改变参数角，对照单位圆点 U 与椭圆点 P；屏幕坐标保持等比例。

（1）最大值 $5$，在 $(4,12/5)$ 取得。

（2）最大距离 $\sqrt{21}$，在 $(3\sqrt3/2,-1)$ 取得。

（3）$m=\pm4\sqrt3$。

椭圆参数化以后，线性式都变成 $A\cos\theta+B\sin\theta$，振幅为 $\sqrt{A^2+B^2}$。距离必须保留绝对值；平行直线相切对应线性式恰好达到端点值。

（1） 设 $x=5\cos\theta,y=4\sin\theta$，则

当 $(\cos\theta,\sin\theta)=(4/5,3/5)$ 时取等，故最大值为 $5$。完整范围是 $[-5,5]$；本题要求的是其中的最大值。

（2） 设 $x=3\cos\theta,y=2\sin\theta$，则

距离为

由于 $L+3\sqrt3\in[-\sqrt3,7\sqrt3]$，绝对值最大为 $7\sqrt3$，故

取等条件是 $\cos\theta=\sqrt3/2,\sin\theta=-1/2$，即 $P=(3\sqrt3/2,-1)$。

（3） 由同一个范围 $L\in[-4\sqrt3,4\sqrt3]$，直线 $L=-m$ 相切当且仅当 $-m$ 是端点，故 $m=\pm4\sqrt3$。相切点分别是

当 $|m|<4\sqrt3$ 时有两个交点；当 $|m|>4\sqrt3$ 时没有交点。

选择小问后移动点或直线。垂距由垂足计算；切线模式可出现两个、一个或零个交点。

最大面积为 $40$。取等时四个顶点为 $\left(\pm\frac{5\sqrt2}{2},\ \pm2\sqrt2\right),$ 两个符号独立取值。

取第一象限顶点 $(5\cos\theta,4\sin\theta)$，矩形的长、宽分别为其横、纵坐标的两倍。面积化为 $40\sin2\theta$。

先按图中边平行坐标轴的矩形设顶点为 $(\pm x,\pm y)$，其中 $x,y>0$。令

则

当 $\theta=\pi/4$ 时取等，对应所列顶点。

为什么这没有遗漏倾斜放置的矩形（补充）？ 设任意非退化内接矩形的中心为 $H$，两条半对角线向量为 $u,v$，顶点为 $H\pm u,H\pm v$。把相对两点代入椭圆并相减，得到

$u,v$ 不共线，故 $H=O$。矩形的对角线等长，因而 $|u|=|v|$；结合 $u_x^2/25+u_y^2/16=v_x^2/25+v_y^2/16=1$，可得 $u_x^2=v_x^2,u_y^2=v_y^2$。非退化时这恰好给出 $(\pm x,\pm y)$ 四点，矩形的边必平行于坐标轴。因此上述最大值是对全部内接矩形的最大值。

改变第一象限点，比较实际矩形面积与参数公式；轴端点只能作退化极限演示。

$|ON|\,|OK|=a^2.$

设 $M=(a\cos\theta,b\sin\theta)$。从上下短轴端点引出的直线，横截距分母分别出现 $1-\sin\theta$ 与 $1+\sin\theta$，相乘后用平方和消去参数。

取 $B_1=(0,b),B_2=(0,-b)$。因为 $M$ 不是短轴端点，$\cos\theta\ne0$ 且 $\sin\theta\ne\pm1$。两条连线的横截距为

于是

所以

两截距同号；$M$ 在右半椭圆时都为正，在左半椭圆时都为负。$M$ 为长轴端点时 $N=K=M$，但两条顶点连线仍有定义，等式仍成立。

按原图命名：B₁M 交 x 轴于 K，B₂M 交 x 轴于 N。短轴端点不属于题目定义域。

$S_{\max}=\frac{ab}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}ab,$ 在 $M=(a/\sqrt2,b/\sqrt2)$ 取得。

沿 $OM$ 把四边形拆成两个三角形，分别以 $OA,OB$ 为底。面积是 $y$ 与 $x$ 的一个线性组合。

令 $M=(a\cos\theta,b\sin\theta),0<\theta<\pi/2$，则

当且仅当 $\theta=\pi/4$ 时取等，且该点确实在第一象限开弧内。若考察面积的完整范围，则为 $(ab/2,ab/\sqrt2]$；两端点不属于开弧，下界只能趋近。

按 O、A、M、B 的周界顺序计算面积；两个轴端点只展示不可取得的下界。

焦点为 $(0,\pm\sqrt{10})$；渐近线为 $y=\pm x/3$。

先消参，再确认哪一个变量对应正项，从而确定实轴和焦点的方向。

由恒等式得

因此实轴沿 $y$ 轴，$a^2=1,b^2=9$，从而 $c^2=a^2+b^2=10$。焦点为 $(0,\pm\sqrt{10})$。令常数项为零，得到 $y^2-x^2/9=0$，即渐近线 $y=\pm x/3$。允许所有 $\cos\varphi\ne0$ 的参数时，上下两支都被覆盖。

选择上下分支，观察 y²−x²/9=1；正割角在极点处无定义。参数 s=tanφ。

最小距离为 $\sqrt3$，在两点 $M=(\pm\sqrt2,1)$ 取得。

把距离平方中的 $x^2$ 用 $1+y^2$ 替代，得到关于 $y$ 的二次式。也可用 $y=\tan\theta$ 作相同计算。

对双曲线上点 $M(x,y)$，

$y=1$ 时 $x^2=2$，两支上分别有 $(\sqrt2,1),(-\sqrt2,1)$，均可取等。所以最小距离为 $\sqrt3$。

用参数法：$x=\sec\theta,y=\tan\theta$，同样得到 $2(\tan\theta-1)^2+3$。$\theta=\pi/4$ 只是右支上的取等参数；$\theta=5\pi/4$ 对应左支的另一个取等点。

切换左右分支，最近点在两支上各有一个。

$|F_1P|\,|F_2P|=|OP|^2.$

先求两个焦半径平方的乘积，把共轭式乘积化为平方差，再用双曲线方程。开方时必须用非负性处理绝对值。

焦点为 $(\pm\sqrt2,0)$。令 $r^2=x^2+y^2$，则

由 $x^2-y^2=1$ 得 $2x^2=r^2+1$，因此上式等于

两距离乘积非负，且 $r^2\ge1$，所以开方得 $|F_1P|\,|F_2P|=r^2=|OP|^2$。用正割和正切所得 $2\sec^2\theta-1$ 也就是这个 $r^2$。

两个独立测量值始终相等，但它们随 s 变化，并非固定常数。

$P=\left(\frac9{16},\frac32\right),\qquad d_{\min}=\frac3{20}.$

用纵坐标作参数，把距离分子化成一个恒正的完全平方式，才能合法去掉绝对值。

设 $P=(s^2/4,s)$，$s\in\mathbb R$，则

当且仅当 $s=3/2$ 时取等，此时 $x=s^2/4=9/16$。

若采用参数表示 $P=(4t^2,4t)$，则

取等参数为 $t=3/8$。两种参数法描述的是同一个点。

改变纵坐标 s，观察垂足与距离。配方应使用 ≥，原点在本题中有效。

$x=y^2-\frac12,\qquad y\in\mathbb R.$

先给 $M$ 参数化，再按中点公式得到 $P$。反向验证可直接把 $M$ 写成 $2P-M_0$。

设 $M=(2t^2,2t)$，则

消去 $t$ 得 $x=y^2-1/2$。反过来，任意满足该式的 $P(x,y)$ 对应 $M=(2x+1,2y)$；因为 $(2y)^2=2(2x+1)$，该 $M$ 在原抛物线上。因此轨迹是整条开口向右、顶点为 $(-1/2,0)$ 的抛物线，没有额外缺点。

点 P 必须由 M₀ 和源曲线上的 M 求中点；观察 P 的完整轨迹。

按向量关系 $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$ 连续定义，轨迹为 $x^2=4y$，是顶点在原点、开口向上的抛物线。

若严格要求“延长非零线段”，则须排除 $M=O$，相应轨迹也去掉 $P=O$。

“延长”确定了 $O,M,P$ 的顺序，因而 $M$ 是 $OP$ 的中点。这是以原点为中心、倍率为 $2$ 的放大。

设 $M=(t,t^2/2)$。由于 $P=2M$，有

消去 $t$ 得 $x^2=4y$。反过来，取 $t=x/2$ 可还原每一个轨迹点。

当 $t\ne0$ 时，“延长线段”构造完全有意义。$t=0$ 时原线段没有方向，不能按字面做延长，但代数映射 $M\mapsto2M$ 可自然延拓到原点。若采用这一代数延拓，轨迹为完整抛物线。

默认严格几何延长：t=0 的线段没有方向。切换连续延拓可在原点定义 P=2M。

（1）$y_1y_2=-2p^2$。

（2）直线恒过 $(1/2,0)$。注意原题条件确实是 $y_1y_2=-p$，不是 $-p^2$。

（3）存在。$N$ 的轨迹为 $y^2=\frac p2(x-2p),$ 对应定点 $\left(17p/8,0\right)$，定直线 $x=15p/8$。

以 $y$ 为消元变量，把直线写成 $x=my+d$。韦达定理直接给出纵坐标的和与积；两垂直直线的参数分别是 $m$ 和 $-1/m$，中点公式最后给出一条新抛物线。

共用准备。 水平直线与 $y^2=2px$ 至多有一个交点，因此两点弦可以写成

联立得 $y^2-2pmy-2pd=0$，故

（1） $l$ 过 $(p,0)$，所以 $d=p$，直接得到 $y_1y_2=-2p^2$。判别式为 $4p^2(m^2+2)>0$，所有实数 $m$ 均有两个不同交点；$m=0$ 是竖直弦，也已包含。

（2） 由 $-2pd=-p$ 和 $p>0$ 得 $d=1/2$，所以 $l:x=my+1/2$ 恒过 $(1/2,0)$。两交点存在性也满足，因为此时判别式为 $4p^2m^2+4p>0$。

（3） 若 $l$ 竖直，则 $l'$ 水平，没有两个不同交点；若 $l$ 水平，则它自身也不符合要求。因此必须取 $m\ne0$。直线 $x=my+p$ 的方向向量为 $(m,1)$；垂直线可写成 $x=-y/m+p$。

由纵坐标平均值与直线方程，得到

于是

用 $m^2+m^{-2}=(m-m^{-1})^2+2$ 化为

即 $y_N^2=(p/2)(x_N-2p)$。

这不是仅有必要性的候选轨迹：任给实数 $y_N$，方程 $m-1/m=2y_N/p$ 等价于 $m^2-(2y_N/p)m-1=0$，总有非零实根。因此整条新抛物线都可实现。

写成 $y^2=4f(x-2p)$ 可得 $f=p/8$，故焦点与准线分别为

按抛物线的定义，每个 $N$ 到这一定点与定直线的距离相等。也可直接检验

选择小问。主模式从实际四个交点逐层求中点 N，再比较到焦点和准线的距离。