解析几何1：直线的方程

一、直线的点方向式方程#

过定点 $P$ 作直线 $l$，使 $l$ 与非零向量 $\vec d$ 平行，这样的直线有且只有一条。

设

对于点 $Q$，有

因此，点 $Q(x,y)$ 在直线 $l$ 上，当且仅当它的坐标满足

这个方程叫做直线 $l$ 的点方向式方程。与直线平行的非零向量称为直线的方向向量；方向向量不是唯一的，任意两个方向向量都互相平行。

若 $\vec d=(u,v)$，还可以分三种情况书写：

1. $u\ne0, v\ne0$ 时，

   $$\frac{x-x_0}{u}=\frac{y-y_0}{v};$$

2. $u=0, v\ne0$ 时，直线方程为 $x=x_0$；

3. $u\ne0, v=0$ 时，直线方程为 $y=y_0$。

例 1：由点和方向求直线方程#

1. 求过点 $A(-3,1)$ 和点 $B(4,-2)$ 的直线方程；
2. 已知点 $A(4,6)$、$B(-3,-1)$、$C(4,-5)$，求过点 $A$ 且与 $BC$ 平行的直线 $l$ 的点方向式方程。

随堂练习 1：点方向式#

1. 求过点 $P$ 且与向量 $\vec d$ 平行的直线 $l$ 的点方向式方程：
   1. $P(3,-5)$，$\vec d=(3,4)$；
   2. $P(0,3)$，$\vec d=(3,-4)$。
2. 求经过 $A,B$ 两点的直线 $l$ 的点方向式方程：
   1. $A(-3,-2)$，$B(3,-7)$；
   2. $A(0,3)$，$B(2,4)$。

二、直线的点法向式方程#

过定点 $P$ 作直线 $l$，使 $l$ 与非零向量 $\vec n$ 垂直，这样的直线有且只有一条。

设

则

因此，直线 $l$ 的点法向式方程为

与直线垂直的非零向量称为直线的法向量。法向量同样不是唯一的。

例 2：垂直平分线与三角形的高#

1. 已知点 $A(-1,2)$ 和点 $B(3,4)$，求线段 $AB$ 的垂直平分线 $l$ 的点法向式方程；
2. 已知 $A(1,6)$、$B(-1,-2)$、$C(6,3)$ 是三角形的三个顶点，求：
   1. $BC$ 边所在直线的方程；
   2. $BC$ 边上的高 $AD$ 所在直线的方程。

例 3：由直角与平行条件求边所在直线#

已知在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^\circ$，点 $B(4,2)$、$C(2,8)$，向量 $\vec d=(3,2)$，且 $\vec d$ 与 $AC$ 边平行，求 $\triangle ABC$ 的两条直角边所在直线的方程。

随堂练习 2：点法向式#

1. 求经过点 $P$ 且垂直于向量 $\vec n$ 的直线的点法向式方程：

   1. $P(3,-5)$，$\vec n=(1,2)$；
   2. $P(0,3)$，$\vec n=(3,-4)$；
   3. $P(0,0)$，$\vec n=(3,4)$；
   4. $P(3,0)$，$\vec n=(1,0)$。

2. 已知 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 是直线 $l$ 上的两点，且

   $$(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\ne0,$$

   求直线 $l$ 的一个法向量。

3. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点分别为 $A(1,2)$、$B(4,1)$、$C(3,6)$，求 $BC$ 边上的中线 $AM$ 和高 $AH$ 所在直线的方程。

三、直线的点斜式与斜截式方程#

1. 直线的倾斜角#

设直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于 $M$。将 $x$ 轴绕点 $M$ 按逆时针方向旋转到与直线 $l$ 重合时所成的最小非负角 $\alpha$，叫做直线 $l$ 的倾斜角。

当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，规定 $\alpha=0$，因此

$$\alpha\in[0,\pi).$$

例 4：等边三角形各边的倾斜角与斜率#

如图，在等边 $\triangle AOB$ 中，分别求 $OA$、$OB$、$AB$ 的倾斜角和斜率。

3. 两点斜率公式与斜截式#

一次函数 $y=kx+b$ 的图像是一条直线，其中 $k$ 就是直线的斜率。

若 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 是直线 $l$ 上横坐标不同的两点，则

$$k=\tan\alpha=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

在方程

$$y=kx+b$$

中，可以直接读出直线在 $y$ 轴上的截距 $b$ 和斜率 $k$，所以它叫做直线的斜截式方程。

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例 5：由两点求斜率和倾斜角#

1. 直线 $l$ 经过点 $A(1,2)$、$B(3,4)$，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 与倾斜角 $\alpha$；
2. 直线 $l$ 经过点 $A(0,3)$、$B(2,\sqrt2)$，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 与倾斜角 $\alpha$。

一般地，倾斜角 $\alpha$ 与斜率 $k$ 的关系为

4. 直线的点斜式方程#

过定点 $P(x_0,y_0)$ 作倾斜角为 $\alpha$ 的直线 $l$。若 $\alpha\ne\dfrac{\pi}{2}$，则对于直线上任一点 $Q(x,y)$，有

$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=\tan\alpha.$$

令 $k=\tan\alpha$，得到直线的点斜式方程：

$$y-y_0=k(x-x_0).$$

为什么点斜式并不完备？

当 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ 时，直线斜率不存在，不能用点斜式或斜截式表示。此时直线是竖直直线，应写成 $x=x_0$。

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随堂练习 3：点斜式#

已知直线 $l$ 经过点 $P$ 且倾斜角为 $\alpha$，求直线 $l$ 的方程：

1. $P(-2,5)$，$\alpha=30^\circ$；
2. $P(3,1)$，$\alpha=70^\circ$。

随堂练习 4：方向向量、斜率与倾斜角#

四、直线的一般式与截距式方程#

点方向式、点法向式、斜截式和点斜式都可以化为关于 $x,y$ 的二元一次方程

反过来，任意满足 $a^2+b^2\ne0$ 的二元一次方程 $ax+by+c=0$ 都表示一条直线，且 $(a,b)$ 是这条直线的一个法向量。

若点 $(x_0,y_0)$ 满足 $ax_0+by_0+c=0$，则

方程

叫做直线的一般式方程。

例 6：由平行条件求一般式方程#

求过点 $A(-3,4)$ 且平行于直线

的直线方程。

例 7：直线的截距式方程#

已知直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A(a,0)$，与 $y$ 轴的交点为 $B(0,b)$，且 $ab\ne0$。能否立即写出直线 $l$ 的方程？

形如

的方程叫做直线的截距式方程，其中 $a,b$ 分别是直线在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距。截距可以是正数，也可以是负数。

五、典型例题#

例 8：中线与角平分线#

已知 $\triangle ABC$ 三个顶点的坐标为 $A(2,3)$、$B(1,2)$、$C(4,1)$：

1. 求 $BC$ 边上中线的方程；
2. 求 $\angle BAC$ 的平分线所在直线的方程。

例 9：用面积比确定分点#

已知 $\triangle ABC$ 中，$A(-3,0)$、$B(9,5)$、$C(3,9)$。过点 $C$ 的直线 $l$ 将 $\triangle ABC$ 的面积分为 $1:2$ 的两部分，求直线 $l$ 的方程。

例 10：直线绕定点旋转#

直线

绕点 $(2,0)$ 按逆时针方向旋转 $45^\circ$ 得到直线 $l$，求 $l$ 的方程。

随堂练习 5：倾斜角之差#

已知直线

直线 $l_2$ 过点 $A(1,2)$，且倾斜角比 $l_1$ 的倾斜角大 $\dfrac{\pi}{4}$，求直线 $l_2$ 的方程。