高一第二学期数学暑假作业 3

一、填空题#

1. 与角 $2023^\circ$ 终边相同的最小正角#

题目

与角 $2023^\circ$ 终边相同的最小正角为__________（用角度制表示）。

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\boxed{223^\circ}

查看推导

因为

2023^\circ=5\times360^\circ+223^\circ,

所以与 $2023^\circ$ 终边相同的最小正角为 $223^\circ$ 。

2. 扇形圆心角#

题目

半径为 $7$ 的扇形弧长为 $\pi$ ，则扇形所对圆心角的弧度数为__________。

查看答案

\boxed{\frac{\pi}{7}}

查看推导

由弧长公式

l=r\theta,

得

\theta=\frac{l}{r}=\frac{\pi}{7}.

3. 向量垂直求参数#

题目

设向量 $\vec a=(n,1)$ ， $\vec b=(-4,-2)$ ，且 $\vec a\perp\vec b$ ，则实数 $n$ 的值是__________。

查看答案

\boxed{-\frac12}

查看推导

由 $\vec a\perp\vec b$ ，得

\vec a\cdot\vec b=0.

所以

-4n-2=0,

解得

n=-\frac12.

4. 三角函数值#

题目

若角 $\alpha$ 的终边过点 $(1,-2)$ ，则 $\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=$ __________。

查看答案

\boxed{-\frac{\sqrt5}{5}}

查看推导

由终边上一点 $(1,-2)$ ，得

r=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5,

因此

\cos\alpha=\frac1{\sqrt5}.

又

\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\alpha,

故

\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right) =-\frac1{\sqrt5} =-\frac{\sqrt5}{5}.

5. $|\vec a+\vec b|$ 的取值范围#

题目

已知单位向量 $\vec a,\vec b$ 的夹角为 $\theta$ ，若 $\theta\in\left[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$ ，则 $|\vec a+\vec b|$ 的取值范围是__________。

查看答案

\boxed{[1,\sqrt3]}

查看推导

因为 $\vec a,\vec b$ 均为单位向量，所以

|\vec a+\vec b|^2 =|\vec a|^2+|\vec b|^2+2\vec a\cdot\vec b =2+2\cos\theta.

当

\theta\in\left[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]

时，

\cos\theta\in\left[-\frac12,\frac12\right].

于是

|\vec a+\vec b|^2\in[1,3],

从而

|\vec a+\vec b|\in[1,\sqrt3].

6. 解三角方程#

题目

方程 $\sin x=1-\cos 2x$ 在区间 $[0,2\pi]$ 上的解集为__________。

查看答案

\boxed{\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\pi,2\pi\right\}}

查看推导

由

1-\cos2x=2\sin^2x,

原方程化为

\sin x=2\sin^2x,

即

\sin x(2\sin x-1)=0.

所以

\sin x=0

或

\sin x=\frac12.

在 $[0,2\pi]$ 上分别得到

x=0,\pi,2\pi

以及

x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}.

故解集为

\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\pi,2\pi\right\}.

7. 三角形恰有一个时参数 $a$ 的范围#

题目

如果满足 $B=60^\circ$ ， $AC=5$ ， $BC=a$ 的 $\triangle ABC$ 恰有一个，则实数 $a$ 的取值范围是__________。

查看答案

\boxed{a\in(0,5]\cup\left\{\frac{10}{\sqrt3}\right\}}

查看推导

在 $\triangle ABC$ 中，

B=60^\circ,\qquad b=AC=5,\qquad a=BC.

由正弦定理，

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin60^\circ}{5},

所以

\sin A=\frac{\sqrt3\,a}{10}.

首先要有三角形，必须有

0<a\le\frac{10}{\sqrt3}.

当 $0<a<5$ 时，锐角解 $A<60^\circ$ ，其补角大于 $120^\circ$ ，与 $B=60^\circ$ 不能组成三角形，因此只有一个三角形；
当 $a=5$ 时， $A=60^\circ$ ，补角 $120^\circ$ 会使 $A+B=180^\circ$ ，故仍只有一个三角形；
当 $5<a<\frac{10}{\sqrt3}$ 时，两个角 $A$ 都能与 $B=60^\circ$ 组成三角形，因此有两个三角形；
当 $a=\frac{10}{\sqrt3}$ 时， $A=90^\circ$ ，只有一个三角形。

因此

a\in(0,5]\cup\left\{\frac{10}{\sqrt3}\right\}.

交互实验：第 7 题：一个三角形，还是两个？

拖动边长 $a$ ，观察圆 $AC=5$ 与 $60^\circ$ 射线的有效交点数如何变化。重点比较 $a=5$ 与 $a=\dfrac{10}{\sqrt3}$ 两个边界。

8. 向量的数量投影#

题目

已知向量 $\vec a$ 与 $\vec b$ 的夹角为 $60^\circ$ ， $|\vec a|=3$ ， $|\vec b|=6$ ，则 $2\vec a-\vec b$ 在 $\vec a$ 方向上的数量投影为__________。

查看答案

\boxed{3}

查看推导

先求

\vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b|\cos60^\circ = 3\times6\times\frac12 =9.

所以 $2\vec a-\vec b$ 在 $\vec a$ 方向上的数量投影为

\frac{(2\vec a-\vec b)\cdot\vec a}{|\vec a|} = \frac{2|\vec a|^2-\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|} = \frac{18-9}{3} =3.

9. 单位圆上的向量问题#

题目

已知 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ 是角 $\alpha,\beta$ 终边与单位圆的两个不同交点，且 $x_1y_2=x_2y_1$ ，则 $2x_1-x_2+2y_1-y_2$ 的最大值为__________。

查看答案

\boxed{3\sqrt2}

查看推导

由

x_1y_2=x_2y_1

可知向量 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 共线。

又因为 $A,B$ 是单位圆上的两个不同点，所以二者必为关于原点对称的两点，即

(x_2,y_2)=(-x_1,-y_1).

于是

2x_1-x_2+2y_1-y_2 =3x_1+3y_1 =3(x_1+y_1).

因为

x_1^2+y_1^2=1,

由柯西不等式，

x_1+y_1\le\sqrt2.

因此最大值为

3\sqrt2.

10. 平行四边形中的向量数量积最值#

题目

在平行四边形 $ABCD$ 中， $AB=2$ ， $\angle ABC=60^\circ$ ， $AC$ 、 $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为线段 $AC$ 上的动点。若 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BO}=-\frac72$ ，则 $\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{DE}$ 的最小值为__________。

查看答案

\boxed{-\frac{19}{4}}

查看推导

以 $B$ 为原点，记

\vec{BA}=\vec a,\qquad \vec{BC}=\vec c.

则

|\vec a|=AB=2,

且 $\vec a$ 与 $\vec c$ 的夹角为 $60^\circ$ 。

因为 $O$ 是平行四边形两条对角线的交点，

\vec{BO}=\frac{\vec a+\vec c}{2},

同时

\vec{AB}=-\vec a.

由题意

\vec{AB}\cdot\vec{BO}=-\frac72,

所以

-\vec a\cdot\frac{\vec a+\vec c}{2} =-\frac72.

即

|\vec a|^2+\vec a\cdot\vec c=7.

由于 $|\vec a|^2=4$ ，故

\vec a\cdot\vec c=3.

又因为

\vec a\cdot\vec c = |\vec a||\vec c|\cos60^\circ,

所以

3=2|\vec c|\times\frac12,

从而

|\vec c|=3.

设

\vec{BE}=(1-t)\vec a+t\vec c, \qquad 0\le t\le1.

又

\vec{BD}=\vec a+\vec c,

故

\vec{DE} = \vec{BE}-\vec{BD}.

代入

|\vec a|^2=4,\qquad |\vec c|^2=9,\qquad \vec a\cdot\vec c=3,

计算得

\vec{BE}\cdot\vec{DE} = 7t^2-7t-3.

配方：

7t^2-7t-3 = 7\left(t-\frac12\right)^2-\frac{19}{4}.

当

t=\frac12

时取最小值，此时 $E$ 为 $AC$ 的中点，即 $E=O$ 。

所以最小值为

-\frac{19}{4}.

交互实验：第 10 题：动点 E 与数量积最值

拖动 $E$ 沿 $AC$ 移动。几何位置与二次函数 $7t^2-7t-3$ 同步变化，可直接观察 $E=O$ 时取得最小值。

11. 分段函数四个不同原像之和#

题目

已知函数

f(x)= \begin{cases} \sin\pi x,&x\in[0,2],\\ |\log_2(x-2)|,&x\in(2,+\infty), \end{cases}

若存在实数 $k$ 满足 $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=k$ （ $a,b,c,d$ 互不相等），则 $a+b+c+d$ 的取值范围是__________。

查看答案

\boxed{\{6\}\cup\left(7,\frac{15}{2}\right)}

查看推导

要有四个互不相同的实数 $a,b,c,d$ 满足 $f(x)=k$ ，分情况讨论。

当 $k=0$ 时#

在 $[0,2]$ 上，

\sin\pi x=0

的解为

x=0,1,2.

在 $(2,+\infty)$ 上，

|\log_2(x-2)|=0

得

x=3.

所以

a+b+c+d=0+1+2+3=6.

当 $0<k<1$ 时#

方程

\sin\pi x=k

在 $[0,2]$ 上有两个解，且都位于 $(0,1)$ ，两个解之和为 $1$ 。

另一方面，

|\log_2(x-2)|=k

等价于

x-2=2^k

或

x-2=2^{-k}.

所以另外两个解为

2+2^k,\qquad 2+2^{-k}.

四个解的和为

S = 1+(2+2^k)+(2+2^{-k}) = 5+2^k+2^{-k}.

当 $0<k<1$ 时，

2<2^k+2^{-k}<\frac52.

因此

7<S<\frac{15}{2}.

当 $k=1$ 时只有三个不同解；其余 $k$ 也不能得到四个不同解。

故取值范围为

\{6\}\cup\left(7,\frac{15}{2}\right).

交互实验：第 11 题：水平线与四个原像

移动水平线 $y=k$ ，数一数两个函数分段分别贡献几个交点，并观察四个原像之和。

12. 三个正实数的代数问题#

题目

为了研究问题方便，有时将余弦定理写成 $a^2-2ab\cos C+b^2=c^2$ 。若三个正实数 $x,y,z$ 满足

x^2+xy+y^2=25,

y^2+yz+z^2=36,

z^2+zx+x^2=49,

则 $xy+yz+zx=$ __________。

查看答案

\boxed{24\sqrt2}

查看推导

令

p=x+y+z>0.

第二式减第一式：

z^2+yz-x^2-xy=11.

因式分解得

(z-x)(x+y+z)=11,

即

(z-x)p=11.

第三式减第二式：

x^2+zx-y^2-yz=13,

所以

(x-y)p=13.

从而

(z-y)p=24.

再将原三式相加：

2(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+zx)=110.

记

Q=x^2+y^2+z^2,\qquad S=xy+yz+zx.

则

2Q+S=110,

而

p^2=Q+2S.

消去 $Q$ ，得

S=\frac23(p^2-55).

另一方面，

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = \frac{13^2+24^2+11^2}{p^2} = \frac{866}{p^2}.

又

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 = 2(Q-S) = 2(110-p^2).

所以

2(110-p^2)=\frac{866}{p^2}.

整理得

p^4-110p^2+433=0.

令 $u=p^2$ ，则

u^2-110u+433=0,

解得

u=55\pm36\sqrt2.

由于 $x,y,z>0$ ，且

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=25+xy>25,

故

p=x+y+z>x+y>5,

即 $p^2>25$ ，所以应取

p^2=55+36\sqrt2.

因此

S=\frac23(p^2-55) =\frac23\cdot36\sqrt2 =24\sqrt2.

二、选择题#

13. 充分条件与必要条件#

题目

在 $\triangle ABC$ 中，“ $A<B$ ”是“ $\sin A<\sin B$ ”的（　　）。

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

查看答案

\boxed{\mathrm C}

查看推导

因为三角形内角满足

A+B<\pi,

所以

\cos\frac{A+B}{2}>0.

又

\sin A-\sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.

因此 $\sin A-\sin B$ 与 $A-B$ 同号，即

A<B \Longleftrightarrow \sin A<\sin B.

所以二者互为充要条件。

14. 三角函数图象性质#

题目

已知 $f(x)=\sin\left(\frac12x-\frac{\pi}{3}\right)$ ，下列命题中错误的是（　　）。

A. 函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi}{3}$ 对称
B. 函数 $y=f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$ 上为严格增函数
C. 函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\frac{5\pi}{3},0\right)$ 对称
D. 函数 $y=f(x)$ 在 $\left[-\frac{4\pi}{3},\pi\right]$ 上的值域是 $\left[-1,\frac12\right]$

查看答案

\boxed{\mathrm C}

查看推导

对于

f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}\right),

逐项判断：

A：当 $x=-\frac{\pi}{3}$ 时，
$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2},$
对应正弦函数的对称轴，故 A 正确。
B：当
$x\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$
时，
$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{12}\right],$
正弦函数在该区间严格递增，故 B 正确。
C：正弦函数图象的对称中心应对应相位为 $k\pi$ 。当 $x=\frac{5\pi}{3}$ 时，
$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2},$
此时函数值为 $1$ ，并不是对称中心，故 C 错误。
D：当
$x\in\left[-\frac{4\pi}{3},\pi\right]$
时，相位范围为
$\left[-\pi,\frac{\pi}{6}\right],$
正弦函数在该区间的值域为
$\left[-1,\frac12\right],$
故 D 正确。

因此错误的是 C。

15. 共线向量与最值#

题目

已知 $A,B,C$ 三点共线（该直线不过原点 $O$ ），且 $\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+2n\overrightarrow{OC}$ （ $m>0,n>0$ ），则 $\frac2m+\frac1n$ 的最小值为（　　）。

A. $10$ 　B. $9$ 　C. $8$ 　D. $4$

查看答案

\boxed{\mathrm C}

即最小值为

\boxed{8}.

查看推导

由于 $A,B,C$ 共线，且直线 $BC$ 不经过原点 $O$ ， $\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 不共线。

点 $A$ 在线段所在直线上时，其仿射表示中两个系数之和为 $1$ ，故

m+2n=1.

令

u=2n,

则

m+u=1,

且

\frac2m+\frac1n = \frac2m+\frac2u = 2\left(\frac1m+\frac1u\right).

由基本不等式，

\frac1m+\frac1u \ge \frac4{m+u} =4.

因此

\frac2m+\frac1n\ge8.

当

m=u=\frac12

即

m=\frac12,\qquad n=\frac14

时取等号，所以最小值为 $8$ 。

16. 唯一解与参数范围#

题目

设函数 $f(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$ 。若对于任意 $\alpha\in\left[-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2}\right]$ ，在区间 $\left(\frac{\pi}{2},m\right]$ 上总存在唯一确定的 $\beta$ ，使得 $f(\alpha)+f(\beta)=0$ ，则 $m$ 的最小值为（　　）。

A. $\frac{3\pi}{2}$ 　B. $\frac{5\pi}{6}$ 　C. $\pi$ 　D. $\frac{7\pi}{6}$

查看答案

\boxed{\mathrm D}

即

\boxed{\frac{7\pi}{6}}.

查看推导

当

\alpha\in\left[-\frac{5\pi}{6},-\frac{\pi}{2}\right]

时，

\alpha-\frac{\pi}{6} \in \left[-\pi,-\frac{2\pi}{3}\right].

因此

-f(\alpha) \in \left[0,\frac{\sqrt3}{2}\right].

条件

f(\alpha)+f(\beta)=0

等价于

\sin\left(\beta-\frac{\pi}{6}\right) = -f(\alpha),

所以需要对任意

y\in\left[0,\frac{\sqrt3}{2}\right]

在

\beta\in\left(\frac{\pi}{2},m\right]

中都恰有一个解。

令

t=\beta-\frac{\pi}{6},

则

t\in \left(\frac{\pi}{3},m-\frac{\pi}{6}\right].

为了能够取到 $y=0$ ，右端至少应达到 $t=\pi$ ，故

m-\frac{\pi}{6}\ge\pi.

于是

m\ge\frac{7\pi}{6}.

当

m=\frac{7\pi}{6}

时，

t\in\left(\frac{\pi}{3},\pi\right].

对任意

y\in\left[0,\frac{\sqrt3}{2}\right],

在该区间中恰有一个 $t$ 满足 $\sin t=y$ ，因此满足题意。

交互实验：第 16 题：区间端点与唯一解

同时调整 $m$ 与目标值 $y=-f(\alpha)$ 。阴影区间表示 $t\in(\pi/3,m-\pi/6]$ ，交点数就是候选 $\beta$ 的个数。

三、解答题#

17. 三角函数与解三角形#

题目

已知锐角 $\triangle ABC$ 内角 $A,B,C$ 的对应边分别为 $a,b,c$ ，且

\cos2A-\sqrt3\sin A+2=0.

（1）求 $\angle A$ 的值；

（2）若 $a=2\sqrt3$ ，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值。

第 1 问#

查看第 1 问答案

\boxed{A=\frac{\pi}{3}}

查看第 1 问推导

由

\cos2A=1-2\sin^2A,

原方程化为

1-2\sin^2A-\sqrt3\sin A+2=0,

即

2\sin^2A+\sqrt3\sin A-3=0.

解得

\sin A=\frac{\sqrt3}{2}

或

\sin A=-\sqrt3.

后者不可能。因为 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，所以

A=\frac{\pi}{3}.

第 2 问#

查看第 2 问答案

\boxed{3\sqrt3}

查看第 2 问推导

由余弦定理，

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.

代入

a=2\sqrt3,\qquad A=\frac{\pi}{3},

得

12=b^2+c^2-bc.

由于

b^2+c^2\ge2bc,

所以

12=b^2+c^2-bc\ge bc.

即

bc\le12.

三角形面积

S = \frac12bc\sin A = \frac{\sqrt3}{4}bc \le \frac{\sqrt3}{4}\times12 = 3\sqrt3.

当 $b=c$ 时取等号，此时三角形为等边三角形。

因此面积的最大值为

3\sqrt3.

20. 含绝对值的三角函数#

题目

已知函数

f(x)=a(|\sin x|+|\cos x|)+4\sin2x+9,

且

f\left(\frac{\pi}{4}\right)=13-9\sqrt2.

（1）求 $a$ 的值，并求出 $y=f(x)$ 的最小正周期（不需要说明理由）；

（2）若 $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ，求 $y=f(x)$ 的值域；

（3）是否存在正整数 $n$ ，使得 $y=f(x)$ 在区间 $[0,n\pi]$ 内恰有 $2025$ 个零点？若存在，求出 $n$ 的值；若不存在，说明理由。

第 1 问#

查看第 1 问答案

\boxed{a=-9,\qquad T_{\min}=\pi}

查看第 1 问推导

当

x=\frac{\pi}{4}

时，

|\sin x|+|\cos x|=\sqrt2,

且

\sin2x=1.

所以

a\sqrt2+4+9=13-9\sqrt2.

解得

a=-9.

因此

f(x) = -9(|\sin x|+|\cos x|) +4\sin2x+9.

其中 $|\sin x|+|\cos x|$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$ ， $\sin2x$ 的最小正周期为 $\pi$ ，且两项合成后不具有 $\frac{\pi}{2}$ 的周期，所以 $f(x)$ 的最小正周期为

\pi.

第 2 问#

查看第 2 问答案

\boxed{\left[-\frac1{16},\,13-9\sqrt2\right]}

查看第 2 问推导

当

x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]

时，

\sin x\ge0,\qquad \cos x\ge0.

令

u=\sin x+\cos x,

则

u\in[1,\sqrt2].

又

u^2 = 1+\sin2x,

所以

\sin2x=u^2-1.

于是

f(x) = -9u+4(u^2-1)+9 = 4u^2-9u+5.

配方得

4u^2-9u+5 = 4\left(u-\frac98\right)^2-\frac1{16}.

由于

\frac98\in[1,\sqrt2],

故最小值为

-\frac1{16}.

再比较区间两端：

f(1)=0,

f(\sqrt2)=13-9\sqrt2.

且 $13-9\sqrt2>0$ ，所以最大值为

13-9\sqrt2.

因此值域为

\left[-\frac1{16},\,13-9\sqrt2\right].

第 3 问#

查看第 3 问答案

存在，且

\boxed{n=506}.

查看第 3 问推导

因为 $f(x)$ 的周期为 $\pi$ ，先统计一个周期中的零点。

在

x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]

上，令

u=\sin x+\cos x.

由上面得到

f(x)=4u^2-9u+5 =(u-1)(4u-5).

所以

u=1

或

u=\frac54.

其中：

$u=1$ 对应 $x=0,\frac{\pi}{2}$ ；
$u=\frac54$ 在 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 内有两个解。

因此这一段共有 $4$ 个零点。

在

x\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]

上，令

v=\sin x-\cos x.

此时

v\in[1,\sqrt2],

并且

\sin2x=1-v^2.

所以

f(x) = -9v+4(1-v^2)+9 = 13-9v-4v^2 = -(v-1)(4v+13).

因此只能有

v=1,

对应

x=\frac{\pi}{2},\pi.

所以在闭区间 $[0,\pi]$ 中共有 $5$ 个不同零点。

按周期性看，每增加一个长度为 $\pi$ 的周期，会新增 $4$ 个零点，因此在

[0,n\pi]

内零点总数为

4n+1.

由题意

4n+1=2025,

解得

n=506.

21. $P$ 级递减周期函数与 $P$ 级周期函数#

题目

已知函数 $y=f(x)$ ， $x\in D$ 。如果对于定义域 $D$ 内的任意实数 $x$ ，对于给定的非零常数 $P$ ，总存在非零常数 $T$ ，恒有

f(x+T)<P\cdot f(x)

成立，则称函数 $f(x)$ 是 $D$ 上的 $P$ 级递减周期函数，周期为 $T$ ；若恒有

f(x+T)=P\cdot f(x)

成立，则称函数 $f(x)$ 是 $D$ 上的 $P$ 级周期函数，周期为 $T$ 。

（1）判断函数 $f(x)=x^2+3$ 是 $\mathbb R$ 上周期为 $1$ 的 $2$ 级递减周期函数吗？并说明理由。

（2）已知 $T=\frac{\pi}{2}$ ， $y=f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的 $P$ 级周期函数，且 $y=f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的严格增函数。当 $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$ 时， $f(x)=\sin x+1$ 。求当

x\in\left[\frac{\pi}{2}n,\frac{\pi}{2}(n+1)\right) \qquad(n\in\mathbb N^*)

时函数 $y=f(x)$ 的解析式，并求实数 $P$ 的取值范围。

（3）是否存在非零实数 $k$ ，使函数

f(x)=\left(\frac12\right)^x\cos kx

是 $\mathbb R$ 上周期为 $T$ 的 $T$ 级周期函数？请证明你的结论。

第 1 问#

查看第 1 问答案

\boxed{\text{是}}

查看第 1 问推导

需要判断是否对任意 $x\in\mathbb R$ 恒有

f(x+1)<2f(x).

计算得

f(x+1) = (x+1)^2+3 = x^2+2x+4,

而

2f(x)=2x^2+6.

所以

2f(x)-f(x+1) = x^2-2x+2 = (x-1)^2+1>0.

因此对任意实数 $x$ ，

f(x+1)<2f(x),

故它是 $\mathbb R$ 上周期为 $1$ 的 $2$ 级递减周期函数。

第 2 问#

查看第 2 问答案

当

x\in \left[ \frac{n\pi}{2}, \frac{(n+1)\pi}{2} \right), \qquad n\in\mathbb N^*,

有

\boxed{ f(x) = P^n \left[ \sin\left(x-\frac{n\pi}{2}\right)+1 \right] }.

且

\boxed{P\in[2,+\infty)}.

查看第 2 问推导

因为 $T=\frac{\pi}{2}$ ，且 $f$ 是 $P$ 级周期函数，所以

f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=Pf(x).

对

x\in \left[ \frac{n\pi}{2}, \frac{(n+1)\pi}{2} \right),

有

x-\frac{n\pi}{2} \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right).

连续使用 $n$ 次周期关系，得到

f(x) = P^n f\left(x-\frac{n\pi}{2}\right).

而在基础区间上

f(t)=\sin t+1,

因此

f(x) = P^n \left[ \sin\left(x-\frac{n\pi}{2}\right)+1 \right].

下面求 $P$ 的范围。

在每一个区间

\left[ \frac{n\pi}{2}, \frac{(n+1)\pi}{2} \right)

内，函数值从 $P^n$ 严格增加，并无限趋近于 $2P^n$ 。

下一段左端点的函数值为

P^{n+1}.

为了使整个函数在 $[0,+\infty)$ 上严格递增，必须有

P^{n+1}\ge2P^n.

又因函数在基础区间上恒为正数，严格递增也排除了 $P<0$ ，故

P\ge2.

当 $P=2$ 时，前一段的右端点不属于该区间，所以函数仍严格递增。

因此

P\in[2,+\infty).

第 3 问#

查看第 3 问答案

\boxed{\text{存在}}

查看第 3 问推导

若函数

f(x)=\left(\frac12\right)^x\cos kx

是周期为 $T$ 的 $T$ 级周期函数，则要求存在非零常数 $T$ ，使

f(x+T)=Tf(x)

对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立。

考虑方程

2^{-T}=T.

令

g(T)=2^{-T}-T.

则

g\left(\frac12\right) = \frac1{\sqrt2}-\frac12>0,

而

g(1) = \frac12-1<0.

由零点存在定理，存在

T_0\in\left(\frac12,1\right)

使得

2^{-T_0}=T_0.

取

k=\frac{2\pi}{T_0}.

显然 $k\ne0$ ，且

kT_0=2\pi.

于是对任意实数 $x$ ，

\begin{aligned} f(x+T_0) &=2^{-(x+T_0)} \cos\bigl(kx+kT_0\bigr)\\ &=2^{-T_0}\cdot2^{-x}\cos(kx+2\pi)\\ &=T_0\cdot2^{-x}\cos kx\\ &=T_0f(x). \end{aligned}

因此该函数确实可以成为周期为 $T_0$ 的 $T_0$ 级周期函数。

所以这样的非零实数 $k$ 存在，例如可以取

\boxed{k=\frac{2\pi}{T_0}},

其中 $T_0$ 是方程

2^{-T}=T

在 $\left(\frac12,1\right)$ 内的根。

交互实验：第 21 题（3）：P 级周期函数的跨段递增

拖动 $P$ ，比较前一段的上确界 $2P^n$ 与下一段左端值 $P^{n+1}$ 。空心点提醒我们前一段右端不取到。

答案汇总#

查看 19 道题答案总表

$\boxed{223^\circ}$
$\boxed{\frac{\pi}{7}}$
$\boxed{-\frac12}$
$\boxed{-\frac{\sqrt5}{5}}$
$\boxed{[1,\sqrt3]}$
$\boxed{\left\{0,\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\pi,2\pi\right\}}$
$\boxed{(0,5]\cup\left\{\frac{10}{\sqrt3}\right\}}$
$\boxed{3}$
$\boxed{3\sqrt2}$
$\boxed{-\frac{19}{4}}$
$\boxed{\{6\}\cup\left(7,\frac{15}{2}\right)}$
$\boxed{24\sqrt2}$
$\boxed{\mathrm C}$
$\boxed{\mathrm C}$
$\boxed{\mathrm C}$
$\boxed{\mathrm D}$
（1） $\boxed{\frac{\pi}{3}}$ ；（2） $\boxed{3\sqrt3}$
（1） $\boxed{a=-9,\ T_{\min}=\pi}$ ；（2） $\boxed{\left[-\frac1{16},13-9\sqrt2\right]}$ ；（3） $\boxed{n=506}$
（1） $\boxed{\text{是}}$ ；（2） $\boxed{f(x)=P^n\left[\sin\left(x-\frac{n\pi}{2}\right)+1\right],\ P\in[2,+\infty)}$ ；（3） $\boxed{\text{存在}}$

一、填空题#

1. 与角 2023∘2023^\circ2023∘ 终边相同的最小正角#

2. 扇形圆心角#

3. 向量垂直求参数#

4. 三角函数值#

5. ∣a⃗+b⃗∣|\vec a+\vec b|∣a+b∣ 的取值范围#

6. 解三角方程#

7. 三角形恰有一个时参数 aaa 的范围#

8. 向量的数量投影#

9. 单位圆上的向量问题#

10. 平行四边形中的向量数量积最值#

11. 分段函数四个不同原像之和#

当 k=0k=0k=0 时#

当 0<k<10<k<10<k<1 时#

12. 三个正实数的代数问题#

二、选择题#

13. 充分条件与必要条件#

14. 三角函数图象性质#

15. 共线向量与最值#

16. 唯一解与参数范围#

三、解答题#

17. 三角函数与解三角形#

第 1 问#

第 2 问#

20. 含绝对值的三角函数#

第 1 问#

第 2 问#

第 3 问#

21. PPP 级递减周期函数与 PPP 级周期函数#

第 1 问#

第 2 问#

第 3 问#

答案汇总#

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1. 与角 $2023^\circ$ 终边相同的最小正角#

5. $|\vec a+\vec b|$ 的取值范围#

7. 三角形恰有一个时参数 $a$ 的范围#

当 $k=0$ 时#

当 $0<k<1$ 时#

21. $P$ 级递减周期函数与 $P$ 级周期函数#