第（2）问保留了原题“电子沿电流方向”的文字，但这与电子带负电的事实不符。以下以 $v$ 表示电子漂移速率，方向按与电流相反处理。抬高薄片时也明确沿用“电流及载流子参数不变”的通常比较条件。

（1）洛伦兹力；$Q$ 面。

（2）$\boxed{U=Bav}$；增大；减小。

$v$ 表示电子定向移动的速率：电子实际漂移方向与约定电流方向相反。

先将电流方向转换为电子的漂移方向，再用带符号的 $q\mathbf v\times\mathbf B$ 判断偏转。稳定时横向电场力抵消磁场力，横向电势差为电场强度乘 $P,Q$ 间距 $a$。抬高薄片后，应取垂直薄片的磁场分量。

（1）电子为什么聚集到 $Q$ 面？ 电流从 $M$ 流向 $N$，电子漂移从 $N$ 指向 $M$。对电子使用

按原图的位置和磁场方向，电子所受侧向磁场力朝向 $Q$ 面。电子在 $Q$ 面积累，使该面电势降低，另一侧 $P$ 面相对电势较高。

由此建立从 $P$ 指向 $Q$ 的横向电场。电子带负电，其电场力与该电场方向相反，正好抵抗继续朝 $Q$ 偏转的磁场力。注意不能同时把“电子速度方向”和“电子电荷符号”都当成正电荷处理。

（2）稳定电势差。 在横向无净漂移的稳定状态，

两侧距离为 $a$，所以

这里的 $U$ 是 $P,Q$ 两侧的电势差大小；距离不是薄片厚度 $h$。

只增大 $B$，保持电流及载流子参数不变，则漂移速率不变，$U$ 随 $B$ 增大。

设抬高 $N$ 面后，电流与水平面的夹角为 $\alpha$，薄片绕 $P,Q$ 连线方向倾斜。磁场在薄片法线上的分量为

因此在漂移速率不变时，

从水平状态适当抬高，对应 $0<\alpha<90^\circ$，$\cos\alpha<1$，所以 $U$ 减小。等价地，电子速度与磁场的夹角由 $90^\circ$ 变小，相关侧向磁场力减小。

厚度 $h$ 的作用。 若以电流 $I$ 而不是漂移速率为已知量，设电子数密度为 $n$，导电截面积为 $ah$，则

于是

因此“$U=Bav$ 不显含 $h$”并不意味着固定电流时厚度不影响读数：改变厚度会改变漂移速率。该补充使用单一类型载流子的理想模型，不是对任意真实半导体的完整输运描述。

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（1）前。

（2）D，$B\ge2\,\mathrm{mT}$。

这里把读数理解为调零后待测螺线管磁场的一个敏感轴分量，忽略测量误差。

调零是确定背景基线，不能把待测信号一起扣掉。单轴霍尔元件读到的是磁场在敏感方向上的投影，投影的大小不超过原向量的模长。

（1）通电前调零。 螺线管尚未通电时，将传感器当前的背景磁场响应和零点偏移作为基线。之后再通电，读数变化才能用于测量螺线管产生的磁场。通电后把读数直接调成零，会把待测信号的一部分或全部扣除。

（2）为什么只能给出下界？ 设敏感面的单位法向量为 $\mathbf n$，待测磁场为 $\mathbf B$，其与法线夹角为 $\theta$。单轴理想读数为

读数大小为 $2\,\mathrm{mT}$，故

当敏感轴与磁场平行时取等号；否则可能严格大于，因此不能选“必定等于”，也不能选“必定大于”，应选 D。

测量口径。 通电前调零扣除了背景分量，所以这里的 $B$ 指题目所研究的螺线管磁场，而不能不加说明地改成“地磁场与螺线管磁场叠加后的总场”。真实测量还有误差；探头转动、移动后背景投影可能改变，应重新确认基线。以上不改变本题的理想化选择答案。

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题设中的“432 天”单位有误；镅-241 的实际半衰期约为 432.2 年。选项 B 所表达的半衰期规律仍成立。

按原题给定数据和考点，选 B：从单质变成化合物，不改变本题所讨论的镅-241 核衰变半衰期。

**半衰期：**镅-241 约为 432.2 年。题干及 A、B、C 选项中的时间应统一按约 432 年理解，选项仍为 B。

区分“电子层与化学键发生变化”和“原子核发生变化”。题目问化学状态是否影响相同核素的半衰期，而不是化合物的化学稳定性。

题目考点。 单质镅变成二氧化镅，改变的是原子的化学结合状态，并没有把镅-241 变成另一种核素。在通常化学条件下，本题涉及的镅-241 的 $\alpha$ 衰变半衰期不因形成二氧化镅而改变。因此按题面假设应选“等于”。

半衰期是什么意思？ 若样品中初始有 $N_0$ 个尚未衰变的镅-241 原子核，经过时间 $t$ 后，宏观样品中剩余数的规律为

$T_{1/2}$ 描述的是核素的衰变，不是说整块二氧化镅的总质量、所有元素的原子数都每隔这段时间减半。

半衰期的单位。 镅-241 的实际半衰期约为 432.2 年。题干和选项中的时间统一按约 432 年理解；化学状态不改变本题核素的半衰期，因此仍选 B。

$\boxed{\alpha}$ 衰变；$\boxed{144}$ 个中子。

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放出氦核就是放出 $\alpha$ 粒子；核素符号左上角是质量数，左下角是质子数，中子数等于两者之差。

氦核含 2 个质子和 2 个中子，写作 ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$。对应的核反应式为

质量数满足 $241=237+4$，电荷数满足 $95=93+2$，这就是 $\alpha$ 衰变。

镎-237 核的质量数 $A=237$、质子数 $Z=93$，所以中子数

不要把“镎核的中子数”与“原镅核的中子数 $241-95=146$”混淆：一次 $\alpha$ 衰变带走 2 个中子，故也可由 $146-2=144$ 复核。

$\boxed{Q=(m_1-m_2-m_3)c^2}$。

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先比较反应前后的总静质量，得到质量亏损，再乘 $c^2$。这是核反应释放的总能量，不应直接当成氦核单独获得的全部动能。

反应前只有一个镅核，静质量为 $m_1$；反应后两种核的静质量之和为 $m_2+m_3$。因此质量亏损为

由质能关系，释放的总能量为

释放能量要求该质量差为正。若质量用 $\mathrm{kg}$、光速用 $\mathrm{m/s}$，结果单位为 $\mathrm J$。

易错点。 核反应中守恒的是包含静能与动能等在内的总能量，并非反应前后静质量之和必须相等。氦核和剩余核通常均有动能，若还涉及后续退激辐射，也要统一最终状态和能量口径；本题所求是给定初末静质量差对应的总释放能量。

A，变大。

按原图的等效串联电阻模型判断。

烟雾使电离腔导电性减弱，对应等效电阻增大。电路总电流虽然减小，但电离腔在串联分压中占的比例增大；不要只盯着电流变化判断它的端电压。

设电离腔等效电阻为 $R_c$，电源电动势为 $\mathcal E$，先忽略电源内阻。电流为

电离腔电压为

烟雾增多使 $R_c$ 增大，于是电流 $I$ 减小，定值电阻上的电压 $IR$ 减小，电离腔所分得的电压 $U_c$ 增大。

也可以求导核验：

若电源具有恒定非负内阻 $r_s$，只需将分母中的 $R$ 换成 $R+r_s$，结论仍不变。本题使用的是电离腔的等效电阻模型，不等于声称真实电离腔在所有电压下都严格遵从欧姆定律。

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（1）从粒子所在的 $S$ 点画出水平向右的洛伦兹力箭头。

（2）对速度垂直磁场、在纸面内作圆周运动的氦核，$\boxed{r=0.10\,\mathrm m=10\,\mathrm{cm}}$。

（3）按图示从 $M$ 向右延伸的感光条，$\boxed{l=10\,\mathrm{cm}=0.10\,\mathrm m}$。

不能把感光条无说明地延伸到 $M$ 左侧，再把长度算成 $20\,\mathrm{cm}$。

第（1）问的关键是氦核带正电。第（2）问令磁场力提供向心力。第（3）问不是跟踪某一条固定轨迹，而是寻找所有允许初始方向的轨迹所覆盖的最远位置：同一圆上从出发点到命中点的弦长不超过直径 $2r$，再与感光条的几何位置结合。

（1）作图方向。 取向右为 $+x$、向上为 $+y$、纸面向外为 $+z$。向下发射时 $\mathbf v=-v\mathbf e_y$，题中 $\mathbf B=-B\mathbf e_z$，氦核 $q>0$，所以

即向右。箭头起点应在粒子位置，标签写 $\mathbf F_B$ 或“洛伦兹力”。按题意重绘的受力图如下：

（2）半径。 对垂直磁场的速度，磁场力始终垂直速度，不改变速率，并提供向心力：

故

（3）命中范围。 在纸面内取 $S=(0,0)$、$M=(0,d)$，其中

感光条向右延伸，其上的待命中点为 $P=(x,d)$，$x\ge0$。轨道圆半径均为 $r$，且都经过 $S$。因为圆内任意弦长不超过直径，必须有

所以

这个上界可以达到：令最远点 $P_\ast=(10,10\sqrt3)\,\mathrm{cm}$，以 $SP_\ast$ 为直径作半径 $10\,\mathrm{cm}$ 的圆。圆心为 $(5,5\sqrt3)\,\mathrm{cm}$，从 $S$ 以相对水平向右下方 $30^\circ$ 的方向出发，正电氦核在向里的磁场中逆时针转半圈即可到达 $P_\ast$，且这是其首次遇到右侧感光条。

中间位置也没有缺口。对 $0\le x\le10\,\mathrm{cm}$，记 $D=\sqrt{x^2+d^2}$，$h_c=\sqrt{r^2-D^2/4}$。选圆心

该圆经过 $S,P$，且圆心横坐标不大于 $x$，所以沿逆时针运动时，$P$ 是轨迹向上穿过 $y=d$ 的交点；在此前不会先碰到同一条水平感光条。因此各中间点都能被某个初始方向的粒子击中。

故命中区间为从 $M$ 开始向右的 $10\,\mathrm{cm}$，即 $l=10\,\mathrm{cm}$。这里 $SP_\ast=20\,\mathrm{cm}$ 是弦长，不是感光条上的长度。

三维表述说明。 原题说“向空间各方向”，并不意味着每个氦核都在纸面内作圆周运动。若速度含沿磁场方向的分量，轨迹是螺旋线，投影圆半径为 $r_\perp=mv_\perp/(qB)\le r$。因而它们不会把图示横向命中范围扩大；最大范围由 $v_\perp=v$ 的纸面内轨迹达到。若要求三维感光面积，还需要感光条的第三维尺寸，原题没有给出。

另一个容易忽视的点：第（1）问单独指定的“向下发射”粒子，其投影圆心与 $S$ 等高，最多上升 $r=10\,\mathrm{cm}$，达不到高度 $10\sqrt3\,\mathrm{cm}$ 的感光条；第（3）问必须考察其他发射方向。

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$\boxed{E=U/d}$。

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匀强电场中，沿场方向的电势降等于电场强度乘沿场距离。这里 $d$ 是两加速板间距，而不是后方立方体的边长 $L$。

电场由 $M$ 指向 $N$，沿 $+z$ 方向。两板电势差的大小满足

所以 $E=U/d$，单位为 $\mathrm{V/m}$，等价于 $\mathrm{N/C}$。电势沿电场方向降低，故按题图 $M$ 板电势高于 $N$ 板。

$\boxed{v_0=\sqrt{2qU/m}}$。

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离子从近似静止开始，电场力做功转化为动能。先算通过加速板后的速度，再判断立方体内是否有改变速率的作用。

正离子由高电势处运动到低电势处，电场力做正功 $qU$。初动能忽略不计，由动能定理，

因此

本问尚未加入磁场，按题设也不考虑其他作用，故离子在立方体内保持此速度，从 $K$ 射出的速度大小仍为 $v_0$。

固定 $U$ 时，减小板间距 $d$ 会增大电场强度并改变加速过程，但总电势降仍为 $U$，所以此理想模型的最终速率不随 $d$ 改变。

（1）A，$y$ 轴正方向。

（2）$\boxed{v_0=\sqrt{2qU/m}}$。

（3）按题目把“恰从喷口边缘通过”也计为射出的理想约定，

补出了 $B$ 作为大小的非负下界。若要求轨迹与上壁、喷口边框保持严格不接触，则正场强的上界应取严格小于；$B=0$ 为沿中轴直线通过的极限情形。

先用右手坐标系判断 $\mathbf v\times\mathbf B$，再利用磁场力不做功得到速率不变。圆轨迹在 $yz$ 平面内，入口在前表面中心，到上壁的高度是 $L/2$，不是 $L$。临界轨迹经过喷口上边缘，利用圆心到入口与临界点距离相等求最小半径。

（1）力的方向。 入射速度沿 $+z$，磁场沿 $+x$。正电氙离子满足

所以刚进入磁场时受力沿 $+y$，选 A。

（2）速率不变，方向会变。 磁场力与瞬时速度垂直，瞬时功率

因此动能不变，射出时速度大小仍为 $v_0=\sqrt{2qU/m}$。这不意味着射出速度仍沿 $+z$，不能把“速率不变”写成“速度向量不变”。

（3）把三维图化成二维圆。 粒子没有 $x$ 方向的速度或受力，始终位于 $x=0$ 平面。在此平面内，取横轴为 $z$、纵轴为 $y$，入口 $O=(0,0)$，喷口位于 $z=L$，上壁为 $y=L/2$。

半径为

进入时受力向上，所以圆心在 $C=(0,r)$，轨迹圆方程为

磁场越强，半径越小，偏转越明显，更容易撞到上壁。临界时粒子恰到达喷口上边缘

代入圆方程，

化简得

因此要穿过喷口而不提前撞壁，需 $r\ge5L/4$。于是

为什么这既必要又充分？ 对能到达 $z=L$ 的前进圆弧，

在此段上 $y(z)$ 单调增大；若终点 $y(L)\le L/2$，则此前也没有撞到上壁。$r\ge5L/4$ 保证 $r>L$，粒子也不会在到达喷口前就转向后方。因此只检查临界边缘不是遗漏中途碰撞，而是有单调性作为保证。

在临界状态，$L/r=4/5$。若偏转角为 $\theta$，有 $\sin\theta=4/5$、$\cos\theta=3/5$，故射出速度分量为

其合速度大小仍为 $v_0$，可作为方向与能量判断的交叉检查。

边界约定。 等号对应正好到达上壁与后端面的交线，不等于自动留有实际装置所需的安全间隙。本题采用“临界可通过”约定；若题面增加不接触边框、粒子束具有宽度等要求，需要相应收紧条件。

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