圆锥曲线6：抛物线的性质

一、先辨清“唯一交点”#

切线一定只与抛物线有一个公共点。

但反过来不成立：过抛物线上一点，除切线外，还有一条平行于对称轴的直线，也只与抛物线有一个公共点。

对 $y^2=2px$ ，点 $P(x_0,y_0)$ 能引出的切线条数由

y_0^2-2px_0

决定：大于 $0$ 时有两条，等于 $0$ 时点在抛物线上、只有一条，小于 $0$ 时没有实切线。

Warning

“外一点”指满足 $y_0^2-2px_0>0$ 的外部区域；位于抛物线开口内部的点不能引实切线。

交互实验：命题 1–2：唯一交点与切线

在同一点比较切线与平行于对称轴的直线，观察为什么只有一个公共点不能反推出相切。

二、直线、弦长与焦半径#

对非水平直线写成

l:x=my+t

并与 $y^2=2px$ 联立，得到

y^2-2pmy-2pt=0.

在这一前提下， $\Delta>0,=0,<0$ 分别对应两个交点、相切、相离。

Warning

这个判别式讨论不包含水平线 $y=c$ 。水平线与抛物线只有一个公共点，却通常不是切线，正是上一节逆命题失败的来源。

若弦端点为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ ，则

|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_2-x_1|

或在 $x=my+t$ 的形式下写成

|AB|=\sqrt{1+m^2}|y_2-y_1|.

对抛物线上点 $P(x_0,y_0)$ ，焦半径为

|PF|=x_0+\frac p2.

焦点弦还有

|AB|=x_1+x_2+p.

三、两个预备问题#

预备问题 1：过焦点的弦#

直线过焦点 $F\left(\frac p2,0\right)$ ，与抛物线交于 $A,B$ 。

查看结论与证明

y_1 y_2=-p^2, \qquad x_1 x_2=\frac{p^2}{4}, \qquad k_{OA} k_{OB}=-4.

写直线为 $x=my+\frac p2$ ，联立后纵坐标满足

y^2-2pmy-p^2=0.

第一式来自韦达定理；再用 $x_i=\frac{y_i^2}{2p}$ 与 $k_{OP_i}=\frac{2p}{y_i}$ 即得后两式。

预备问题 2：过 $(2p,0)$ 的弦#

查看结论

若直线过 $(2p,0)$ ，则

y_1 y_2=-4p^2, \qquad x_1 x_2=4p^2, \qquad OA\perp OB.

此时联立方程的常数项变为 $-4p^2$ ，最后得到两射线斜率乘积为 $-1$ 。

四、例题 1—4#

例 1：点到直线的最短距离#

在抛物线 $y=4x^2$ 上求一点，使它到直线 $y=4x-5$ 的距离最短。

答案

所求点为 $\left(\frac12,1\right)$ 。设点为 $(x,4x^2)$ ，则

d=\frac{|4x-4x^2-5|}{\sqrt{17}} =\frac{4(x-\frac12)^2+4}{\sqrt{17}},

因而在 $x=\frac12$ 时取最小值。

例 2：互相垂直的两条过顶点直线#

过原点的两条互相垂直直线分别再交 $y^2=2px$ 于非原点 $A,B$ 。证明弦 $AB$ 过定点。

答案与证明

参数化

A\left(\frac p2t_1^2,pt_1\right),\quad B\left(\frac p2t_2^2,pt_2\right).

因 $k_{OA}=2/t_1$ 、 $k_{OB}=2/t_2$ ，垂直条件给出 $t_1t_2=-4$ ，故 $y_1y_2=-4p^2$ 。

若 $AB:x=my+t$ ，由联立方程得 $y_1y_2=-2pt$ ，于是 $t=2p$ 。所以

AB\text{ 恒过 }(2p,0).

例 3：弦中点轨迹#

过 $y^2=6x$ 的顶点作互相垂直的两条直线，另一个交点分别为 $A,B$ 。求 $AB$ 中点轨迹。

答案

由例 2， $AB$ 过 $(6,0)$ 。写成 $x=my+6$ ，联立得

y^2-6my-36=0.

中点 $M$ 满足 $y_M=3m$ 、 $x_M=3m^2+6$ ，消去 $m$ ：

\boxed{y^2=3(x-6)}.

例 4：焦点弦综合题#

曲线 $C$ 上的点到 $F(1,0)$ 与到直线 $x=-1$ 的距离相等。

查看答案

$C:y^2=4x$ ；
过 $F$ 的弦长为 $\frac{16}{3}$ 时，弦方程为 $y=\pm\sqrt3(x-1);$
不存在实数 $k$ ，使焦点弦端点 $A,B$ 满足 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$ 。

查看第 2、3 问

这里 $p=2$ 。焦点弦倾斜角为 $\theta$ 时

|MN|=\frac{2p}{\sin^2\theta}=\frac4{\sin^2\theta}.

令它等于 $\frac{16}{3}$ ，得 $\tan\theta=\pm\sqrt3$ 。

第 3 问若点积为零，则 $OA\perp OB$ ，应有斜率乘积 $-1$ ；但任意焦点弦由预备问题 1 都满足乘积 $-4$ ，矛盾。

五、焦半径与焦点弦角公式#

若 $\overrightarrow{FP}$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta$ ，则

PF=\frac{p}{1-\cos\theta}.

若焦点弦 $PQ$ 的倾斜角为 $\theta$ ，则

PQ=\frac{2p}{\sin^2\theta}.

Warning

这里讨论的是抛物线 $y^2=2px$ 。

例 5：焦半径倒数和#

证明

焦点弦两端的方向角互为 $\theta$ 与 $\pi-\theta$ ，所以

AF=\frac{p}{1-\cos\theta},\qquad BF=\frac{p}{1+\cos\theta}.

因而

\frac1{AF}+\frac1{BF}=\frac2p.

例 6：正交焦点弦面积#

两条过焦点且互相垂直的直线分别截得弦 $AB,CD$ 。

严格答案

若 $AB$ 倾斜角为 $\theta$ ，则

\frac1{|AB|}+\frac1{|CD|}=\frac1{2p},

且

S_{ACBD}=\frac12|AB||CD| =\frac{8p^2}{\sin^22\theta}.

因此面积不是定值；其最小值为 $8p^2$ 。

Warning

原题第 (2) 问只写“求面积”，没有给出 $\theta$ ，信息不足以得到唯一数值。ZIP 的 GPT 答案补出了随 $\theta$ 变化的表达式，并给出最小值；这一处理方向正确。博客明确保留“面积不唯一”这一结论。

交互实验：例 6（2）：正交焦点弦面积

转动两条正交焦点弦，观察面积随角度变化，并用预设寻找最小值。

随堂练#

过 $A(1,0)$ 且与 $y$ 轴夹角为 $\frac\pi6$ 的直线截 $y^2=4x$ 于 $P,Q$ 。求 $|PQ|$ 。

答案

$A$ 是焦点，与 $x$ 轴的锐夹角为 $\frac\pi3$ ，所以

|PQ|=\frac4{\sin^2(\pi/3)}=\frac{16}{3}.

六、例 7：一般弦与二次中点轨迹#

直线 $l$ 交 $y^2=2px$ 于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 。

查看三问答案

当 $l$ 过 $M(p,0)$ 时， $y_1y_2=-2p^2$ ；
当 $y_1y_2=-p$ 时， $l$ 恒过 $\left(\frac12,0\right)$ ；
若 $l$ 过 $M$ ，再作过 $M$ 且垂直于 $l$ 的弦 $DE$ ，令 $P,Q$ 分别为 $AB,DE$ 中点， $N$ 为 $PQ$ 中点，则点 $N$ 的轨迹为 $y^2=\frac p2(x-2p).$ 它的焦点是 $\left(\frac{17p}{8},0\right)$ ，准线是 $x=\frac{15p}{8}$ 。

查看第 3 问

令 $l:x=my+p$ ，则

P=(p(m^2+1),pm).

垂线对应参数 $-1/m$ ，所以

Q=\left(p\left(\frac1{m^2}+1\right),-\frac p m\right).

对二者再取中点并消去 $m$ ：

y_N^2=\frac{p^2}{4}\left(m^2+\frac1{m^2}-2\right) =\frac p2(x_N-2p).

交互实验：例 7（3）：中点 N 的轨迹

改变两条正交弦的位置，观察二次中点 $N$ 的轨迹，并核验到新焦点与新准线的距离。

七、课堂练习#

顶点在原点、焦点在 $x$ 轴上的抛物线被直线 $y=2x+1$ 截得弦长 $\sqrt{15}$ 。求抛物线方程。

答案与说明

统一设

y^2=2px,\qquad p\ne0,

正负分别表示向右、向左开口。由 $x=(y-1)/2$ ，交点纵坐标满足

y^2-py+p=0.

因此 $y_1+y_2=p$ 、 $y_1y_2=p$ ，并且

\sqrt{15}=\frac{\sqrt5}{2}\sqrt{p^2-4p}.

解得 $p=6$ 或 $p=-2$ ，所以

\boxed{y^2=12x\quad\text{或}\quad y^2=-4x}.

一、先辨清“唯一交点”#

二、直线、弦长与焦半径#

三、两个预备问题#

预备问题 1：过焦点的弦#

预备问题 2：过 (2p,0)(2p,0)(2p,0) 的弦#

四、例题 1—4#

例 1：点到直线的最短距离#

例 2：互相垂直的两条过顶点直线#

例 3：弦中点轨迹#

例 4：焦点弦综合题#

五、焦半径与焦点弦角公式#

例 5：焦半径倒数和#

例 6：正交焦点弦面积#

随堂练#

六、例 7：一般弦与二次中点轨迹#

七、课堂练习#

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预备问题 2：过 $(2p,0)$ 的弦#