导数基础 7：导数的应用

（1）递减区间 $(-\infty,0]$；递增区间 $[0,+\infty)$。

（2）递增区间 $(-\infty,1]$、$[2,+\infty)$；递减区间 $[1,2]$。

先求导并寻找导数零点，再在分隔出的每个区间判断符号。

（1）$f'(x)=e^x-1$。当 $x<0$ 时导数负，当 $x>0$ 时导数正，因此先减后增。

（2）

导数符号依次为 $+,-,+$，由此得到答案。表述单调区间时可以把相邻临界点列入区间端点；但两个不相邻的递增区间应分别写出，不能声称它们的并集上整体递增。

切换两道原题函数，比较导数符号与函数趋势。

选 C：$(-3,-1)\cup(0,1)$。

商为负要求分子、分母异号，先按 $x$ 的正负分两种情况；不能把 $f$ 的正负误作 $f^{\prime}$ 的正负。

按原示意图，$f$ 在 $(-3,-1)$ 递增，在 $(-1,1)$ 递减，在其余两侧区间分别表现为递减、递增。

当 $x<0$ 时，需要 $f'(x)>0$，得到 $(-3,-1)$；当 $x>0$ 时，需要 $f'(x)<0$，得到 $(0,1)$。$x=0$ 使分母为零，必须排除；$x=-3,-1,1$ 是图示水平切线点，不满足严格不等式。

本题按原图表达的单调及切线信息作答，不能从示意图恢复出唯一的函数解析式。

拓展模型只保留原示意图转折位置，不代表唯一原函数。

（1）在 $\mathbb R$ 上严格递增。

（2）递增区间 $(-\infty,-1/\sqrt3]$、$[1/\sqrt3,+\infty)$；递减区间 $[-1/\sqrt3,1/\sqrt3]$。

第一题导数虽能为零，却不在任何正长度区间恒为零；第二题是二次导数表达式的符号判断。

（1）$f'(x)=1-\cos x\ge0$，等号只在 $x=2k\pi$（$k\in\mathbb Z$）成立。零点集不含正长度区间，因此 $f$ 严格递增，不能因为导数有零点就否定严格性。

（2）$f'(x)=3x^2-1$，其两个零点为 $\pm1/\sqrt3$。开口向上的二次式在两根外正、两根间负，得到所列区间。

孤立零点不妨碍严格单调；可切换x³−x。

按示意图，选 D。

比较原函数上升或下降与导函数正负的对应，不比较两张图的绝对高度。

在负半轴，原图函数上升，因此导函数应取正值；右半轴则先上升、再下降、最后上升，导函数对应 $+,-,+$，并在两个转折位置经过横轴。

A、B 的右侧符号变化不符合这一规律；C 的负半轴图形出现负导数，与原图上升趋势冲突；D 符合原图给出的变化趋势。原图在 $x=0$ 附近是分支形态，不能把两侧跨过该点直接连接。

图示说明： 本题判断“可能”，依据的是定性图形，而非从有限像素严格证明某个精确函数的全部性质。

$a_1<a_2<a_3$；从 $n=3$ 起严格递减，最大项为 $a_3=\sqrt[3]3$。

先研究 $f(x)=x^{1/x}$ 的连续单调性，再单独比较跨越连续极值点 $e$ 的两个相邻整数。

对 $x>0$，

故 $f$ 在 $(0,e]$ 递增、在 $[e,+\infty)$ 递减。于是整数 $n\ge3$ 时数列递减；$a_1=1<\sqrt2=a_2$。

还需比较 $a_2$ 与 $a_3$：二者都正，取六次方得 $(\sqrt2)^6=8<9=(\sqrt[3]3)^6$，故 $a_2<a_3$。连续函数最大点是 $x=e$，数列最大项的指标却是整数 $3$，二者不能混淆。

连续最大点e与数列最大指标3必须分开。

两式在题设范围内均严格成立。

把左右两侧移到同一边，构造在边界值为零且随后严格递增的函数。

（1）设 $F(x)=2\sqrt x-3+1/x$，则 $F(1)=0$，且

所以 $F(x)>F(1)=0$。

（2）设 $G(x)=\tan x-x+x^3/3$，在 $[0,\pi/2)$ 上有定义，$G(0)=0$，且

于是 $G(x)>0$。题面右侧为 $x-x^3/3$，不是 $x+x^3/3$，不能在转写时更换正负号。

两式都在 $x>0$ 严格成立；延拓到 $x=0$ 时取等号。

与例 4 一样，构造两边之差，并从零点向右研究导数。

（1）$F(x)=e^x-1-x$，$F(0)=0$，$F'(x)=e^x-1>0$（$x>0$），故 $F(x)>0$。

（2）$G(x)=1+x/2-\sqrt{1+x}$，$G(0)=0$，

故 $G(x)>0$。这里平方根求导的系数 $1/2$ 必须保留。

用x²、x³、x⁴和|x|比较必要条件与反例。

（1）在 $x=0$ 处有极小值 $0$，无极大值；（2）在 $x=-2$ 处有极小值 $8/3$，在 $x=0$ 处有极大值 $4$。

先判断定义域，再化简求导。第二题先做多项式除法，计算更短。

（1）定义域 $(-1,+\infty)$，

分母正，故导数在 $(-1,0)$ 负、在 $(0,+\infty)$ 正，$x=0$ 为极小值点，$f(0)=0$。

（2）$x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0$，定义域为 $\mathbb R$。写成

导数在 $(-\infty,-2)$、$(-2,0)$、$(0,+\infty)$ 上依次为 $-,+,-$。代入临界点得到 $f(-2)=8/3$、$f(0)=4$。

先比较x−ln(1+x)，再切换有理函数。

极大值 $f(-1)=17$；极小值 $f(3)=-47$。

对导数因式分解，然后检查各零点左右的符号变化。

导数符号从左到右为 $+,-,+$，故 $-1$ 为极大值点，$3$ 为极小值点。计算

三次函数在全实轴上无最大、最小值；本题所求的是局部极值。

闭区间最值与全实轴局部极值不同。

（1）最小值 $-4$，在 $x=0$ 取得；最大值 $3/8$，在 $x=5/2$ 取得。

（2）最小值 $27$，在 $x=-3$ 取得；最大值 $55$，在 $x=-1$ 取得。

对端点与内部驻点统一列表比较，尤其注意第二问负数代入分式的符号。

（1）

候选点为 $0,4/3,2,5/2$，对应函数值

比较得到答案。

（2）

区间内部唯一驻点是 $-3$。三个候选值为

代入得 $f(-1)=55$，所以最大值为 $55$。

第二问预设显示最大值55。

最大值 $5/4$，在 $x=3/4$ 取得；最小值 $-5+\sqrt6$，在 $x=-5$ 取得。

在 $x<1$ 求导，另外把端点 $x=1$ 列入比较，不能因该点公式分母为零就删去函数值。

候选值为 $f(-5)=-5+\sqrt6$、$f(3/4)=5/4$、$f(1)=1$。比较得最大最小值。$x=1$ 虽没有上述有限导数，却仍是原函数有定义且连续的区间端点。

x=1虽无有限导数，仍应比较其函数值。

（1）$S_{\max}=(1+\sqrt5)\pi R^2$。

（2）$V_{\max}=\dfrac{4\pi R^3}{3\sqrt3}$，此时底半径 $r=R\sqrt{2/3}$、高 $h=2R/\sqrt3$。

把截面的直角三角形约束参数化：$r=R\cos\theta$、$h=2R\sin\theta$。表面积与体积是不同目标，最优圆柱一般不同。

设圆柱底半径 $r$、高 $h$。球的中心截面给出 $r^2+(h/2)^2=R^2$。令

（1）总表面积含两底面及侧面：

等号要求 $\cos2\theta=1/\sqrt5$、$\sin2\theta=2/\sqrt5$，即

这在允许区间内，故最大值可取到。

（2）令 $t=\sin\theta\in(0,1)$，则

$t=1/\sqrt3$ 前导数正、后导数负，因此

此时 $h=2R/\sqrt3$，$r=R\sqrt{2/3}$。角度 $\arcsin(1/\sqrt3)\approx35.264^\circ$。两个最优角不同，不能将两问的取等条件合并。

分别点击最大表面积和最大体积预设。

按原解答使用的**封闭圆柱（有上下两个底面）**模型，

最小表面积为 $6\pi(V/(2\pi))^{2/3}$。

用固定体积消去高度，把表面积写成半径的单变量函数。先明确是否有盖，否则目标函数会不同。

由 $V=\pi r^2h$ 得 $h=V/(\pi r^2)$。按包含两个底面的模型，

设 $r_0=(V/(2\pi))^{1/3}$，则 $S'$ 在 $r<r_0$ 时负、在 $r>r_0$ 时正，因此取得全局最小值。代回得 $h=2r_0$，且 $S_{\min}=6\pi r_0^2$。

本题不是无盖容器模型，不能直接把结果搬到只含一个底面的情况。

保持容积约束，观察半径、高度及面积。

这里 $\varphi$ 是留下部分的圆心角，以弧度计。

留下扇形的弧长等于圆锥底面周长，原铁片半径等于圆锥母线长，先据此建立约束。

若圆锥底半径为 $r$、高为 $h$，则

令 $u=r/R=\varphi/(2\pi)\in(0,1)$，则

因为 $V>0$，最大化 $V$ 等价于最大化它的平方。再令 $t=u^2\in(0,1)$，只需最大化 $t^2(1-t)$，其导数为 $t(2-3t)$，故最大值在 $t=2/3$ 取得。

于是 $r=R\sqrt{2/3}$、$h=R/\sqrt3$、$\varphi=2\pi\sqrt{2/3}$，代入 $V=\pi r^2h/3$ 得上述最大容积。若问剪去部分，其角为 $2\pi-\varphi$，不是本题直接所求。

留下角与剪去角同时显示，防止混用。

（1）边长 $x=1\,\mathrm{cm}$；最大容积 $18\,\mathrm{cm}^3$。

（2）$V_{\max}=64R^3/81$；此时高与底边长均为 $4R/3$。

纸盒用剪角边长作参数；正四棱锥用高度作参数，先求底面外接圆半径，再转为正方形面积。

（1）非退化纸盒要求 $0<x<5/2$，

允许范围内唯一临界点为 $1$，两侧导数正后负；两端退化极限为零，故 $V_{\max}=V(1)=18$。

（2）取球心为坐标原点，四棱锥顶点位于球的最高点，底面水平，棱锥高为 $h\in(0,2R)$。正四棱锥的对称轴经过球心：球心到四个底面顶点等距，必在底面中心的垂线上。

底面平面高度为 $R-h$，其外接圆半径 $\rho$ 满足

设正方形底边为 $a$，则对角线 $a\sqrt2=2\rho$，因此底面积 $a^2=2\rho^2$。棱锥体积为

在 $h=4R/3$ 处导数正变负，端点退化极限均为零，所以

此时 $\rho^2=8R^2/9$，故 $a^2=16R^2/9$，即 $a=4R/3$。

观察展开图、剪角边长与容积。

底面对角线截面与底边长度分别标明。

以形态和不等式方向理解本讲命名约定。

（1）在 $(0,+\infty)$ 为本讲“凸”（向下弯）；（2）在 $(-\infty,0]$ 为本讲“凸”，在 $[0,+\infty)$ 为本讲“凹”（向上弯）。

求二阶导数，按本讲约定将其符号翻译成图形形态。

（1）$f'(x)=1/x$，$f''(x)=-1/x^2<0$，故整个定义域向下弯。

（2）$f'(x)=3x^2$，$f''(x)=6x$。负半轴二阶导数负、正半轴正，故在原点两侧凹凸性改变。写闭端点区间只表示连续延伸到端点，不意味着二阶导数在该端点也严格正或负。

切换ln x与x³，观察跨拐点反例。

本讲“凹”（向上弯）区间为 $[-1,1]$；本讲“凸”（向下弯）区间为 $(-\infty,-1]$ 与 $[1,+\infty)$；拐点为 $(-1,\ln2)$、$(1,\ln2)$。

二阶导数分母始终为正，只需检查分子 $1-x^2$ 的符号并验证两侧确有变化。

当 $|x|<1$ 时二阶导数正，$|x|>1$ 时负。$x=\pm1$ 两侧符号均发生变化，函数在这些点连续，且 $y=\ln2$，所以两点都是拐点。不能只求出 $y''=0$ 就停止判别。

在(-1,1)内和跨拐点区间作比较。

本讲“凸”区间 $(-\infty,-1/2]$，“凹”区间 $[-1/2,+\infty)$；拐点 $(-1/2,41/2)$。

二阶导数为一次函数，其零点两侧符号直接判断。

$x<-1/2$ 时二阶导数负，$x>-1/2$ 时正，故在 $-1/2$ 处凹凸性改变。代入原函数，

选 C：在 $x_0$ 处取得极小值。

不必求出函数解析式，直接将驻点条件代入已知微分关系。

在 $x_0$ 代入得

结合 $f'(x_0)=0$，二阶导数判别得严格局部极小值。指数函数恒正这一点保证了判别结论；本题没有给出足够信息判断全局最小值。