一组参数方程是

先写以原点为圆心、半径为 $3$ 的圆，再把横坐标减 $1$、纵坐标加 $2$。

代入可得

反过来，圆上任一点都有 $(x+1)^2/9+(y-2)^2/9=1$，所以存在 $\theta\in[0,2\pi)$ 使 $(x+1)/3=\cos\theta$、$(y-2)/3=\sin\theta$。因此这组方程既没有生成圆外的点，也没有遗漏圆上的点。

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（1）$x^2+y^2=9$ 在第一象限及相邻坐标轴上的四分之一圆弧，含 $(3,0),(0,3)$。

（2）$x^2+y^2=4$ 的下半圆，含 $(-2,0),(2,0)$。

（3）$(x-3)^2+(y-2)^2=25$ 上满足 $x\ge3,\ y\le2$ 的右下四分之一圆弧，含 $(8,2),(3,-3)$。

先用 $\sin^2+\cos^2=1$ 确定圆，再用给定区间判断两个坐标的符号和变化方向。

（1） $\theta$ 从 $0$ 增至 $\pi/2$，$\cos\theta,\sin\theta\ge0$，点从 $(3,0)$ 逆时针走到 $(0,3)$。方程与限制为

（2） $t\in[\pi,2\pi]$ 时 $\sin t\le0$，所以

参数依次经过 $(-2,0),(0,-2),(2,0)$，是逆时针经过下半圆。

（3） $\sin\theta\ge0$、$\cos\theta\le0$，故 $x-3\ge0,y-2\le0$；又

点从 $(8,2)$ 移到 $(3,-3)$，相对圆心沿顺时针方向走过四分之一圆。这里 $\theta$ 不是通常的半径方向角；通常的方向角可写为 $\varphi=\pi/2-\theta$。

三个区间端点都包含，故三题的圆弧端点都应保留。

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（1）最小值 $7-4\sqrt3$，最大值 $7+4\sqrt3$。

（2）最小值 $4-\sqrt{15}$。

（3）最小值 $-\sqrt3$，最大值 $\sqrt3$。

配方后设 $x=2+\sqrt3\cos\theta,y=\sqrt3\sin\theta$。平方和与线性式可以直接化为三角函数最值；商 $y/x$ 则先确认 $x>0$，再把它理解成过原点的直线斜率。

配方得

（1）

最小值在 $(2-\sqrt3,0)$ 取得，最大值在 $(2+\sqrt3,0)$ 取得。

（2）

由 $|2\cos\theta-\sin\theta|\le\sqrt5$，得最小值 $4-\sqrt{15}$。取等条件为

对应点

（3） 由于 $x\ge2-\sqrt3>0$，商对圆上所有点都有定义。令 $k=y/x$，代入圆方程得

有实交点需要且只需要

故 $-\sqrt3\le k\le\sqrt3$。取等时直线与圆相切，切点分别为

两个端点都能取得。

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若约定 $t=0$ 时位于 $(2,0)$、逆时针运动，则

更一般地，设初始角为 $\theta_0$，旋转方向为 $\varepsilon\in\{1,-1\}$，则用 $\theta_0+\varepsilon\pi t/60$ 替换上式角度。

匀角速度意味着“转过的角度＝角速度×时间”，再代入圆的参数方程。运动方程还需要初始相位与旋转方向。

角度随时间变化为

所以

上述示例对应 $\theta_0=0,\varepsilon=1$。一周的时间为

沿圆周的速度大小为 $2\omega=\pi/30\ \mathrm{m/s}$（若长度单位取米）。当 $t=0,30,60,90,120$ 秒时，依次经过 $(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2),(2,0)$。

改变初始相位或旋转方向不会改变圆形轨迹，但会改变某个时刻的位置。

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约定初始射线为 $x$ 轴正半轴、逆时针旋转，且 $v_0>0,\omega>0$，则

用连续累积的转角 $\theta=\omega t$ 表示，极坐标关系为 $r=(v_0/\omega)\theta,\ \theta\ge0$。

把两个运动分开：质点到原点的距离线性增加，射线的方向角也线性增加。再将“距离＋方向角”转换成平面直角坐标。

因为质点沿射线向外的速率为 $v_0$，故

射线的方向角为 $\theta(t)=\omega t$，于是

若初始角为 $\theta_0$，把三角函数中的角度改成 $\theta_0+\omega t$ 即可；若改成顺时针运动，再令角速度带负号。

每转一周，时间增加 $2\pi/\omega$，半径增加

因而相邻各圈在同一方向上的径向间隔相等。注意，$v_0$ 是沿射线的径向速率，并非质点沿螺线的总速度大小。若用导数计算，总速度大小为

通常会随时间增大。

贝壳照片可作形状观察；本题轨迹由上述运动条件确定，不依据照片判断自然物体是否满足该方程。

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（1）$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=t^2$。$t\ne0$ 时是半径 $|t|$ 的圆；$t=0$ 时是一个点。

（2）$(x-x_0)\sin\theta-(y-y_0)\cos\theta=0$，是一条直线。

（3）$y^2-x^2=4$，双曲线的上下两支均覆盖，参数 $t\ne0$。

（4）$y^2-x^2=4,\ y\ge2$，仅为上支。

（5）$y+2x-5=0,\ 0\le x<3$，是从 $(0,5)$ 到 $(3,-1)$ 的半开线段，后一个端点不包含。

先识别真正变化的参数。三角函数用平方和，互为倒数或指数互为倒数用平方差，有理式用线性组合消去分母。最后逐项检查能否反求参数，以排除消参扩大点集。

（1）参数是 $\theta$。 平方相加立即得到

$t$ 是常量，不能因为它出现在右侧就认为没有消参。$t<0$ 只使参数角相差 $\pi$，圆的半径仍为 $|t|$；$t=0$ 为退化情形。

（2）参数是 $t$。 将第一式乘 $\sin\theta$、第二式乘 $\cos\theta$ 后相减：

当 $\cos\theta\ne0$ 时为 $y-y_0=\tan\theta(x-x_0)$；当 $\cos\theta=0$ 时为 $x=x_0$。方向向量 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 永远非零，故确实得到整条直线。

（3） 定义域 $t\ne0$，且

反过来，若 $y^2-x^2=4$，取 $t=(x+y)/2$。由于 $(y-x)(y+x)=4$，有 $t\ne0$，并且 $1/t=(y-x)/2$，故能还原原方程。$t>0$ 生成上支，$t<0$ 生成下支。

（4） 同理得到 $y^2-x^2=4$，但 $e^t>0$，故 $y=e^t+e^{-t}\ge2$。反过来，上支任一点满足 $y+x>0$，取

即可还原。不能因为它和（3）有相同的二次方程，就把下支也加入。

（5） 直接组合：

又

反过来，对任意 $x\in[0,3)$，取 $t=\pm\sqrt{x/(3-x)}$，能得到对应点。因此范围充分且必要。$t\to\pm\infty$ 时只是趋近 $(3,-1)$，任何有限实数参数都达不到该端点。

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即椭圆在第一象限及相邻坐标轴上的四分之一弧，含 $(0,2),(1,0)$。

根号首先要求 $0\le t\le1$，也直接规定了两个坐标非负。平方消参以后不能丢掉这些限制。

由根式有意义得 $t\ge0,1-t\ge0$，即 $t\in[0,1]$。平方后

所以 $x^2+y^2/4=1$，且 $x\in[0,1],y\in[0,2]$。

反过来，对椭圆上任一点 $(x,y)$ 满足 $x,y\ge0$，取 $t=x^2\in[0,1]$，就有 $\sqrt t=x$、$2\sqrt{1-t}=y$。这证明得到的恰是该四分之一椭圆弧。

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$a\in(0,1].$

用二倍角公式化为 $x=y^2$，但 $y$ 只能在 $[-1,1]$ 中。统计的是不同坐标点，而不是参数方程有多少个角度解。

由 $\frac12(1-\cos2\theta)=\sin^2\theta$，得到

与 $x=a$ 联立后，$y=\pm\sqrt a$。当 $0<a\le1$ 时，两点均在曲线上且彼此不同；$a=0$ 时仅有 $(0,0)$；$a<0$ 或 $a>1$ 时没有交点。特别地，$a=1$ 对应 $(1,1)$ 与 $(1,-1)$，是两个不同点，因此右端点应包含。

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