（1）$P=(-2\sqrt6/3,\sqrt3/3)$。

（2）设 $M_1=(h,k),M_2=(-h,-k)$。最小值为 $1-h^2-k^2$，最大值为 $4-h^2-k^2$。

距离和确定椭圆。关于原点对称的两个定点会使数量积中的一次项抵消，留下 $|OP|^2$ 减去常数。

由 $2a=4,c=\sqrt3$，得 $a=2,b=1$，所以 $P$ 的轨迹是 $x^2/4+y^2=1$。

（1）

与椭圆方程联立，得 $x^2=8/3,y^2=1/3$。第二象限确定 $x<0,y>0$，故得到所列坐标。

（2）

设 $P=(2\cos\theta,\sin\theta)$，则

因此最大值、最小值都存在。最小值在 $(0,\pm1)$ 取得，最大值在 $(\pm2,0)$ 取得。这里 $h,k$ 是固定点的常数，不能再把它们当作需要一同取最值的变量。

（1）底边长 $\sqrt2$ 米、高 $\sqrt2/2$ 米，最大面积 $1\ \mathrm{m}^2$。

（2）底边长 $2\sqrt2$ 米、高 $\sqrt2/2$ 米，最大面积 $2\ \mathrm{m}^2$。

第一问用基本不等式，第二问用椭圆参数和倍角公式，满足原题“方法不同”的要求。

（1）基本不等式法。 设右上顶点为 $(x,y)$，$x,y>0$，则 $x^2+y^2=1$。矩形底为 $2x$、高为 $y$，所以

当 $x=y=1/\sqrt2$ 时取等。矩形左右位置关于圆心对称，底边中点在圆心。

（2）参数法。 设右上顶点为 $(2\cos\theta,\sin\theta)$，$0<\theta<\pi/2$，则

取等时 $\theta=\pi/4$，右上顶点为 $(\sqrt2,1/\sqrt2)$，左上顶点为 $(-\sqrt2,1/\sqrt2)$，下边位于长轴直径上。

这里求的是原图给定的截取构型，不能把半椭圆内的矩形面积误写成整椭圆内接矩形面积 $4xy$。

（1）$|PF_2|=2-\sqrt2$ 或 $2+\sqrt2$。

（2）存在，$Q=(0,-1)$ 或 $Q=(-\sqrt3,1/2)$。

第一问用焦点三角形的勾股定理和椭圆距离和，不能未加条件就选择较短的一段。第二问把面积写成行列式，再解直线与椭圆的交点。

（1） 焦距为 $2\sqrt3$。设 $u=|PF_1|,v=|PF_2|$。椭圆定义给出 $u+v=4$，垂直条件给出 $u^2+v^2=12$。所以 $uv=2$，$u,v$ 是

的两个根，即 $2\pm\sqrt2$。题目没有指定 $P$ 在左半还是右半椭圆，因此 $v$ 的两个值都能实现。相应点的横坐标为 $\pm2\sqrt6/3$、纵坐标为 $\pm\sqrt3/3$。

（2） $A=(2,0)$，设 $Q=(x,y)$。面积为

令 $L=(\sqrt3/2)x+y$。参数化 $Q=(2\cos\theta,\sin\theta)$ 可知 $L=\sqrt3\cos\theta+\sin\theta\in[-2,2]$。

面积条件等价于 $|\sqrt3-L|=\sqrt3+1$，因此 $L=-1$ 或 $L=2\sqrt3+1$。后者超过 $2$，不可能。于是

代入椭圆得 $x^2+\sqrt3x=0$，所以 $x=0$ 或 $x=-\sqrt3$，得到上述两点。两点均与 $A,P$ 不同，且代回面积满足原要求。

（1）$x^2-y^2/2=1$。

（2）$\overrightarrow{PP_1}\cdot\overrightarrow{PP_2}=2/9$。

先用角度条件确定半轴，再使用点到直线的正交投影公式。数量积不同于两段距离的乘积，不能漏掉方向关系。

（1） 设 $c=\sqrt{1+b^2}$。代入 $x=c$ 得 $M=(c,b^2)$，故

令 $u=b^2>0$，得 $3u^2=4(1+u)$，正根为 $u=2$，所以双曲线为 $x^2-y^2/2=1$。

（2） 设 $P=(x,y)$，两渐近线分别为 $\sqrt2x-y=0$、$\sqrt2x+y=0$。对应法向量为 $n_1=(\sqrt2,-1)$、$n_2=(\sqrt2,1)$，均有平方模 $3$。垂足向量为

利用 $n_1\cdot n_2=1$，得

此推导对左右两支都成立。补充比较：两段长度的乘积为 $|2x^2-y^2|/3=2/3$，并不是本问要求的 $2/9$。

移动双曲线上的点，分别观察距离乘积与垂足向量点积；两支都可检验。

（1）$e=2$。

（2）$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}\in(-\infty,-5]$。

（3）不存在；事实上 $|PM|+|PN|\ge\sqrt3$。

第二问必须检查两个交点都在右支，不是仅检查判别式。用 $x=my+2$ 可直接包含竖直弦。第三问利用右支上 $\sqrt3x>|y|$ 去掉两个距离中的绝对值。

（1） $a=1,b=\sqrt3,c=2$，故 $e=c/a=2$。

（2） $F_2=(2,0)$，设 $l:x=my+2$。水平线 $y=0$ 的两个交点在不同分支，不能满足题意。联立得到

当 $3m^2=1$ 时只有一个有限交点，需排除。其余情形有两个不同实根，且

两个横坐标都为正当且仅当 $1-3m^2>0$，所以 $|m|<1/\sqrt3$。于是

$m=0$ 时为竖直线 $x=2$，交点 $(2,\pm3)$，取到 $-5$；当 $|m|\to1/\sqrt3$ 时趋于 $-\infty$。

（3） 两渐近线为 $\sqrt3x\pm y=0$。右支上 $x\ge1$，并且 $3x^2-y^2=3>0$，故 $\sqrt3x>|y|$。因此

所以不存在。下界 $\sqrt3$ 在右顶点 $(1,0)$ 取得；仅讨论第一象限开区间会漏掉这个取等点。

先选观察内容。焦点弦须两个端点都在右支；距离模式允许右顶点取等。

（1）$x^2/16+y^2/4=1$。

（2）$\displaystyle\left(x+\frac85\right)^2+\left(y-\frac25\right)^2=\frac{128}{25}$。

（3）$S_{\triangle PB_1B_2}/S_{\triangle RB_1B_2}=4$。

第一问由等边三角形得到短半轴和焦距。第二问先求另一端点，再用真正的中点作圆心。第三问把两条垂直关系写成两个线性方程，求出 $R$，最后比较到共同底边的距离。

（1） $2b=4$，故 $b=2$；等边三角形高为 $2\sqrt3$，所以 $c=2\sqrt3$，$a^2=b^2+c^2=16$。

（2） $B_1=(0,2)$，直线 $PB_1$ 为 $y=x+2$。联立椭圆，得

排除端点 $B_1$ 后，$P=(-16/5,-6/5)$。直径中点为

而

由此得到圆方程，可代入端点 $B_1=(0,2)$ 检验。

（3） 设 $P=(x,y),R=(u,v)$。两条垂直关系等价于

相减得 $v=-y$，代回得 $xu=y^2-4$。因为 $x^2/16+y^2/4=1$，所以 $y^2-4=-x^2/4$；又 $P$ 不是短轴端点，$x\ne0$，从而

两三角形共用长为 $4$ 的底边 $B_1B_2$，高分别为 $|x|,|x|/4$，故面积比为 $4$。分母面积非零，点 $R$ 也由这两个线性方程唯一确定。

两条垂线确定 R；改用直径圆视图可核对圆心是端点的平均值。

（1）$x^2+y^2=4$。

（2）$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-4$。

（3）按直线为 $AP$ 的解释，不存在。

第二问求轴截距即可。第三问直接把向量等式改写为点的坐标关系 $Q=4P-3A$，结合两个曲线方程，比先求割线斜率更简洁。

（1） $A=(-2,0),B=(2,0)$，圆心为原点、半径为 $2$，得所列方程。

（2） 设 $E=(u,v),F=(-u,v)$，$u\ne0$；椭圆上因此 $v\ne\pm1$。$C=(0,1),D=(0,-1)$，计算横截距得

所以

这里是向量数量积，不是两个非负距离的乘积。

（3） 设 $P=(x,y)$。由向量条件得到

若 $Q$ 在圆上，则 $(4x+6)^2+16y^2=4$。用 $x^2+4y^2=4$ 化简为

故只能有 $x=-2,y=0$，即 $P=A$，与题意矛盾。因此不存在。这一计算没有漏掉斜率不存在的情形。

（1）$C_1:x^2/9+y^2/5=1$；并有 $n=3,C_2:x^2-y^2/3=1$。

（2）$y=x\pm\sqrt2$。

（3）$S_{\triangle PQR}=9\sqrt{15}/4$。

复数模就是到两个实轴点的距离。第三问把椭圆缩放成单位圆；重心条件保留，而单位圆上三单位向量和为零迫使对应三角形等边。最后必须把面积乘回缩放系数，不能遗漏半轴。

（1） 两定点为 $(\pm2,0)$，距离和为 $6$，因此 $a=3,c=2,b^2=5$。双曲线的焦点也为 $(\pm2,0)$，由 $1+n=4$ 得 $n=3$。

（2） 设 $l:y=x+d$，与 $y=\sqrt3x$、$y=-\sqrt3x$ 的交点为

数量积为 $-d^2/2+3d^2/2=d^2$，故 $d^2=2$。

（3） 对任一椭圆点 $(x,y)$ 作变换 $(x,y)\mapsto(x/3,y/\sqrt5)$。得到单位圆上的点向量 $u,v,w$，重心在原点意味着 $u+v+w=0$。因为三者长度都为 $1$，

所以 $u\cdot v=-1/2$；同理，任意两向量的数量积均为 $-1/2$。单位圆上的对应三角形边长均为 $\sqrt3$，面积为 $3\sqrt3/4$。

从单位圆回到椭圆，横向乘 $3$、纵向乘 $\sqrt5$，面积乘 $3\sqrt5$，故

可验证的具体构型：$P=(3,0),Q=(-3/2,\sqrt{15}/2),R=(-3/2,-\sqrt{15}/2)$，其重心为原点，直接用底乘高也得到同一面积。

一般椭圆 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的对应结论为 $3\sqrt3ab/4$。代入本题半轴即可得到对应面积。

旋转单位圆中的等边三角形，观察伸缩后的椭圆三角形：重心和面积保持，边长会改变。

（1）$x=\pm\sqrt2/2$。

（2）$x_1^2+x_2^2=1,\ y_1^2+y_2^2=2$。

（3）不存在。

面积条件在辅助单位圆上等价于两半径垂直。于是前两问都化为直角关系，第三问则要求平面内三个非零向量两两垂直，不可能。

（1） 设 $l:x=u,|u|<1$，端点纵坐标为 $\pm\sqrt{2(1-u^2)}$，面积为

平方后 $u^2(1-u^2)=1/4$，即 $(u^2-1/2)^2=0$，故 $u=\pm1/\sqrt2$。

（2） 设 $P=(\cos\alpha,\sqrt2\sin\alpha),Q=(\cos\beta,\sqrt2\sin\beta)$。面积条件为

所以 $\beta-\alpha=\pi/2+j\pi$。于是

即所求定值。

（3） 在缩放坐标 $(x,y/\sqrt2)$ 中，任意一对满足上述面积条件的半径向量必须垂直。若存在三点，对应单位向量 $d,e,g$ 就会两两垂直。$d,e$ 已构成平面的一组基，任何同时垂直于它们的平面向量只能是零向量，与 $|g|=1$ 矛盾。

（1）$x^2/2+y^2=1$。

（2）$S_{\triangle CBF}=1$。

（3）$|AB|\in(\sqrt3,\sqrt6]$。

第二问先由 $C=-B$ 将垂直关系化成两个长度平方相等。第三问的向量条件是 $A+B+C=0$，所以在单位圆参数空间中相隔 $120^\circ$；但弦长仍须在原坐标中计算，并排除竖直直线。

（1） 短轴长为 $2$，故 $e=\sqrt2/2$。由 $(a^2-1)/a^2=1/2$ 得 $a^2=2$。

（2） $F=(1,0)$。由 $C=-B$，$\overrightarrow{CF}=F+B$；因为 $A,B,F$ 共线，$\overrightarrow{AB}$ 与 $B-F$ 平行且非零，因此

于是 $B$ 同时满足 $x_B^2+y_B^2=1$ 与 $x_B^2/2+y_B^2=1$，故 $B=(0,\pm1),C=(0,\mp1)$。以 $CB$ 为底，其长为 $2$，$F$ 到其所在直线的距离为 $1$，所以面积为 $1$。对应另一交点 $A=(4/3,\mp1/3)$ 确实存在。

（3） 在单位圆坐标中，三点向量和为零，任意两个点夹角为 $120^\circ$。可取一组通用参数

计算弦向量得

所以

若 $\sin\varphi=0$，弦竖直，不能写成题目要求的 $y=kx+m$，因此排除下界 $3$。$\sin^2\varphi=1$ 时弦水平，允许取到上界 $6$。其余中间值都可通过连续改变 $\varphi$ 实现，故所求范围为 $(\sqrt3,\sqrt6]$。

三点始终满足向量和为零。竖直弦仍能画出，但不能写成题设 y=kx+m。

（1）$x^2/4+y^2=1$。

（2）交点为 $(3a/5,4/5)$，在椭圆上。

（3）按原图和原解答的“另一个交点”含义，最小值为 $6$，当 $C=(a,2),D=(a,-4)$ 时取得。

各小问独立使用其附加条件，不能默认第（1）问的 $a=2$ 适用于后两问。第三问直接把 $C$ 的纵坐标当作正参数，先求另一交点 $P$，由 $Q=-P$ 反求 $D$，最终用基本不等式。

（1） 设 $c=\sqrt{a^2-1}$。$A=(-a,0),B=(0,-1),F=(c,0)$，所以

得 $c=\sqrt3,a=2$。

（2） 对一般 $a>1$，两直线分别是

解得交点 $(3a/5,4/5)$。代入椭圆，$9/25+16/25=1$，故在椭圆上。

（3）通常的另一交点解释。 设 $C=(a,h),h>0$，令 $u=h+1>1$。直线 $BC$ 为 $y=ux/a-1$，与椭圆联立，除去已知点 $B$ 后得到

它在第一象限，$Q=-P$。直线 $AQ$ 在 $x=a$ 处的纵坐标为

因此

取等条件为 $h=2$，所以 $C=(a,2),D=(a,-4)$；此时 $P=(3a/5,4/5),Q=(-3a/5,-4/5)$，两点分别不是原先的端点，构型合法。

对题面省略的边界说明。 这里按“另一个交点”理解，即 $P\ne B,Q\ne A$。若字面允许把已知端点也选为 $P$，取 $P=B=(0,-1),Q=(0,1)$、$D=(a,2)$，再取 $C=(a,2+\varepsilon)$，$\varepsilon\ne0$ 且充分小，就满足字面交点和对称条件，却有 $|CD|=|\varepsilon|\to0$。若 $C,D$ 要求不同，此宽松版本没有最小值；若允许重合，则最小值可为零。这一宽松版本不能与最小值 $6$ 混用。

P、Q 明确指异于 B、A 的另一交点。只改变 h 就能保持中心对称条件；a 只改变横向尺度。

$S_{\max}=\frac{mn}{2}.$

半轴是 $m/2,n/2$，不要将轴长直接当作参数方程中的半轴。

令 $a=m/2,b=n/2$。内接矩形顶点为 $(\pm a\cos\theta,\pm b\sin\theta)$，$0<\theta<\pi/2$。于是

取等时 $\theta=\pi/4$，顶点坐标为 $(\pm m/(2\sqrt2),\pm n/(2\sqrt2))$。任意内接矩形可归于该构型的理由，见第二份讲义例 2 的补充说明；即使考虑圆形特例，最大内接矩形为正方形，也给出相同公式。

（1）$x^2/3+y^2=1$。

（2）$|PQ|_{\max}=2+3\sqrt2/2$。

（3）中点 $E$ 在直线 $y=1/2$ 上。

第二问先固定 $P$，圆上最远点在圆心背向 $P$ 的方向，因此只需最大化 $P$ 到圆心的距离。第三问先将向量等式变为同中点，再结合圆的垂径定理与椭圆点差关系。

（1） 圆与 $x$ 轴交于 $(\pm\sqrt3,0)$，与正 $y$ 轴交于 $(0,1)$，故 $a^2=3,b^2=1$。

（2） 记圆心为 $H=(0,-1)$，半径为 $2$。对固定 $P$，三角不等式给出 $|PQ|\le|PH|+2$，且在 $Q$ 与 $P$ 位于圆心两侧、三点共线时取等。