1. $\boxed{2x+4y-3=0}$。
2. $\boxed{x+4y=0,\quad -\frac43<x<\frac43}$。
3. $\boxed{x^2+2y^2-2x-2y=0,\quad \frac{x^2}{2}+y^2<1}$。

第（3）问的严格不等式表示椭圆内部；与原椭圆相交的两个边界点 $(0,1)$、$(4/3,-1/3)$ 不取。

第（1）问已知中点，先用点差法确定弦方向，再验证存在性。第（2）问已知方向，点差法确定中点所在直线，还要用“中点在椭圆内部”截取实际轨迹。第（3）问让弦方向取为 $\overrightarrow{MP}$，直接使用不含斜率分母的关系，避免漏掉中点为原点等特殊位置。

对该椭圆，点差关系为

有限斜率下即 $u+2vk=0$。

（1）给定中点。 代入 $u=v=1/2$，有 $k=-1/2$，故

为验证确实有两个交点，设直线上点为

代入椭圆得 $3/8+3t^2/4=1$，即 $t^2=5/6>0$，因此两个实端点存在且关于 $M$ 对称。

（2）固定斜率。 令 $k=2$，有 $u+4v=0$。弦的两个端点不同，其中点严格位于椭圆内部，所以

由 $v=-u/4$ 得 $9u^2/16<1$，因此 $|u|<4/3$。反过来，对这条开线段上的任一点，过它作斜率为 $2$ 的直线，点差方向关系成立且该点在椭圆内部，因此确有以它为中点的弦。故这不只是必要条件，而是完整轨迹。

（3）割线过外点。 设中点为 $M(u,v)$。$P$ 在椭圆外，而 $M$ 在内部，所以 $M\ne P$，向量 $(2-u,1-v)$ 是有效弦方向。点差关系给出

整理为

必要条件还包括 $u^2/2+v^2<1$。反过来，满足这两个条件的 $M$ 与 $P$ 确定直线；上述关系保证两个交点以 $M$ 为中点，而内部条件保证两个交点不同。

中点轨迹的代数方程也可写成

但不能把这整条椭圆都当成答案。联立原椭圆边界 $u^2+2v^2=2$，得到 $u+v=1$，进而得到两个被排除的端点 $(0,1)$ 与 $(4/3,-1/3)$。它们对应两条切线。

特别地，$M=O$ 应当保留：直线 $OP:y=x/2$ 是经过中心的有效割线，其弦中点确实是原点。

移动候选中点；先用点差法确定候选直线，再联立求交验证。原点不能确定唯一弦。

平移斜率为 2 的直线。两个端点重合时不再是一条弦。

转动过 P(2,1) 的直线；轨迹方程还需与椭圆内部条件同时使用。

1. $\boxed{x-y+1=0}$；可取端点 $A(3,4)$、$B(-1,0)$。
2. $\boxed{\text{不存在}}$。点差法得到的唯一候选直线为 $y=2x-1$，但它与双曲线没有实交点。

先由点差关系求出候选斜率，再把候选直线代入曲线。第（2）问是典型反例：必要的中点—方向关系成立，并不意味着曲线上真的存在所需端点。

设中点为 $(u,v)$，两端点代入方程后相减，得到

这里两候选中点的 $v$ 都非零；若 $x_1=x_2$，上式还会推出 $y_1=y_2$，与两端点不同矛盾，因此弦斜率一定存在，且 $k=2u/v$。

（1）取 $P(1,2)$。 有 $k=1$，候选直线为 $y=x+1$。代入双曲线：

解得 $x=3,-1$，对应 $y=4,0$。两端点的中点为 $(1,2)$，故该直线满足题意。

（2）取 $Q(1,1)$。 有 $k=2$，候选直线为 $y=2x-1$。代入得

其判别式 $\Delta=16-24=-8<0$，没有实交点。候选方向已是唯一可能，故不存在满足要求的直线。

也可以在候选直线上写 $(X,Y)=(1+t,1+2t)$。这时 $2X^2-Y^2=1-2t^2$，不可能等于 $2$，同样说明不存在实端点。

点差关系是必要条件。比较 P(1,2) 和 Q(1,1)，观察求交结果。

1. $\boxed{x-\frac12y=0,\quad x\in\mathbb R}$，即整条直线 $y=2x$。
2. $\boxed{x-2y=0,\quad |y|>\frac1{\sqrt3}}$，等价于

第（2）问还需满足$x^2-y^2>1$。轨迹是两条开射线，不包含切点，也不包含两切点之间的线段。

两问的点差关系都是 $u-kv=0$，但两种方向的存在性条件不同。把端点写成 $(u+t,v+kt)$，就能看出方向系数 $1-k^2$ 的正负如何决定中点范围。

点差法给出 $u-kv=0$。过 $M(u,v)$ 的斜率为 $k$ 的直线可以写成

代入 $X^2-Y^2=1$，利用 $u-kv=0$ 消去一次项：

（1）$k=1/2$。 有 $v=2u$，于是

对每个实数 $u$ 都有两个相反的非零实根 $t$，因此中点可以遍历整条直线 $v=2u$。原点也在轨迹中，对应直线 $y=x/2$。

（2）$k=2$。 有 $u=2v$，于是

两端点不同当且仅当 $|v|>1/\sqrt3$。等号时两端点重合于切点；$|v|<1/\sqrt3$ 时没有实端点。两问均已通过构造给出充分性。

对比。 第（1）问的弦方向满足 $1-k^2>0$，任意截距都能得到两个交点；第（2）问满足 $1-k^2<0$，只有截距足够大时才有两个交点。因此不能只看到中点在一条直线上，就把整条直线都作为轨迹。

斜率可自由试探；原题指定 k=1/2 或 k=2。注意单交点未必是切线。

$x^2-3y^2-2x+3y=0$ 是必要条件，但其上并非每个点都能作为有效弦的中点。例如原点满足方程，可是 $OP:y=x/2$ 与该双曲线没有实交点。还需检查完整范围。

1. $\boxed{2x-3y-1=0}$。
2. 完整轨迹为

也可把范围写成 $y^2-x^2/3<0$ 或 $y^2-x^2/3>1$。原点以及切点 $(0,1),(-12,-7)$ 不取；竖直割线 $x=2$ 对应的中点 $(2,0)$ 必须保留。

第（1）问用点差法求候选直线并验证。第（2）问先让弦经过 $P$，得到候选中点的代数方程，再对候选中点构造对称端点。双曲线的方向二次项有符号，必须判断产生两个非零实参数的范围；只检查中点方程还不够。

该双曲线可写成 $x^2-3y^2=-3$。对中点 $M(u,v)$，点差关系为

（1）中点为 $P$。 代入 $(u,v)=(2,1)$ 得 $k=2/3$，因此 $l:2x-3y-1=0$。代入曲线得到

所以两交点为

它们的中点正是 $P(2,1)$。

（2）先求代数方程。 弦中点 $M$ 的候选直线满足

代入弦上已知点 $P(2,1)$ 得

即

这一步对 $M=P$ 仍成立，也没有除以 $u$、$v$ 或某个斜率分母。

再确定实际可取范围。 记 $R=u^2-3v^2$。对 $M\ne O$，候选直线的一个非零方向向量为 $(3v,u)$。设它上面的点为

代入双曲线 $X^2-3Y^2=-3$：

当 $R\ne0$ 时，

存在两个相反的非零实根，当且仅当

这些条件反过来保证两个不同端点，且候选直线经过 $P$，所以得到的是完整轨迹，而非仅必要条件。

补查 $R=0$ 与原点。 若同时满足 $R=0$ 和轨迹方程，则 $2u-3v=0$，两式联立只有 $u=v=0$。但过 $P$ 与 $O$ 的直线为 $y=x/2$，代入原双曲线得 $-x^2/12=1$，无实交点，因此原点不取。

补查切点与竖直直线。 当 $R=-3$ 时，$t=0$，两端点重合。联立 $R=-3$ 与 $2u-3v=-3$，得到两个切点 $(0,1)$、$(-12,-7)$，均排除。另一方面，竖直线 $x=2$ 与曲线交于 $(2,\pm\sqrt{7/3})$，中点为 $(2,0)$；它满足 $R=4>0$，已包含在答案中。

有限斜率的计算。 若 $l:y=k(x-2)+1$，代入得

判别式为 $\Delta=12k(7k-4)$。有两个不同交点要求

最后两个值使二次项消失，不能仅凭判别式判断为两个交点。有效时中点为

与上述隐式轨迹和范围一致；竖直线仍须另行包含。

两段有效范围缺一不可。切线、平行渐近线和无交点方向都不能作为普通弦。

$C_2$ 的定义域是 $y>0$；在整体并集 $\Gamma$ 中，两种写法得到相同点集，因为 $(\pm a,0)$ 已属于 $C_1$。但讨论单独的 $C_1,C_2$ 时，应保留各自的范围。

第（3）问的两个端点都必须在下半椭圆上，不能把上半椭圆上的交点也算进去。

1. $a^2=20,b^2=16$，所以

2. 若弦斜率为 $b/a$，则 $M$ 在 $y=-(b/a)x$ 上；若弦斜率为 $-b/a$，则 $M$ 在 $y=(b/a)x$ 上。
3. $\boxed{S_{\triangle CDF_1,\max}=\dfrac{16\sqrt5}{3}}$，当

时取到。该直线确实与下半椭圆相交于两个不同点。

椭圆与双曲线分别提供 $a^2-b^2$ 与 $a^2+b^2$，相加相减即可求参数。第（2）问把渐近线斜率代入椭圆点差式。第（3）问用 $x=my+6$ 设直线，由韦达定理与判别式求纵坐标差；利用 $F_1,F_4$ 在 $x$ 轴上，把三角形面积化为纵坐标差的倍数，最后用基本不等式求最大值。

（1）求曲线方程。 椭圆焦距参数满足 $a^2-b^2=2^2=4$；双曲线满足 $a^2+b^2=6^2=36$。联立得 $a^2=20,b^2=16$，且 $F_1=(-2,0),F_4=(6,0)$，代回各自分支条件即得答案。

（2）中点所在直线。 设中点为 $(u,v)$，弦的斜率为 $k$，则

若 $k=b/a$，则 $b^2u+abv=0$，即 $v=-(b/a)u$；若 $k=-b/a$，同理得到 $v=(b/a)u$。这分别是另一条渐近线。题目已经假设 $A,B$ 确实属于 $C_1$，证明不需要再把整条直线上的任意交点都视为下半椭圆上的点。

（3）求面积。 水平线 $y=0$ 经过 $F_4$，与 $C_1$ 相交于两端点，但此时三点共线，图形退化、面积为 $0$（若要求非退化三角形，则排除该构型）；它不影响所求最大值。其他非水平直线可设为

代入椭圆 $4x^2+5y^2=80$，得

判别式为

两个不同实根要求 $|m|>1$。两根之积 $64/(4m^2+5)>0$，同号；两根之和为 $-48m/(4m^2+5)$。要让它们都位于下半椭圆，必须取 $m>1$。$m<-1$ 对应上半椭圆，应排除。

设端点纵坐标为 $y_1,y_2$，则

由 $x_i=my_i+6$ 和 $F_1=(-2,0)$，面积为

令 $t=\sqrt{m^2-1}>0$，则

因为 $4t^2+9\ge12t$，等号当且仅当 $t=3/2$，所以

结合 $m>1$，等号条件是 $m=\sqrt{13}/2$，不是两个正负值都可取。此时两纵坐标为

均严格为负且不同，因此这个最大值在原题规定的 $C_1$ 上真正取到。

只把两个交点都位于下半椭圆的直线作为有效弦；比较坐标面积与理论公式。

1. $\boxed{S\in(0,4\sqrt3\pi]}$。最大值在圆柱半径 $r=\sqrt2$、高 $h=\sqrt6$ 时取得；非退化矩形不对应 $S=0$。
2. $\boxed{k\in(-\infty,-\frac12)}$。

第（1）问先辨清“圆柱侧面积”，不是总表面积。矩形另一直边的两个端点在椭圆上且横坐标相同，因此关于 $x$ 轴对称；用椭圆参数方程或二元不等式即可求值域。第（2）问用点差法把 $k$ 表为中点纵坐标 $m$ 的函数，再由中点严格位于椭圆内部确定 $m$ 的范围。

（1）圆柱侧面积。 由关于 $y$ 轴的对称性，不妨设矩形在右半平面，写为

其中 $r>0,s>0$，且 $r^2/4+s^2/3=1$。圆柱半径为 $r$，高为 $2s$，所以

设 $r=2\cos\theta,s=\sqrt3\sin\theta$，$0<\theta<\pi/2$，则

当 $2\theta\in(0,\pi)$ 时，$\sin2\theta\in(0,1]$，所以 $S\in(0,4\sqrt3\pi]$。在 $\theta=\pi/4$ 时达到最大值，对应 $r=\sqrt2,s=\sqrt6/2$、高 $h=\sqrt6$。当 $\theta$ 趋向区间任一端点，矩形趋于退化，侧面积可以趋于 $0$，但不能取到 $0$。

（2）斜率范围。 设弦中点为 $M(1,m)$。对 $3x^2+4y^2=12$ 使用点差法，得到

两端点不同，其中点必须在椭圆内部，故

结合 $m>0$，得 $0<m<3/2$，从而 $k<-1/2$。

反过来，每个 $m\in(0,3/2)$ 对应候选直线

它满足点差方向条件且经过椭圆内部的 $M$，因此确实截得以 $M$ 为中点的弦，所有这些斜率都能取到。

当 $m=3/2$ 时，$M$ 在椭圆边界上，候选直线成为切线，所以 $k=-1/2$ 不取。当 $m\to0^+$ 时 $k\to-\infty$；极限竖直线 $x=1$ 的中点为 $(1,0)$，不满足 $m>0$，也不属于有限斜率的取值范围。

m=0 时几何上是竖直弦，但原题要求 m>0；端点 m=3/2 不可取。

1. $\boxed{\dfrac{x^2}{2}+y^2=1}$。
2. $\boxed{k_lk_{OM}=-\dfrac12}$。

先由椭圆定义求 $a,b,c$，再用点差法证明斜率积。证明中要用题目已给出的“不经过原点、不平行于坐标轴”，确保直线 $OM$ 和所需除法都有定义。

（1）曲线方程。 两焦点间距为 $2$，距离之和为 $2\sqrt2>2$，因此曲线为椭圆，且

故 $\Gamma:x^2/2+y^2=1$。

（2）斜率积。 设 $M(u,v)$、$k_l=k$。由于 $l$ 不平行于坐标轴，$k$ 存在且 $k\ne0$。点差法得

由于 $M$ 在弦上，$l$ 不过 $O$ 意味着 $M\ne O$。若 $u=0$，上式推出 $v=0$，矛盾；若 $v=0$，也推出 $u=0$。所以 $u,v$ 均非零，$k_{OM}=v/u$ 有定义。因此

转动并平移直线。一般式点差关系仍成立，但不能把没有定义的斜率乘积显示成常数。

1. $\boxed{S_{\triangle ABP}=2\sqrt2}$。
2. $\boxed{x+2y=0,\quad -\dfrac{2\sqrt6}{3}<x<\dfrac{2\sqrt6}{3}}$。

四个顶点中任选三个，必有一对相对顶点，以它们连成的轴为底求面积。第（2）问先用点差法找中点所在直线，再用原椭圆内部条件确定开线段。

（1）三角形面积。 椭圆的四个顶点是 $(\pm2,0)$、$(0,\pm\sqrt2)$。任选三个不同顶点，如果包含两个长轴端点，面积为 $\frac12\cdot4\cdot\sqrt2=2\sqrt2$；如果包含两个短轴端点，面积为 $\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2=2\sqrt2$。

（2）中点轨迹。 设 $M(u,v)$。对椭圆使用点差法：

代入 $k=1$ 得 $u+2v=0$。中点位于椭圆内部，因此

以 $v=-u/2$ 代入，得到 $3u^2/8<1$，即 $|u|<2\sqrt6/3$。反过来，该开线段上每一点都在椭圆内部且满足点差方向关系，因此均能作为斜率为 $1$ 的弦的中点。边界对应切线，不能取到；原点对应直径，能够取到。

观察中点沿开线段移动；切点不计入弦中点轨迹。

$\boxed{4x+9y-13=0}$。

由中点确定候选方向，再利用中点在椭圆内部确认候选直线确实截得两个不同端点。

对 $4x^2+9y^2=36$ 作点差，得到 $4u+9vk=0$。代入 $u=v=1$，有 $k=-4/9$，所以

因为 $1/9+1/4=13/36<1$，$M$ 严格位于椭圆内部。更具体地，在候选直线上设

代入椭圆得 $13/36+13t^2=1$，所以 $t^2=23/468>0$，确有两个不同且关于 $M$ 对称的交点。

题给中点对应 4x+9y−13=0。移动到椭圆外会失去实弦。

$\boxed{k_1k_2=-\dfrac12}$。题面使用“直线 $OP$ 的斜率”，已经要求 $P\ne O$ 且该斜率有定义。

这就是知识部分椭圆斜率积结论的直接应用，但应说明为什么可以除以中点横坐标。

设 $P(u,v)$。点差法得 $u+2vk_1=0$。由于题目给定 $k_2=k_{OP}$，$OP$ 必须是一条有斜率的直线，因此 $P\ne O$、$u\ne0$，且 $k_2=v/u$。于是

若拿过原点的直径作例子，其弦中点是 $O$，此时“直线 $OP$”不由两不同点确定，$k_2$ 根本没有定义，不能把它当成乘积公式的一个正常取值情形。

转动并平移直线。一般式点差关系仍成立，但不能把没有定义的斜率乘积显示成常数。

原题没有明确排除竖直弦、$OM$ 竖直或 $M=O$ 的情形。在这些构型下，所写的斜率乘积可能没有定义。下面的乘积结论是在两条直线及其斜率均有定义时证明的；同时给出无需斜率分母的完整点差关系。

在 $k_{AB},k_{OM}$ 均有定义时，$\boxed{k_{AB}k_{OM}=b^2/a^2}$。

无须这些斜率假设、对任意有效弦都成立的原始关系是

其中 $M=(u,v)$、$A=(x_1,y_1)$、$B=(x_2,y_2)$。