圆锥曲线5：抛物线的概念和方程

一、定义与四种标准方程#

平面内到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，其中 $F\notin l$ 。定点 $F$ 是焦点，定直线 $l$ 是准线。

开口	标准方程	焦点	准线
向右	$y^2=2px$	$\left(\frac p2,0\right)$	$x=-\frac p2$
向左	$y^2=-2px$	$\left(-\frac p2,0\right)$	$x=\frac p2$
向上	$x^2=2py$	$\left(0,\frac p2\right)$	$y=-\frac p2$
向下	$x^2=-2py$	$\left(0,-\frac p2\right)$	$y=\frac p2$

表中均约定 $p>0$ 。例如 $y^2=2px$ 的顶点为原点、关于 $x$ 轴对称，且 $x\ge0$ 。

二、由定义确定方程#

例 1#

抛物线顶点在原点、焦点在 $y$ 轴上，点 $P(m,-6)$ 到焦点距离为 $8$ ；
顶点在原点、对称轴为坐标轴，且过 $A(2,-3)$ ；
点到 $F(4,0)$ 的距离比它到直线 $x=-5$ 的距离小 $1$ 。

查看答案

$x^2=-8y$ ， $m=\pm4\sqrt3$ ，焦点 $(0,-2)$ ，准线 $y=2$ ；
$\displaystyle y^2=\frac92x$ 或 $\displaystyle x^2=-\frac43y$ ；
$y^2=16x$ 。

查看推导

第 1 问只能向下开口。设 $x^2=-2py$ ，由定义

\frac p2-(-6)=8

得 $p=4$ ，再代入点坐标得 $m^2=48$ 。

第 2 问分别按横轴、纵轴为对称轴设式即可。

第 3 问在可行区域有

\sqrt{(x-4)^2+y^2}=x+4,

平方并化简得到 $y^2=16x$ 。也可以理解为把原直线向右平移 $1$ ，新的准线是 $x=-4$ 。

三、定义的几何应用#

例 2：三个恒定关系#

查看结论

对 $y^2=2px$ 上任意点 $P$ ，以 $PF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切；
以焦点弦为直径的圆与准线相切；
焦点弦端点 $A,B$ 在准线上的投影为 $A_1,B_1$ ，则 $\angle A_1FB_1=90^\circ$ 。

查看统一思路

抛物线定义给出 $PF=x+\frac p2$ 。第 1 问中，圆心到 $y$ 轴的距离与半径都等于 $\frac12\left(x+\frac p2\right)$ 。

第 2 问设弦中点为 $M$ ，则

d(M,l)=\frac{AF+BF}{2}=\frac{AB}{2}.

第 3 问用参数

A\left(\frac p2t_1^2,pt_1\right),\quad B\left(\frac p2t_2^2,pt_2\right),\quad t_1t_2=-1.

两个投影方向向量的点积为 $p^2(1+t_1t_2)=0$ 。

例 3：定长弦中点到 $y$ 轴的最短距离#

抛物线 $y^2=8x$ 的动弦 $AB$ 长为 $16$ ，求弦中点 $M$ 到 $y$ 轴的最短距离。

答案与证明

准线为 $x=-2$ 。由定义及三角不等式，

d(M,l)=\frac{AF+BF}{2}\ge\frac{AB}{2}=8.

当 $AB$ 为焦点弦时等号可取。准线与 $y$ 轴相距 $2$ ，所以

d(M,y\text{轴})_{\min}=8-2=6.

交互实验：例 3：定长弦中点的最短距离

保持弦长为 $16$ ，拖动参数观察中点到 $y$ 轴的距离，寻找最短距离 $6$ 的取等情形。

例 4：动圆圆心轨迹#

动圆与直线 $y=2$ 相切，并与定圆

C:x^2+(y+3)^2=1

外切。求圆心 $M$ 的轨迹。

答案与分支检查

设 $M(x,y)$ 、动圆半径为 $r$ 。当 $y\le2$ 时， $r=2-y$ ，外切条件为

\sqrt{x^2+(y+3)^2}=3-y.

平方得到

\boxed{x^2=-12y}.

方程自动给出 $y\le0$ 。若 $y>2$ ，平方后与分支条件矛盾，因此没有额外轨迹。

交互实验：例 4：动圆圆心轨迹

改变动圆位置，检查与定圆、定直线的相切关系，并观察圆心轨迹。

四、距离最值#

例 5#

点 $P$ 在抛物线 $y^2=4x$ 上运动，焦点为 $F(1,0)$ 、准线为 $x=-1$ 。

查看三问答案

$PA+d(P,x=-1)$ 的最小值为 $\sqrt5$ ，其中 $A=(-1,1)$ ；
$PB+PF$ 的最小值为 $4$ ，其中 $B=(3,2)$ ；
$P$ 到 $4x-3y+6=0$ 与 $x=-1$ 的距离和最小值为 $2$ 。

查看推导

令 $P=(t^2,2t)$ ，则 $PF=t^2+1$ 。

第 1 问把到准线的距离换成 $PF$ ，三角不等式给出 $PA+PF\ge AF=\sqrt5$ ，且线段 $AF$ 与抛物线相交。

第 2 问在 $t^2\le3$ 时有

PB^2-(3-t^2)^2=4(t-1)^2\ge0,

故 $PB+PF\ge4$ ； $t=1$ 取等号。 $t^2\ge3$ 时单独的 $PF$ 已不小于 $4$ 。

第 3 问距离和为

\frac{4t^2-6t+6}{5}+t^2+1 =\frac{9(t-\frac13)^2+10}{5}\ge2.

五、焦点弦#

例 6：焦半径倒数和#

直线过 $y^2=2px$ 的焦点并交抛物线于 $A,B$ 。证明

\frac1{|AF|}+\frac1{|BF|}=\frac2p.

查看证明

写直线为 $x=my+\frac p2$ ，联立得

y^2-2pmy-p^2=0,\qquad y_1y_2=-p^2.

又

|P_iF|=\frac{y_i^2+p^2}{2p},

代入并利用 $y_1y_2=-p^2$ 即得结论。

例 7：两条互相垂直的焦点弦#

两条过焦点且互相垂直的直线分别截得弦 $AB,CD$ 。

查看答案

\frac1{|AB|}+\frac1{|CD|}=\frac1{2p}, \qquad S_{ACBD,\min}=8p^2.

查看推导

若 $AB$ 倾斜角为 $\theta$ ，则

|AB|=\frac{2p}{\sin^2\theta},\qquad |CD|=\frac{2p}{\cos^2\theta}.

四边形的两条对角线互相垂直，因此

S=\frac12|AB||CD| =\frac{8p^2}{\sin^22\theta}\ge8p^2.

六、课堂练习#

顶点在原点、焦点在 $y$ 轴上， $M(m,-3)$ 到焦点距离为 $5$ 。
$A(3,4)$ ， $F$ 是 $y^2=8x$ 的焦点；求 $MA+MF$ 最小时的 $M$ 。
$y^2=4x$ 的焦点弦 $PQ$ 满足 $x_1+x_2=6$ ，求 $|PQ|$ 。
$F(4,0)$ 、 $Q$ 在 $y$ 轴上，过 $Q$ 作 $QT\perp FQ$ 交 $x$ 轴于 $T$ ；延长 $TQ$ 到 $P$ ，使 $QP=TQ$ ，求 $P$ 的轨迹。
图示中 $A$ 在 $y^2=4x$ 、 $B$ 在圆 $(x-1)^2+y^2=4$ 的实线部分上运动，且 $AB\parallel x$ 轴；求 $\triangle FAB$ 周长范围。

查看答案

$m=\pm2\sqrt6$ ；
$M=(2,4)$ ；
$|PQ|=8$ ；
$y^2=16x$ ；
周长 $L\in(4,6)$ 。

练习 4、5 的关键

练习 4 设 $Q=(0,q)$ 。垂直关系给出 $T=(-q^2/4,0)$ ，而 $Q$ 是 $TP$ 的中点，所以

P=2Q-T=\left(\frac{q^2}{4},2q\right),

消去 $q$ 得 $y^2=16x$ 。

练习 5 设共同纵坐标为 $y$ 。有

A=\left(\frac{y^2}{4},y\right),\quad x_B=1+\sqrt{4-y^2},\quad AF=x_A+1,\quad BF=2.

因而

L=4+\sqrt{4-y^2}.

$y=0$ 或 $|y|=2$ 都使三角形退化，所以端点不取，得到 $(4,6)$ 。

交互实验：课堂练习 5：三角形周长范围

同步移动 $A,B$ ，观察周长在 $(4,6)$ 内变化；比较两个退化端点为什么不能取到。

一、定义与四种标准方程#

二、由定义确定方程#

例 1#

三、定义的几何应用#

例 2：三个恒定关系#

例 3：定长弦中点到 yyy 轴的最短距离#

例 4：动圆圆心轨迹#

四、距离最值#

例 5#

五、焦点弦#

例 6：焦半径倒数和#

例 7：两条互相垂直的焦点弦#

六、课堂练习#

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例 3：定长弦中点到 $y$ 轴的最短距离#