圆锥曲线4：双曲线的性质

1. 两个公共点： $$k\in(-\sqrt5,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\sqrt5);$$ 一个公共点：$k=\pm1,\pm\sqrt5$；没有公共点： $$k\in(-\infty,-\sqrt5)\cup(\sqrt5,+\infty).$$
2. 右支上有两个公共点： $$k\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty);$$ 右支上有一个公共点：$k\in[-1,1]$。

第 1 问联立得到

当 $k\ne\pm1$ 时，

当 $k=\pm1$ 时，二次项消失，方程退化为一次方程，因此仍只有一个公共点，但直线不是切线。

第 2 问联立得到

当 $k\ne\pm1$ 时，

且

当 $|k|>1$ 时两根都为正；当 $|k|<1$ 时两根一正一负；$k=\pm1$ 时退化方程的唯一根为 $x=\dfrac54>0$。

改变 $y=kx+2$ 的斜率，比较普通割线、二次项退化和相切时的交点数。

代入得到

二次项不为零时，

把括号内看成关于 $k$ 的二次函数，其最小值为

要对所有 $k$ 都非负，需 $b^2\le\dfrac32$。在 $1-2k^2=0$ 的退化方向上，上述范围也不会使一次项同时消失，所以结论成立。

代入得到

判别式为

要使它对任意 $b$ 非负，先得到 $|k|\le\dfrac1{\sqrt2}$。但在端点 $k=\pm\dfrac1{\sqrt2}$ 且 $b=0$ 时，直线恰为渐近线，与双曲线没有公共点，因此必须排除端点。

1. $a\in(-\sqrt6,-\sqrt3)\cup(-\sqrt3,\sqrt3)\cup(\sqrt3,\sqrt6)$；
2. $a=\pm1$；
3. 不存在。

联立得到

要有两个不同交点，需要 $a\ne\pm\sqrt3$ 且

从而得到第 1 问。

设两根为 $x_1,x_2$，则

圆经过原点等价于 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$。利用 $y_i=ax_i+1$，有

故 $a=\pm1$。

若 $A,B$ 关于 $y=\dfrac12x$ 对称，则弦 $AB$ 的斜率必须为 $-2$，即 $a=-2$。此时弦中点为 $(2,-3)$，不在 $y=\dfrac12x$ 上，矛盾。

1. $x-y+1=0$；
2. 不存在。

第 1 问设

两点的双曲线方程相减，得到 $8u-8v=0$，故弦斜率为 $1$，候选直线为 $x-y+1=0$。代回双曲线后有两个不同实根，因此弦确实存在。

第 2 问同理得到候选直线 $y=2x-1$。代回双曲线得到

其判别式为 $-8<0$，所以候选直线没有实交点。中点公式给出的候选直线还必须经过“存在性检查”。

1. $E:x^2-y^2=1, x\le-1$；
2. $AB:y=-\dfrac{\sqrt5}{2}x-1$；
3. $m=4$，$S_{\triangle ABC}=\sqrt3$。

由双曲线定义，$a=1,c=\sqrt2,b^2=1$。又因为 $|PF_2|>|PF_1|$，点更靠近左焦点，所以只取左支 $x\le-1$。

将 $y=kx-1$ 代入 $x^2-y^2=1$：

利用两根之差与弦长公式，得到

令 $t=k^2$，可得 $t=\dfrac57$ 或 $t=\dfrac54$。前者使两个交点分属不同分支，应舍去；后者再由两根都为负确定

此时

因而

代入左支方程得 $m=4$，所以 $C=(-\sqrt5,2)$。点 $C$ 到直线 $\sqrt5x+2y+2=0$ 的距离为 $\dfrac13$，故

双曲线的实轴长为 $2$，所以 $|PQ|=4$。把非水平直线写成

代入双曲线并乘以 $2$：

当 $2m^2-1\ne0$ 时，

令它等于 $4$：

得 $m=0$ 或 $m=\pm\sqrt2$。当 $2m^2-1=0$ 时只有一个交点，不能构成弦；未被参数式覆盖的水平线 $y=0$ 所截弦长为 $2$，也不合题意。

调节直线参数，用三个正确参数预设验证弦长为 $4$，同时检查交点与弦长读数。