圆锥曲线2：椭圆的性质

一、直线与椭圆的位置关系#

直线 $l$ 是椭圆 $E$ 的切线，当且仅当 $l$ 与 $E$ 有唯一公共点。

椭圆外一点恰能引两条切线。

联立

l:y=kx+m,\qquad E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

得到

(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2mkx+a^2(m^2-b^2)=0.

二次项系数恒正，所以可以直接按判别式分类： $\Delta>0$ 相交， $\Delta=0$ 相切， $\Delta<0$ 相离。

二、点差法与弦中点#

例 1：三类中点问题#

已知椭圆

\frac{x^2}{2}+y^2=1.

求过 $M\left(\frac12,\frac12\right)$ 且被 $M$ 平分的弦所在直线；
求斜率为 $2$ 的平行弦中点轨迹；
过 $P(2,1)$ 作割线，求所得弦中点 $M$ 的轨迹。

查看答案

$2x+4y-3=0$ ；
$x+4y=0$ ，且 $x\in\left(-\frac43,\frac43\right)$ ；
$x^2+2y^2-2x-2y=0$ 中位于原椭圆内部、确能对应两个不同交点的部分。

查看推导

设弦端点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，中点为 $(x_0,y_0)$ ，弦斜率为 $k$ 。两端点的椭圆方程相减：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}2+(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0,

因而

x_0+2y_0k=0.

第 1 问代入中点得 $k=-\frac12$ 。第 2 问代入 $k=2$ 得 $x_0+4y_0=0$ ；中点必须在椭圆内部，由

\frac{x_0^2}{2}+\frac{x_0^2}{16}<1

得 $|x_0|<\frac43$ 。

第 3 问再利用弦过 $P(2,1)$ ：

\frac{y-1}{x-2}=-\frac{x}{2y},

整理即得轨迹方程。消元得到的是代数曲线，最后仍须补上“实际存在两交点”的范围条件。

交互实验：例 1（3）：定点弦中点轨迹

改变过定点的割线，观察弦中点与轨迹，比较相切边界与有效弦。

例 2：平行弦端点连线的斜率和#

椭圆 $E$ 的中心在原点、焦点在坐标轴上，且经过 $M(2,1)$ 、 $N(2\sqrt2,0)$ 。平行于 $OM$ 的直线

l:y=\frac12x+b\qquad(b<0)

与椭圆交于 $A,B$ ，证明 $k_{MA}+k_{MB}=0$ 。

查看答案与证明

由两点坐标得

E:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1.

联立 $l$ 后横坐标满足

x^2+2bx+2b^2-4=0,

故 $x_1+x_2=-2b$ ， $x_1x_2=2b^2-4$ 。又

k_i=\frac{\frac12x_i+b-1}{x_i-2}=\frac12+\frac{b}{x_i-2}.

利用韦达定理可算得

\frac1{x_1-2}+\frac1{x_2-2}=-\frac1b,

因而 $k_{MA}+k_{MB}=1+b\left(-\frac1b\right)=0$ 。

三、动点与斜率范围#

例 3：焦点向量点积与锐角弦#

设 $F_1,F_2$ 是椭圆

\frac{x^2}{4}+y^2=1

的左右焦点。

动点 $P$ 在椭圆上，求 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}$ 的最值；
过 $M(0,2)$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ ，且 $\angle AOB$ 为锐角，求斜率 $k$ 的范围。

查看答案

最小值 $-2$ ，最大值 $1$ ；
$\displaystyle k\in\left(-2,-\frac{\sqrt3}{2}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{2},2\right)$ 。

查看推导

焦点为 $(\pm\sqrt3,0)$ 。设 $P(x,y)$ ，则

\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2} =x^2+y^2-3=\frac34x^2-2,

且 $x^2\in[0,4]$ ，故取值范围为 $[-2,1]$ 。

第 2 问令 $l:y=kx+2$ ，联立后得到

(1+4k^2)x^2+16kx+12=0.

两个不同交点要求 $|k|>\frac{\sqrt3}{2}$ ；锐角条件 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}>0$ 化为 $|k|<2$ 。取交集即得答案。

例 4：到动直线距离为 1 的三个椭圆点#

椭圆长轴是短轴的 $2$ 倍，且经过 $\left(\sqrt2,\frac{\sqrt2}{2}\right)$ 。直线 $l$ 过 $A(0,2)$ 、斜率为 $k$ ，法向量为 $(k,-1)$ 。点 $B$ 满足

|\vec n\cdot\overrightarrow{AB}|=|\vec n|.

查看答案

椭圆为 $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$ ， $B$ 到 $l$ 的距离为 $1$ ；恰有三个满足条件的椭圆点时

k=\pm\frac{2\sqrt{10}}3.

查看关键判断

满足条件的 $B$ 位于两条等距平行线

kx-y+2=\pm\sqrt{k^2+1}

上。恰有三个交点，意味着其中一条与椭圆相切、另一条相交。令 $r=\sqrt{k^2+1}$ ；有效的相切分支给出

(2+r)^2=1+4k^2,

从而 $r=\frac73$ 、 $k^2=\frac{40}{9}$ 。

交互实验：例 4（2）：等距平行线三交点

改变斜率，观察两条等距平行线与椭圆的交点数，用相切预设验证恰有三个交点的情形。

例 5：焦点弦、面积与菱形#

过椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点 $F(1,0)$ 作斜率为 $t$ 的弦 $PQ$ ， $O$ 为原点。

查看答案

两焦点与两短轴端点组成的四边形面积为 $2$ ；
$t=1$ 时， $S_{\triangle POQ}=\frac23$ ；
在线段 $OF$ 上存在 $M(m,0)$ 使 $MP=MQ$ ，非退化菱形对应 $m\in\left(0,\frac12\right).$

查看第 3 问

联立 $y=t(x-1)$ 与椭圆，设两端点横坐标为 $x_1,x_2$ ，有

x_1+x_2=\frac{4t^2}{1+2t^2}.

条件 $MP=MQ$ 化为

m=\frac{x_1+x_2}{4}=\frac{t^2}{1+2t^2}.

有限且非零的 $t$ 给出 $0<m<\frac12$ ； $t=0$ 时图形退化， $m=\frac12$ 只在斜率趋于无穷时逼近。

交互实验：例 5（3）：焦点弦与菱形

改变焦点弦斜率，观察等距点的位置及菱形条件，比较边界和退化情形。

四、课堂练习#

练习 1#

过 $M(1,1)$ 的直线被椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 截得的弦以 $M$ 为中点。求直线与弦长。

答案

3x+4y-7=0,\qquad |AB|=\frac{5\sqrt{105}}{21}.

点差法先得 $k=-\frac34$ ；代入后横坐标满足 $21x^2-42x+1=0$ ，再用 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 。

练习 2#

直线斜率为 $k_1\ne0$ ，它截椭圆 $x^2+2y^2=2$ 的弦中点为 $P$ ； $OP$ 斜率为 $k_2$ 。求 $k_1k_2$ 。

答案

点差法给出 $k_1=-\frac{u}{2v}$ ，而 $k_2=\frac vu$ ，所以

k_1k_2=-\frac12.

练习 3#

点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ 上运动， $A=(2,0)$ 。求 $|PA|$ 的范围。

答案

|PA|\in\left[\frac{\sqrt2}{2},5\right].

因为 $PA^2=\frac89x^2-4x+5$ ，在 $x\in[-3,3]$ 上最小值为 $\frac12$ ，最大值为 $25$ 。

练习 4#

求椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上的点到直线 $x+y-9=0$ 的距离范围。

查看答案

令 $x=4\cos\theta,y=3\sin\theta$ ，则 $x+y\in[-5,5]$ 。由于 $x+y<9$ ，

d=\frac{9-(x+y)}{\sqrt2}in[2\sqrt2,7\sqrt2].

Warning

代入椭圆上线性函数的最小值 $x+y=-5$ ，得上界 $7\sqrt2$ 。

一、直线与椭圆的位置关系#

二、点差法与弦中点#

例 1：三类中点问题#

例 2：平行弦端点连线的斜率和#

三、动点与斜率范围#

例 3：焦点向量点积与锐角弦#

例 4：到动直线距离为 1 的三个椭圆点#

例 5：焦点弦、面积与菱形#

四、课堂练习#

练习 1#

练习 2#

练习 3#

练习 4#

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