圆锥曲线3：双曲线的概念和方程

一、双曲线的定义#

平面内动点 $P$ 与两定点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值是常数 $2a$（$2a<|F_1F_2|$）的轨迹叫做双曲线。

这两个定点 $F_1,F_2$ 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离 $|F_1F_2|=2c$ 叫做焦距。

注意：

1. 当 $a=c$ 时，轨迹退化为两条射线，方程为

   $$y=0,\qquad x\in(-\infty,-c]\cup[c,+\infty).$$

2. 当 $a>c$ 时，点 $P$ 的轨迹不存在。

二、双曲线的标准方程#

双曲线的标准方程为

或

1. 标准方程对应的双曲线中心在原点，并以焦点所在直线为一条坐标轴；

2. 标准方程左边是两个分式的平方差，右边是 $1$；

3. 参数 $a,b,c$ 满足

   $$a^2+b^2=c^2,\qquad a>0,\ b>0.$$

三、双曲线的性质#

以双曲线

为例：

1. 对称性：对称轴为 $x=0$、$y=0$，对称中心为 $O(0,0)$；

2. 顶点：$A_1(-a,0)$、$A_2(a,0)$ 是双曲线的两个顶点。线段 $A_1A_2$ 是实轴，长度为 $2a$，$a$ 为半实轴长。点 $B_1(0,b)$、$B_2(0,-b)$ 所确定的线段 $B_1B_2$ 是虚轴，长度为 $2b$，$b$ 为半虚轴长；

3. 范围：双曲线位于直线 $x=\pm a$ 的外侧，即 $|x|\ge a$；

4. 渐近线：

   $$y=\pm\frac{b}{a}x;$$

5. 与双曲线

   $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

   共渐近线的双曲线系为

   $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda, \qquad \lambda\ne0.$$

例1：根据条件求标准方程#

根据下列条件，求双曲线的标准方程：

1. 与双曲线 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{4}=1$ 有相同焦点，且经过点 $(3\sqrt2,2)$；
2. 一条渐近线方程为 $2x-3y=0$，且经过点 $(1,2)$。

例2：焦距与过定点问题#

已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦距为 $2\sqrt6$，且经过点 $(\sqrt2,\sqrt3)$，求它的标准方程。

例3：利用双曲线定义判断焦半径#

$F_1,F_2$ 是双曲线

的焦点，点 $P$ 在双曲线上。若点 $P$ 到焦点 $F_1$ 的距离等于 $9$，求点 $P$ 到焦点 $F_2$ 的距离。

某学生认为：双曲线的实轴长为 $8$，由

可得 $|9-|PF_2||=8$，于是 $|PF_2|=1$ 或 $17$。该解答是否正确？

例4：动圆圆心的轨迹#

动圆 $M$ 与圆

外切，且与圆

内切，求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程。

例5：以焦半径为直径的圆#

已知双曲线

$P$ 为双曲线上任一点，$F$ 为双曲线的焦点。以 $PF$ 为直径的圆与圆

的位置关系是什么？

例6：焦点三角形的面积#

已知双曲线

$P$ 为双曲线上任一点，$\angle F_1PF_2=\theta$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

例7：焦点转化法求最小值#

已知 $F$ 是双曲线

的左焦点，$A(1,4)$，$P$ 是双曲线右支上的动点，求 $PF+PA$ 的最小值。

随堂练习1#

双曲线

的左、右焦点为 $F_1,F_2$。第二象限内的一点 $P$ 在双曲线上，且

1. 求 $|PF_1|\cdot|PF_2|$；
2. 求点 $P$ 的坐标。

例8：焦点三角形内切圆圆心的轨迹#

已知双曲线

上一点 $P$，三角形 $\triangle F_1PF_2$ 的内切圆圆心为 $M$，求 $M$ 的轨迹方程。

例9：焦点弦与内切圆半径#

已知双曲线

左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。过点 $F_2$ 作一直线，与双曲线 $C$ 的右半支交于 $P,Q$ 两点，使得 $\angle F_1PQ=90^\circ$，求 $\triangle F_1PQ$ 的内切圆半径 $r$。

随堂练习2#

设 $P$ 是双曲线

上除顶点外的任意一点，$F_1,F_2$ 分别为左、右焦点，$c$ 为半焦距。$\triangle PF_1F_2$ 的内切圆与边 $F_1F_2$ 切于点 $M$，求

的值。

课堂练习#