a3⋅(a2)3−(−a4)2⋅a+a2⋅a72a^3\cdot(a^2)^3-(-a^4)^2\cdot a+a^2\cdot a^72a3⋅(a2)3−(−a4)2⋅a+a2⋅a7；（4）2(a−b)⋅[(b−a)3]32(a-b)\cdot[(b-a)^3]^32(a−b)⋅[(b−a)3]3。

查看答案

（1）−p7-p^7−p7；（2）y3n−1y^{3n-1}y3n−1；（3）2a92a^92a9；（4）−2(b−a)10-2(b-a)^{10}−2(b−a)10。

查看分析思路

先算乘方，再相乘，最后合并同类项。

查看详细解析

（1）−p⋅p6=−p7-p\cdot p^6=-p^7−p⋅p6=−p7；（2）y2n+n−1=y3n−1y^{2n+n-1}=y^{3n-1}y2n+n−1=y3n−1；（3）2a3a6−a8a+a9=2a9−a9+a9=2a92a^3a^6-a^8a+a^9=2a^9-a^9+a^9=2a^92a3a6−a8a+a9=2a9−a9+a9=2a9；（4）2(a−b)(b−a)9=−2(b−a)102(a-b)(b-a)^9=-2(b-a)^{10}2(a−b)(b−a)9=−2(b−a)10。

强化训练 19#

已知 ax=2a^x=2ax=2，ay=3a^y=3ay=3，求 a2x+ya^{2x+y}a2x+y。

查看答案

12。

查看分析思路

将所求式写成两个已知幂的乘积。

查看详细解析

a2x+y=(ax)2ay=22×3=12a^{2x+y}=(a^x)^2a^y=2^2\times3=12a2x+y=(ax)2ay=22×3=12。

强化训练 20#

已知 10a=510^a=510a=5，10b=210^b=210b=2，求：（1）102a+103b10^{2a}+10^{3b}102a+103b；（2）102a+3b+110^{2a+3b+1}102a+3b+1。

查看答案

（1）33；（2）2000。

查看分析思路

先辨认加号在指数中还是在两个幂之间。

查看详细解析

（1）(10a)2+(10b)3=52+23=33(10^a)^2+(10^b)^3=5^2+2^3=33(10a)2+(10b)3=52+23=33；（2）(10a)2(10b)3×10=52×23×10=2000(10^a)^2(10^b)^3\times10=5^2\times2^3\times10=2000(10a)2(10b)3×10=52×23×10=2000。

强化训练 21#

（1）已知 m+4n−3=0m+4n-3=0m+4n−3=0，求 2m×16n2^m\times16^n2m×16n；（2）已知 nnn 为正整数，x2n=4x^{2n}=4x2n=4，求 (x3n)2−2(x2)2n(x^{3n})^2-2(x^2)^{2n}(x3n)2−2(x2)2n。

查看答案

（1）8；（2）32。

查看分析思路

统一底数或指数，将给定的整体条件代入。

查看详细解析

（1）2m16n=2m+4n=23=82^m16^n=2^{m+4n}=2^3=82m16n=2m+4n=23=8；（2）x6n−2x4n=(x2n)3−2(x2n)2=43−2×42=32x^{6n}-2x^{4n}=(x^{2n})^3-2(x^{2n})^2=4^3-2\times4^2=32x6n−2x4n=(x2n)3−2(x2n)2=43−2×42=32。

强化训练 22#

底数条件：同底数“指数大的幂大”须补充底数大于 1；底数等于 1 时两幂相等，底数在 0 与 1 之间时方向相反。

（1）第 1 步将两个幂转化为何种形式？第 2 步依据是什么？

（2）比较：①4504^{50}450 与 8338^{33}833；②31003^{100}3100 与 5605^{60}560。

查看答案

（1）指数相同的两个幂；正底数幂的指数相同时，底数大的幂大。（2）①450>8334^{50}>8^{33}450>833；②3100>5603^{100}>5^{60}3100>560。

查看分析思路

比较前检查底数的范围；把幂转化为同底数或同指数。

查看详细解析

（1）把两幂分别写成 1625,272516^{25},27^{25}1625,2725，指数相同；利用正数的同次幂随底数增大而增大。

（2）①450=21004^{50}=2^{100}450=2100，833=2998^{33}=2^{99}833=299，底数 2>12>12>1，故 450>8334^{50}>8^{33}450>833。

②3100=243203^{100}=243^{20}3100=24320，560=125205^{60}=125^{20}560=12520；因为 243>125>0243>125>0243>125>0，所以 3100>5603^{100}>5^{60}3100>560。

强化训练 23#

若 xn=yx^n=yxn=y，规定 (x,y]=n(x,y]=n(x,y]=n。例如 42=164^2=1642=16，所以 (4,16]=2(4,16]=2(4,16]=2。

（1）(−2,16]=(-2,16]=(−2,16]=；若 (2,y]=6(2,y]=6(2,y]=6，则 y=y=y=。

（2）已知 (4,12]=a(4,12]=a(4,12]=a，(4,5]=b(4,5]=b(4,5]=b，(4,y]=c(4,y]=c(4,y]=c，且 a+b=ca+b=ca+b=c，求 yyy。

（3）若 (5,10]=a(5,10]=a(5,10]=a，(2,10]=b(2,10]=b(2,10]=b，令 t=2aba+bt=\frac{2ab}{a+b}t=a+b2ab，①求 25a16b\frac{25^a}{16^b}16b25a；②求 ttt。

定义范围：第（1）问负底数按整数指数使用；第（2）（3）问按正底数且底数不为1的实数指数使用，指数唯一。

查看答案

（1）4、64；（2）60；（3）①1100\frac1{100}1001；②2。

查看分析思路

将新运算翻译回幂关系，利用指数和对应乘积，再整体代入。

查看详细解析

（1）(−2)4=16(-2)^4=16(−2)4=16，所以 (−2,16]=4(-2,16]=4(−2,16]=4；26=642^6=6426=64，故 y=64y=64y=64。

（2）4a=12,4b=5,4c=y4^a=12,4^b=5,4^c=y4a=12,4b=5,4c=y，由 c=a+bc=a+bc=a+b，y=4a+b=4a4b=12×5=60y=4^{a+b}=4^a4^b=12\times5=60y=4a+b=4a4b=12×5=60。

（3）①5a=10,2b=105^a=10,2^b=105a=10,2b=10，25a=(5a)2=10025^a=(5^a)^2=10025a=(5a)2=100，16b=(2b)4=1000016^b=(2^b)^4=1000016b=(2b)4=10000，故比值为 1100\frac1{100}1001。

②5ab=(5a)b=10b5^{ab}=(5^a)^b=10^b5ab=(5a)b=10b；又 5a+b=5a5b=2b5b=10b5^{a+b}=5^a5^b=2^b5^b=10^b5a+b=5a5b=2b5b=10b，因 5>15>15>1 得 ab=a+bab=a+bab=a+b。a,b>0a,b>0a,b>0，故分母不为0，t=2aba+b=2t=\frac{2ab}{a+b}=2t=a+b2ab=2。

七年级数学 11.2：积的乘方与幂的综合运算

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

系列阅读：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 本篇：11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习。

前置复习：第10章整式的加减综合复习。

阅读提示

积的每个因子都须乘方，包括系数。正整数指数的法则可直接用于实数底数；非整数指数的提升题以正底数为前提。比较字母指数、填写缺失项通常按恒等式理解，不能把特殊底数时的偶然相等当成运算法则。

一、知识清单#

知识点 1 积的乘方#

原题限制：实数 mmm 不可能同时满足 4m=54^m=54m=5 与 3m=43^m=43m=4。以下代入仅是形式推算，这两个条件不能同时实现。

查看答案

形式代入：（1）15；（2）400；原题没有满足全部条件的实数 mmm。

查看分析思路

计算可以形式代入，但还要检查已知条件是否相容。

查看详细解析

（1）22m+3n=4m8n=5×3=152^{2m+3n}=4^m8^n=5\times3=1522m+3n=4m8n=5×3=15。

（2）122m=(3×4)2m=(3m)2(4m)2=42×52=40012^{2m}=(3\times4)^{2m}=(3^m)^2(4^m)^2=4^2\times5^2=400122m=(3×4)2m=(3m)2(4m)2=42×52=400。

相容性核验：若 3m=43^m=43m=4，则 m>54m>\frac54m>45，因为 35/4<43^{5/4}<435/4<4（等价于 35=243<44=2563^5=243<4^4=25635=243<44=256）。于是 4m>45/4>54^m>4^{5/4}>54m>45/4>5（等价于 45=1024>54=6254^5=1024>5^4=62545=1024>54=625），与 4m=54^m=54m=5 冲突。故两结果只是原题给定数值的形式推算。

二、题型精讲#

（1）x3my2mx^{3m}y^{2m}x3my2m；（2）(−xny)6=x6ny6(-x^ny)^6=x^{6n}y^6(−xny)6=x6ny6；（3）44×1020=256×1020=2.56×10224^4\times10^{20}=256\times10^{20}=2.56\times10^{22}44×1020=256×1020=2.56×1022；（4）23(a−b)2×3=8(a−b)62^3(a-b)^{2\times3}=8(a-b)^623(a−b)2×3=8(a−b)6。

题型 02 幂的综合运算#

题型 02 · 典例 1#

计算：（1）x2⋅x4+(x3)2x^2\cdot x^4+(x^3)^2x2⋅x4+(x3)2；（2）(a3)3⋅(a4)3(a^3)^3\cdot(a^4)^3(a3)3⋅(a4)3；（3）(−a2)3⋅a3+(−a)2⋅a7(-a^2)^3\cdot a^3+(-a)^2\cdot a^7(−a2)3⋅a3+(−a)2⋅a7；（4）[(3x−2y)2]3⋅[(2x−3y)3]5[(3x-2y)^2]^3\cdot[(2x-3y)^3]^5[(3x−2y)2]3⋅[(2x−3y)3]5。

查看答案

（1）2x62x^62x6；（2）a21a^{21}a21；（3）0；（4）(3x−2y)6(2x−3y)15(3x-2y)^6(2x-3y)^{15}(3x−2y)6(2x−3y)15。

查看分析思路

先乘方后乘法，最后加减；不同底数不能合并指数。

查看详细解析

（1）x6+x6=2x6x^6+x^6=2x^6x6+x6=2x6；（2）a9a12=a21a^9a^{12}=a^{21}a9a12=a21；（3）−a6a3+a2a7=−a9+a9=0-a^6a^3+a^2a^7=-a^9+a^9=0−a6a3+a2a7=−a9+a9=0；（4）分别相乘指数得 (3x−2y)6(2x−3y)15(3x-2y)^6(2x-3y)^{15}(3x−2y)6(2x−3y)15。

题型 02 · 变式 1#

计算：（1）(x3)4⋅x2(x^3)^4\cdot x^2(x3)4⋅x2；（2）2(x2)n−(xn)22(x^2)^n-(x^n)^22(x2)n−(xn)2；（3）a3⋅a4⋅a+(a2)4+2(a4)2a^3\cdot a^4\cdot a+(a^2)^4+2(a^4)^2a3⋅a4⋅a+(a2)4+2(a4)2；（4）x3y2⋅(−xy3)2x^3y^2\cdot(-xy^3)^2x3y2⋅(−xy3)2；（5）2(x3)2⋅x3−(3x3)3+(5x)2⋅x72(x^3)^2\cdot x^3-(3x^3)^3+(5x)^2\cdot x^72(x3)2⋅x3−(3x3)3+(5x)2⋅x7；（6）(a3)4⋅(−a2)3+2[(−a)2]4⋅(−a5)2(a^3)^4\cdot(-a^2)^3+2[(-a)^2]^4\cdot(-a^5)^2(a3)4⋅(−a2)3+2[(−a)2]4⋅(−a5)2。

查看答案

（1）x14x^{14}x14；（2）x2nx^{2n}x2n；（3）4a84a^84a8；（4）x5y8x^5y^8x5y8；（5）0；（6）a18a^{18}a18。

查看分析思路

每一项先算乘方、乘法，再合并字母部分相同的项。

查看详细解析

（1）x12x2=x14x^{12}x^2=x^{14}x12x2=x14；（2）2x2n−x2n=x2n2x^{2n}-x^{2n}=x^{2n}2x2n−x2n=x2n；（3）a8+a8+2a8=4a8a^8+a^8+2a^8=4a^8a8+a8+2a8=4a8。

（4）x3y2⋅x2y6=x5y8x^3y^2\cdot x^2y^6=x^5y^8x3y2⋅x2y6=x5y8。

（5）2x6x3−27x9+25x2x7=(2−27+25)x9=02x^6x^3-27x^9+25x^2x^7=(2-27+25)x^9=02x6x3−27x9+25x2x7=(2−27+25)x9=0。

（6）a12(−a6)+2a8a10=−a18+2a18=a18a^{12}(-a^6)+2a^8a^{10}=-a^{18}+2a^{18}=a^{18}a12(−a6)+2a8a10=−a18+2a18=a18。

题型 02 · 变式 2#

计算：（1）[(−3a2b3)3]2[(-3a^2b^3)^3]^2[(−3a2b3)3]2；（2）(3×102)3×[(−10)3]4(3\times10^2)^3\times[(-10)^3]^4(3×102)3×[(−10)3]4；（3）(−2a)6−(−3a2)3+[−(2a)2]3(-2a)^6-(-3a^2)^3+[-(2a)^2]^3(−2a)6−(−3a2)3+[−(2a)2]3；（4）(−0.125)12×(−123)7×(−8)13×(−35)8(-0.125)^{12}\times\left(-1\frac23\right)^7\times(-8)^{13}\times\left(-\frac35\right)^8(−0.125)12×(−132)7×(−8)13×(−53)8。

查看答案

查看答案

3。

查看分析思路

分别统一为底数3与2，先求 bbb 再求 aaa。

查看详细解析

33b=3a+53^{3b}=3^{a+5}33b=3a+5，故 3b=a+53b=a+53b=a+5。又 24=22+2b−2=22b2^4=2^{2+2b-2}=2^{2b}24=22+2b−2=22b，得 b=2b=2b=2，所以 a=1a=1a=1，a+b=3a+b=3a+b=3。

题型 04 · 变式 3#

已知 nnn 为正整数，(xn)2=9(x^n)^2=9(xn)2=9，求 (13x3n)2−3(x2)2n\left(\frac13x^{3n}\right)^2-3(x^2)^{2n}(31x3n)2−3(x2)2n 的值。

查看答案

−162-162−162。

查看分析思路

先把每一项改写为已知整体 x2nx^{2n}x2n 的幂。

查看详细解析

x2n=9x^{2n}=9x2n=9。原式 =19x6n−3x4n=19(x2n)3−3(x2n)2=19×93−3×92=81−243=−162=\frac19x^{6n}-3x^{4n}=\frac19(x^{2n})^3-3(x^{2n})^2=\frac19\times9^3-3\times9^2=81-243=-162=91x6n−3x4n=91(x2n)3−3(x2n)2=91×93−3×92=81−243=−162。

题型 04 · 变式 4#

已知 a,ba,ba,b 为任意非零实数，且 (amb2⋅abn)5=a15b20(a^mb^2\cdot ab^n)^5=a^{15}b^{20}(amb2⋅abn)5=a15b20，则 (3m)n=(3m)^n=(3m)n=____。

查看答案

36。

查看分析思路

“任意”表示恒成立，可以比较每个字母的指数。

查看详细解析

左侧 a5m+5b5n+10a^{5m+5}b^{5n+10}a5m+5b5n+10，与右侧恒等，故 5m+5=15,5n+10=205m+5=15,5n+10=205m+5=15,5n+10=20，得 m=n=2m=n=2m=n=2。因此 (3m)n=62=36(3m)^n=6^2=36(3m)n=62=36。

题型 04 · 变式 5#

若 am=ana^m=a^nam=an（正整数 m,nm,nm,n，a>0a>0a>0 且 a≠1a\ne1a=1），则 m=nm=nm=n。利用结论：

（1）若 2×8x×16x=2222\times8^x\times16^x=2^{22}2×8x×16x=222，求 xxx；（2）若 (27x)2=312(27^x)^2=3^{12}(27x)2=312，求 xxx；（3）已知 p=57p=5^7p=57，q=75q=7^5q=75，用含 p,qp,qp,q 的式子表示 353535^{35}3535。

题型 06 · 典例 1#

已知 xn=2,yn=3x^n=2,y^n=3xn=2,yn=3。（1）求 (x2y)2n(x^2y)^{2n}(x2y)2n；（2）再已知 xnx+3n⋅ynx+3n=36x^{nx+3n}\cdot y^{nx+3n}=36xnx+3n⋅ynx+3n=36，求 xxx。

原题限制：第（2）问重复用 xxx 作底数与指数参数。形式运算得到 x=−1x=-1x=−1，但与 xn=2x^n=2xn=2 冲突，因此不能作为同时满足题设的实数解。

查看答案

（1）144；（2）原题条件不能同时满足，形式推得 x=−1x=-1x=−1 不是有效解。

查看分析思路

整体代入后还要将候选值代回最初条件。

查看详细解析

（1）(x2y)2n=x4ny2n=(xn)4(yn)2=24×32=144(x^2y)^{2n}=x^{4n}y^{2n}=(x^n)^4(y^n)^2=2^4\times3^2=144(x2y)2n=x4ny2n=(xn)4(yn)2=24×32=144。

（2）在能合法使用幂法则的正底数范围内，xn(x+3)yn(x+3)=(xnyn)x+3=6x+3x^{n(x+3)}y^{n(x+3)}=(x^ny^n)^{x+3}=6^{x+3}xn(x+3)yn(x+3)=(xnyn)x+3=6x+3。令它等于 36=6236=6^236=62，形式上得到 x=−1x=-1x=−1，与正底数范围冲突；若按整数指数检验 x=−1x=-1x=−1，则 (−1)n(-1)^n(−1)n 只能为 111 或 −1-1−1，也不可能为2。因此原题无满足全部条件的有效解，不能把 −1-1−1 当成答案。

题型 06 · 变式 1#

已知 a2m=2,b3n=3a^{2m}=2,b^{3n}=3a2m=2,b3n=3，求 (b2n)3−a3m⋅b3n⋅a5m(b^{2n})^3-a^{3m}\cdot b^{3n}\cdot a^{5m}(b2n)3−a3m⋅b3n⋅a5m。

查看答案

−39-39−39。

查看分析思路

将每个幂组合成已知幂的乘方。

查看详细解析

原式 =(b3n)2−(a2m)4b3n=32−24×3=9−48=−39=(b^{3n})^2-(a^{2m})^4b^{3n}=3^2-2^4\times3=9-48=-39=(b3n)2−(a2m)4b3n=32−24×3=9−48=−39。

题型 06 · 变式 2#

（1）已知 a=2,b=1a=2,b=1a=2,b=1，求 (−2a2b3)⋅(−ab2)2+(−12a2b3)2⋅4b(-2a^2b^3)\cdot(-ab^2)^2+\left(-\frac12a^2b^3\right)^2\cdot4b(−2a2b3)⋅(−ab2)2+(−21a2b3)2⋅4b。

（2）已知 x2m=3,y2n=5x^{2m}=3,y^{2n}=5x2m=3,y2n=5，求 (x3m)2+(−y3n)2−xm−1yn⋅xm+1yn(x^{3m})^2+(-y^{3n})^2-x^{m-1}y^n\cdot x^{m+1}y^n(x3m)2+(−y3n)2−xm−1yn⋅xm+1yn。

题型 08 · 典例 1#

若 2a=5b=102^a=5^b=102a=5b=10，则 a+ba+ba+b____ababab（填“>>>”“<<<”或“===”）。

查看答案

===。

查看分析思路

分别取幂后相乘，使底数相乘为10。

查看详细解析

2ab=10b2^{ab}=10^b2ab=10b，5ab=10a5^{ab}=10^a5ab=10a，所以 10ab=2ab5ab=10a+b10^{ab}=2^{ab}5^{ab}=10^{a+b}10ab=2ab5ab=10a+b。底数10使指数唯一，得 ab=a+bab=a+bab=a+b。

题型 08 · 变式 1#

参考东东的作业：计算 45×(−0.25)54^5\times(-0.25)^545×(−0.25)5，解为 [4×(−0.25)]5=(−1)5=−1[4\times(-0.25)]^5=(-1)^5=-1[4×(−0.25)]5=(−1)5=−1。

（1）计算：①82024×(−0.125)20248^{2024}\times(-0.125)^{2024}82024×(−0.125)2024；②(125)11×(56)13×(12)12\left(\frac{12}5\right)^{11}\times\left(\frac56\right)^{13}\times\left(\frac12\right)^{12}(512)11×(65)13×(21)12。

（2）若 3×9n×81n=3253\times9^n\times81^n=3^{25}3×9n×81n=325，求 nnn。

查看答案

（1）①1；②2572\frac{25}{72}7225；（2）n=4n=4n=4。

查看分析思路

等指数幂先合成积的乘方；求参数时统一底数3。

查看详细解析

（1）①[8×(−0.125)]2024=(−1)2024=1[8\times(-0.125)]^{2024}=(-1)^{2024}=1[8×(−0.125)]2024=(−1)2024=1。

②(125×56×12)11(56)2×12=111×2536×12=2572\left(\frac{12}5\times\frac56\times\frac12\right)^{11}\left(\frac56\right)^2\times\frac12=1^{11}\times\frac{25}{36}\times\frac12=\frac{25}{72}(512×65×21)11(65)2×21=111×3625×21=7225。

（2）3×32n×34n=31+6n=3253\times3^{2n}\times3^{4n}=3^{1+6n}=3^{25}3×32n×34n=31+6n=325，所以 1+6n=251+6n=251+6n=25，n=4n=4n=4。

题型 08 · 变式 2#

若 am=ana^m=a^nam=an（a>0,a≠1a>0,a\ne1a>0,a=1，m,nm,nm,n 是正整数），则 m=nm=nm=n。利用结论：

（1）若 3x=343^x=3^43x=34，则 x=x=x=____；（2）若 8x=298^x=2^98x=29，求 xxx；（3）若 5x+2−5x+1=1005^{x+2}-5^{x+1}=1005x+2−5x+1=100，求 xxx。

查看答案

（1）4；（2）3；（3）1。

查看分析思路

统一底数或先提取共同幂，再比较指数。

查看详细解析

（1）直接得 x=4x=4x=4；（2）23x=292^{3x}=2^923x=29 得 3x=9,x=33x=9,x=33x=9,x=3；（3）5x+1(5−1)=1005^{x+1}(5-1)=1005x+1(5−1)=100，所以 5x+1=25=525^{x+1}=25=5^25x+1=25=52，得 x=1x=1x=1。

题型 08 · 变式 3#

参考东东的作业：计算 45×(−0.25)54^5\times(-0.25)^545×(−0.25)5，解为 [4×(−0.25)]5=(−1)5=−1[4\times(-0.25)]^5=(-1)^5=-1[4×(−0.25)]5=(−1)5=−1。

（1）计算：①82022×(−0.125)20228^{2022}\times(-0.125)^{2022}82022×(−0.125)2022；②(125)11×(56)13×(12)12\left(\frac{12}5\right)^{11}\times\left(\frac56\right)^{13}\times\left(\frac12\right)^{12}(512)11×(65)13×(21)12。

（2）若 3×9n×81n=3253\times9^n\times81^n=3^{25}3×9n×81n=325，求 nnn。

查看答案

（1）①1；②2572\frac{25}{72}7225；（2）n=4n=4n=4。

查看分析思路

配成相同指数的积，剩余因子另乘。

查看详细解析

（1）①[8×(−0.125)]2022=(−1)2022=1[8\times(-0.125)]^{2022}=(-1)^{2022}=1[8×(−0.125)]2022=(−1)2022=1。

（2）3×32n×34n=31+6n=3253\times3^{2n}\times3^{4n}=3^{1+6n}=3^{25}3×32n×34n=31+6n=325，所以 1+6n=251+6n=251+6n=25，n=4n=4n=4。

题型 08 · 变式 4#

2520×3521×75222^{520}\times3^{521}\times7^{522}2520×3521×7522 的值的个位数是____。

查看答案

2。

查看分析思路

只需跟踪个位数，先合成 42520imes3imes7242^{520} imes3 imes7^242520imes3imes72。

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252035217522=42520×1472^{520}3^{521}7^{522}=42^{520}\times147252035217522=42520×147。42k42^k42k 的个位数与 2k2^k2k 相同，按 2,4,8,62,4,8,62,4,8,6 四项循环；520520520 是4的倍数，故个位为6。147147147 个位为7，6×7=426\times7=426×7=42，结果个位为2。

题型 08 · 变式 5#

阅读材料：411=(22)11=2224^{11}=(2^2)^{11}=2^{22}411=(22)11=222，所以 322>4113^{22}>4^{11}322>411；82=(23)2=268^2=(2^3)^2=2^682=(23)2=26，所以 28>822^8>8^228>82。指数相同可比较正底数；相同底数大于1时可比较指数。

（1）比较 344,433,6223^{44},4^{33},6^{22}344,433,622；（2）比较 8131,2741,96181^{31},27^{41},9^{61}8131,2741,961；（3）比较 412×5104^{12}\times5^{10}412×510 与 410×5124^{10}\times5^{12}410×512。

查看答案

（1）344>433>6223^{44}>4^{33}>6^{22}344>433>622；（2）8131>2741>96181^{31}>27^{41}>9^{61}8131>2741>961；（3）412510<4105124^{12}5^{10}<4^{10}5^{12}412510<410512。

查看分析思路

分别统一指数、底数，或提取共同正因子。

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（1）分别为 8111,6411,361181^{11},64^{11},36^{11}8111,6411,3611，故按底数排序。（2）分别为 3124,3123,31223^{124},3^{123},3^{122}3124,3123,3122；124>123>122124>123>122124>123>122，故按指数排序。（3）共同因子为 2010>020^{10}>02010>0，两式分别是 2010×4220^{10}\times4^22010×42、2010×5220^{10}\times5^22010×52，因 16<2516<2516<25，前式较小。

三、强化训练#

强化训练 5#

①−a5[(−a)2]3-a^5[(-a)^2]^3−a5[(−a)2]3；②a9⋅(−a)3a^9\cdot(-a)^3a9⋅(−a)3；③(−a2)3⋅(a3)2(-a^2)^3\cdot(a^3)^2(−a2)3⋅(a3)2；④−(−a4)3-(-a^4)^3−(−a4)3。计算结果为 −a12-a^{12}−a12 的有（　）。

A．①和③　B．①和②　C．②和③　D．③和④

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C。

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逐个核对指数和符号。

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①−a5a6=−a11-a^5a^6=-a^{11}−a5a6=−a11；②a9(−a3)=−a12a^9(-a^3)=-a^{12}a9(−a3)=−a12；③(−a6)a6=−a12(-a^6)a^6=-a^{12}(−a6)a6=−a12；④−(−a12)=a12-(-a^{12})=a^{12}−(−a12)=a12。故②③符合。

强化训练 6#

(a2⋅am−1⋅a1+m)3(a^2\cdot a^{m-1}\cdot a^{1+m})^3(a2⋅am−1⋅a1+m)3 的结果为（　）。

A．a3m+3a^{3m+3}a3m+3　B．a6m+3a^{6m+3}a6m+3　C．a12ma^{12m}a12m　D．a6m+6a^{6m+6}a6m+6

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D。

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先合并括号内同底数幂，再算整体三次方。

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(a2+m−1+1+m)3=(a2m+2)3=a6m+6(a^{2+m-1+1+m})^3=(a^{2m+2})^3=a^{6m+6}(a2+m−1+1+m)3=(a2m+2)3=a6m+6，选 D。

强化训练 7#

(−12)2024×(−2)2025=\left(-\frac12\right)^{2024}\times(-2)^{2025}=(−21)2024×(−2)2025=（　）。

A．−1-1−1　B．1　C．0　D．−2-2−2

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D。

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拆出一个 −2-2−2，配成同指数倒数乘积。

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[(−12)(−2)]2024×(−2)=12024×(−2)=−2[(-\frac12)(-2)]^{2024}\times(-2)=1^{2024}\times(-2)=-2[(−21)(−2)]2024×(−2)=12024×(−2)=−2。

强化训练 8#

若 (−xm)n=xmn(-x^m)^n=x^{mn}(−xm)n=xmn（m,nm,nm,n 为正整数），下列判断正确的是（　）。

A．mmm 一定为偶数　B．nnn 一定为偶数　C．m,nm,nm,n 一定都为奇数　D．m,nm,nm,n 一定都为偶数

题设说明：若按关于 xxx 的恒等式理解，选项 B 成立；若只对某个 xxx 成立，原题缺少 x≠0x\ne0x=0，当 x=0x=0x=0 时无法确定 nnn 的奇偶性。

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按恒等式意图选 B；原题仅给一次等式时不能排除 x=0x=0x=0。

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不能在未知是否为0的情况下约去 xmnx^{mn}xmn。

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(−xm)n=(−1)nxmn(-x^m)^n=(-1)^nx^{mn}(−xm)n=(−1)nxmn。当 x≠0x\ne0x=0，约去 xmnx^{mn}xmn 得 (−1)n=1(-1)^n=1(−1)n=1，故 nnn 为偶数。若要求对所有 xxx 恒成立，也可取 x=1x=1x=1 推得 nnn 偶数；但若 x=0x=0x=0，奇数 nnn 也成立，例如 m=n=1m=n=1m=n=1 有 0=00=00=0。

强化训练 9#

已知 2n=a,5n=b,20n=c2^n=a,5^n=b,20^n=c2n=a,5n=b,20n=c，三者的等量关系为（　）。

A．c=2abc=2abc=2ab　B．ab3ab^3ab3　C．2a3b2a^3b2a3b　D．c=a2bc=a^2bc=a2b

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D。

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把20拆成 22imes52^2 imes522imes5。

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c=20n=(22×5)n=(2n)2×5n=a2bc=20^n=(2^2\times5)^n=(2^n)^2\times5^n=a^2bc=20n=(22×5)n=(2n)2×5n=a2b，选 D。

强化训练 10#

已知 5a=2b=105^a=2^b=105a=2b=10，则 a+bab\frac{a+b}{ab}aba+b 的值为（　）。

A．15\frac1551　B．12\frac1221　C．1　D．2

填空：（1）已知 (2xm)3=ax6(2x^m)^3=ax^6(2xm)3=ax6，则 a=a=a=，m=m=m=；（2）(□)3=−27x9y3(\square)^3=-27x^9y^3(□)3=−27x9y3，(□)2=4x2y4(\square)^2=4x^2y^4(□)2=4x2y4；（3）若 xn=2,yn=3x^n=2,y^n=3xn=2,yn=3，则 (x2y)2n=(x^2y)^{2n}=(x2y)2n=____。

第（1）问按关于 xxx 的恒等式比较系数、指数；仅对某个特殊底数成立时未必能唯一求 mmm。

查看答案

（1）a=8,m=2a=8,m=2a=8,m=2（恒等式意图）；（2）−3x3y-3x^3y−3x3y、±2xy2\pm2xy^2±2xy2；（3）144。

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逆用积的乘方；平方根要兼顾正负两种。

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（1）8x3m=ax68x^{3m}=ax^68x3m=ax6 按恒等式得 a=8,3m=6a=8,3m=6a=8,3m=6，故 m=2m=2m=2。（2）(−3x3y)3=−27x9y3(-3x^3y)^3=-27x^9y^3(−3x3y)3=−27x9y3，(±2xy2)2=4x2y4(\pm2xy^2)^2=4x^2y^4(±2xy2)2=4x2y4。（3）x4ny2n=(xn)4(yn)2=24×32=144x^{4n}y^{2n}=(x^n)^4(y^n)^2=2^4\times3^2=144x4ny2n=(xn)4(yn)2=24×32=144。若第（1）问仅取 x=1x=1x=1，只能得 a=8a=8a=8，不能确定 mmm。

强化训练 15#

(23)2023×1.52022×(−1)2025=\left(\frac23\right)^{2023}\times1.5^{2022}\times(-1)^{2025}=(32)2023×1.52022×(−1)2025=____。

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−23-\frac23−32。

查看分析思路

把1.5写成 rac32 rac32rac32，配对倒数。

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[23×32]2022×23×(−1)=−23[\frac23\times\frac32]^{2022}\times\frac23\times(-1)=-\frac23[32×23]2022×32×(−1)=−32。

强化训练 16#

已知 a2n=4,b2n=9a^{2n}=4,b^{2n}=9a2n=4,b2n=9，则 an⋅bn=a^n\cdot b^n=an⋅bn=____。

查看答案

666 或 −6-6−6；若另给 nnn 为偶整数，则仅为6。

查看分析思路

平方为36时要保留正负两个根，并注意指数奇偶的额外限制。

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(anbn)2=a2nb2n=4×9=36(a^nb^n)^2=a^{2n}b^{2n}=4\times9=36(anbn)2=a2nb2n=4×9=36，所以 anbn=±6a^nb^n=\pm6anbn=±6。原题没有指定 nnn 的奇偶，按一般整数幂两种符号均可能；若 nnn 偶，实数底数的偶次幂均非负，乘积只能为6。

强化训练 17#

已知 p=57,q=75p=5^7,q=7^5p=57,q=75，用含 p,qp,qp,q 的式子表示 353535^{35}3535。

查看答案

p5q7p^5q^7p5q7。

查看分析思路

底数拆成5和7，指数35对应两个已知指数的倍数。

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3535=535735=(57)5(75)7=p5q735^{35}=5^{35}7^{35}=(5^7)^5(7^5)^7=p^5q^73535=535735=(57)5(75)7=p5q7。

强化训练 18#

若 x,yx,yx,y 为正数，43x=2021,47y=202143^x=2021,47^y=202143x=2021,47y=2021，则 xyxyxy 与 x+yx+yx+y 的数量关系为____。

计算：（1）(110)5×(110)7\left(\frac1{10}\right)^5\times\left(\frac1{10}\right)^7(101)5×(101)7；（2）(x2)3(x^2)^3(x2)3；（3）22003×(12)20042^{2003}\times\left(\frac12\right)^{2004}22003×(21)2004；（4）a3⋅a3⋅a2+(a4)2+(−2a2)4a^3\cdot a^3\cdot a^2+(a^4)^2+(-2a^2)^4a3⋅a3⋅a2+(a4)2+(−2a2)4；（5）[(a5)3⋅(b3)2]2[(a^5)^3\cdot(b^3)^2]^2[(a5)3⋅(b3)2]2；（6）(a2m⋅an+1)2⋅am(a^{2m}\cdot a^{n+1})^2\cdot a^m(a2m⋅an+1)2⋅am。

查看答案

（1）(110)12\left(\frac1{10}\right)^{12}(101)12；（2）x6x^6x6；（3）12\frac1221；（4）18a818a^818a8；（5）a30b12a^{30}b^{12}a30b12；（6）a5m+2n+2a^{5m+2n+2}a5m+2n+2。

查看分析思路

先算乘方，分清加法与乘法，再合并同类项。

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（1）(110)5+7=(110)12\left(\frac1{10}\right)^{5+7}=\left(\frac1{10}\right)^{12}(101)5+7=(101)12；（2）x2×3=x6x^{2\times3}=x^6x2×3=x6。

（3）(2×12)2003×12=12\left(2\times\frac12\right)^{2003}\times\frac12=\frac12(2×21)2003×21=21。

（4）a8+a8+16a8=18a8a^8+a^8+16a^8=18a^8a8+a8+16a8=18a8；（5）(a15b6)2=a30b12(a^{15}b^6)^2=a^{30}b^{12}(a15b6)2=a30b12。

（6）(a2m+n+1)2am=a4m+2n+2+m=a5m+2n+2(a^{2m+n+1})^2a^m=a^{4m+2n+2+m}=a^{5m+2n+2}(a2m+n+1)2am=a4m+2n+2+m=a5m+2n+2。

强化训练 22#

计算 [3(x+y)3]2−[2(x+y)2]3[3(x+y)^3]^2-[2(x+y)^2]^3[3(x+y)3]2−[2(x+y)2]3，结果用幂的形式表示。

查看答案

(x+y)6(x+y)^6(x+y)6。

查看分析思路

系数与整体分别乘方，最后合并。

查看详细解析

9(x+y)6−8(x+y)6=(x+y)69(x+y)^6-8(x+y)^6=(x+y)^69(x+y)6−8(x+y)6=(x+y)6。

强化训练 23#

已知 10x=a,5x=b10^x=a,5^x=b10x=a,5x=b，用含 a,ba,ba,b 的代数式表示：（1）50x50^x50x；（2）2x2^x2x；（3）20x20^x20x。

查看答案

（1）ababab；（2）ab\frac abba；（3）a2b\frac{a^2}bba2。

查看分析思路

拆底数为已知底数的乘积或商，b=5x>0b=5^x>0b=5x>0 可作分母。

查看详细解析

（1）(5×10)x=5x10x=ab(5\times10)^x=5^x10^x=ab(5×10)x=5x10x=ab；（2）(105)x=10x5x=ab(\frac{10}5)^x=\frac{10^x}{5^x}=\frac ab(510)x=5x10x=ba；（3）(2×10)x=2x10x=ab×a=a2b(2\times10)^x=2^x10^x=\frac ab\times a=\frac{a^2}b(2×10)x=2x10x=ba×a=ba2。

强化训练 24#

已知 nnn 为正整数，xm=3,xn=2x^m=3,x^n=2xm=3,xn=2，求：（1）x2m+3nx^{2m+3n}x2m+3n；（2）(3xm+n)2−(x2)2n(3x^{m+n})^2-(x^2)^{2n}(3xm+n)2−(x2)2n。

查看答案

（1）72；（2）308。

查看分析思路

把所求幂改写为 xm,xnx^m,x^nxm,xn 的乘方和积。

查看详细解析

（1）(xm)2(xn)3=32×23=72(x^m)^2(x^n)^3=3^2\times2^3=72(xm)2(xn)3=32×23=72；（2）(3xmxn)2−(xn)4=(3×3×2)2−24=324−16=308(3x^mx^n)^2-(x^n)^4=(3\times3\times2)^2-2^4=324-16=308(3xmxn)2−(xn)4=(3×3×2)2−24=324−16=308。

强化训练 25#

规定运算：若 am=ba^m=bam=b，记 (a,b)=m(a,b)=m(a,b)=m，称为“雅对”。例如 23=82^3=823=8，所以 (2,8)=3(2,8)=3(2,8)=3。设 (3,3)=u,(3,5)=v(3,3)=u,(3,5)=v(3,3)=u,(3,5)=v，则 3u=3,3v=53^u=3,3^v=53u=3,3v=5，由 3u+v=153^{u+v}=153u+v=15 得 (3,3)+(3,5)=(3,15)(3,3)+(3,5)=(3,15)(3,3)+(3,5)=(3,15)。

（1）(5,125)=(5,125)=(5,125)=____；(□,16)=4(\square,16)=4(□,16)=4。

（2）计算 (5,2)+(5,7)(5,2)+(5,7)(5,2)+(5,7)，并说明理由。

（3）证明 (2n,3n)=(2,3)(2^n,3^n)=(2,3)(2n,3n)=(2,3) 对任意非0整数 nnn 成立。

定义范围：正底数且底数不为1时按实数指数解释，此时“雅对”值唯一；第（1）问负底数仅按整数指数验证。底数1不具有唯一指数，因此第（3）问必须保留 n≠0n\ne0n=0。

查看答案

（1）3、±2\pm2±2；（2）(5,14)(5,14)(5,14)；（3）证明见详细解析。

查看分析思路

将记号还原为幂等式，利用幂的乘法；最后一步除以 nnn 需 ne0n e0ne0。

查看详细解析

（1）53=1255^3=12553=125，故 (5,125)=3(5,125)=3(5,125)=3；u4=16u^4=16u4=16 的实数解为 u=±2u=\pm2u=±2，故空格填 ±2\pm2±2。

（2）设 (5,2)=u,(5,7)=v(5,2)=u,(5,7)=v(5,2)=u,(5,7)=v，则 5u=2,5v=75^u=2,5^v=75u=2,5v=7，5u+v=145^{u+v}=145u+v=14，故 (5,14)=u+v=(5,2)+(5,7)(5,14)=u+v=(5,2)+(5,7)(5,14)=u+v=(5,2)+(5,7)。

（3）设 (2n,3n)=u,(2,3)=v(2^n,3^n)=u,(2,3)=v(2n,3n)=u,(2,3)=v，则 (2n)u=3n(2^n)^u=3^n(2n)u=3n、2v=32^v=32v=3，所以 2nu=(2v)n=2nv2^{nu}=(2^v)^n=2^{nv}2nu=(2v)n=2nv。底数2使指数唯一，nu=nvnu=nvnu=nv；因为 n≠0n\ne0n=0，所以 u=vu=vu=v。该推理同时适用于正、负整数 nnn。

七年级数学 11.3：整式的乘法

Sat, 03 Oct 2026 00:00:00 GMT

系列阅读：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章综合复习。

阅读提示

建议计算时先辨认乘法结构，注意负号、指数及合并同类项；几何应用先明确每部分面积。

一、知识清单#

知识点 1 单项式与单项式相乘#

单项式与单项式相乘的法则#

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘.

要点：#

（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用

（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.

（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成

（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) 3b3⋅56b23 b^{3} \cdot \frac {5} {6} b^{2}3b3⋅65b2

(2) (−6ay3)(−a2)\left( - 6 a y^{3} \right) \left( - a^{2} \right)(−6ay3)(−a2)

(3) (−3x)3⋅(5x2y)\left( - 3 x \right)^{3} \cdot \left( 5 x^{2} y \right)(−3x)3⋅(5x2y) (4) (2×104)(6×103)⋅107\big ( 2 \times 10^{4} \big ) \big ( 6 \times 10^{3} \big ) \cdot 10^{7}(2×104)(6×103)⋅107

查看答案

(1)52b5( 1 ) \frac {5} {2} b^{5}(1)25b5

(2) 6a3y36 a^{3} y^{3}6a3y3

(3) −135x5y- 135 x^{5} y−135x5y

(4) 1.2×10151 . 2 \times 10^{15}1.2×1015

查看分析思路

本题考查了单项式乘以单项式，解题关键是牢记运算法则，注意：①单项式的乘法应遵循“符号优先”，先确定符号，再把它们的绝对值相乘．②单项式与单项式相乘，若它们的系数为带分数，应化为假分数，再相乘，最后结果的系数若是带分数应化为假分数.

（1）先计算系数的积，再将字母的指数相加；

（2）先计算系数的积，再将相同字母的指数相加，只在一个单项式里出现的字母则连同它的指数一起作为积的因式；

（3）先算乘方，再计算系数的积，最后将相同字母的指数相加，只在一个单项式里出现的字母则连同它的

指数一起作为积的因式；

（4）将2和6相乘，再将10的指数相加.

查看详细解析

（1）解： 3b3⋅56b23 b^{3} \cdot \frac {5} {6} b^{2}3b3⋅65b2 =(3×56)⋅(b3⋅b2)= \left( 3 \times \frac {5} {6} \right) \cdot \left( b^{3} \cdot b^{2} \right)=(3×65)⋅(b3⋅b2) =52b5= \frac {5} {2} b^{5}=25b5

（2）解： (−6ay3)(−a2)\left( - 6 a y^{3} \right) \left( - a^{2} \right)(−6ay3)(−a2)

=[(−6)×(−1)](a⋅a2)y3= [ ( - 6 ) \times ( - 1 ) ] ( a \cdot a^{2} ) y^{3}=[(−6)×(−1)](a⋅a2)y3

=6a3y3= 6 a^{3} y^{3}=6a3y3

（3）解： (−3x)3⋅(5x2y)\left( - 3 x \right)^{3} \cdot \left( 5 x^{2} y \right)(−3x)3⋅(5x2y)

=[(−3)3×5](x3⋅x2)y= [ \left( - 3 \right)^{3} \times 5 ] \left( x^{3} \cdot x^{2} \right) y=[(−3)3×5](x3⋅x2)y

=−135x5y= - 135 x^{5} y=−135x5y

（4）解： (2×104)(6×103)⋅107\big ( 2 \times 10^{4} \big ) \big ( 6 \times 10^{3} \big ) \cdot 10^{7}(2×104)(6×103)⋅107

=(2×6)×(104×103×107)= \left( 2 \times 6 \right) \times \left( 10^{4} \times 10^{3} \times 10^{7} \right)=(2×6)×(104×103×107)

=12×1014= 12 \times 10^{14}=12×1014

=1.2×1015= 1 . 2 \times 10^{15}=1.2×1015

第 2 题#

计算：

(1) 3x2y⋅(−2xy3)=_3 x^{2} y \cdot \left( - 2 x y^{3} \right) = \_3x2y⋅(−2xy3)=_ (2) (−5a4)⋅(−8ab2)=\left( - 5 a^{4} \right) \cdot \left( - 8 a b^{2} \right) =(−5a4)⋅(−8ab2)=

(3) (−2x3y2)3⋅4xy2=\left( - 2 x^{3} y^{2} \right)^{3} \cdot 4 x y^{2} =(−2x3y2)3⋅4xy2=

查看答案

(1) −6x3y4-6x^3y^4−6x3y4；(2) 40a5b240a^5b^240a5b2；(3) −32x10y8-32x^{10}y^8−32x10y8。

查看分析思路

本题考查了单项式与单项式相乘，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）根据单项式与单项式相乘的法则计算即可；

（2）根据单项式与单项式相乘的法则计算即可；

（3）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则计算即可

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（1） 3x2y⋅(−2xy3)=−6x3y43 x^{2} y \cdot \left( - 2 x y^{3} \right) = - 6 x^{3} y^{4}3x2y⋅(−2xy3)=−6x3y4

(2) (−5a4)⋅(−8ab2)=40a5b2\left( - 5 a^{4} \right) \cdot \left( - 8 a b^{2} \right) = 40 a^{5} b^{2}(−5a4)⋅(−8ab2)=40a5b2 (3) (−2x3y2)3⋅4xy2=−32x10y8\left( - 2 x^{3} y^{2} \right)^{3} \cdot 4 x y^{2} = - 32 x^{10} y^{8}(−2x3y2)3⋅4xy2=−32x10y8

故答案为： −6x3y4;40a5b2;−32x10y8- 6 x^{3} y^{4} ; 40 a^{5} b^{2} ; - 32 x^{10} y^{8}−6x3y4;40a5b2;−32x10y8

第 3 题#

已知单项式 3x2y33 x^{2} y^{3}3x2y3 与 2xy22 x y^{2}2xy2 的积为 mx3ynm x^{3} y^{n}mx3yn ，则 m−n=m - n =m−n=

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本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得 3x2y3⋅2xy2=6x3y53 x^{2} y^{3} \cdot 2 x y^{2} = 6 x^{3} y^{5}3x2y3⋅2xy2=6x3y5 ，求出m、 n的值，然后代入 m−nm - nm−n 中计算求解即可.

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解： ∵3x2y3⋅2xy2=6x3y5\because 3 x^{2} y^{3} \cdot 2 x y^{2} = 6 x^{3} y^{5}∵3x2y3⋅2xy2=6x3y5

因此 mx3yn=6x3y5mx^3y^n=6x^3y^5mx3yn=6x3y5，

∴m=6,n=5,\therefore m = 6 , n = 5 ,∴m=6,n=5,

∴m−n=6−5=1.\therefore m - n = 6 - 5 = 1 .∴m−n=6−5=1.

故答案为：1.

知识点 2 单项式与整式相乘#

单项式与整式相乘的运算法则

单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即

m(a+b+c)=ma+mb+mc.m(a+b+c)=ma+mb+mc.m(a+b+c)=ma+mb+mc.

要点：

（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.

（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.

（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) x(2x2−3x+1)x {\Bigl (} 2 x^{2} - 3 x + 1 {\Bigr )}x(2x2−3x+1)

(2) 12ab2⋅(2a2b−3ab2){\frac {1} {2}} a b^{2} \cdot \left( 2 a^{2} b - 3 a b^{2} \right)21ab2⋅(2a2b−3ab2)

(3) (2m2−mn+4n2)⋅(−mn)\left( 2 m^{2} - m n + 4 n^{2} \right) \cdot \left( - m n \right)(2m2−mn+4n2)⋅(−mn)

(4) a(a2+ab+b2)−b(a2+ab+b2)a \left( a^{2} + a b + b^{2} \right) - b \left( a^{2} + a b + b^{2} \right)a(a2+ab+b2)−b(a2+ab+b2)

查看答案

(1)2x3−3x2+x( 1 ) 2 x^{3} - 3 x^{2} + x(1)2x3−3x2+x

(2) a3b3−32a2b4a^{3} b^{3} - {\frac {3} {2}} a^{2} b^{4}a3b3−23a2b4

(3) −2m3n+m2n2−4mn3- 2 m^{3} n + m^{2} n^{2} - 4 m n^{3}−2m3n+m2n2−4mn3

(4) a3−b3a^{3} - b^{3}a3−b3

查看分析思路

本题考查了整式的混合运算，单项式乘整式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）利用单项式乘整式法则计算即可；

（2）利用单项式乘整式法则计算即可；

（3）利用单项式乘整式法则计算即可；

（4）先利用单项式乘整式法则计算，再合并同类项即可.

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（1）解： x(2x2−3x+1)=2x3−3x2+xx \left( 2 x^{2} - 3 x + 1 \right) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + xx(2x2−3x+1)=2x3−3x2+x

（2）解： 12ab2⋅(2a2b−3ab2)=a3b3−32a2b4{\frac {1} {2}} a b^{2} \cdot \left( 2 a^{2} b - 3 a b^{2} \right) = a^{3} b^{3} - {\frac {3} {2}} a^{2} b^{4}21ab2⋅(2a2b−3ab2)=a3b3−23a2b4

（3）解： (2m2−mn+4n2)⋅(−mn)=−2m3n+m2n2−4mn3\left( 2 m^{2} - m n + 4 n^{2} \right) \cdot \left( - m n \right) = - 2 m^{3} n + m^{2} n^{2} - 4 m n^{3}(2m2−mn+4n2)⋅(−mn)=−2m3n+m2n2−4mn3

（4）解： a(a2+ab+b2)−b(a2+ab+b2)a {\left( a^{2} + a b + b^{2} \right)} - b {\left( a^{2} + a b + b^{2} \right)}a(a2+ab+b2)−b(a2+ab+b2)

=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3

=a3−b3= a^{3} - b^{3}=a3−b3

第 2 题#

(1) a(2b−3c+2d)=a \left( 2 b - 3 c + 2 d \right) =a(2b−3c+2d)=

(2) (−3x)(2x2−x−1)=;\left( - 3 x \right) \left( 2 x^{2} - x - 1 \right) = \qquad ;(−3x)(2x2−x−1)=;

(3) (3x)2(13x2−19x−2)=( 3 x )^{2} \left( {\frac {1} {3}} x^{2} - {\frac {1} {9}} x - 2 \right) =(3x)2(31x2−91x−2)=

(4) a(b+c−bc)−b(c+a−ac)+c(b−c)=a(b+c-bc)-b(c+a-ac)+c(b-c)=a(b+c−bc)−b(c+a−ac)+c(b−c)=____。

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(1) 2ab−3ac+2ad2ab-3ac+2ad2ab−3ac+2ad；(2) −6x3+3x2+3x-6x^3+3x^2+3x−6x3+3x2+3x；(3) 3x4−x3−18x23x^4-x^3-18x^23x4−x3−18x2；(4) ac−c2ac-c^2ac−c2。

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本题考查单项式乘以整式，根据项式乘以整式的运算即可求解，理解并掌握单项式乘以整式的运算法则是解决问题的关键.

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解：（1） a(2b−3c+2d)=2ab−3ac+2ada \left( 2 b - 3 c + 2 d \right) = 2 a b - 3 a c + 2 a da(2b−3c+2d)=2ab−3ac+2ad 故答案为： 2ab−3ac+2ad2 a b - 3 a c + 2 a d2ab−3ac+2ad (2) (−3x)(2x2−x−1)=−6x3+3x2+3x\left( - 3 x \right) \left( 2 x^{2} - x - 1 \right) = - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x(−3x)(2x2−x−1)=−6x3+3x2+3x

故答案为： −6x3+3x2+3x- 6 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x−6x3+3x2+3x

(3) (3x)2(13x2−19x−2)=9x2⋅(13x2−19x−2)=3x4−x3−18x2( 3 x )^{2} \left( {\frac {1} {3}} x^{2} - {\frac {1} {9}} x - 2 \right) = 9 x^{2} \cdot \left( {\frac {1} {3}} x^{2} - {\frac {1} {9}} x - 2 \right) = 3 x^{4} - x^{3} - 18 x^{2}(3x)2(31x2−91x−2)=9x2⋅(31x2−91x−2)=3x4−x3−18x2

故答案为： 3x4−x3−18x23 x^{4} - x^{3} - 18 x^{2}3x4−x3−18x2 (4) a(b+c−bc)−b(c+a−ac)+c(b−c)a \left( b + c - b c \right) - b \left( c + a - a c \right) + c \left( b - c \right)a(b+c−bc)−b(c+a−ac)+c(b−c)

=ab+ac−abc−bc−ab+abc+bc−c2= a b + a c - a b c - b c - a b + a b c + b c - c^{2}=ab+ac−abc−bc−ab+abc+bc−c2

=ac−c2= a c - c^{2}=ac−c2

故答案为： ac−c2a c - c^{2}ac−c2

第 3 题#

一个长方形的长为 6x26 x^{2}6x2 ，宽为 3x−23 x - 23x−2 ，则这个长方形的面积为_

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18x3−12x218 x^{3} - 12 x^{2}18x3−12x2

查看分析思路

本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘整式的运算法则

根据长方形的面积为长×宽，即可求解.

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解：长方形的面积 =6x2⋅(3x−2)=18x3−12x2 = 6 x^{2} \cdot ( 3 x - 2 ) = 18 x^{3} - 12 x^{2}=6x2⋅(3x−2)=18x3−12x2

故答案为： 18x3−12x218 x^{3} - 12 x^{2}18x3−12x2

知识点 3 整式与整式相乘#

1. 思考#

如何计算 (2x3+3xy)⋅(x+y2)?( 2 \mathbf {x}^{3} + 3 \mathbf {x} \mathbf {y} ) \cdot ( \mathbf {x} + \mathbf {y}^{2} ) ?(2x3+3xy)⋅(x+y2)?

可以把 x+y2x+y^2x+y2 看成一个整体，运用乘法对加法的分配律计算，得

(2x3+3xy)⋅(x+y2)=2x3⋅(x+y2)+3xy⋅(x+y2)=2x3⋅x+2x3⋅y2+3xy⋅x+3xy⋅y2=2x4+2x3y2+3x2y+3xy3.\begin{array} {c} {{( 2 \mathrm {x}^{3} + 3 \mathrm {x y} ) {\cdot} ( \mathrm {x} + \mathrm {y}^{2} ) {=} 2 \mathrm {x}^{3} {\cdot} ( \mathrm {x} + \mathrm {y}^{2} ) + 3 \mathrm {x y} {\cdot} ( \mathrm {x} + \mathrm {y}^{2} )}} \\ {{=} 2 \mathrm {x}^{3} {\cdot} \mathrm {x} + 2 \mathrm {x}^{3} {\cdot} \mathrm {y}^{2} + 3 \mathrm {x y} {\cdot} \mathrm {x} + 3 \mathrm {x y} {\cdot} \mathrm {y}^{2}} \\ {{=} 2 \mathrm {x}^{4} + 2 \mathrm {x}^{3} \mathrm {y}^{2} + 3 \mathrm {x}^{2} \mathrm {y} + 3 \mathrm {x y}^{3} .} \end{array}(2x3+3xy)⋅(x+y2)=2x3⋅(x+y2)+3xy⋅(x+y2)=2x3⋅x+2x3⋅y2+3xy⋅x+3xy⋅y2=2x4+2x3y2+3x2y+3xy3.

2. 整式与整式相乘的运算法则#

整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.

要点：

整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积

整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.( x + a ) ( x + b ) = x^{2} + ( a + b ) x + a b .(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) (x+2)(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+1)

(2) (m−1)(m−2)( m - 1 ) ( m - 2 )(m−1)(m−2)

(3) (2a−3b)(3a+2b){\left( 2 a - 3 b \right)} {\left( 3 a + 2 b \right)}(2a−3b)(3a+2b)

(4) (2a+3)(−a−2)\left( 2 a + 3 \right) \left( - a - 2 \right)(2a+3)(−a−2)

查看答案

(1)x2+3x+2( 1 ) x^{2} + 3 x + 2(1)x2+3x+2

(2) m2−3m+2m^{2} - 3 m + 2m2−3m+2

(3) 6a2−5ab−6b26 a^{2} - 5 a b - 6 b^{2}6a2−5ab−6b2

(4) −2a2−7a−6- 2 a^{2} - 7 a - 6−2a2−7a−6

查看分析思路

此题考查了整式乘以整式运算，解题的关键是掌握整式乘以整式运算法则

（1）利用整式乘以整式运算法则求解即可；

（2）利用整式乘以整式运算法则求解即可；

（3）利用整式乘以整式运算法则求解即可；

（4）利用整式乘以整式运算法则求解即可

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(1) (x+2)(x+1)( 1 ) \ \bigl ( x + 2 \bigr ) \bigl ( x + 1 \bigr )(1) (x+2)(x+1)

=x2+x+2x+2= x^{2} + x + 2 x + 2=x2+x+2x+2

=x2+3x+2;= x^{2} + 3 x + 2 ;=x2+3x+2;

(2) (m−1)(m−2)( 2 ) \ \left( m - 1 \right) \left( m - 2 \right)(2) (m−1)(m−2)

=m2−2m−m+2= m^{2} - 2 m - m + 2=m2−2m−m+2

=m2−3m+2=m^2-3m+2=m2−3m+2；

(3) (2a−3b)(3a+2b)=6a2+4ab−9ab−6b2=6a2−5ab−6b2(2a-3b)(3a+2b)=6a^2+4ab-9ab-6b^2=6a^2-5ab-6b^2(2a−3b)(3a+2b)=6a2+4ab−9ab−6b2=6a2−5ab−6b2； (4) (2a+3)(−a−2)=−2a2−4a−3a−6=−2a2−7a−6(2a+3)(-a-2)=-2a^2-4a-3a-6=-2a^2-7a-6(2a+3)(−a−2)=−2a2−4a−3a−6=−2a2−7a−6。

第 2 题#

计算：

(1) (ab+3cd)(3ab−2cd)( a b + 3 c d ) ( 3 a b - 2 c d )(ab+3cd)(3ab−2cd)

(2) (9m−4n)(4n+9m)\big ( 9 m - 4 n \big ) \big ( 4 n + 9 m \big )(9m−4n)(4n+9m)

(3) (a+b+1)(a−b−2){\big (} a + b + 1 {\big )} {\big (} a - b - 2 {\big )}(a+b+1)(a−b−2)

(4) (x−2)(x+5)−(2x−3)(2x+1)( x - 2 ) ( x + 5 ) - ( 2 x - 3 ) ( 2 x + 1 )(x−2)(x+5)−(2x−3)(2x+1)

查看答案

(1)3a2b2+7abcd−6c2d2( 1 ) 3 a^{2} b^{2} + 7 a b c d - 6 c^{2} d^{2}(1)3a2b2+7abcd−6c2d2

(2) 81m2−16n281 m^{2} - 16 n^{2}81m2−16n2

(3) a2−a−b2−3b−2a^{2} - a - b^{2} - 3 b - 2a2−a−b2−3b−2

(4) −3x2+7x−7- 3 x^{2} + 7 x - 7−3x2+7x−7

查看分析思路

本题考查整式的混合运算，

（1）直接利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可；

（2）直接利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可：

（3）直接利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可：

（4）先利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后去括号，最后进行合并即可；

解题的关键是掌握整式乘整式的运算法则：整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每项，再把所得的积相加.

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（1）解： (ab+3cd)(3ab−2cd)( a b + 3 c d ) ( 3 a b - 2 c d )(ab+3cd)(3ab−2cd) =3a2b2−2abcd+9abcd−6c2d2= 3 a^{2} b^{2} - 2 a b c d + 9 a b c d - 6 c^{2} d^{2}=3a2b2−2abcd+9abcd−6c2d2 =3a2b2+7abcd−6c2d2;= 3 a^{2} b^{2} + 7 a b c d - 6 c^{2} d^{2} ;=3a2b2+7abcd−6c2d2; (2) (9m−4n)(4n+9m)(9m-4n)(4n+9m)(9m−4n)(4n+9m) =36mn+81m2−16n2−36mn= 36 m n + 81 m^{2} - 16 n^{2} - 36 m n=36mn+81m2−16n2−36mn =81m2−16n2;= 81 m^{2} - 16 n^{2} ;=81m2−16n2; (3) (a+b+1)(a−b−2)(a+b+1)(a-b-2)(a+b+1)(a−b−2) =a2−ab−2a+ab−b2−2b+a−b−2= a^{2} - a b - 2 a + a b - b^{2} - 2 b + a - b - 2=a2−ab−2a+ab−b2−2b+a−b−2 =a2−a−b2−3b−2;= a^{2} - a - b^{2} - 3 b - 2 ;=a2−a−b2−3b−2;

(4) (x−2)(x+5)−(2x−3)(2x+1)( x - 2 ) ( x + 5 ) - ( 2 x - 3 ) ( 2 x + 1 )(x−2)(x+5)−(2x−3)(2x+1) =x2+5x−2x−10−(4x2+2x−6x−3)= x^{2} + 5 x - 2 x - 10 - \left( 4 x^{2} + 2 x - 6 x - 3 \right)=x2+5x−2x−10−(4x2+2x−6x−3) =x2+5x−2x−10−4x2−2x+6x+3= x^{2} + 5 x - 2 x - 10 - 4 x^{2} - 2 x + 6 x + 3=x2+5x−2x−10−4x2−2x+6x+3 =−3x2+7x−7= - 3 x^{2} + 7 x - 7=−3x2+7x−7

第 3 题#

已知 (x+a)(x−2)=x2+x+b( x + a ) ( x - 2 ) = x^{2} + x + b(x+a)(x−2)=x2+x+b ，则a，b的值分别是（） A. a=−3a = -3a=−3,b=−6b = -6b=−6B. a=3a = 3a=3,b=−6b = -6b=−6C. a=−3a =-3a=−3,b=6b = 6b=6D. a=3a =3a=3,b=6b = 6b=6

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本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题关键．先利用整式乘以整式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得.

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解： (x+a)(x−2)=x2−2x+ax−2a=x2+(a−2)x−2a\ ( x + a ) ( x - 2 ) = x^{2} - 2 x + a x - 2 a = x^{2} + ( a - 2 ) x - 2 a (x+a)(x−2)=x2−2x+ax−2a=x2+(a−2)x−2a ∵(x+a)(x−2)=x2+x+b\because ( x + a ) ( x - 2 ) = x^{2} + x + b∵(x+a)(x−2)=x2+x+b ∴x2+(a−2)x−2a=x2+x+b\therefore x^{2} + ( a - 2 ) x - 2 a = x^{2} + x + b∴x2+(a−2)x−2a=x2+x+b ∴a−2=1,−2a=b\therefore a - 2 = 1 , - 2 a = b∴a−2=1,−2a=b ∴a=3,b=−6\therefore a = 3 , b = - 6∴a=3,b=−6 故选：B.

第 4 题#

计算(2x−y)(3x+y)(2x-y)(3x+y)(2x−y)(3x+y)的结果中，含xy的项的系数为（)A. -1 B. 1 C. 5 D. -5

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本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题关键．根据整式乘以整式法则计算即可得.

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解： (2x−y)(3x+y){\big (} 2 x - y {\big )} {\big (} 3 x + y {\big )}(2x−y)(3x+y) =6x2+2xy−3xy−y2= 6 x^{2} + 2 x y - 3 x y - y^{2}=6x2+2xy−3xy−y2 =6x2−xy−y2= 6 x^{2} - x y - y^{2}=6x2−xy−y2 则计算(2x−y)(3x+y)(2x-y)(3x+y)(2x−y)(3x+y)的结果中，含xy的项的系数为-1，故选：A.

第 5 题#

已知P=(x−1)(x−4)P=(x-1)(x-4)P=(x−1)(x−4)，Q=(x−2)(x−3)Q=(x-2)(x-3)Q=(x−2)(x−3)，则P与Q的大小关系为（)A. P>QP>QP>QB. P=QP=QP=QC. P<QP< QP<QD. 不确定

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本题考查整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式运算法则是解题的关键根据整式乘以整式分别计算P与Q，然后做差比较即可：

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解： P=(x−1)(x−4)=x2−5x+4P = ( x - 1 ) ( x - 4 ) = x^{2} - 5 x + 4P=(x−1)(x−4)=x2−5x+4

Q=(x−2)(x−3)=x2−5x+6Q = {\big (} x - 2 {\big )} {\big (} x - 3 {\big )} = x^{2} - 5 x + 6Q=(x−2)(x−3)=x2−5x+6

Q−P=x2−5x+6−(x2−5x+4)=2>0Q-P=x^2-5x+6-(x^2-5x+4)=2>0Q−P=x2−5x+6−(x2−5x+4)=2>0，

则 Q>PQ > PQ>P

故选：C

二、题型精讲#

题型 01 单项式与单项式相乘#

典例1#

计算：

(1) 6a5⋅5a36 a^{5} \cdot 5 a^{3}6a5⋅5a3

(2) (−2a2c)⋅(−3bc)\left( - 2 a^{2} c \right) \cdot \left( - 3 b c \right)(−2a2c)⋅(−3bc)

(3) 3a2b⋅2ab⋅13abc23 a^{2} b \cdot 2 a b \cdot {\frac {1} {3}} a b c^{2}3a2b⋅2ab⋅31abc2

(4) (−4ab)3⋅(34a2b)3\left( - 4 a b \right)^{3} \cdot \left( \frac {3} {4} a^{2} b \right)^{3}(−4ab)3⋅(43a2b)3

(5) (2×103)2×(−3×105)3\left( 2 \times 10^{3} \right)^{2} \times \left( - 3 \times 10^{5} \right)^{3}(2×103)2×(−3×105)3

(6) (−3an−1b)⋅(−2a2nbn−1)\left( - 3 a^{n - 1} b \right) \cdot \left( - 2 a^{2 n} b^{n - 1} \right)(−3an−1b)⋅(−2a2nbn−1) (n是整数， n>1n>1n>1）

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(1) 30a830 a^{8}30a8

(2) 6a2bc26 a^{2} b c^{2}6a2bc2

(3) 2a4b3c22 a^{4} b^{3} c^{2}2a4b3c2

(4) −27a9b6- 27 a^{9} b^{6}−27a9b6

(5) −1.08×1023- 1 . 08 \times 10^{23}−1.08×1023

(6) 6a3n−1bn6 a^{3 n - 1} b^{n}6a3n−1bn

查看分析思路

本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键

（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；

（3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（5）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（6）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可.

查看详细解析

（1）解： 6a5⋅5a3=30a86 a^{5} \cdot 5 a^{3} = 30 a^{8}6a5⋅5a3=30a8

（2）解； (−2a2c)⋅(−3bc)=6a2bc2\left( - 2 a^{2} c \right) \cdot \left( - 3 b c \right) = 6 a^{2} b c^{2}(−2a2c)⋅(−3bc)=6a2bc2

（3）解： 3a2b⋅2ab⋅13abc2=6a3b2⋅13abc2=2a4b3c23 a^{2} b \cdot 2 a b \cdot {\frac {1} {3}} a b c^{2} = 6 a^{3} b^{2} \cdot {\frac {1} {3}} a b c^{2} = 2 a^{4} b^{3} c^{2}3a2b⋅2ab⋅31abc2=6a3b2⋅31abc2=2a4b3c2 （4）解： (−4ab)3⋅(34a2b)3\left( - 4 a b \right)^{3} \cdot \left( \frac {3} {4} a^{2} b \right)^{3}(−4ab)3⋅(43a2b)3 =−64a3b3⋅2764a6b3= - 64 a^{3} b^{3} \cdot \frac {27} {64} a^{6} b^{3}=−64a3b3⋅6427a6b3 =−27a9b6;= - 27 a^{9} b^{6} ;=−27a9b6; （5）解： (2×103)2×(−3×105)3\left( 2 \times 10^{3} \right)^{2} \times \left( - 3 \times 10^{5} \right)^{3}(2×103)2×(−3×105)3 =4×106×(−27×1015)= 4 \times 10^{6} \times \left( - 27 \times 10^{15} \right)=4×106×(−27×1015) =−108×1021= - 108 \times 10^{21}=−108×1021 =−1.08×1023= - 1 . 08 \times 10^{23}=−1.08×1023 （6）解： (−3an−1b)⋅(−2a2nbn−1)\left( - 3 a^{n - 1} b \right) \cdot \left( - 2 a^{2 n} b^{n - 1} \right)(−3an−1b)⋅(−2a2nbn−1) =6an−1+2nb1+n−1= 6 a^{n - 1 + 2 n} b^{1 + n - 1}=6an−1+2nb1+n−1 =6a3n−1bn= 6 a^{3 n - 1} b^{n}=6a3n−1bn

变式1#

计算：

(1) −(x2)2⋅(2xy2)3-\left(x^2\right)^2 \cdot \left( 2 x y^{2} \right)^{3}−(x2)2⋅(2xy2)3 (2) (a2)2⋅(−2ab)\left( a^{2} \right)^{2} \cdot \left( - 2 a b \right)(a2)2⋅(−2ab) (3) (−x2)⋅2x⋅(−5x)3\left( - x^{2} \right) \cdot 2 x \cdot \left( - 5 x \right)^{3}(−x2)⋅2x⋅(−5x)3 (4) (2x2)3⋅(−3xy2)\left( 2 x^{2} \right)^{3} \cdot \left( - 3 x y^{2} \right)(2x2)3⋅(−3xy2)

查看答案

(1) −8x7y6 - 8 x^{7} y^{6}−8x7y6 (2) −2a5b- 2 a^{5} b−2a5b (3) 250x6250 x^{6}250x6 (4) −24x7y2- 24 x^{7} y^{2}−24x7y2

查看分析思路

本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键.

先分别对各题运用幂的乘方、积的乘方计算，然后再运用单项式乘单项式法则计算即可.

查看详细解析

（1）解： −(x2)2⋅(2xy2)3- {\left( x^{2} \right)}^{2} \cdot {\left( 2 x y^{2} \right)}^{3}−(x2)2⋅(2xy2)3

=−x4⋅8x3y6= - x^{4} \cdot 8 x^{3} y^{6}=−x4⋅8x3y6

=−8x7y6= - 8 x^{7} y^{6}=−8x7y6

（2）解： (a2)2⋅(−2ab)\left( a^{2} \right)^{2} \cdot \left( - 2 a b \right)(a2)2⋅(−2ab)

=a4⋅(−2ab)= a^{4} \cdot \left( - 2 a b \right)=a4⋅(−2ab)

=-2a5b2a^5b2a5b （3）解： (−x2)⋅2x⋅(−5x)3\left( - x^{2} \right) \cdot 2 x \cdot \left( - 5 x \right)^{3}(−x2)⋅2x⋅(−5x)3 =(−x2)⋅2x⋅(−125x3)= \left( - x^{2} \right) \cdot 2 x \cdot \left( - 125 x^{3} \right)=(−x2)⋅2x⋅(−125x3) =250x6= 250 x^{6}=250x6 （4）解： (2x2)3⋅(−3xy2)\left( 2 x^{2} \right)^{3} \cdot \left( - 3 x y^{2} \right)(2x2)3⋅(−3xy2) =8x6⋅(−3xy2)= 8 x^{6} \cdot \left( - 3 x y^{2} \right)=8x6⋅(−3xy2) =−24x7y2= - 24 x^{7} y^{2}=−24x7y2

变式2#

计算：

(1) 23x3y2⋅(32xy2)2⋅(23x){\frac {2} {3}} x^{3} y^{2} \cdot \left( {\frac {3} {2}} x y^{2} \right)^{2} \cdot \left( {\frac {2} {3}} x \right)32x3y2⋅(23xy2)2⋅(32x)

(2) (−3xy)2(−15x2y)3⋅(−14yz2)2\left( - 3 x y \right)^{2} \left( - \frac {1} {5} x^{2} y \right)^{3} \cdot \left( - \frac {1} {4} y z^{2} \right)^{2}(−3xy)2(−51x2y)3⋅(−41yz2)2

查看答案

(1)x6y6( 1 ) x^{6} y^{6}(1)x6y6

(2) −92000x8y7z4- {\frac {9} {2000}} x^{8} y^{7} z^{4}−20009x8y7z4

查看分析思路

本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；

（1）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解；

（2）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解.

查看详细解析

（1）解：原式 =23x3y2⋅94x2y4⋅(23x) = \frac {2} {3} x^{3} y^{2} \cdot \frac {9} {4} x^{2} y^{4} \cdot \left( \frac {2} {3} x \right)=32x3y2⋅49x2y4⋅(32x) =23×94×23⋅x3+2+1y2+4= {\frac {2} {3}} \times {\frac {9} {4}} \times {\frac {2} {3}} \cdot x^{3 + 2 + 1} y^{2 + 4}=32×49×32⋅x3+2+1y2+4 =x6y6= {x^{6} y^{6}}=x6y6 （2）解：原 =9x2y2⋅(−1125x6y3)⋅(116y2z4) = 9 x^{2} y^{2} \cdot \left( - \frac {1} {125} x^{6} y^{3} \right) \cdot \left( \frac {1} {16} y^{2} z^{4} \right)=9x2y2⋅(−1251x6y3)⋅(161y2z4) =−9×1125×116x2+6y2+3+2z4= - 9 \times \frac {1} {125} \times \frac {1} {16} x^{2 + 6} y^{2 + 3 + 2} z^{4}=−9×1251×161x2+6y2+3+2z4 =−92000x8y7z4= - {\frac {9} {2000}} x^{8} y^{7} z^{4}=−20009x8y7z4

题型 02 单项式与单项式相乘求值问题#

典例1#

先化简，后求值： 4x3y3⋅(−34x2y)2+(−14x2y)⋅16xy24 x^{3} y^{3} \cdot \left( - {\frac {3} {4}} x^{2} y \right)^{2} + \left( - {\frac {1} {4}} x^{2} y \right) \cdot 16 x y^{2}4x3y3⋅(−43x2y)2+(−41x2y)⋅16xy2 ，其中 x=0.4,y=−2.5x = 0 . 4 , y = - 2 . 5x=0.4,y=−2.5

查看答案

94x7y5−4x3y3,31625{\frac {9} {4}} x^{7} y^{5} - 4 x^{3} y^{3} , 3 {\frac {16} {25}}49x7y5−4x3y3,32516

查看分析思路

此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则

查看详细解析

解： 4x3y3⋅(−34x2y)2+(−14x2y)⋅16xy24 x^{3} y^{3} \cdot \left( - {\frac {3} {4}} x^{2} y \right)^{2} + \left( - {\frac {1} {4}} x^{2} y \right) \cdot 16 x y^{2}4x3y3⋅(−43x2y)2+(−41x2y)⋅16xy2 =4x3y3⋅916x4y2+(−4x3y3)= 4 x^{3} y^{3} \cdot {\frac {9} {16}} x^{4} y^{2} + \left( - 4 x^{3} y^{3} \right)=4x3y3⋅169x4y2+(−4x3y3) =94x7y5−4x3y3= {\frac {9} {4}} x^{7} y^{5} - 4 x^{3} y^{3}=49x7y5−4x3y3 当 x=0.4=25,y=−2.5=−52x = 0 . 4 = \frac {2} {5} , y = - 2 . 5 = - \frac {5} {2}x=0.4=52,y=−2.5=−25 时，原式 :=94×(25)7×(−52)5−4×(25)3×(−52)3: = \frac {9} {4} \times ( \frac {2} {5} )^{7} \times ( - \frac {5} {2} )^{5} - 4 \times ( \frac {2} {5} )^{3} \times ( - \frac {5} {2} )^{3}:=49×(52)7×(−25)5−4×(52)3×(−25)3 =−94×2757×5525−4×(−25×52)3= - {\frac {9} {4}} \times {\frac {2^{7}} {5^{7}}} \times {\frac {5^{5}} {2^{5}}} - 4 \times \left( - {\frac {2} {5}} \times {\frac {5} {2}} \right)^{3}=−49×5727×2555−4×(−52×25)3 =−925+4= - {\frac {9} {25}} + 4=−259+4 =31625= 3 \frac {16} {25}=32516

变式1#

已知 (m+2)a2b∣m+1∣\left( \mathbf {m} + 2 \right) \mathbf {a}^{2} \mathbf {b}^{| \mathbf {m} + 1 |}(m+2)a2b∣m+1∣ 是关于a，b的三次单项式，且 ∣n+1∣=2\left| \mathbf {n}+1 \right| = 2∣n+1∣=2 ，求 2m2⋅(−2mn)⋅(−12m2n3)+n2 \mathrm {m}^{2} \cdot ( - 2 \mathrm {m n} ) \cdot \left( - {\frac {1} {2}} \mathrm {m}^{2} \mathrm {n}^{3} \right) + \mathrm {n}2m2⋅(−2mn)⋅(−21m2n3)+n 的值.

查看答案

当 m=0,n=1\scriptstyle \mathbf {m} = 0 , \mathbf {n} = 1m=0,n=1 时，原式=1；当 m=0, n=−3\mathrm {m} = 0 , ~ \mathrm {n} = - 3m=0, n=−3 时，原式=-3.

查看分析思路

先根据三次单项式，求得m，根据绝对值的意义求得n，再化简代数式求值

查看详细解析

解：由题意得 {m+2≠0,∣m+1∣+2=3.\begin{cases}m+2\ne0,\\|m+1|+2=3.\end{cases}{m+2=0,∣m+1∣+2=3.

解得m=0m=0m=0.

∵∣n+1∣=2\because \left| \mathbf {n}+1 \right| = 2∵∣n+1∣=2

∴n=1\therefore \mathrm {n} = 1∴n=1

n=−3n = - 3n=−3

2m2⋅(−2mn)⋅(−12m2n3)+n2 \mathrm {m}^{2} \cdot ( - 2 \mathrm {m n} ) \cdot \left( - {\frac {1} {2}} \mathrm {m}^{2} \mathrm {n}^{3} \right) + \mathrm {n}2m2⋅(−2mn)⋅(−21m2n3)+n

=2m2+1+2n1+3+n= 2 \mathrm {m}^{2 + 1 + 2} \mathrm {n}^{1 + 3} + \mathrm {n}=2m2+1+2n1+3+n

=2m5n4+n= 2 \mathrm {m}^{5} \mathrm {n}^{4} + \mathrm {n}=2m5n4+n

当 m=0,n=1m=0,n=1m=0,n=1 时，原式 =1=1=1；当 m=0,n=−3m=0,n=-3m=0,n=−3 时，原式 =−3=-3=−3。

点睛。 本题考查单项式的系数与次数，单项式的乘法，熟练掌握基础知识是关键

变式2#

已知 −2x3m+1y2n-2x^{3m+1}y^{2n}−2x3m+1y2n 与 4x−3y44x^{-3}y^44x−3y4 的积和 −4x4y2-4x^4y^2−4x4y2 是同类项。

(1)求m,n的值，

(2)先化简，再求值： 5m3n⋅(−3n)2+(6mn)2⋅(−mn)−mn3⋅(−4m)25 m^{3} n \cdot \left( - 3 n \right)^{2} + \left( 6 m n \right)^{2} \cdot \left( - m n \right) - m n^{3} \cdot \left( - 4 m \right)^{2}5m3n⋅(−3n)2+(6mn)2⋅(−mn)−mn3⋅(−4m)2

查看答案

(1) m=2,n=−1 m = 2 , n = - 1m=2,n=−1

(2)−7m3n3( 2 ) - 7 m^{3} n^{3}(2)−7m3n3 ，56

查看分析思路

本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：

（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出 −2x3m+1y2n⋅4x−3y4=−8x3m+1−3y2n+4- 2 x^{3 m + 1} y^{2 n} \cdot 4 x^{- 3} y^{4} = - 8 x^{3 m + 1 - 3} y^{2 n + 4}−2x3m+1y2n⋅4x−3y4=−8x3m+1−3y2n+4 ，再由同类项的定义得到 3m+1−3=4,2n+4=23 m + 1 - 3 = 4 , 2 n + 4 = 23m+1−3=4,2n+4=2 ，解之即可得到答案；

（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可.

查看详细解析

（1）解： −2x3m+1y2n⋅4x−3y4=−8x3m+1−3y2n+4- 2 x^{3 m + 1} y^{2 n} \cdot 4 x^{- 3} y^{4} = - 8 x^{3 m + 1 - 3} y^{2 n + 4}−2x3m+1y2n⋅4x−3y4=−8x3m+1−3y2n+4

−8x3m−2y2n+4-8x^{3m-2}y^{2n+4}−8x3m−2y2n+4 与 −4x4y2-4x^4y^2−4x4y2 是同类项。

因此 −8x3m−2y2n+4-8x^{3m-2}y^{2n+4}−8x3m−2y2n+4 与 −4x4y2-4x^4y^2−4x4y2 是同类项，

∴3m+1−3=4,2n+4=2\therefore 3 m + 1 - 3 = 4 , 2 n + 4 = 2∴3m+1−3=4,2n+4=2

∴m=2,n=−1;\therefore m = 2 , n = - 1 ;∴m=2,n=−1;

（2）解： 5m3n⋅(−3n)2+(6mn)2⋅(−mn)−mn3⋅(−4m)25 m^{3} n \cdot \left( - 3 n \right)^{2} + \left( 6 m n \right)^{2} \cdot \left( - m n \right) - m n^{3} \cdot \left( - 4 m \right)^{2}5m3n⋅(−3n)2+(6mn)2⋅(−mn)−mn3⋅(−4m)2 =5m3n⋅9n2+36m2n2⋅(−mn)−mn3⋅16m2= 5 m^{3} n \cdot 9 n^{2} + 36 m^{2} n^{2} \cdot \left( - m n \right) - m n^{3} \cdot 16 m^{2}=5m3n⋅9n2+36m2n2⋅(−mn)−mn3⋅16m2 =45m3n3−36m3n3−16m3n3= 45 m^{3} n^{3} - 36 m^{3} n^{3} - 16 m^{3} n^{3}=45m3n3−36m3n3−16m3n3 =−7m3n3= - 7 m^{3} n^{3}=−7m3n3 当 m=2,n=−1m = 2 , n = - 1m=2,n=−1 时，原式 =−7×23×(−1)3=56 = - 7 \times 2^{3} \times \left( - 1 \right)^{3} = 56=−7×23×(−1)3=56

点睛。 原题含负指数，按此表达式求得 m=2,n=−1m=2,n=-1m=2,n=−1 后要求 xe0,ye0x e0,y e0xe0,ye0。这些表达式不属于通常定义的整式。

题型 03 单项式与整式相乘#

典例1#

计算：

(1) 4x(2x2+3x−1)4 x {\left( 2 x^{2} + 3 x - 1 \right)}4x(2x2+3x−1)

(2) (23ab2−2ab)⋅(−12ab).\left( \frac {2} {3} a b^{2} - 2 a b \right) \cdot \left( - \frac {1} {2} a b \right) .(32ab2−2ab)⋅(−21ab).

查看答案

(1)8x3+12x2−4x( 1 ) 8 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x(1)8x3+12x2−4x

(2) −13a2b3+a2b2- {\frac {1} {3}} a^{2} b^{3} + a^{2} b^{2}−31a2b3+a2b2

查看分析思路

本题考查单项式乘整式，熟练掌握运算法则是解题的关键，

（1）根据单项式乘整式的法则，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加；

（2）根据单项式乘整式的法则，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加

查看详细解析

（1）解： 4x(2x2+3x−1)4 x {\left( 2 x^{2} + 3 x - 1 \right)}4x(2x2+3x−1)

=4x⋅2x2+4x⋅3x+4x⋅(−1)= 4 x \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 3 x + 4 x \cdot ( - 1 )=4x⋅2x2+4x⋅3x+4x⋅(−1)

=8x3+12x2−4x= 8 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x=8x3+12x2−4x

（2）解： (23ab2−2ab)⋅(−12ab){\Bigg (} {\frac {2} {3}} a b^{2} - 2 a b {\Bigg )} \cdot {\Bigg (} - {\frac {1} {2}} a b {\Bigg )}(32ab2−2ab)⋅(−21ab)

=23ab2⋅(−12ab)+(−2ab)⋅(−12ab)= {\frac {2} {3}} a b^{2} \cdot \left( - {\frac {1} {2}} a b \right) + \left( - 2 a b \right) \cdot \left( - {\frac {1} {2}} a b \right)=32ab2⋅(−21ab)+(−2ab)⋅(−21ab)

=−13a2b3+a2b2= - {\frac {1} {3}} a^{2} b^{3} + a^{2} b^{2}=−31a2b3+a2b2

变式1#

（1）计算： −12x⋅(−2x2+4)- {\frac {1} {2}} x \cdot \left( - 2 x^{2} + 4 \right)−21x⋅(−2x2+4)

(2) 计算： 4xy⋅(−3y)+2y(6xy+2)4 x y \cdot \left( - 3 y \right) + 2 y \left( 6 x y + 2 \right)4xy⋅(−3y)+2y(6xy+2)

（3）计算： (−12a2b)2(4a−b2)\left( - {\frac {1} {2}} a^{2} b \right)^{2} \left( 4 a - b^{2} \right)(−21a2b)2(4a−b2)

（4）计算： x2(x−1)−x(x2−x−1)x^{2} \left( x - 1 \right) - x \left( x^{2} - x - 1 \right)x2(x−1)−x(x2−x−1)

查看答案

(1)x3−2x(1)x^3-2x(1)x3−2x；（2）4y；（3） a5b2−14a4b4a^{5} b^{2} - {\frac {1} {4}} a^{4} b^{4}a5b2−41a4b4 ；（4）x

查看分析思路

（1）根据单项式乘以整式的运算法则计算即可；

（2）先计算单项式乘以单项式及整式，然后合并同类项计算即可；

（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以整式即可；

（4）先计算单项式乘以整式去括号，然后合并同类项即可.

查看详细解析

解：（1）原式 =−12x⋅(−2x2)+(−12x)×4=x3−2x= - {\frac {1} {2}} x \cdot \left( - 2 x^{2} \right) + \left( - {\frac {1} {2}} x \right) \times 4 = x^{3} - 2 x=−21x⋅(−2x2)+(−21x)×4=x3−2x

（2）原式 =−12xy2+12xy2+4y=4y = - 12 x y^{2} + 12 x y^{2} + 4 y = 4 y=−12xy2+12xy2+4y=4y

（3）原式 =14a4b2(4a−b2)= {\frac {1} {4}} a^{4} b^{2} \left( 4 a - b^{2} \right)=41a4b2(4a−b2)

=a5b2−14a4b4= a^{5} b^{2} - {\frac {1} {4}} a^{4} b^{4}=a5b2−41a4b4

(4) x2(x−1)−x(x2−x−1)x^{2} \left( x - 1 \right) - x \left( x^{2} - x - 1 \right)x2(x−1)−x(x2−x−1)

=x3−x2−x3+x2+x=x.=x^3-x^2-x^3+x^2+x=x.=x3−x2−x3+x2+x=x.

点睛。 题目主要考查单项式乘以单项式及整式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键.

变式2#

计算：

(1) 12x2⋅(2x+1){\frac {1} {2}} x^{2} \cdot \left( 2 x + 1 \right)21x2⋅(2x+1)

(2) (23a2b−3ab2)⋅3ab{\left( {\frac {2} {3}} a^{2} b - 3 a b^{2} \right)} {\cdot} 3 a b(32a2b−3ab2)⋅3ab

(3) (−52xy)⋅(23xy2−2xy+43y)\left( - \frac {5} {2} x y \right) \cdot \left( \frac {2} {3} x y^{2} - 2 x y + \frac {4} {3} y \right)(−25xy)⋅(32xy2−2xy+34y)

(4) 3x⋅(2x2−x+1)−x⋅(2x−3)−4(1−x2)3x \cdot \left( 2 x^{2} - x + 1 \right) - x \cdot \left( 2 x - 3 \right) - 4 \left( 1 - x^{2} \right)3x⋅(2x2−x+1)−x⋅(2x−3)−4(1−x2)

查看答案

(1)x3+12x2( 1 ) x^{3} + {\frac {1} {2}} x^{2}(1)x3+21x2

(2) 2a3b2−9a2b32 a^{3} b^{2} - 9 a^{2} b^{3}2a3b2−9a2b3

(3) −53x2y3+5x2y2−103xy2- \frac {5} {3} x^{2} y^{3} + 5 x^{2} y^{2} - \frac {10} {3} x y^{2}−35x2y3+5x2y2−310xy2

(4) 6x3−x2+6x−46 x^{3} - x^{2} + 6 x - 46x3−x2+6x−4

查看分析思路

本题考查了整式的混合运算，单项式乘整式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键.

（1）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可

（2）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可；

（3）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可；

（4）根据单项式乘整式的运算法则进行运算，再合并同类项即可

查看详细解析

（1）解： 12x2⋅(2x+1){\frac {1} {2}} x^{2} \cdot {\bigl (} 2 x + 1 {\bigr )}21x2⋅(2x+1)

=12x2⋅2x+12x2= {\frac {1} {2}} x^{2} \cdot 2 x + {\frac {1} {2}} x^{2}=21x2⋅2x+21x2

=x3+12x2;= x^{3} + {\frac {1} {2}} x^{2} ;=x3+21x2;

(2) (23a2b−3ab2)⋅3ab{\left( {\frac {2} {3}} a^{2} b - 3 a b^{2} \right)} {\cdot} 3 a b(32a2b−3ab2)⋅3ab

=23a2b⋅3ab−3ab2⋅3ab= {\frac {2} {3}} a^{2} b \cdot 3 a b - 3 a b^{2} \cdot 3 a b=32a2b⋅3ab−3ab2⋅3ab

=2a3b2−9a2b3= 2 a^{3} b^{2} - 9 a^{2} b^{3}=2a3b2−9a2b3

(3) (−52xy)⋅(23xy2−2xy+43y)\left( - \frac {5} {2} x y \right) \cdot \left( \frac {2} {3} x y^{2} - 2 x y + \frac {4} {3} y \right)(−25xy)⋅(32xy2−2xy+34y)

=−52xy⋅23xy2+52xy⋅2xy−52xy⋅43y= - {\frac {5} {2}} x y \cdot {\frac {2} {3}} x y^{2} + {\frac {5} {2}} x y \cdot 2 x y - {\frac {5} {2}} x y \cdot {\frac {4} {3}} y=−25xy⋅32xy2+25xy⋅2xy−25xy⋅34y

=−53x2y3+5x2y2−103xy2;= - {\frac {5} {3}} x^{2} y^{3} + 5 x^{2} y^{2} - {\frac {10} {3}} x y^{2} ;=−35x2y3+5x2y2−310xy2;

(4) 3x⋅(2x2−x+1)−x⋅(2x−3)−4(1−x2)3 x \cdot {\Big (} 2 x^{2} - x + 1 {\Big )} - x \cdot {\big (} 2 x - 3 {\big )} - 4 {\Big (} 1 - x^{2} {\Big )}3x⋅(2x2−x+1)−x⋅(2x−3)−4(1−x2) =6x3−3x2+3x−(2x2−3x)−4+4x2= 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - ( 2 x^{2} - 3 x ) - 4 + 4 x^{2}=6x3−3x2+3x−(2x2−3x)−4+4x2 =6x3−3x2+3x−2x2+3x−4+4x2= 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 4 + 4 x^{2}=6x3−3x2+3x−2x2+3x−4+4x2 =6x3−x2+6x−4.= 6 x^{3} - x^{2} + 6 x - 4 .=6x3−x2+6x−4.

题型 04 单项式与整式相乘求值问题#

典例1#

先化简，再求值： 2x(x2−x+1)−x(2x2+2x−3)2 x {\bigl (} x^{2} - x + 1 {\bigr )} - x {\bigl (} 2 x^{2} + 2 x - 3 {\bigr )}2x(x2−x+1)−x(2x2+2x−3) ，其中 x=1x = 1x=1

查看答案

−4x2+5x-4x^2+5x−4x2+5x ，1

查看分析思路

本题主要考查了整式的化简求值，先计算单项式乘以整式，再合并同类项，最后代入数值求解即可.

查看详细解析

解： 2x(x2−x+1)−x(2x2+2x−3)2 x {\bigl (} x^{2} - x + 1 {\bigr )} - x {\bigl (} 2 x^{2} + 2 x - 3 {\bigr )}2x(x2−x+1)−x(2x2+2x−3)

=2x3−2x2+2x−2x3−2x2+3x= 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x=2x3−2x2+2x−2x3−2x2+3x

=−4x2+5x= - 4 x^{2} + 5 x=−4x2+5x

当 x=1x = 1x=1 时，原式 =−4+5=1 = - 4 + 5 = 1=−4+5=1

变式1#

先化简，再求值： 5a(2a2−5a+3)−2a2(5a+5)+7a25 a \left( 2 a^{2} - 5 a + 3 \right) - 2 a^{2} \left( 5 a + 5 \right) + 7 a^{2}5a(2a2−5a+3)−2a2(5a+5)+7a2 ，其中 a=2a = 2a=2

查看答案

−28a2+15a-28a^2+15a−28a2+15a，−82-82−82。

查看分析思路

先根据整式的运算法则化简式子，再代入求值，

查看详细解析

解：原式 =10a3−25a2+15a−10a3−10a2+7a2=−28a2+15a= 10 a^{3} - 25 a^{2} + 15 a - 10 a^{3} - 10 a^{2} + 7 a^{2} = - 28 a^{2} + 15 a=10a3−25a2+15a−10a3−10a2+7a2=−28a2+15a

当 a=2a=2a=2 时，原式 =−28×22+15×2=−112+30=−82=-28\times2^2+15\times2=-112+30=-82=−28×22+15×2=−112+30=−82。

点睛。 本题考查整式的化简求值，掌握整式的相关运算法则是关键.

变式2#

先化简，再求值： 2a3b2(2ab3−1)−(−23a2b2)(3a−92a2b3)2 a^{3} b^{2} \left( 2 a b^{3} - 1 \right) - \left( - {\frac {2} {3}} a^{2} b^{2} \right) \left( 3 a - {\frac {9} {2}} a^{2} b^{3} \right)2a3b2(2ab3−1)−(−32a2b2)(3a−29a2b3) 其中 a=13,b=−3a = {\frac {1} {3}} , b = - 3a=31,b=−3

查看答案

a4b5,−3a^{4} b^{5} , - 3a4b5,−3

查看分析思路

先根据单项式乘以整式的计算法则化简，然后合并同类项，最后代值计算即可

查看详细解析

解： 2a3b2(2ab3−1)−(−23a2b2)(3a−92a2b3)2 a^{3} b^{2} {\Big (} 2 a b^{3} - 1 {\Big )} - \left( - {\frac {2} {3}} a^{2} b^{2} \right) \left( 3 a - {\frac {9} {2}} a^{2} b^{3} \right)2a3b2(2ab3−1)−(−32a2b2)(3a−29a2b3)

=4a4b5−2a3b2+2a3b2−3a4b5= 4 a^{4} b^{5} - 2 a^{3} b^{2} + 2 a^{3} b^{2} - 3 a^{4} b^{5}=4a4b5−2a3b2+2a3b2−3a4b5

=a4b5= a^{4} b^{5}=a4b5

当 a=13,b=−3a=\frac13,b=-3a=31,b=−3 时，原式 =(13)4(−3)5=(13)4(−3)4(−3)=(−3⋅13)4(−3)=−3=(\frac13)^4(-3)^5=(\frac13)^4(-3)^4(-3)=(-3\cdot\frac13)^4(-3)=-3=(31)4(−3)5=(31)4(−3)4(−3)=(−3⋅31)4(−3)=−3。

点睛。 本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键

题型 05 整式与整式相乘#

典例1#

计算：

(1) (−4x+3)(x+1)( - 4 x + 3 ) ( x + 1 )(−4x+3)(x+1)

(2) (a−b)(a2+ab+b2)( a - b ) \left( a^{2} + a b + b^{2} \right)(a−b)(a2+ab+b2)

(3) 5x+26⋅x−23⋅(−x+3){\frac {5 x + 2} {6}} \cdot {\frac {x - 2} {3}} \cdot ( - x + 3 )65x+2⋅3x−2⋅(−x+3)

(4) (a−2)(2a+1)−(a−5)(a+1)( a - 2 ) ( 2 a + 1 ) - ( a - 5 ) ( a + 1 )(a−2)(2a+1)−(a−5)(a+1)

查看答案

(1)−4x2−x+3( 1 ) - 4 x^{2} - x + 3(1)−4x2−x+3

(2) a3−b3a^{3} - b^{3}a3−b3

(3) −518x3+2318x2−109x−23- {\frac {5} {18}} x^{3} + {\frac {23} {18}} x^{2} - {\frac {10} {9}} x - {\frac {2} {3}}−185x3+1823x2−910x−32

(4) a2+a+3a^{2} + a + 3a2+a+3

查看分析思路

本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键

（1）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可：

（2）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可

（3）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可

（4）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可

查看详细解析

（1）解： (−4x+3)(x+1)( - 4 x + 3 ) ( x + 1 )(−4x+3)(x+1)

=−4x2−4x+3x+3= - 4 x^{2} - 4 x + 3 x + 3=−4x2−4x+3x+3

=−4x2−x+3= - 4 x^{2} - x + 3=−4x2−x+3

（2）解： (a−b)(a2+ab+b2)( a - b ) \left( a^{2} + a b + b^{2} \right)(a−b)(a2+ab+b2)

=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}=a3+a2b+ab2−a2b−ab2−b3

=a3−b3= a^{3} - b^{3}=a3−b3

（3）解： 5x+26⋅x−23⋅(−x+3){\frac {5 x + 2} {6}} \cdot {\frac {x - 2} {3}} \cdot ( - x + 3 )65x+2⋅3x−2⋅(−x+3) =(5x+2)(x−2)(−x+3)18= \frac {( 5 x + 2 ) ( x - 2 ) ( - x + 3 )} {18}=18(5x+2)(x−2)(−x+3) =(5x2−10x+2x−4)(−x+3)18= {\frac {\left( 5 x^{2} - 10 x + 2 x - 4 \right) \left( - x + 3 \right)} {18}}=18(5x2−10x+2x−4)(−x+3) =(5x2−8x−4)(−x+3)18= {\frac {\left( 5 x^{2} - 8 x - 4 \right) \left( - x + 3 \right)} {18}}=18(5x2−8x−4)(−x+3) =−5x3+15x2+8x2−24x+4x−1218= \frac {- 5 x^{3} + 15 x^{2} + 8 x^{2} - 24 x + 4 x - 12} {18}=18−5x3+15x2+8x2−24x+4x−12 =−5x3+23x2−20x−1218= \frac {- 5 x^{3} + 23 x^{2} - 20 x - 12} {18}=18−5x3+23x2−20x−12 =−518x3+2318x2−109x−23= - {\frac {5} {18}} x^{3} + {\frac {23} {18}} x^{2} - {\frac {10} {9}} x - {\frac {2} {3}}=−185x3+1823x2−910x−32 （4）解： (a−2)(2a+1)−(a−5)(a+1)( a - 2 ) ( 2 a + 1 ) - ( a - 5 ) ( a + 1 )(a−2)(2a+1)−(a−5)(a+1) =2a2+a−4a−2−(a2+a−5a−5)= 2 a^{2} + a - 4 a - 2 - \left( a^{2} + a - 5 a - 5 \right)=2a2+a−4a−2−(a2+a−5a−5) =2a2−3a−2−a2+4a+5= 2 a^{2} - 3 a - 2 - a^{2} + 4 a + 5=2a2−3a−2−a2+4a+5 =a2+a+3= a^{2} + a + 3=a2+a+3

变式1#

计算：

(1) (x−6)(x−3)( x - 6 ) ( x - 3 )(x−6)(x−3)

(2) (x+12)(x−13)\left( x + {\frac {1} {2}} \right) \left( x - {\frac {1} {3}} \right)(x+21)(x−31)

(3) (3x+2)(x+2)( 3 x + 2 ) ( x + 2 )(3x+2)(x+2)

(4) (4y−1)(5−y)( 4 y - 1 ) ( 5 - y )(4y−1)(5−y) (5) (x−2)(x2+4)( x - 2 ) \left( x^{2} + 4 \right)(x−2)(x2+4)

(6) (x−y)(x2+xy+y2)( x - y ) \left( x^{2} + x y + y^{2} \right)(x−y)(x2+xy+y2)

查看答案

(1)x2−9x+18( 1 ) x^{2} - 9 x + 18(1)x2−9x+18

(2) x2+16x−16x^{2} + {\frac {1} {6}} x - {\frac {1} {6}}x2+61x−61

(3) 3x2+8x+43 x^{2} + 8 x + 43x2+8x+4

(4) −4y2+21y−5- 4 y^{2} + 21 y - 5−4y2+21y−5

(5) x3−2x2+4x−8x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8x3−2x2+4x−8

(6) x3−y3x^{3} - y^{3}x3−y3

查看分析思路

（1）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（2）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（3）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（4）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（5）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（6）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案.

查看详细解析

（1） (x−6)(x−3)=x2−3x−6x+18=x2−9x+18 ;( x - 6 ) ( x - 3 ) = x^{2} - 3 x - 6 x + 18 = x^{2} - 9 x + 18 {\mathrm {~ ;}}(x−6)(x−3)=x2−3x−6x+18=x2−9x+18 ;

(2) (x+12)(x−13)=x2−13x+12x−16=x2+16x−16={\Bigg (} x + {\frac {1} {2}} {\Bigg )} {\Bigg (} x - {\frac {1} {3}} {\Bigg )} = x^{2} - {\frac {1} {3}} x + {\frac {1} {2}} x - {\frac {1} {6}} = x^{2} + {\frac {1} {6}} x - {\frac {1} {6}} =(x+21)(x−31)=x2−31x+21x−61=x2+61x−61=

(3) (3x+2)(x+2)=3x2+6x+2x+4=3x2+8x+4;( 3 x + 2 ) ( x + 2 ) = 3 x^{2} + 6 x + 2 x + 4 = 3 x^{2} + 8 x + 4 ;(3x+2)(x+2)=3x2+6x+2x+4=3x2+8x+4;

(4) (4y−1)(5−y)=20y−4y2−5+y=−4y2+21y−5,( 4 y - 1 ) ( 5 - y ) = 20 y - 4 y^{2} - 5 + y = - 4 y^{2} + 21 y - 5 ,(4y−1)(5−y)=20y−4y2−5+y=−4y2+21y−5,

(5) (x−2)(x2+4)=x3+4x−2x2−8=x3−2x2+4x−8( x - 2 ) {\big (} x^{2} + 4 {\big )} = x^{3} + 4 x - 2 x^{2} - 8 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8(x−2)(x2+4)=x3+4x−2x2−8=x3−2x2+4x−8

(6)(x−y)(x2+xy+y2)(6)(x-y)(x^2+xy+y^2)(6)(x−y)(x2+xy+y2)

=x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3= x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3}=x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3

=x3−y3= \boldsymbol {x}^{3} - \boldsymbol {y}^{3}=x3−y3

点睛。 本题考查的是整式乘以整式，掌握“整式乘以整式的法则：把一个整式的每一项分别乘以另一个整式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键

题型06 整式与整式相乘求值问题#

典例1#

先化简，再求值： (x−1)(x−2)−3x(x+3)( x - 1 ) ( x - 2 ) - 3 x ( x + 3 )(x−1)(x−2)−3x(x+3) ，其中 x=−2x = - 2x=−2

查看答案

−2x2−12x+2- 2 x^{2} - 12 x + 2−2x2−12x+2 ，18

查看分析思路

先利用整式乘整式法则与单项式乘以整式法则展开，然后合并同类项，再赋值准确计算即可.

查看详细解析

解： (x−1)(x−2)−3x(x+3)( x - 1 ) ( x - 2 ) - 3 x ( x + 3 )(x−1)(x−2)−3x(x+3) =x2−3x+2−3x2−9x= x^{2} - 3 x + 2 - 3 x^{2} - 9 x=x2−3x+2−3x2−9x =−2x2−12x+2= - 2 x^{2} - 12 x + 2=−2x2−12x+2 当 x=−2x = - 2x=−2 时，原式 =−2×(−2)2−12×(−2)+2=18= - 2 \times {\left( - 2 \right)}^{2} - 12 \times {\left( - 2 \right)} + 2 = 18=−2×(−2)2−12×(−2)+2=18 点睛。 本题考查化简求值问题，关键是掌握整式乘整式法则与单项式乘以整式法则，会判断同类项与合并同类项法则，掌握化简求值的步骤与要求.

变式1#

先化简，再求值：(x−y)(x−2y)−(3x−2y)(x−3y)(x-y)(x-2y)-(3x-2y)(x-3y)(x−y)(x−2y)−(3x−2y)(x−3y)，其中 x=4,y=−1x=4,y=-1x=4,y=−1。

查看答案

−2x2+8xy−4y2, −68- 2 x^{2} + 8 x y - 4 y^{2} , ~ - 68−2x2+8xy−4y2, −68

查看分析思路

本题考查了整式的化简求值，先根据整式乘以整式法则、合并同类项法则化简，然后把x、y的值代入计算即可.

查看详细解析

解：原式 =x2−2xy−xy+2y2−(3x2−9xy−2xy+6y2)=x2−3xy+2y2−3x2+11xy−6y2=−2x2+8xy−4y2=x^2-2xy-xy+2y^2-(3x^2-9xy-2xy+6y^2)=x^2-3xy+2y^2-3x^2+11xy-6y^2=-2x^2+8xy-4y^2=x2−2xy−xy+2y2−(3x2−9xy−2xy+6y2)=x2−3xy+2y2−3x2+11xy−6y2=−2x2+8xy−4y2。把 x=4,y=−1x=4,y=-1x=4,y=−1 代入，原式 =−2×42+8×4×(−1)−4×(−1)2=−32−32−4=−68=-2\times4^2+8\times4\times(-1)-4\times(-1)^2=-32-32-4=-68=−2×42+8×4×(−1)−4×(−1)2=−32−32−4=−68。

（1）解：因为 (x+a)(x+6)(x+a)(x+6)(x+a)(x+6) =x2+6x+ax+6ax^2+6x+ax+6ax2+6x+ax+6a =x2+(6+a)x+6ax^2+(6+a)x+6ax2+(6+a)x+6a, 因此 x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12x^2+(6+a)x+6a=x^2+8x+12x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12, 因此 6+a=86+a=86+a=8，6a=126a=126a=12, 解得a=2a=2a=2; （2）解：当a=2a=2a=2，b=−3b=-3b=−3时， (x+a)(x+b)(x+a)(x+b)(x+a)(x+b) =(x+2)(x−3)(x+2)(x-3)(x+2)(x−3) =x2−3x+2x−6x^2-3x+2x-6x2−3x+2x−6 =x2−x−6x^2-x-6x2−x−6.

点睛。 本题考查了整式乘整式，掌握整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另外一个整式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键.

变式2#

小奇计算一道整式的混合运算的题： (x−a)(4x+3)−2x( x - a ) ( 4 x + 3 ) - 2 x(x−a)(4x+3)−2x ，由于小奇将第一个整式中的“-a”抄成"+a"" + a ""+a" ，得到的结果为 4x2+13x+94 x^{2} + 13 x + 94x2+13x+9

(1)求a的值；

(2)请计算出这道题的正确结果.

查看答案

(1)3

(2) 4x2−11x−94 x^{2} - 11 x - 94x2−11x−9

查看分析思路

（1）计算 (x+a)(4x+3)−2x( x + a ) ( 4 x + 3 ) - 2 x(x+a)(4x+3)−2x 的结果，将所得的结果等于 4x2+13x+94 x^{2} + 13 x + 94x2+13x+9 即可；

（2）按照整式的混合运算法则进行计算即可：

已知等式 (x+m)(x−n)=x2+kx−12\big ( x + m \big ) \big ( x - n \big ) = x^{2} + k x - 12(x+m)(x−n)=x2+kx−12 (m,n为整数)，则k的值不可能是（）A. -1 B. 4 C. 11 D. 7

查看答案

查看分析思路

本题主要考查了整式与整式相乘．将左边展开后比较系数，得到关于m、n的方程组，结合整数条件分析可能的k值.

查看详细解析

解：展开左边： (x+m)(x−n)=x2+mx−nx−mn=x2+(m−n)x−mn\left( x + m \right) \left( x - n \right) = x^{2} + m x - n x - m n = x^{2} + ( m - n ) x - m n(x+m)(x−n)=x2+mx−nx−mn=x2+(m−n)x−mn ∵(x+m)(x−n)=x2+kx−12\because {\big (} x + m {\big )} {\big (} x - n {\big )} = x^{2} + k x - 12∵(x+m)(x−n)=x2+kx−12 ∴(x+m)(x−n)=x2+kx−12\therefore \left( x + m \right) \left( x - n \right) = x^{2} + k x - 12∴(x+m)(x−n)=x2+kx−12 ∴m−n=k,−mn=−12,\therefore m - n = k , - m n = - 12 ,∴m−n=k,−mn=−12, ∴mn=12\therefore m n = 12∴mn=12 ∵m,n\because m , n∵m,n 为整数，因此当 m=1m = 1m=1时，n=12n = 12n=12，此时 k=m−n=−11k = m- n = -11k=m−n=−11; 当 m=2m = 2m=2时，n=6n = 6n=6，此时 k=m−n=−4k = m - n = -4k=m−n=−4；当 m=3m = 3m=3时，n=4n = 4n=4，此时 k=m−n=−1k = m - n = -1k=m−n=−1；当 m=4m = 4m=4时，n=3n = 3n=3，此时 k=m−n=1k = m - n = 1k=m−n=1；当 m=6m = 6m=6时，n=2n = 2n=2，此时 k=m−n=4k = m - n = 4k=m−n=4；当m=12m =12m=12时，n=1n=1n=1，此时k=m−n=11k = m- n=11k=m−n=11；当 m=−1m = -1m=−1时，n=−12n = -12n=−12，此时 k=m−n=11k = m- n = 11k=m−n=11; 当 m=−2m = -2m=−2时， n=−6n = -6n=−6，此时 k=m−n=4k = m - n = 4k=m−n=4；当 m=−3m = -3m=−3时，n=−4n = -4n=−4，此时 k=m−n=1k = m - n = 1k=m−n=1; 当 m=−4m = -4m=−4时， n=−3n = -3n=−3，此时 k=m−n=−1k = m - n = -1k=m−n=−1; 当 m=−6m = -6m=−6时，n=−2n = -2n=−2，此时 k=m−n=−4k = m - n = -4k=m−n=−4；当 m=−12m = -12m=−12时，n=−1n = -1n=−1，此时 k=m−n=−11k = m- n = -11k=m−n=−11；

因此 k的值不可能是7

故选：D

题型 09 整式的乘法综合#

典例1#

计算：

(1) (−2x2)3+4x3⋅x3;\left( - 2 x^{2} \right)^{3} + 4 x^{3} \cdot x^{3} ;(−2x2)3+4x3⋅x3;

(2) (3x2−x+1)(−4x){\big (} 3 x^{2} - x + 1 {\big )} {\big (} - 4 x {\big )}(3x2−x+1)(−4x)

(3) (x−3)(x2+4x)( x - 3 ) \left( x^{2} + 4 x \right)(x−3)(x2+4x)

(4) (3x−y)(x+2y){\bigl (} 3 x - y {\bigr )} {\bigl (} x + 2 y {\bigr )}(3x−y)(x+2y)

查看答案

(1) −4x6 - 4 x^{6}−4x6

(2) −12x3+4x2−4x- 12 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x−12x3+4x2−4x

(3) x3+x2−12xx^{3} + x^{2} - 12 xx3+x2−12x

(4) 3x2−2y2+5xy3 x^{2} - 2 y^{2} + 5 x y3x2−2y2+5xy

查看分析思路

本题考查了单项式乘整式，整式乘整式，同底数幂的乘法，积的乘方及整式的加减运算.

（1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再算合并同类项即可解答；

（2）利用单项式乘整式的法则，进行计算即可解答；

（3）利用整式乘整式的法则，进行计算即可解答；

（4）利用整式乘整式的法则，进行计算即可解答.

查看详细解析

（1）解：原式 =−8x6+4x6= - 8 x^{6} + 4 x^{6}=−8x6+4x6

=−4x6:= - 4 x^{6} :=−4x6:

（2）解：原式 =3x2(−4x)−x(−4x)+(−4x)= 3 x^{2} \left( - 4 x \right) - x \left( - 4 x \right) + \left( - 4 x \right)=3x2(−4x)−x(−4x)+(−4x)

=−12x3+4x2−4x;= - 12 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x ;=−12x3+4x2−4x;

(3) 解：原式 =x⋅x2+x⋅4x−3x2−12x=x\cdot x^2+x\cdot4x-3x^2-12x=x⋅x2+x⋅4x−3x2−12x

=x3+4x2−3x2−12x= x^{3} + 4 x^{2} - 3 x^{2} - 12 x=x3+4x2−3x2−12x

=x3+x2−12xx^3+x^2-12xx3+x2−12x;

(4) 解：原式 =3x⋅x+3x⋅2y−x⋅y−y⋅2y=3x\cdot x+3x\cdot2y-x\cdot y-y\cdot2y=3x⋅x+3x⋅2y−x⋅y−y⋅2y

=3x2+6xy−xy−2y2= 3 x^{2} + 6 x y - x y - 2 y^{2}=3x2+6xy−xy−2y2

=3x2−2y2+5xy.= 3 x^{2} - 2 y^{2} + 5 x y .=3x2−2y2+5xy.

变式1#

计算：

(1) 3x2y⋅(−2xy3)3 x^{2} y \cdot \left( - 2 x y^{3} \right)3x2y⋅(−2xy3)

(2) 2a2(3a2−5b)2 a^{2} \left( 3 a^{2} - 5 b \right)2a2(3a2−5b)

(3) (−2a2)(3ab2−5ab3)\left( - 2 a^{2} \right) \left( 3 a b^{2} - 5 a b^{3} \right)(−2a2)(3ab2−5ab3) (4) (5x+2y)(3x−2y)( 5 x + 2 y ) ( 3 x - 2 y )(5x+2y)(3x−2y)

查看答案

（1） −6x3y4- 6 x^{3} y^{4}−6x3y4 ；(2) 6a4−10a2b6 a^{4} - 10 a^{2} b6a4−10a2b ；(3) −6a3b2+10a3b3- 6 a^{3} b^{2} + 10 a^{3} b^{3}−6a3b2+10a3b3 ；（4) 15x2−4xy−4y215 x^{2} - 4 x y - 4 y^{2}15x2−4xy−4y2

查看分析思路

（1）根据单项式乘单项式的法则计算；

（2）根据单项式乘整式的法则计算：

（3）根据单项式乘整式的法则计算；

（4）根据整式乘整式的法则计算.

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解：（1）原式 =3⋅(−2)x2⋅x⋅y⋅y3=−6x3y4= 3 \cdot ( - 2 ) x^{2} \cdot x \cdot y \cdot y^{3} = - 6 x^{3} y^{4}=3⋅(−2)x2⋅x⋅y⋅y3=−6x3y4

(2) 原式 =2a2⋅3a2−2a2⋅5b=6a4−10a2b=2a^2\cdot3a^2-2a^2\cdot5b=6a^4-10a^2b=2a2⋅3a2−2a2⋅5b=6a4−10a2b。

（3）原式= −2a2⋅3ab2+2a2⋅5ab3=−6a3b2+10a3b3- 2 a^{2} \cdot 3 a b^{2} + 2 a^{2} \cdot 5 a b^{3} = - 6 a^{3} b^{2} + 10 a^{3} b^{3}−2a2⋅3ab2+2a2⋅5ab3=−6a3b2+10a3b3

（4）原式= 5x⋅3x−5x⋅2y+2y⋅3x−2y⋅2y=15x2−10xy+6xy−4y2=15x2−4xy−4y2.\begin{array} {r} {{5} x \cdot 3 x - 5 x \cdot 2 y + 2 y \cdot 3 x - 2 y \cdot 2 y = 15 x^{2} - 10 x y + 6 x y - 4 y^{2} = 15 x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} .} \end{array}5x⋅3x−5x⋅2y+2y⋅3x−2y⋅2y=15x2−10xy+6xy−4y2=15x2−4xy−4y2.

点睛。 本题考查整式乘法，应熟练掌握单项式乘单项式的法则、单项式乘整式的法则、整式乘整式的法则.

变式2#

先化简，再求值： (−32x+13y2)(2x−23y)−13y2(x−23y)+3x2\left( - {\frac {3} {2}} x + {\frac {1} {3}} y^{2} \right) \left( 2 x - {\frac {2} {3}} y \right) - {\frac {1} {3}} y^{2} \left( x - {\frac {2} {3}} y \right) + 3 x^{2}(−23x+31y2)(2x−32y)−31y2(x−32y)+3x2 ，其中x=2x=2x=2，y=−1y =-1y=−1.

查看答案

xy23+xy;−43{\frac {x y^{2}} {3}} + x y ; - {\frac {4} {3}}3xy2+xy;−34

查看分析思路

根据整式乘以整式，单项式乘以整式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解.

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解： (−32x+13y2)(2x−23y)−13y2(x−23y)+3x2\left( - {\frac {3} {2}} x + {\frac {1} {3}} y^{2} \right) \left( 2 x - {\frac {2} {3}} y \right) - {\frac {1} {3}} y^{2} \left( x - {\frac {2} {3}} y \right) + 3 x^{2}(−23x+31y2)(2x−32y)−31y2(x−32y)+3x2 =−3x2+xy+23xy2−29y3−13xy2+29y3+3x2= - 3 x^{2} + x y + {\frac {2} {3}} x y^{2} - {\frac {2} {9}} y^{3} - {\frac {1} {3}} x y^{2} + {\frac {2} {9}} y^{3} + 3 x^{2}=−3x2+xy+32xy2−92y3−31xy2+92y3+3x2 =xy+xy23;= x y + {\frac {x y^{2}} {3}} ;=xy+3xy2; 当 x=2 ,y=−1x = 2 \ , y = - 1x=2 ,y=−1 时，原式 =2×(−1)+2×(−1)23=2\times(-1)+\frac{2\times(-1)^2}{3}=2×(−1)+32×(−1)2 =−2+23= - 2 + \frac {2} {3}=−2+32 =−43 .= - {\frac {4} {3}} \ .=−34 .

点睛。 本题考查了整式的化简求值，掌握整式乘以整式以及整式乘以整式的运算法则是解题的关键.

题型 10 根据整式的乘法求参数#

典例1#

若 x2+ax=x(x+4)x^{2} + a x = x {\bigl (} x + 4 {\bigr )}x2+ax=x(x+4) ，则a的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

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本题主要考查了单项式乘以整式，根据单项式乘以整式的计算法则求出 x(x+4)x \left( x + 4 \right)x(x+4) 的结果即可得到答案.

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解： ∵x2+ax=x(x+4)\because x^{2} + a x = x {\bigl (} x + 4 {\bigr )}∵x2+ax=x(x+4) ∴x2+ax=x2+4x\therefore x^{2} + a x = x^{2} + 4 x∴x2+ax=x2+4x ∴a=4\therefore a = 4∴a=4

故选：C.

变式1#

若 (am+1bn+2)⋅(a2n−1b2m)=a5b3(a^{m+1}b^{n+2})\cdot(a^{2n-1}b^{2m})=a^5b^3(am+1bn+2)⋅(a2n−1b2m)=a5b3，则 m+nm+nm+n 的值为（）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. -3

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先利用单项式乘单项式法则，得到 am+2nbn+2m+2a^{m+2n}b^{n+2m+2}am+2nbn+2m+2，比较同一字母的指数，得到关于 m,nm,nm,n 的方程组，再将两式相加。

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解：(am+1bn+2)⋅(a2n−1b2m)=am+1+2n−1bn+2+2m=am+2nbn+2m+2(a^{m+1}b^{n+2})\cdot(a^{2n-1}b^{2m})=a^{m+1+2n-1}b^{n+2+2m}=a^{m+2n}b^{n+2m+2}(am+1bn+2)⋅(a2n−1b2m)=am+1+2n−1bn+2+2m=am+2nbn+2m+2。

因为 (am+1bn+2)⋅(a2n−1b2m)=a5b3(a^{m+1}b^{n+2})\cdot(a^{2n-1}b^{2m})=a^5b^3(am+1bn+2)⋅(a2n−1b2m)=a5b3，

所以 {m+2n=5,n+2m+2=3.\begin{cases}m+2n=5,\\n+2m+2=3.\end{cases}{m+2n=5,n+2m+2=3.

两式相加，得 3m+3n=63m+3n=63m+3n=6，解得 m+n=2m+n=2m+n=2。故选 B。

点睛。 本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键。

变式2#

若等式 −3x(−2x2+3x−1)=6x3−9x2+⊐- 3 x {\left( - 2 x^{2} + 3 x - 1 \right)} = 6 x^{3} - 9 x^{2} + \sqsupset−3x(−2x2+3x−1)=6x3−9x2+⊐ 成立，则□内应填

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本题考查了去括号与添括号，根据去括号法则计算即可作出判断

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解： −3x(−2x2+3x−1)=6x3−9x2+3x- 3 x \left( - 2 x^{2} + 3 x - 1 \right) = 6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x−3x(−2x2+3x−1)=6x3−9x2+3x

所以□内应填写3x，

故答案为：3x.

题型 11 整式的乘法不含某项问题#

典例1#

如果 (x+1)(x2−2ax+a2)\left( x + 1 \right) \left( x^{2} - 2 a x + a^{2} \right)(x+1)(x2−2ax+a2) 的乘积中不含 x2x^{2}x2 项，则a=a=a=

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0.5

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先根据整式乘以整式展开，即可得出 1−2a=01 - 2 a = 01−2a=0 ，求解即可得出答案

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解： (x+1)(x2−2ax+a2)\left( x + 1 \right) \left( x^{2} - 2 a x + a^{2} \right)(x+1)(x2−2ax+a2)

=x3−2ax2+a2x+x2−2ax+a2= x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + x^{2} - 2 a x + a^{2}=x3−2ax2+a2x+x2−2ax+a2

=x3+(1−2a)x2+(a2−2a)x+a2= x^{3} + \left( 1 - 2 a \right) x^{2} + \left( a^{2} - 2 a \right) x + a^{2}=x3+(1−2a)x2+(a2−2a)x+a2 ∵(x+1)(x2−2ax+a2)\because ( x + 1 ) \left( x^{2} - 2 a x + a^{2} \right)∵(x+1)(x2−2ax+a2) 的乘积中不含 x2x^{2}x2 项，∴1−2a=0\therefore 1 - 2 a = 0∴1−2a=0 ∴a=0.5\therefore a = 0 . 5∴a=0.5 故答案为：0.5.

点睛。 本题考查了整式乘以整式法则，能根据整式乘以整式法则展开是解题的关键.

变式1#

若计算 (3x2+2ax+1)⋅(−3x)−4x2( 3 x^{2} + 2 a x + 1 ) \cdot ( - 3 x ) - 4 x^{2}(3x2+2ax+1)⋅(−3x)−4x2 的结果中不含有 x2x^{2}x2 项，则a的值为（）A. −23- {\frac {2} {3}}−32 B. 0 C. 2 D. −32- {\frac {3} {2}}−23

查看答案

A，a=−23a=-\frac23a=−32。

查看分析思路

利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含 x2x^{2}x2 项，则其 x2x^{2}x2 项的系数为0，从而求解

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解： (3x2+2ax+1)⋅(−3x)−4x2( 3 x^{2} + 2 a x + 1 ) \cdot ( - 3 x ) - 4 x^{2}(3x2+2ax+1)⋅(−3x)−4x2 =−9x3−6ax2−3x−4x2= - 9 x^{3} - 6 a x^{2} - 3 x - 4 x^{2}=−9x3−6ax2−3x−4x2 =−9x3+(−6a−4)x2−3x= - 9 x^{3} + ( - 6 a - 4 ) x^{2} - 3 x=−9x3+(−6a−4)x2−3x 因为结果中不含有 x2x^{2}x2 项， ∴−6a−4=0\therefore - 6 a - 4 = 0∴−6a−4=0 解得 a=−23a = - {\frac {2} {3}}a=−32 故选：A.

点睛。 本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则

变式2#

本题考查了列代数式，整式的混合运算．由题意得，小芳卧室的面积为 3x⋅2y−0.5x(2y−y)3 x \cdot 2 y - 0 . 5 x {\big (} 2 y - y {\big )}3x⋅2y−0.5x(2y−y) ，再根据整式的混合运算法则整理即可.

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解：小芳卧室的面积 =3x⋅2y−0.5x(2y−y)=3x\cdot2y-0.5x(2y-y)=3x⋅2y−0.5x(2y−y) =6xy−12xy= 6 x y - {\frac {1} {2}} x y=6xy−21xy =112xy= {\frac {11} {2}} x y=211xy 故答案为： 112xy{\frac {11} {2}} x y211xy

变式3#

如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为 aaa，右边小正方形边长为b，则图中阴影部分的面积可表示为（）.

原题图

A. a2+b2−aba^{2} + b^{2} - a ba2+b2−ab B. 12a2+12b2−12ab{\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - {\frac {1} {2}} a b21a2+21b2−21ab C. 12a2+12b2−ab{\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - a b21a2+21b2−ab D. a2+b2−12aba^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a ba2+b2−21ab

查看答案

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根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解

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解：根据题意得：阴影部分的面积为a2+b2−12a2−12b(a+b)a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a^{2} - {\frac {1} {2}} b {\bigl (} a + b {\bigr )}a2+b2−21a2−21b(a+b) =a2+b2−12a2−12ab−12b2= a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a^{2} - {\frac {1} {2}} a b - {\frac {1} {2}} b^{2}=a2+b2−21a2−21ab−21b2 =12a2+12b2−12ab= {\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - {\frac {1} {2}} a b=21a2+21b2−21ab 故选：B

点睛。 本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.

变式4#

A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材A，B面积分别为 S1,S2S_{1} , S_{2}S1,S2 ，请比较S1， S2S_{2}S2 的大小

原题图

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S1<S2S_{1} < S_{2}S1<S2

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本题主要考查整式乘整式及整式的大小比较，熟练掌握整式乘整式及整式的大小比较是解题的关键.

由题意及图形可得 S1=(m+5)(m+1)=m2+6m+5S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5S1=(m+5)(m+1)=m2+6m+5，S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8，进而运用作差法求解即可。

查看详细解析

解：由题意得 S1=(m+5)(m+1)=m2+6m+5S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5S1=(m+5)(m+1)=m2+6m+5，S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8S2=(m+4)(m+2)=m2+6m+8。

∴S1−S2=m2+6m+5−(m2+6m+8)=−3,\therefore S_{1} - S_{2} = m^{2} + 6 m + 5 - \left( m^{2} + 6 m + 8 \right) = - 3 ,∴S1−S2=m2+6m+5−(m2+6m+8)=−3,

∵S1−S2=−3<0 ,\because S_{1} - S_{2} = - 3 < 0 \ ,∵S1−S2=−3<0 ,

∴S1<S2,\therefore S_{1} < S_{2} ,∴S1<S2,

故答案为： S1<S2S_{1} < S_{2}S1<S2

变式5#

如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 2a+b2 a + b2a+b ，宽为a+2ba+2ba+2b的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共__张.

原题图

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本题考查了整式乘整式与图形面积．由 (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2{\bigl (} 2 a + b {\bigr )} {\bigl (} a + 2 b {\bigr )} = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2 ，得A类卡片的面积为 a2a^{2}a2

B类卡片的面积为 b2b^{2}b2 ，C类卡片的面积为 aba bab ，因此需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张.

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解：长为(2a+b)(2a+b)(2a+b)，宽为(a+2b)(a+2b)(a+2b)的大长方形的面积为： (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2{\left( 2 a + b \right)} ( a + 2 b ) = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2

因为 A类卡片的面积为 a2a^{2}a2 ，B类卡片的面积为 b2b^{2}b2 ，C类卡片的面积为 aba bab

<需要a类卡片2张>，B类卡片2张，C类卡片5张，共9张.

故答案为：9.

变式6#

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到 (a+b)2=a2+2ab+b2( a + b )^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}(a+b)2=a2+2ab+b2 ，请解答下列问题：

图1至图4

（1）写出图2中所表示的数学等式

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 a+b+c=15,ab+ac+bc=35a + b + c = 15 , a b + a c + b c = 35a+b+c=15,ab+ac+bc=35 ，则 a2+b2+c2a^{2} + b^{2} + c^{2}a2+b2+c2 =_;

（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为 (2a+b)(a+2b)( 2 a + b ) ( a + 2 b )(2a+b)(a+2b) 长方形图形，则 x+y+z=x + y + z =x+y+z=

(4)如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b=12a+b=12a+b=12，ab=20ab=20ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

查看答案

(1) (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；(2) 155；(3) 9；(4) 42。

查看分析思路

（1）由大正方形等于9个长方形面积的和；

（2）将所求式子转化为 a2+b2+c2=(a+b+c)2−(2ab+2bc+2ac)a^{2} + b^{2} + c^{2} = ( a + b + c )^{2} - ( 2 a b + 2 b c + 2 a c )a2+b2+c2=(a+b+c)2−(2ab+2bc+2ac) ，代入已知条件即可；

（3）将式子化简为 (2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2( 2 a + b ) ( a + 2 b ) = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2 ，即可确定x、y、z的值；

（4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积.

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解：（1）由图可知大正方形面积为 (a+b+c)2( a + b + c )^{2}(a+b+c)2 ，大正方形由9个长方形组成，则有(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac( a + b + c )^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

故答案为 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac( a + b + c )^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac .

（2）由（1）可得 a2+b2+c2=(a+b+c)2−(2ab+2bc+2ac)a^{2} + b^{2} + c^{2} = ( a + b + c )^{2} - ( 2 a b + 2 b c + 2 a c )a2+b2+c2=(a+b+c)2−(2ab+2bc+2ac)

∵a+b+c=15,ab+ac+bc=35,\because a + b + c = 15 , a b + a c + b c = 35 ,∵a+b+c=15,ab+ac+bc=35,

∴a2+b2+c2=225−2×35=155;\therefore a^{2} + b^{2} + c^{2} = 225 - 2 \times 35 = 155 ;∴a2+b2+c2=225−2×35=155;

故答案为155;

(3)∵(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,( 3 ) \because ( 2 a + b ) ( a + 2 b ) = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2} ,(3)∵(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,

∴x=2,y=2,z=5,\therefore x = 2 , y = 2 , z = 5 ,∴x=2,y=2,z=5,

∴x+y+z=9;\therefore x + y + z = 9 ;∴x+y+z=9;

故答案为9；

（4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积

a2+b2−12a(a+b)−12b2=12a2+12b2−12ab=12[(a+b)2−3ab],a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a ( a + b ) - {\frac {1} {2}} b^{2} = {\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - {\frac {1} {2}} a b = {\frac {1} {2}} [ ( a + b )^{2} - 3 a b ] ,a2+b2−21a(a+b)−21b2=21a2+21b2−21ab=21[(a+b)2−3ab],

∵a+b=12 ,ab=20 ,\because a + b = 12 \ , a b = 20 \ ,∵a+b=12 ,ab=20 ,

∴12[(a+b)2−3ab]=12(144−60)=42.\therefore {\frac {1} {2}} [ ( a + b )^{2} - 3 a b ] = {\frac {1} {2}} ( 144 - 60 ) = 42 .∴21[(a+b)2−3ab]=21(144−60)=42.

点睛。 本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键.

题型13 材料、规律题#

典例1#

观察以下等式：

(x+1)(x2−x+1)=x3+1( x + 1 ) ( x^{2} - x + 1 ) = x^{3} + 1(x+1)(x2−x+1)=x3+1

(x+3)(x2−3x+9)=x3+33\big ( x + 3 \big ) \big ( x^{2} - 3 x + 9 \big ) = x^{3} + 3^{3}(x+3)(x2−3x+9)=x3+33

(x+6)(x2−6x+36)=x3+63{\big (} x + 6 {\big )} {\big (} x^{2} - 6 x + 36 {\big )} = x^{3} + 6^{3}(x+6)(x2−6x+36)=x3+63

(1)按以上等式的规律，填空：

① (x+8)(x2−8x+64)=\big ( x + 8 \big ) \big ( x^{2} - 8 x + 64 \big ) =(x+8)(x2−8x+64)=

② (a+b)(a2−ab+b2)=\scriptstyle ( a + b ) \left( a^{2} - a b + b^{2} \right) =(a+b)(a2−ab+b2)=

(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立.

(3)利用（1）中的公式化简；

(x+y)(x2−xy+y2)−(x+4y)(x2−4xy+16y2)\big ( x + y \big ) \big ( x^{2} - x y + y^{2} \big ) - \big ( x + 4 y \big ) \big ( x^{2} - 4 x y + 16 y^{2} \big )(x+y)(x2−xy+y2)−(x+4y)(x2−4xy+16y2)

查看答案

(1)x3+83;a3+b3( 1 ) x^{3} + 8^{3} ; a^{3} + b^{3}(1)x3+83;a3+b3

(2) a3+b3a^{3} + b^{3}a3+b3

(3) −63y3- 63 y^{3}−63y3

查看分析思路

本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键

（1）根据材料提示的方法即可求解：

（2）运用整式乘以整式，再根据整式的运算法则即可求解；

（3）根据材料提示，分别计算 (x+y)(x2−xy+y2)\left( x + y \right) \left( x^{2} - x y + y^{2} \right)(x+y)(x2−xy+y2) 与 (x+4y)(x2−4xy+16y2){\left( x + 4 y \right)} {\left( x^{2} - 4 x y + 16 y^{2} \right)}(x+4y)(x2−4xy+16y2) 的值，再运用整式加减运算即可求解.

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（1）解：根据材料提示，

① (x+8)(x2−8x+64)=x3+83{\big (} x + 8 {\big )} {\big (} x^{2} - 8 x + 64 {\big )} = x^{3} + 8^{3}(x+8)(x2−8x+64)=x3+83

② (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3\displaystyle {\big ( a + b \big ) \big ( a^{2} - a b + b^{2} \big ) = a^{3} + b^{3}}(a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3

故答案为： x3+83 ⁣:a3+b3x^{3} + 8^{3} \colon a^{3} + b^{3}x3+83:a3+b3 （2）解： (a+b)(a2−ab+b2){( a + b )} {\left( a^{2} - a b + b^{2} \right)}(a+b)(a2−ab+b2)

=a3−a2b+ab2+ba2−ab2+b3= a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + b a^{2} - a b^{2} + b^{3}=a3−a2b+ab2+ba2−ab2+b3

=a3+b3= a^{3} + b^{3}=a3+b3

（3）解： (x+y)(x2−xy+y2)−(x+4y)(x2−4xy+16y2)\big ( x + y \big ) \big ( x^{2} - x y + y^{2} \big ) - \big ( x + 4 y \big ) \big ( x^{2} - 4 x y + 16 y^{2} \big )(x+y)(x2−xy+y2)−(x+4y)(x2−4xy+16y2) =x3+y3−(x3+64y3)= x^{3} + y^{3} - \left( x^{3} + 64 y^{3} \right)=x3+y3−(x3+64y3) =x3+y3−x3−64y3= x^{3} + y^{3} - x^{3} - 64 y^{3}=x3+y3−x3−64y3 =−63y3= - 63 y^{3}=−63y3

变式1#

在学习整式乘以整式时，我们知道 (12x+4)(2x+5)(3x−6){\bigg (} {\frac {1} {2}} x + 4 {\bigg )} {\bigl (} 2 x + 5 {\bigr )} {\bigl (} 3 x - 6 {\bigr )}(21x+4)(2x+5)(3x−6) 的结果是一个整式，并且最高次项为： 12x⋅2x⋅3x=3x3{\frac {1} {2}} x \cdot 2 x \cdot 3 x = 3 x^{3}21x⋅2x⋅3x=3x3 ，常数项为 4×5×(−6)=−1204 \times 5 \times \left( - 6 \right) = - 1204×5×(−6)=−120 ．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是 12×5×(−6)+2×4×(−6)+3×4×5=−3\frac {1} {2} \times 5 \times ( - 6 ) + 2 \times 4 \times ( - 6 ) + 3 \times 4 \times 5 = - 321×5×(−6)+2×4×(−6)+3×4×5=−3 ，即一次项为−3x- 3 x−3x

请参考上面的方法，解决下列问题：

(1)计算 (x+1)(3x+2)(5x−3)( x + 1 ) ( 3 x + 2 ) ( 5 x - 3 )(x+1)(3x+2)(5x−3) 所得整式的一次项系数为

(2)如果计算 (x2+x+5)(7x2−2x+a)(3x−1)\Big ( x^{2} + x + 5 \Big ) \Big ( 7 x^{2} - 2 x + a \Big ) \big ( 3 x - 1 \big )(x2+x+5)(7x2−2x+a)(3x−1) 所得整式不含一次项，则常数a的值是_；

(3)如果 (x+1)2024=a0x2024+a1x2023+a2x2022+⋯+a2023x+a2024\left( x + 1 \right)^{2024} = a_{0} x^{2024} + a_{1} x^{2023} + a_{2} x^{2022} + \cdots + a_{2023} x + a_{2024}(x+1)2024=a0x2024+a1x2023+a2x2022+⋯+a2023x+a2024 ，则 a2023a_{2023}a2023 的值是

查看答案

(1)−5(1)-5(1)−5

(2) a=−57a = - {\frac {5} {7}}a=−75

(3) 2024

查看分析思路

本题考查了整式乘整式的规律探究，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键.

（1）根据题干提示列式计算即可；

(2）根据给定的方法可得出一次项系数 1×a×(−1)+(−2)×5×(−1)+5×3×a=01 \times a \times ( - 1 ) + ( - 2 ) \times 5 \times ( - 1 ) + 5 \times 3 \times a = 01×a×(−1)+(−2)×5×(−1)+5×3×a=0 ，进一步求解即可；

（3）根据给定的方法找出 (x+1)2024\left( x + 1 \right)^{2024}(x+1)2024 的一次项系数即可

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（1）解： (x+1)(3x+2)(5x−3)( x + 1 ) ( 3 x + 2 ) ( 5 x - 3 )(x+1)(3x+2)(5x−3) 所得整式的一次项系数为：

1×2×(−3)+1×2×5+1×3×(−3)=−6+10−9=−5,1 \times 2 \times ( - 3 ) + 1 \times 2 \times 5 + 1 \times 3 \times ( - 3 ) = - 6 + 10 - 9 = - 5 ,1×2×(−3)+1×2×5+1×3×(−3)=−6+10−9=−5,

（2）根据题意，一次项系数 1×a×(−1)+(−2)×5×(−1)+5×3×a=01 \times a \times ( - 1 ) + ( - 2 ) \times 5 \times ( - 1 ) + 5 \times 3 \times a = 01×a×(−1)+(−2)×5×(−1)+5×3×a=0 ，

即 −a+10+15a=0- a + 10 + 15 a = 0−a+10+15a=0

解得 a=−57a = - {\frac {5} {7}}a=−75

(3) (x+1)2024=a0x2024+a1x2023+a2x2022+⋯+a2023x+a2024\left( x + 1 \right)^{2024} = a_{0} x^{2024} + a_{1} x^{2023} + a_{2} x^{2022} + \cdots + a_{2023} x + a_{2024}(x+1)2024=a0x2024+a1x2023+a2x2022+⋯+a2023x+a2024 的一次项系数为：

2024×1=20242024 \times 1 = 20242024×1=2024

∴a2023=2024\therefore a_{2023} = 2024∴a2023=2024

变式2#

“杨辉三角”揭示 (a+b)n\left( a + b \right)^{n}(a+b)n （nnn 为非负整数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：

第一行 1 第二行 1 1 (a+b)1=a+b\left( a + b \right)^{1} = a + b(a+b)1=a+b 各项系数和为2 第三行 1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}(a+b)2=a2+2ab+b2 各项系数和为4 第四行 1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3\left( a + b \right)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 各项系数和为8 第五行 1 4 6 4 1 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4\left( a + b \right)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 各项系数和为16

根据上述规律，完成下列各题：

(1)将 (a+b)5{\left( a + b \right)}^{5}(a+b)5 展开后，各项的系数和为

(2)将 (a+b)n\left( a + b \right)^{n}(a+b)n 展开后，各项的系数和为

(3) (a+b)6:\left( a + b \right)^{6} :(a+b)6:

下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：

第一行 11\frac {1} {1}11

第二行 1212\frac {1} {2} \frac {1} {2}2121

第三行 131613{\begin{array} {l l l l} {{\frac {1} {3}}} & {{\begin{array} {l} {{\frac {1} {6}}} \end{array}}} & {{\frac {1} {3}}} \end{array}}316131

第四行 1411211214{\frac {1} {4}} \quad {\frac {1} {12}} \quad {\frac {1} {12}} \quad {\frac {1} {4}}4112112141

第五行 1512013012015\frac {1} {5} \frac {1} {20} \frac {1} {30} \frac {1} {20} \frac {1} {5}5120130120151

(4)若(m,n)表示第m行，从左到右数第n个数，如(4,2)表示第四行第二个数是 112\frac {1} {12}121 ，则(6,3)表示的数是(8,6)表示的数是__.

查看答案

(1)32

(2) 2n2^{n}2n

(3) a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

(4): 160,1168{\frac {1} {60}} , {\frac {1} {168}}601,1681

查看分析思路

此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键.

（1）根据规律可知：将 (a+b)5{\left( a + b \right)}^{5}(a+b)5 展开后，各项的系数和为 252^{5}25

（2）根据规律可得结论；

（3）把 (a+b)6\left( a + b \right)^{6}(a+b)6 展开，即可得出答案；

（4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 ⋅1n\cdot {\frac {1} {n}}⋅n1 ，经过计算可得结论.

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（1）解： (a+b)5( a + b )^{5}(a+b)5 展开后，各项的系数和为 1+5+10+10+5+1=32=251 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}1+5+10+10+5+1=32=25

故答案为：32；

（2）根据“杨辉三角”可知，

第2行， (a+b)1( a + b )^{1}(a+b)1 展开后，各项的系数和为2¹，

第3行， (a+b)2( a + b )^{2}(a+b)2 展开后，各项的系数和为 1+2+1=4=221 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}1+2+1=4=22

第4行， (a+b)3\left( a + b \right)^{3}(a+b)3 展开后，各项的系数和为 1+3+3+1=8=231 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^{3}1+3+3+1=8=23

第5行， (a+b)4\left( a + b \right)^{4}(a+b)4 展开后，各项的系数和为 1+4+6+4+1=16=241 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}1+4+6+4+1=16=24

第6行， (a+b)5( a + b )^{5}(a+b)5 展开后，各项的系数和为 1+5+10+10+5+1=32=251 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}1+5+10+10+5+1=32=25

(a+b)n( a + b )^{n}(a+b)n 展开后，各项的系数和为 2n2^{n}2n

故答案为： 2n2^{n}2n

（3）解：根据规律可得， (a+b)6( a + b )^{6}(a+b)6 展开后，各项的系数依次为1、6、15、20、15、6、1，

a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

故答案为： a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

（4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是 1n\frac {1} {n}n1

因此 (6,3)表示第六行第三个数，

<第六行第二个数是> 15−16=130{\frac {1} {5}} - {\frac {1} {6}} = {\frac {1} {30}}51−61=301

第六行第三个数是 120−130=160\frac {1} {20} - \frac {1} {30} = \frac {1} {60}201−301=601

160\frac {1} {60}601

由规律可得 (8,6)=(8,3)\left( 8 , 6 \right) = \left( 8 , 3 \right)(8,6)=(8,3)

<因为> 第七行第一个数为 17\frac {1} {7}71 ，第六行第一个数为 16\frac {1} {6}61

因此第七行第二个数为 16−17=142{\frac {1} {6}} - {\frac {1} {7}} = {\frac {1} {42}}61−71=421

<第八行第一个数为> 18\frac {1} {8}81

<第八行第二个数为>： 17−18=156{\frac {1} {7}} - {\frac {1} {8}} = {\frac {1} {56}}71−81=561 ，第八行第三个数为 142−156=1168{\frac {1} {42}} - {\frac {1} {56}} = \frac {1} {168}421−561=1681

1168\frac {1} {168}1681

故答案： 160,1168{\frac {1} {60}} , {\frac {1} {168}}601,1681

三、强化训练#

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(−2a3+3a2−4a)(−5a5)=10a8−15a7+20a6\left( - 2 a^{3} + 3 a^{2} - 4 a \right) \left( - 5 a^{5} \right) = 10 a^{8} - 15 a^{7} + 20 a^{6}(−2a3+3a2−4a)(−5a5)=10a8−15a7+20a6 故选D. 点睛。 此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则.

第 4 题#

若 (y+3)(y−2)=y2+y+n\ ( y + 3 ) ( y - 2 ) = y^{2} + y + n (y+3)(y−2)=y2+y+n ，则n的值为（） A. -6 B. 1 C. 5 D. 6

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查看分析思路

本题考查了整式乘法以及等式的性质，解题的关键是通过整式乘法法则将等式左边展开，然后对比等式两边同类项的系数先利用整式乘法法则将(y+3)(y−2)(y+3)(y-2)(y+3)(y−2)展开，再根据等式两边同类项系数相等求出n的值.

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解： (y+3)(y−2)=y2−2y+3y−6=y2+y−6=y2+y+n{\big (} y + 3 {\big )} {\big (} y - 2 {\big )} = y^{2} - 2 y + 3 y - 6 = y^{2} + y - 6 = y^{2} + y + n(y+3)(y−2)=y2−2y+3y−6=y2+y−6=y2+y+n 等式两边 y2y^{2}y2 与y的系数都分别相等，那么常数项也应相等，所以n=−6n=-6n=−6. 故选：A.

第 5 题#

已知m+n=4m+n= 4m+n=4， mn=−6m n = - 6mn=−6 ，则 (2−m)(2−n)\left( 2 - m \right) \left( 2 - n \right)(2−m)(2−n) 的值为（）A. -10 B. -8 C. -2 D. 6

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A。

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本题考查整式乘以整式．先利用整式乘以整式化简(2−m)(2−n)(2-m)(2-n)(2−m)(2−n)，将 m+n=4m + n = 4m+n=4 mn=−6m n = - 6mn=−6 代入即可得到答案.

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解：(2−m)(2−n)(2-m)(2-n)(2−m)(2−n) = 4−2n−2m+mn4 -2n - 2m + mn4−2n−2m+mn =4−2(m+n)+mn,= 4 - 2 \big ( m + n \big ) + m n ,=4−2(m+n)+mn, 因为 m+n=4m + n = 4m+n=4， mn=−6mn = -6mn=−6, 因此原式=4−2×4−6=−104-2\times 4-6=-104−2×4−6=−10，故选：A.

第 6 题#

小轩计算一道整式乘法的题： (3x+2m)(5x−6){\bigl (} 3 x + 2 m {\bigr )} {\bigl (} 5 x - 6 {\bigr )}(3x+2m)(5x−6) ，由于小轩将第一个整式中的 "+2m"" + 2 m ""+2m" 抄成 "−2m""-2m""−2m" ，得到的结果为 15x2−78x+7215 x^{2} - 78 x + 7215x2−78x+72 ．则m的值为（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

查看答案

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由题意得： (3x−2m)(5x−6)=15x2−78x+72\big ( 3 x - 2 m \big ) \big ( 5 x - 6 \big ) = 15 x^{2} - 78 x + 72(3x−2m)(5x−6)=15x2−78x+72 ，把等式左边利用整式乘整式进行计算，合并同类项后与等式右边对比，即可得出m的值；

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解：由题意得 (3x−2m)(5x−6)=15x2−78x+72(3x-2m)(5x-6)=15x^2-78x+72(3x−2m)(5x−6)=15x2−78x+72；展开得 (3x−2m)(5x−6)=15x2−(10m+18)x+12m(3x-2m)(5x-6)=15x^2-(10m+18)x+12m(3x−2m)(5x−6)=15x2−(10m+18)x+12m。因此 15x2−78x+72=15x2−(10m+18)x+12m15x^2-78x+72=15x^2-(10m+18)x+12m15x2−78x+72=15x2−(10m+18)x+12m。 ∴12m=72\therefore 12 m = 72∴12m=72 ∴m=6,\therefore m = 6 ,∴m=6, 故选：C 点睛。 本题考查了整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的法则是解决问题的关键

第 7 题#

若 (x+2y)(2x−my−1)( x + 2 y ) ( 2 x - m y - 1 )(x+2y)(2x−my−1) 的结果中不含xy项，则m的值为（）A. 4 B. -4 C. 2 D. -2

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利用整式乘整式运算法则将原式展开，然后合并同类项，使xy项系数为零即可解答

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(x+2y)(2x−my−1)( x + 2 y ) ( 2 x - m y - 1 )(x+2y)(2x−my−1) =2x2−mxy−x+4xy−2my2−2y= 2 x^{2} - m x y - x + 4 x y - 2 m y^{2} - 2 y=2x2−mxy−x+4xy−2my2−2y =2x2+(−m+4)xy−x−2my2−2y= 2 x^{2} + ( - m + 4 ) x y - x - 2 m y^{2} - 2 y=2x2+(−m+4)xy−x−2my2−2y ∵(x+2y)(2x−my−1)\because ( x + 2 y ) ( 2 x - m y - 1 )∵(x+2y)(2x−my−1) 的结果中不含xy项，∴−m+4=0\therefore - m + 4 = 0∴−m+4=0 解得：m=4m=4m=4，故选：A.

点睛。 本题考查整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的运算法则，会根据整式积中不含某项的系数为零求解参数是解答的关键.

第 8 题#

如图，正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为a，b，连接EC、GC，若阴影部分CEFG的面积为10.当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

原题图

A. a2+b2a^{2} + b^{2}a2+b2 B. ab C. b(a−b)b(a-b)b(a−b)D. a2−b2a^{2} - b^{2}a2−b2

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先观察图形可知：阴影部分 CEFGCEFGCEFG 的面积等于正方形 ABCDABCDABCD 的面积减去 △BCG\triangle BCG△BCG、△DEC\triangle DEC△DEC 及正方形 AEFGAEFGAEFG 的面积，再根据题意列等式。

本题主要考查了整式乘整式，解题关键是用数形结合思想理解上述面积关系。

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解：由题意得： a2−12a(a−b)−12a(a−b)−b2=10a^{2} - {\frac {1} {2}} a \left( a - b \right) - {\frac {1} {2}} a \left( a - b \right) - b^{2} = 10a2−21a(a−b)−21a(a−b)−b2=10

a2−a(a−b)−b2=10,a^{2} - a \left( a - b \right) - b^{2} = 10 ,a2−a(a−b)−b2=10,

a2−a2+ab−b2=10,a^{2} - a^{2} + a b - b^{2} = 10 ,a2−a2+ab−b2=10,

ab−b2=10 ,a b - b^{2} = 10 \ ,ab−b2=10 ,

b(a−b)=10,b ( a - b ) = 10 ,b(a−b)=10,

因此当a，b的值发生变化时，代数式的值不变的是： b(a−b)b ( a - b )b(a−b)

故选：C.

二、填空题#

第 9 题#

计算： (3x−1)(x+2)( 3 x - 1 ) {\bigl (} x + 2 {\bigr )}(3x−1)(x+2)

查看答案

3x2+5x−23 x^{2} + 5 x - 23x2+5x−2

查看分析思路

本题考查整式的乘法，根据整式乘整式的运算进行运算即可

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解： (3x−1)(x+2)\left( 3 x - 1 \right) \left( x + 2 \right)(3x−1)(x+2)

=3x2+6x−x−2= 3 x^{2} + 6 x - x - 2=3x2+6x−x−2

=3x2+5x−2 ,= 3 x^{2} + 5 x - 2 \ ,=3x2+5x−2 ,

故答案为： 3x2+5x−23 x^{2} + 5 x - 23x2+5x−2

第 10 题#

计算 3a⋅(4a2b−1)3 a \cdot \left( 4 a^{2} b - 1 \right)3a⋅(4a2b−1) 的结果是

查看答案

12a3b−3a12 a^{3} b - 3 a12a3b−3a

查看分析思路

本题主要考查了单项式乘以整式，直接根据单项式乘以整式的计算法则求解即可.

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解： 3a⋅(4a2b−1)=12a3b−3a3 a \cdot \left( 4 a^{2} b - 1 \right) = 12 a^{3} b - 3 a3a⋅(4a2b−1)=12a3b−3a

故答案为： 12a3b−3a12 a^{3} b - 3 a12a3b−3a

第 11 题#

用含x的代数式表示图中阴影部分的面积为

原题图

查看答案

3x2+2x3x^2+2x3x2+2x（等价于 2x+3x22x+3x^22x+3x2）。

查看分析思路

阴影部分面积分成两个长方形的面积计算：其中一个是长为 (2x+1)\left( 2 x + 1 \right)(2x+1) ，宽为x的长方形的面积；另个是长为 (2x+1−x)\left( 2 x + 1 - x \right)(2x+1−x) ，宽为x的长方形的面积，这两个长方形的面积相加即可.

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解：如图，

原题图

由题意知：阴影部分的面积为： x(2x+1)+x(2x+1−x)x {\bigl (} 2 x + 1 {\bigr )} + x {\bigl (} 2 x + 1 - x {\bigr )}x(2x+1)+x(2x+1−x) =2x2+x+x2+x= 2 x^{2} + x + x^{2} + x=2x2+x+x2+x =3x2+2x,= 3 x^{2} + 2 x ,=3x2+2x, 故答案为： 3x2+2x3 x^{2} + 2 x3x2+2x

点睛。 本题考查了列代数式，掌握长方形的面积公式，利用割补的方法求图形面积是本题的关键.

解：（1） 5ab3⋅(−34a3b)⋅(−23ab4c)5 a b^{3} \cdot \left( - {\frac {3} {4}} a^{3} b \right) \cdot \left( - {\frac {2} {3}} a b^{4} c \right)5ab3⋅(−43a3b)⋅(−32ab4c) =5ab3⋅34a3b⋅23ab4c= 5 a b^{3} \cdot {\frac {3} {4}} a^{3} b \cdot {\frac {2} {3}} a b^{4} c=5ab3⋅43a3b⋅32ab4c =52a5b8c= {\frac {5} {2}} a^{5} b^{8} c=25a5b8c (2) [4(a−b)m−1][−3(a−b)2m]\Big [ 4 ( a - b )^{m - 1} \Big ] \Big [ - 3 ( a - b )^{2 m} \Big ][4(a−b)m−1][−3(a−b)2m] =−4(a−b)m−1⋅3(a−b)2m= - 4 ( a - b )^{m - 1} \cdot 3 ( a - b )^{2 m}=−4(a−b)m−1⋅3(a−b)2m =−12(a−b)2m+m−1= - 12 ( a - b )^{2 m + m - 1}=−12(a−b)2m+m−1 =−12(a−b)3m−1= - 12 ( a - b )^{3 m - 1}=−12(a−b)3m−1

点睛。 本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则.

第 15 题#

计算：

(1) (4a−b2)(−2b)\left( 4 a - b^{2} \right) \left( - 2 b \right)(4a−b2)(−2b)

(2) 2x2(x−12)2 x^{2} \left( x - {\frac {1} {2}} \right)2x2(x−21)

(3) 5ab(2a−b+0.2)5 a b ( 2 a - b + 0 . 2 )5ab(2a−b+0.2)

(4) (2a2−23a−49)(−9a){\biggl (} 2 a^{2} - {\frac {2} {3}} a - {\frac {4} {9}} {\biggr )} ( - 9 a )(2a2−32a−94)(−9a)

查看答案

(1)−8ab+2b3;(2)2x3−x2;(3)10a2b−5ab2+ab;(4)−18a3+6a2+4a.\mathrm {( 1 )} - 8 a b + 2 b^{3} ; \mathrm {( 2 )} 2 x^{3} - x^{2} ; \mathrm {( 3 )} 10 a^{2} b - 5 a b^{2} + a b ; \mathrm {( 4 )} - 18 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a .(1)−8ab+2b3;(2)2x3−x2;(3)10a2b−5ab2+ab;(4)−18a3+6a2+4a.

查看分析思路

直接利用单项式乘整式运算法则计算得出答案

查看详细解析

解：（1） (4a−b2)(−2b)=−8ab+2b3\biggl ( 4 a - b^{2} \biggr ) ( - 2 b ) = - 8 a b + 2 b^{3}(4a−b2)(−2b)=−8ab+2b3

(2) 2x2(x−12)=2x3−x22 x^{2} \left( x - {\frac {1} {2}} \right) = 2 x^{3} - x^{2}2x2(x−21)=2x3−x2

(3) 5ab(2a−b+0.2)=10a2b−5ab2+ab5 a b ( 2 a - b + 0 . 2 ) = 10 a^{2} b - 5 a b^{2} + a b5ab(2a−b+0.2)=10a2b−5ab2+ab

(4) (2a2−23a−49)(−9a)=−18a3+6a2+4a .\left( 2 a^{2} - {\frac {2} {3}} a - {\frac {4} {9}} \right) \left( - 9 a \right) = - 18 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a \ .(2a2−32a−94)(−9a)=−18a3+6a2+4a .

点睛。 本题主要考查了单项式乘整式，正确掌握相关运算法则是解题关键

第 16 题#

计算：

(1) (x−6)(x−3)( x - 6 ) ( x - 3 )(x−6)(x−3) (2) (x+12)(x−13)( x + \frac {1} {2} ) ( x - \frac {1} {3} )(x+21)(x−31)

(3) (3x+2)(x+2)( 3 x + 2 ) ( x + 2 )(3x+2)(x+2) (4) (4y−1)(5−y)( 4 y - 1 ) ( 5 - y )(4y−1)(5−y)

(5) (x−2)(x2+4)( x - 2 ) \left( x^{2} + 4 \right)(x−2)(x2+4)

(6) (x−y)(x2+xy+y2)( x - y ) \left( x^{2} + x y + y^{2} \right)(x−y)(x2+xy+y2)

查看答案

(1) x2−9x+18x^2-9x+18x2−9x+18；(2) x2+16x−16x^2+\frac16x-\frac16x2+61x−61；(3) 3x2+8x+43x^2+8x+43x2+8x+4；(4) −4y2+21y−5-4y^2+21y-5−4y2+21y−5；(5) x3−2x2+4x−8x^3-2x^2+4x-8x3−2x2+4x−8；(6) x3−y3x^3-y^3x3−y3。

查看分析思路

（1）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（2）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案；

（3）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案；

（4）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案；

（5）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（6）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案

查看详细解析

解：（1） (x−6)(x−3)=x2−3x−6x+18=x2−9x+18\scriptstyle ( x - 6 ) ( x - 3 ) = x^{2} - 3 x - 6 x + 18 = x^{2} - 9 x + 18(x−6)(x−3)=x2−3x−6x+18=x2−9x+18

(2) (x+12)(x−13)=x2−13x+12x−16=x2+16x−16,{\Bigg (} x + {\frac {1} {2}} {\Bigg )} {\Bigg (} x - {\frac {1} {3}} {\Bigg )} = x^{2} - {\frac {1} {3}} x + {\frac {1} {2}} x - {\frac {1} {6}} = x^{2} + {\frac {1} {6}} x - {\frac {1} {6}} ,(x+21)(x−31)=x2−31x+21x−61=x2+61x−61,

(3) (3x+2)(x+2)=3x2+6x+2x+4=3x2+8x+4;( 3 x + 2 ) ( x + 2 ) = 3 x^{2} + 6 x + 2 x + 4 = 3 x^{2} + 8 x + 4 ;(3x+2)(x+2)=3x2+6x+2x+4=3x2+8x+4;

(4) (4y−1)(5−y)=20y−4y2−5+y=−4y2+21y−5( 4 y - 1 ) ( 5 - y ) = 20 y - 4 y^{2} - 5 + y = - 4 y^{2} + 21 y - 5(4y−1)(5−y)=20y−4y2−5+y=−4y2+21y−5

(5) (x−2)(x2+4)=x3+4x−2x2−8=x3−2x2+4x−8( x - 2 ) {\big (} x^{2} + 4 {\big )} = x^{3} + 4 x - 2 x^{2} - 8 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8(x−2)(x2+4)=x3+4x−2x2−8=x3−2x2+4x−8 (6)(x−y)(x2+xy+y2)( 6 ) ( x - y ) \left( x^{2} + x y + y^{2} \right)(6)(x−y)(x2+xy+y2) =x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3= x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3}=x3+x2y+xy2−x2y−xy2−y3 =x3−y3= \boldsymbol {x}^{3} - \boldsymbol {y}^{3}=x3−y3

第 17 题#

先化简，再求值： (x−1)(x−2)−3x(x+3)+2(x+2)(x−1)( x - 1 ) ( x - 2 ) - 3 x ( x + 3 ) + 2 ( x + 2 ) ( x - 1 )(x−1)(x−2)−3x(x+3)+2(x+2)(x−1) ，其中 x=13x = \frac {1} {3}x=31

查看答案

−10x−2,−163- 10 x - 2 , - \frac {16} {3}−10x−2,−316

查看分析思路

本题主要考查整式乘以整式及化简求值，熟练掌握整式乘以整式是解题的关键；因此此题可先根据整式乘以整式进行化简，然后代值求解即可

查看详细解析

解：原式 =x2−3x+2−(3x2+9x)+2(x2+x−2)= x^{2} - 3 x + 2 - ( 3 x^{2} + 9 x ) + 2 ( x^{2} + x - 2 )=x2−3x+2−(3x2+9x)+2(x2+x−2) =x2−3x+2−3x2−9x+2x2+2x−4= x^{2} - 3 x + 2 - 3 x^{2} - 9 x + 2 x^{2} + 2 x - 4=x2−3x+2−3x2−9x+2x2+2x−4 =−10x−2= - 10 x - 2=−10x−2 ∵x=13.\because x = {\frac {1} {3}} .∵x=31. 因此原式 =−10×13−2=−163= - 10 \times \frac {1} {3} - 2 = - \frac {16} {3}=−10×31−2=−316

第 18 题#

已知 (mx−3)(−x+n)( m x - 3 ) ( - x + n )(mx−3)(−x+n) 的展开式中不含x的一次项，且常数项是-3.

(1)求 m，n的值；

(2)先化简 (m+n)(m2−mn+n2)( m + n ) \big ( m^{2} - m n + n^{2} \big )(m+n)(m2−mn+n2) ，再根据（1）中的结果求值.

查看答案

(1)m=−3,n=1( 1 ) m = - 3 , n = 1(1)m=−3,n=1

(2) m3+n3 ,−26m^{3} + n^{3} \ , \quad - 26m3+n3 ,−26

查看分析思路

本题主要考查了整式乘以整式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键

（1）根据整式乘以整式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是-3可得 mn+3=0m n + 3 = 0mn+3=0 −3n=−3- 3 n = - 3−3n=−3 ，求解即可获得答案；

（2）根据整式乘以整式运算法则将原式化简原式 =m3+n3= m^{3} + n^{3}=m3+n3 ，然后将 m=−3,n=1m = - 3 , n = 1m=−3,n=1 ，的值代入求解即可.

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（1）解： (mx−3)(−x+n)=−mx2+mnx+3x−3n=−mx2+(mn+3)x−3n( m x - 3 ) ( - x + n ) = - m x^{2} + m n x + 3 x - 3 n = - m x^{2} + \left( m n + 3 \right) x - 3 n(mx−3)(−x+n)=−mx2+mnx+3x−3n=−mx2+(mn+3)x−3n

因为展开式中不含x的一次项，且常数项是-3， ∴mn+3=0,−3n=−3,\therefore m n + 3 = 0 , - 3 n = - 3 ,∴mn+3=0,−3n=−3, ∴m=−3,n=1;\therefore m = - 3 , n = 1 ;∴m=−3,n=1;

(2) 解：原式 =m3−m2n+mn2+m2n−mn2+n3=m3+n3=m^3-m^2n+mn^2+m^2n-mn^2+n^3=m^3+n^3=m3−m2n+mn2+m2n−mn2+n3=m3+n3。

当 m=−3,n=1m = - 3 , n = 1m=−3,n=1 时，

原式 =(−3)3+13=−26=(-3)^3+1^3=-26=(−3)3+13=−26。

第 19 题#

如图，公园有一块长为(2m+n)(2m+n)(2m+n)米．宽为 (m+2n)\left( m + 2 n \right)(m+2n) 米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹.

原题图

(1)请用m、n表示牡丹栽种的面积，结果化为最简；

(2)若种植牡丹费用为60元/平方米．已知 m=5m = 5m=5 米，n=4n=4n=4米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？

查看答案

(1)(2n2+7mn−m2)( 1 ) \left( 2 n^{2} + 7 m n - m^{2} \right)(1)(2n2+7mn−m2) 平方米

(2)8820元

查看分析思路

本题主要考查整式运算与图形面积，理解图示面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键.

（1）根据图示，阴影部分的宽为 m+2n−(m−n)=3nm + 2 n - {\bigl (} m - n {\bigr )} = 3 nm+2n−(m−n)=3n ，阴影部分（包括两个空白处）的面积为

(2m+n)⋅3n=3n2+6mn\left( 2 m + n \right) \cdot3n = 3 n^{2} + 6 m n(2m+n)⋅3n=3n2+6mn (平方米)，阴影部分两个空白部分的面积为：

mn+(m−n)(m−n)=m2−2mn+mn+n2=m2−mn+n2m n + {\big (} m - n {\big )} {\big (} m - n {\big )} = m^{2} - 2 m n + m n + n^{2} = m^{2} - m n + n^{2}mn+(m−n)(m−n)=m2−2mn+mn+n2=m2−mn+n2 (平方米)，由此即可求解；

（2）把m=5m=5m=5米，n=4n=4n=4米代入计算即可.

查看详细解析

（1）解：公园有一块长为 (2m+n)\left( 2 m + n \right)(2m+n) 米.宽为(m+2n)(m+2n)(m+2n)米的空地，

根据图示，阴影部分的宽为 m+2n−(m−n)=3nm + 2 n - {\bigl (} m - n {\bigr )} = 3 nm+2n−(m−n)=3n

<阴影部分>（包括两个空白处）的面积为 (2m+n)⋅3n=3n2+6mn\left( 2 m + n \right) \cdot3n = 3 n^{2} + 6 m n(2m+n)⋅3n=3n2+6mn (平方米),

阴影部分两个空白部分的面积为： mn+(m−n)(m−n)=m2−2mn+mn+n2=m2−mn+n2m n + {\big (} m - n {\big )} {\big (} m - n {\big )} = m^{2} - 2 m n + m n + n^{2} = m^{2} - m n + n^{2}mn+(m−n)(m−n)=m2−2mn+mn+n2=m2−mn+n2 (平方米),因为计划在阴影部分栽种牡丹，

<牡丹栽种的面积为>： 3n2+6mn−(m2−mn+n2)=2n2+7mn−m23 n^{2} + 6 m n - \left( m^{2} - m n + n^{2} \right) = 2 n^{2} + 7 m n - m^{2}3n2+6mn−(m2−mn+n2)=2n2+7mn−m2 (平方米);

（2）解：已知m=5m=5m=5米，n=4n=4n=4米，

因此牡丹栽种的面积为 =2n2+7mn−m2=2×42+7×5×4−52=147= 2 n^{2} + 7 m n - m^{2} = 2 \times 4^{2} + 7 \times 5 \times 4 - 5^{2} = 147=2n2+7mn−m2=2×42+7×5×4−52=147 (平方米),

因为种植牡丹费用为60元/平方米，

因此 147×60=8820147\times60=8820147×60=8820（元），

因此栽种牡丹需要的费用为8820元.

第 20 题#

7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 S1S_{1}S1 ，左下角的面积为 S2,ABS_{2} , ABS2,AB 的长度为 m.

图①、图②

(1)填空： S1=−S_{1} =_{-}S1=− S2=S_{2} =S2= (用含a、b、m的式子表示);

(2)若 S1−S2S_{1} - S_{2}S1−S2 的值与m的取值无关，求a与b的数量关系；

(3)在（2）的条件下，直接写出 S1−S2S_{1} - S_{2}S1−S2 的值.

查看答案

(1) am−3aba m - 3 a bam−3ab 2bm−4ab2 b m - 4 a b2bm−4ab

(2) a=2ba = 2 ba=2b

(3) aba bab

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本题主要考查了单项式乘以整式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出 S1S_{1}S1 和 S2S_{2}S2 是解题的关键.

（1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可；

（2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出 S1−S2S_{1} - S_{2}S1−S2 的结果，再根据结果与 m无关列式求解即可；

（3）根据（2）所求即可得到答案.

查看详细解析

（1）解：由题意得， S1=a(m−3b)=am−3abS_{1} = a \left( m - 3 b \right) = a m - 3 a bS1=a(m−3b)=am−3ab

S2=2b(m−2a)=2bm−4abS_{2} = 2 b \bigl ( m - 2 a \bigr ) = 2 b m - 4 a bS2=2b(m−2a)=2bm−4ab

（2）解：由（1）得 S1−S2=am−3ab−(2bm−4ab)=(a−2b)m+abS_{1} - S_{2} = a m - 3 a b - \left( 2 b m - 4 a b \right) = \left( a - 2 b \right) m + a bS1−S2=am−3ab−(2bm−4ab)=(a−2b)m+ab ∵S1−S2\because S_{1} - S_{2}∵S1−S2 的值与m的取值无关， ∴a−2b=0\therefore a - 2 b = 0∴a−2b=0 因此 a=2ba = 2ba=2b;

（3）解：由（2）得 S1−S2=(a−2b)m+ab=abS_{1} - S_{2} = {\big (} a - 2 b {\big )} m + a b = a bS1−S2=(a−2b)m+ab=ab

第 21 题#

定义：对于依次排列的整式 x+a,x+b,x+c,x+d(a,b,c,dx + a , x + b , x + c , x + d ( a , b , c , dx+a,x+b,x+c,x+d(a,b,c,d 是常数)，当它们满足(x+a)(x+d)−(x+b)(x+c)=M( x + a ) ( x + d ) - ( x + b ) ( x + c ) = M(x+a)(x+d)−(x+b)(x+c)=M ，且M为常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子.如对于整式 x+2,x+1,x+6,x+5x + 2 , x + 1 , x + 6 , x + 5x+2,x+1,x+6,x+5 ，因为 (x+2)(x+5)−(x+1)(x+6)=(x2+7x+10)−(x2+7x+6)=4( x + 2 ) ( x + 5 ) - ( x + 1 ) ( x + 6 ) = \left( x^{2} + 7 x + 10 \right) - \left( x^{2} + 7 x + 6 \right) = 4(x+2)(x+5)−(x+1)(x+6)=(x2+7x+10)−(x2+7x+6)=4 所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子.

(1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M.

(2)若a，b，c，d是一组平衡数， a=4,d=3a = 4 , d = 3a=4,d=3 ，请写出一组b，c的值，

(3)当 a,b,c,da , b , c , da,b,c,d 之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由.

查看答案

(1)−10(1)-10(1)−10

(2) b=1,c=6b = 1 , c = 6b=1,c=6 (答案不唯一)

(3)当 a+d=b+ca + d = b + ca+d=b+c 时，a，b，c，d是一组平衡数

查看分析思路

本题考查整式乘整式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现 a+d=b+c , M=ad−bca + d = b + c ~ , ~ M = a d - b ca+d=b+c , M=ad−bc

（1）直接根据定义计算M的值；

（2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为0，代入a=4a=4a=4，d=3d=3d=3可得结论；

（3）根据（2）可得a，b，c，d之间满足的数量关系式.

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（1）解： M=(x+2)(x+9)−(x+4)(x+7)=(x2+11x+18)−(x2+11x+28)=−10M = ( x + 2 ) ( x + 9 ) - ( x + 4 ) ( x + 7 ) = \left( x^{2} + 11 x + 18 \right) - \left( x^{2} + 11 x + 28 \right) = - 10M=(x+2)(x+9)−(x+4)(x+7)=(x2+11x+18)−(x2+11x+28)=−10

（2）由题意，得

M=(x+4)(x+3)−(x+b)(x+c)=(x2+7x+12)−[x2+(b+c)x+bc]=(7−b−c)x+12−bc ,M = ( x + 4 ) ( x + 3 ) - ( x + b ) ( x + c ) = \left( x^{2} + 7 x + 12 \right) - \left[ x^{2} + ( b + c ) x + b c \right] = ( 7 - b - c ) x + 12 - b c \ ,M=(x+4)(x+3)−(x+b)(x+c)=(x2+7x+12)−[x2+(b+c)x+bc]=(7−b−c)x+12−bc ,

因为 M ,b ,cM \ , b \ , cM ,b ,c 是常数，所以 7−b−c=07 - b - c = 07−b−c=0 ，即 b+c=7b + c = 7b+c=7 ，所以b，c的值可以是 b=1,c=6b = 1 , c = 6b=1,c=6 （答案不唯一，满足 b+c=7b + c = 7b+c=7 即可）

(3)M=(x+a)(x+d)−(x+b)(x+c)=[x2+(a+d)x+ad]−[x2+(b+c)x+bc]=(a+d−b−c)x+ad−bc ,( 3 ) \quad M = ( x + a ) ( x + d ) - ( x + b ) ( x + c ) = \left[ x^{2} + ( a + d ) x + a d \right] - \left[ x^{2} + ( b + c ) x + b c \right] = ( a + d - b - c ) x + a d - b c \ ,(3)M=(x+a)(x+d)−(x+b)(x+c)=[x2+(a+d)x+ad]−[x2+(b+c)x+bc]=(a+d−b−c)x+ad−bc ,

a ,b ,c ,da \ , b \ , c \ , da ,b ,c ,d 都是常数，所以当 a+d−b−c=0a + d - b - c = 0a+d−b−c=0 时，M是常数，即当 a+d=b+ca + d = b + ca+d=b+c 时， a :, :b :, : :c :, : :da \ : , \ : b \ : , \ : \ : c \ : , \ : \ : da :, :b :, : :c :, : :d 是一组平衡数

系列导航：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章综合复习。