定理1-1：有限点的单侧0/0型#

f、g在$(x_0,x_0+\delta)$可导，都在$x\to x_0^+$时趋零，且区间内g’≠0。如果$f'/g'\to A$，其中A为有限实数或有符号的±∞，则$f/g\to A$。左侧同理；双侧要分别满足条件并得到同一结果。充分靠近目标点时分母亦不为零：连续补g(x₀)=0，再用中值定理可排除另一个零点。

一般证明需要柯西中值定理；下列计算逐项检查条件，不把图像直觉当成一般定理的证明。

使用顺序：先判断不定型，再分别求导，再检查导数比的极限；再次使用前，对新分子分母重新检查。不能对任何分式不加条件地连续求导。

例 1：指数差与反正切余项#

（1）$\lim_{x\to0}(2^x-3^x)/x$；（2）$\lim_{x\to0}(x-\arctan x)/x^3$。

随堂练 1：五个基本一阶极限#

求x→0时：（1）tan x/x；（2）arctan x/x；（3）arcsin x/x；（4）ln(1+x)/x；（5）(e^x−1)/x 的极限。

等价无穷小：$x,\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln(1+x),e^x-1$ 任取两个相除，在x→0时趋于1。因为它们各自除以x都趋于1，两式相除即得。

例 2：余弦作差#

求 $\lim_{x\to0}(1-\cos x)/x^2$。

随堂练 2：正弦的三阶余项#

求 $\lim_{x\to0}(x-\sin x)/x^3$。

第一法则的几何解释#

$f(x)=2\sin x$、$g(x)=e^x-1$在零点局部放大时接近切线$y=2x$、$y=x$。

本例$f(0)=g(0)=0$，$f'(0)=2,g'(0)=1$，所以$f(x)/g(x)=[f(x)/x]/[g(x)/x]\to2$。这是非零一阶系数情形的解释。若两个导数都为零，直接写f’(0)/g’(0)仍是0/0，不能当作一般证明。

定理1-2：无穷远的0/0型#

f、g在$(a,+\infty)$可导且均趋零，g’≠0，若f’/g’→A，则f/g→A。令t=1/x，把正无穷转为t→0⁺，两个复合导数中公共因子−1/t²相消，即归结于定理1-1。负无穷版本类似。

例 3：趋近水平渐近线的速度#

求 $\lim_{x\to+\infty}(\pi/2-\arctan x)/(1/x)$。

定理2-1#

f、g在$(a,+\infty)$可导，g趋于+∞或−∞，g’≠0。若f’/g’→A（有限或有符号无穷），则f/g→A。负无穷及合适的单侧版本类似。

虽然标题称“∞/∞型”，原定理正文的这一较强版本只要求分母无界，不另要求分子也有无穷极限。不要把标题当成比定理本身更强的必要条件。

例 4：对数、幂与指数的增长#

求x→+∞时：（1）ln x/x²；（2）x²/2^x；（3）log_a x/x^k，k>0；（4）x^k/a^x，a>1且k>0。第（3）问对数需a>0且a≠1。

增长比较与第二法则的直觉#

上述“指数快于幂，幂快于对数”指无穷远的比值关系，不保证每个小x都按同一大小顺序排列。

若额外有f’→k₁、g’→k₂且两者为非零有限数，可把增长理解为分别接近斜率k₁、k₂的线性尺度，从而f/g→k₁/k₂。这不是一般证明；斜率为零、无穷或单个导数不收敛时，不能直接套这一图形解释。

定理2-2：有限点的分母无穷型#

f、g在某一侧去心邻域可导，g→±∞、g’≠0，且f’/g’→A，则f/g→A。令$t=1/(x-x_0)$，使$x=x_0+1/t$，复合导数中的−1/t²相消，可归结为无穷远版本。双侧结果仍要分别核对。

例 5：两个对数趋于负无穷#

求 $\lim_{x\to0^+}\ln(\sin3x)/\ln(\sin2x)$。

随堂练 3：单侧与双侧的区别#

（1）$\lim_{x\to\pi/2}\tan x/\tan3x$；（2）$\lim_{x\to0^+}\ln x/\ln(\sin x)$。