圆锥曲线1：椭圆的概念和方程

一、椭圆的定义#

平面内动点 $P$ 到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之和等于常数 $2a\ (2a>|F_1F_2|)$ 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 $F_1,F_2$ 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 $|F_1F_2|=2c$ 叫做椭圆的焦距。

注意：

1. 当 $2a=2c$，即 $a=c$ 时，点 $P$ 的轨迹为线段 $F_1F_2$，方程为 $y=0\ (-c\le x\le c)$；
2. 当 $a<c$ 时，点 $P$ 的轨迹不存在。

二、椭圆的标准方程#

椭圆的标准方程为

或

说明：

1. 椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在直线为坐标轴；
2. 椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 $1$；
3. 三个参数 $a,b,c$ 的关系：$b^2=a^2-c^2\ (a>b>0)$。

三、椭圆的性质#

1. 对称性

1. 椭圆是轴对称图形，有两条对称轴；
2. 椭圆是中心对称图形，对称中心为椭圆的中心。

对标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（或 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$）来说，$x$ 轴、$y$ 轴是两条对称轴，坐标原点 $O$ 是对称中心。

2. 长轴、短轴、顶点

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点分别为 $A_1,A_2,B_1,B_2$，这四个点称为椭圆的顶点：

• $A_1(-a,0),\ A_2(a,0),\ |A_1A_2|=2a$，线段 $A_1A_2$ 称为椭圆的长轴；
• $B_1(0,-b),\ B_2(0,b),\ |B_1B_2|=2b$，线段 $B_1B_2$ 称为椭圆的短轴。

椭圆的焦点在长轴上。

例 1#

1. 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 $A(\sqrt3,-2)$ 和 $B(-2\sqrt3,1)$ 两点的椭圆方程；
2. 求与椭圆 $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{81}=1$ 有相同焦点，且经过 $P(-\sqrt2,3\sqrt2)$ 的椭圆方程。

例 2#

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$，$P$ 为椭圆上任一点，$F$ 为椭圆的一个焦点，则以 $PF$ 为直径的圆与圆 $x^2+y^2=a^2$ 的位置关系是__________。

例 3#

1. 动圆 $P$ 与定圆 $B:x^2+y^2-4y-32=0$ 相内切，且过点 $A(0,-2)$，求动圆圆心 $P$ 的轨迹方程；
2. 已知圆 $O_1:(x+1)^2+y^2=1$，圆 $O_2:(x-1)^2+y^2=9$，动圆 $M$ 与圆 $O_1$ 外切、与圆 $O_2$ 内切，求动圆圆心 $M$ 所在的曲线方程。

例 4#

已知椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 内有两点 $A(1,3)$、$B(3,0)$，$P$ 为椭圆上一点，求 $|PA|+|PB|$ 的取值范围。

例 5#

已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 是椭圆在 $x$ 轴上方一点，若圆 $C$ 与 $x$ 轴、$F_1P$ 的延长线及 $PF_2$ 都相切，求圆心 $C$ 的轨迹方程。

例 6#

已知椭圆 $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$，$F_1,F_2$ 分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点 $F_2$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，且 $\angle F_1AF_2$ 恰为 $90^\circ$，求 $\triangle F_1AB$ 中 $AB$ 边所对的旁切圆半径 $r$。

例 7#

已知 $P$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 上的一点，$F_1,F_2$ 是焦点，$\angle F_1PF_2=\alpha$，求证：$\triangle F_1PF_2$ 的面积是 $b^2\tan\dfrac{\alpha}{2}$。

课堂练习#

1. “$-3<m<5$”是“方程 $\dfrac{x^2}{5-m}+\dfrac{y^2}{m+3}=1$ 表示椭圆”的（ ）
   • A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件

2. 椭圆 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$ 的焦点为 $F_1,F_2$，过左焦点 $F_1$ 的弦 $AB$ 的长为 $8$，则 $|AF_2|+|BF_2|=$__________。

3. 若 $C(-\sqrt3,0)$、$D(\sqrt3,0)$，$M$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上的动点，则 $\dfrac1{|MC|}+\dfrac1{|MD|}$ 的最小值为__________。

4. 椭圆 $\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{3a^2}=1\ (a>0)$ 的左焦点为 $F$，直线 $x=m$ 与椭圆相交于点 $A,B$，当 $\triangle FAB$ 的周长最大时，$\triangle FAB$ 的面积是__________。

5. 一动圆与已知圆 $O_1:(x+3)^2+y^2=1$ 外切，与圆 $O_2:(x-3)^2+y^2=81$ 内切，试求动圆圆心的轨迹方程。

6. 已知 $P$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1$ 上的一点，$F_1,F_2$ 是椭圆的两个焦点，且 $\angle F_1PF_2=\dfrac{2\pi}{3}$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。