导数基础系列： 1 函数的极限 · 2 两个重要的极限 · 3 导数的概念 · 4 函数的求导法则 · 5 高阶导数 · 6 洛必达法则 · 7 导数的应用

导数基础 3：导数的概念#

一、导数的背景#

背景问题 1：平均速度与瞬时速度#

$s(t)=t^2$ （米、秒）。求：（1）1至2秒的平均速度；（2）1至 $1+\Delta t$ 的平均速度；（3） $t_0$ 至 $t_0+\Delta t$ 的平均速度；（4） $t_0$ 的瞬时速度。

查看答案

依次为 $3,2+\Delta t,2t_0+\Delta t,2t_0$ ，单位均为米/秒。

查看分析思路

平均速度是位移增量除以非零时间增量，再令时间增量趋零得到瞬时速度。

查看详细解析

（1） $[s(2)-s(1)]/(2-1)=(4-1)/1=3$ ，不是4。

（2） $[(1+\Delta t)^2-1]/\Delta t=2+\Delta t$ 。

（3）展开平方后， $[(t_0+\Delta t)^2-t_0^2]/\Delta t=2t_0+\Delta t$ 。

（4）令 $\Delta t\to0$ ，得 $v(t_0)=2t_0$ 。若物理时间只取非负数，初始端点采用右侧极限，所有时间取值须在模型定义范围内。

交互实验：背景问题1：平均速度与瞬时速度

比较真实两点差商与理论导数。时间平方模型的 1→2 秒平均速度为 3 m/s；倒数曲线在零点断开。

打开本题交互实验

背景问题 2：割线与切线#

曲线 $y=x^3$ 。求横坐标分别为（1）1与2；（2）1与 $1+\Delta x$ ；（3） $x_0$ 与 $x_0+\Delta x$ 的两点连线斜率；（4）求 $x_0$ 处切线斜率。

查看答案

依次为 $7,3+3\Delta x+(\Delta x)^2,3x_0^2+3x_0\Delta x+(\Delta x)^2,3x_0^2$ 。

查看分析思路

割线斜率是纵增量除以横增量；切线斜率是该商的极限。

查看详细解析

（1） $(8-1)/(2-1)=7$ 。

（2）令 $h=\Delta x\ne0$ ， $[(1+h)^3-1]/h=3+3h+h^2$ 。

（3）同理 $[(x_0+h)^3-x_0^3]/h=3x_0^2+3x_0h+h^2$ 。

（4）令 h 趋零，后两项消失，得切线斜率 $3x_0^2$ 。相应切线是 $y-x_0^3=3x_0^2(x-x_0)$ 。不是把两点重合后直接计算0/0。

交互实验：背景问题2：割线趋于切线

比较真实两点差商与理论导数。时间平方模型的 1→2 秒平均速度为 3 m/s；倒数曲线在零点断开。

打开本题交互实验

交互实验：背景问题2拓展：水平切线与竖直法线

法线由方向向量确定；平方根端点和三次函数零导数必须区别。

二、导数的概念#

$f$ 在 $x_0$ 邻域有定义，若差商的极限存在为有限实数，称在 $x_0$ 可导：

f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

记号还包括 $y'|_{x=x_0}$ 、 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}$ 。极限过程中 h 非零，但中心点函数值必须有定义。

若在区间处处可导，则各点导数组成导函数 $f'(x)$ 。 $f'(x_0)$ 是一个数， $f'$ 是一个函数。 $f$ 是 $f'$ 的一个原函数；加常数不改变导数，所以通常不唯一。

三、几何意义、单侧导数与连续性#

切点 $P=(x_0,f(x_0))$ 的切线方程是

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).

法线与切线垂直：若 $f'(x_0)\ne0$ ，法线斜率为 $-1/f'(x_0)$ ；若导数为零，法线是 $x=x_0$ 。统一可写

x-x_0+f'(x_0)[y-f(x_0)]=0.

“可导则图像光滑”是一种局部切线直觉，不代表导函数连续或具有任意阶导数。

例 1：绝对值函数的尖点#

判断 $|x|$ 在0处的连续性、可导性。

查看答案

连续但不可导；左导数−1、右导数1。

查看分析思路

连续检查函数值，导数检查差商，两者不同。

查看详细解析

$|x|\to0=f(0)$ ，所以连续。但差商 $|h|/h$ 在h<0时为−1，h>0时为1，左右极限不同，因此不可导。

单侧导数：将导数定义中的 $h\to0$ 换成 $0^-$ 或 $0^+$ ，分别得到 $f'_-(x_0)$ 、 $f'_+(x_0)$ 。可导等价于两侧导数均存在为有限数且相等。

可导必连续，连续未必可导。 前者证明为

f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\,h\to f'(x_0)\cdot0=0.

反命题被例1否定。

交互实验：例1：绝对值尖点

实际左、右差商与原题分母为 h 的对称商分别计算；对称商为零不保证可导。

例 2：用定义求倒数函数的导数#

已知 $f(x)=1/x$ 。（1）求导函数；（2）求x=2处切线。

查看答案

（1） $-1/x^2$ ，x≠0；（2） $x+4y-4=0$ 。

查看分析思路

差商通分；切线同时需要切点和斜率。

查看详细解析

（1）固定x≠0，取充分小的非零h，使x+h≠0：

\frac{1/(x+h)-1/x}{h}=-\frac1{x(x+h)}\to-\frac1{x^2}.

（2）切点为 $(2,1/2)$ ，斜率−1/4，故 $y-1/2=-(x-2)/4$ ，整理得所求直线。

交互实验：例2：倒数函数切线

比较真实两点差商与理论导数。时间平方模型的 1→2 秒平均速度为 3 m/s；倒数曲线在零点断开。

打开本题交互实验

随堂练 1：平方根与法线#

$f(x)=\sqrt x$ 。（1）求导函数；（2）求x=4处法线。

查看答案

（1） $1/(2\sqrt x)$ ，x>0；（2） $4x+y-18=0$ 。

查看分析思路

根式差商有理化，再取负倒数斜率。

查看详细解析

（1）对x>0，

\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h}=\frac1{\sqrt{x+h}+\sqrt x}\to\frac1{2\sqrt x}.

在0处右差商 $1/\sqrt h\to+\infty$ ，没有有限右导数。

（2）切点(4,2)，切线斜率1/4，法线斜率−4，所以 $y-2=-4(x-4)$ 。

交互实验：随堂练1：平方根法线

法线由方向向量确定；平方根端点和三次函数零导数必须区别。

例 3：正弦的绝对值#

$f(x)=|\sin x|$ 。（1）求0处左右导数；（2）判断连续性、可导性。

查看答案

左导数−1、右导数1；连续但不可导。

查看分析思路

原题有绝对值；近零处正弦和自变量同号。

查看详细解析

（1）左侧 $|\sin h|=-\sin h$ ，差商趋于−1；右侧 $|\sin h|=\sin h$ ，差商趋于1。

（2） $|\sin x|\to0=f(0)$ ，所以连续；左右导数不相等，故不可导。误抄为sin x会改变结论。

交互实验：例3：正弦绝对值尖点

实际左、右差商与原题分母为 h 的对称商分别计算；对称商为零不保证可导。

例 4：匹配真实自变量增量#

已知相应点可导，求h→0时：（1） $[f(x_0+3h)-f(x_0)]/h$ ；（2） $[f(x_0-2h)-f(x_0)]/h$ ；（3） $[f(a+2h)-f(a)]/\sin h$ 的极限。

查看答案

依次为 $3f^{\prime}(x_0),-2f^{\prime}(x_0),2f^{\prime}(a)$ 。

查看分析思路

定义里的分母必须与内层输入的增量一致，系数和符号要补回。

查看详细解析

（1）写成 $3[f(x_0+3h)-f(x_0)]/(3h)$ ，极限为3f’(x₀)。

（2）写成 $-2[f(x_0-2h)-f(x_0)]/(-2h)$ ，极限为−2f’(x₀)。

（3）写成

\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}\cdot2\cdot\frac h{\sin h}\to2f'(a).

交互实验：例4：缩放与负增量

二次函数为拓展模型；原题反例保留 f(a)=a−1。分母 h 或 sin h 与端点距离须区别。

随堂练 2：增量缩放巩固#

已知 $f^{\prime}(x_0)$ 存在。求h→0时：（1） $[f(x_0+2h)-f(x_0)]/h$ ；（2） $[f(x_0-h)-f(x_0)]/h$ ；（3） $[f(x_0+3h)-f(x_0)]/\sin h$ 。

查看答案

$2f^{\prime}(x_0),-f^{\prime}(x_0),3f^{\prime}(x_0)$ 。

查看分析思路

分别补齐2h、−h、3h。

查看详细解析

（1）等于2乘以增量为2h的标准差商。（2）等于−1乘以增量为−h的标准差商。（3）等于增量为3h的标准差商乘以 $3h/\sin h\to3$ 。由各标准差商趋于导数即得答案。

交互实验：随堂练2：真实增量匹配

二次函数为拓展模型；原题反例保留 f(a)=a−1。分母 h 或 sin h 与端点距离须区别。

例 5：两个端点都移动的差商#

已知 $f^{\prime}(a)$ 存在，求 $\lim_{h\to0}[f(a+3h)-f(a-h)]/h$ 。

查看答案

$4f^{\prime}(a)$ 。

查看分析思路

加减f(a)，把移动点接回同一个固定点。

查看详细解析

\frac{f(a+3h)-f(a-h)}h =3\frac{f(a+3h)-f(a)}{3h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h} \to3f'(a)+f'(a)=4f'(a).

第二项的负号已经吸收到分母−h，不要再多减一次。

交互实验：例5：两个端点移动

二次函数为拓展模型；原题反例保留 f(a)=a−1。分母 h 或 sin h 与端点距离须区别。

例 6：变形差商的逆命题不成立#

若 $\lim_{h\to0}[f(a+3h)-f(a-h)]/h$ 存在，能否保证 $f^{\prime}(a)$ 存在？

查看答案

不能。

查看分析思路

该表达式不使用f(a)，而导数定义必须使用它。

查看详细解析

例如： $f(x)=x$ （x≠a）， $f(a)=a-1$ 。对h≠0，题给差商恒为 $[(a+3h)-(a-h)]/h=4$ 。

但 $\lim_{x\to a}f(x)=a\ne a-1=f(a)$ ，函数不连续，因此不可导。存在一个非标准差商极限不等价于可导。

交互实验：例6：原反例商存在却不可导

二次函数为拓展模型；原题反例保留 f(a)=a−1。分母 h 或 sin h 与端点距离须区别。

打开本题交互实验

随堂练 3：对称差商与反例#

（1）若 $\lim_{h\to0}[f(1+h)-f(1-h)]/h$ 存在，是否保证 $f^{\prime}(1)$ 存在？（2）已知 $f^{\prime}(a)$ 存在，求 $\lim_{h\to0}[f(a+2h)-f(a-h)]/h$ 。

查看答案

（1）不能；（2） $3f^{\prime}(a)$ 。

查看分析思路

第一问是逆推；第二问有可导前提，可以拆标准差商。

查看详细解析

（1）原反例取f(x)=x（x≠1），f(1)=0，题给商恒为2却不连续。

补充更强反例： $f(x)=|x-1|$ 连续，对称差商恒为0，但在1处左右导数不同。即使增加连续性，也不能推出可导。

（2）原式等于

2\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}+\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\to3f'(a).

交互实验：随堂练3(1、2)：原反例与可导前提

二次函数为拓展模型；原题反例保留 f(a)=a−1。分母 h 或 sin h 与端点距离须区别。

打开本题交互实验

交互实验：随堂练3(1)拓展：连续反例

实际左、右差商与原题分母为 h 的对称商分别计算；对称商为零不保证可导。

例 7：衰减振荡仍可能不可导#

$f(x)=x\sin(1/x)$ （x≠0），f(0)=0。判断0处连续性、可导性。

查看答案

连续、不可导。

查看分析思路

差商会约去衰减因子x，连续性与导数需分别判断。

查看详细解析

$|f(x)|\le|x|\to0$ ，所以连续。差商为 $\sin(1/h)$ ，取h为 $1/(2n\pi+\pi/2)$ 和 $1/(2n\pi+3\pi/2)$ ，函数值分别为1、−1，所以差商没有极限，导数不存在。

交互实验：例7：一次衰减连续但不可导

p=1、2 对应原题；p=0 是拓展。相位采样和特殊序列揭示有限分辨率，中心未解析区间断开。

打开本题交互实验

随堂练 4：再乘一个 x#

$f(x)=x^2\sin(1/x)$ （x≠0），f(0)=0。判断0处连续性、可导性。

查看答案

连续且可导， $f^{\prime}(0)=0$ 。

查看分析思路

约去一个x后还有衰减因子。

查看详细解析

$|f(x)|\le x^2\to0$ ，所以连续。差商为 $h\sin(1/h)$ ，绝对值不超过|h|，所以趋零，导数为0。这不自动保证导函数在0连续，下一讲会进一步检验。

交互实验：随堂练4：二次衰减与零点导数

p=1、2 对应原题；p=0 是拓展。相位采样和特殊序列揭示有限分辨率，中心未解析区间断开。

打开本题交互实验

导数基础 3：导数的概念

导数基础 3：导数的概念#

一、导数的背景#

背景问题 1：平均速度与瞬时速度#

背景问题 2：割线与切线#

二、导数的概念#

三、几何意义、单侧导数与连续性#

例 1：绝对值函数的尖点#

例 2：用定义求倒数函数的导数#

随堂练 1：平方根与法线#

例 3：正弦的绝对值#

例 4：匹配真实自变量增量#

随堂练 2：增量缩放巩固#

例 5：两个端点都移动的差商#

例 6：变形差商的逆命题不成立#

随堂练 3：对称差商与反例#

例 7：衰减振荡仍可能不可导#

随堂练 4：再乘一个 x#

文章分享