$f'(x)=0$。

函数值不随自变量改变，增量恒为零。

对任意 $h\ne0$，

令 $h\to0$，即得 $f'(x)=0$。常数 $C$ 是任意固定实数，不是依赖于 $x$ 的函数。

$f'(x)=nx^{n-1}$，$x\in\mathbb R$。

展开 $(x+h)^n$，减去 $x^n$ 后每项都含因子 $h$。

当 $n\ge2$ 时，由二项式定理，

除首项外各项在 $h\to0$ 时均趋于零，因此导数为 $nx^{n-1}$。$n=1$ 时差商恒为 $1$，与公式一致。实指数的求导公式，见例 16；实指数情形先限制 $x>0$。

（1）$\cos x$；（2）$-\sin x$。

用和角公式把变量增量 $h$ 单独分离，再用两个基本极限。

由 $\sin h/h\to1$ 及

有

同理，

注意这里求的是导函数 $y'=-\sin x$。

（1）$1/(x\ln a)$；（2）$1/x$。均要求 $x>0$。

先求自然对数的导数，再利用换底公式。

固定 $x>0$，当 $h$ 足够小时 $x+h>0$，故

再由 $\log_a x=\ln x/\ln a$，而 $\ln a$ 为非零常数，得到

当 $0<a<1$ 时 $\ln a<0$，导数为负，与函数递减相符。

（1）$e^x$；（2）$a^x\ln a$。

利用指数的乘法法则提取原函数，再把增量变成已知重要极限。

对于一般底数，$a^h=e^{h\ln a}$，所以

补充：若 $a=1$，函数恒为 $1$，导数为 $0$，公式也能给出这一结果；负底数不在这里的通常实指数函数范围内。

（1）$2x+\cos x$；（2）$15x^2-2^x\ln2+3e^x$；

（3）$2e^x\cos x$；（4）$(1-2\ln x)/x^3$，$x>0$。

先识别运算层次：前两题逐项求导，第三题使用乘积法则，第四题使用商法则。

（1）$(x^2+\sin x)'=2x+\cos x$。

（2）$2^x$ 的底数为 $2$，求导必须乘 $\ln2$，故

（3）

（4）

矩形模型是拓展，原题 eˣ(sin x+cos x) 是独立分支。有限交叉项和错误 u′v′ 都真实计算。

（1）$6x^2-10x+3$；（2）$\dfrac1{2\sqrt x}+2\sin x$，$x>0$；（3）$\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$，$x\ne0$。

平方根导数中的系数 $1/2$ 容易漏掉；商法则中的分子要保留先后顺序。

（1）逐项求导，常数 $-7$ 的导数为 $0$。

（2）由上一讲平方根的差商推导，$(\sqrt x)'=1/(2\sqrt x)$。而 $(-2\cos x)'=2\sin x$，相加即得答案。

平方根项求导需保留系数 $1/2$。例如 $x=4$ 时，平方根部分的导数应为 $1/4$，不是 $1/2$。在 $x=0$ 处不能套用这个有限导数公式。

（3）

（1）$\sec^2x$，$\cos x\ne0$；（2）$-\csc^2x$，$\sin x\ne0$。

把正切、余切分别写成正弦与余弦的商。

函数原本无定义的点，不能讨论其通常意义的导数。

（1）$\sec x\tan x$；（2）$-\csc x\cot x$，分别在 $\cos x\ne0$、$\sin x\ne0$ 处成立。

使用 $\sec x=1/\cos x$ 与 $\csc x=1/\sin x$。

前者正号、后者负号，分别来自余弦和正弦的求导。

$v(t)=6t-2$。

速度是位移对时间的导数，而不是位移除以时间。

对 $s(t)$ 求导得 $v(t)=s'(t)=6t-2$。补充理解：若采用通常 $t\ge0$ 的计时方式，$t=1/3$ 时速度为零；速度的正负反映方向，速率则为 $|6t-2|$。

切线 $y=2x$；法线 $y=-x/2$。

先确定切点，再由导数得到切线斜率，最后取负倒数得到法线斜率。

切点为 $(0,0)$，且 $y'=\sec^2x+1$，故 $y'(0)=2$。切线为 $y-0=2(x-0)$。法线与切线垂直，斜率为 $-1/2$，方程为 $y=-x/2$。补充：若某题切线斜率为零，法线应直接写成竖直直线，不能除以零。

切线 $y=x/3$；法线 $y=-3x$。

注意原式是 $(\sin x)/3+x^2$，不是 $\sin(x/3)+2x$。

切点为 $(0,0)$。$y'=\frac13\cos x+2x$，故切线斜率为 $1/3$，法线斜率为 $-3$。分别代入点斜式即得两条直线。

在反函数满足相应可导条件时，斜率为 $1/k$。

关于 $y=x$ 对称会交换横、纵增量，因此斜率取倒数，而不是负倒数。

原函数的增量比为 $\Delta y/\Delta x\to k$，反函数的增量比为 $\Delta x/\Delta y\to1/k$。下述定理给出可保证这一结论的条件。法线斜率为 $-1/k$，与反函数切线斜率不同。

原函数与反函数的切线关于 y=x 对称；法线负倒数作为对照。零导数边界显示竖直切线而非无限数。

（1）$1/\sqrt{1-x^2}$；（2）$-1/\sqrt{1-x^2}$，均要求 $-1<x<1$。

先写出原三角函数关系，再根据反三角函数的主值范围确定根号前符号。

（1）设 $y=\arcsin x$，则 $x=\sin y$，$y\in(-\pi/2,\pi/2)$，因此 $\cos y>0$。反函数公式给出

（2）设 $y=\arccos x$，则 $x=\cos y$，$y\in(0,\pi)$，因此 $\sin y>0$。

两个函数在 $x=\pm1$ 有定义，但上述有限导数公式只适用于开区间 $(-1,1)$。

原函数与反函数的切线关于 y=x 对称；法线负倒数作为对照。零导数边界显示竖直切线而非无限数。

$y'=1/(1+x^2)$，$x\in\mathbb R$。

利用 $x=\tan y$ 与恒等式 $\sec^2y=1+\tan^2y$。

$y\in(-\pi/2,\pi/2)$，故由反函数公式，$y'=1/\sec^2y=1/(1+\tan^2y)=1/(1+x^2)$。分母始终为正，没有需要排除的实数点。

$(\sin3x)'=3\cos3x$；$(e^{x^2})'=2xe^{x^2}$。

外层函数的变化率还要乘以内层变量相对于 $x$ 的变化率。

令 $u=3h$，有

第二式可在下面链式法则建立后求得：外层 $e^u$ 的导数是 $e^u$，内层 $u=x^2$ 的导数是 $2x$，所以结果为 $2xe^{x^2}$。

（1）$2x\cos(x^2)$；（2）$150(3x-2)^{49}$；（3）$\cot x$，$\sin x>0$；（4）$e^{2x}/\sqrt{1+e^{2x}}$。

逐层辨认外函数与内函数，不能漏掉任何一层的导数。

（1）$\sin(x^2)$ 的外层是正弦，内层是平方：$\cos(x^2)\cdot2x$。注意它不同于 $(\sin x)^2$。

（2）$50(3x-2)^{49}\cdot3=150(3x-2)^{49}$。

（3）$[\ln(\sin x)]'=\cos x/\sin x=\cot x$。原函数要求 $\sin x>0$，不能因为最终式在更多点有意义就扩大原导数的定义域。

（4）

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

（1）$\dfrac{e^x}{1+e^{2x}}$；（2）$\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\cos\!\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)$；（3）$-e^x\tan(e^x)$，$\cos(e^x)>0$。

第一题反正切公式中需要对整个内层函数平方；第二题内层用商法则；第三题有三层复合。

（1）设 $u=e^x$，则 $y'=u'/(1+u^2)=e^x/(1+e^{2x})$。

分母为 $1+e^{2x}$。例如 $x=\ln2$ 时导数为 $2/5$，不是 $2/3$。

（2）

再乘外层的余弦即可。

（3）从外到内依次求导：$[\cos(e^x)]^{-1}\cdot[-\sin(e^x)]\cdot e^x=-e^x\tan(e^x)$。对数真数必须为正。

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

外层差商在 Δu=0 时无定义，整体差商仍有定义；严格检查对数真数，不能靠最终导数扩大定义域。

$y'=n\sin^{n-1}x\sin((n+1)x)$。

两因子分别求导，再提取公因子，最后用正弦和角公式。

$n=1$ 时即 $(\sin^2x)'=\sin2x$；此时提取的 $\sin^{0}x$ 表示恒为 $1$ 的因子。

$y'=2xe^{x^2}\arcsin(2x)+\dfrac{2e^{x^2}}{\sqrt{1-4x^2}}$，$|x|<1/2$。

外层使用乘积法则，两个因子内部都还需要链式法则。

所以原函数导数是“第一个的导数乘第二个”加上“第一个乘第二个的导数”，得到答案。原函数在 $[-1/2,1/2]$ 有定义，但这里的有限导数仅在开区间内讨论。

（1）$x^x(\ln x+1)$；（2）$2x^{\ln x-1}\ln x$。两题均取 $x>0$。

改写成自然指数函数，或两边取自然对数，不能把变化的指数当作常数。

（1）$x^x=e^{x\ln x}$，所以

（2）$x^{\ln x}=e^{(\ln x)^2}$，所以

对可导的 $u,v$，若 $u>0$，则

这一公式同时包含指数变化与底数变化两部分。

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

对任意固定实数 $k$，在 $x>0$ 上均有 $(x^k)'=kx^{k-1}$。

把实数幂定义为 $e^{k\ln x}$，再用链式法则。

$k=0$ 时即常数函数的导数。对整数幂，公式可在适当的更大定义域成立；实数幂统一使用 $x>0$，不未经检查就扩展到负半轴或零点。

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

（1）$x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$；

（2）$\left(\dfrac{x}{1+x}\right)^x\left[\ln\dfrac{x}{1+x}+\dfrac1{1+x}\right]$。

先取对数，把幂指结构变成乘积，再对乘积求导。

（1）$\ln y=\sin x\ln x$，故 $y'/y=\cos x\ln x+\sin x/x$，乘回 $y$。

（2）$\ln y=x[\ln x-\ln(1+x)]$，故

题设 $x>0$ 保证两题所用对数和实数幂均有定义。

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

真实导数区分底数贡献与指数贡献。常指数与分式底数均有原题分支；冻结曲线明确为拓展。

$f$ 在 $0$ 可导，但 $f'$ 在 $0$ 不连续。

非零点用乘积与链式法则；分段点必须重新使用导数定义；最后用两列趋于零的点判断导函数极限。

当 $x\ne0$，

当 $x=0$，

最后一步由绝对值不超过 $|h|$ 的夹逼得到。

取 $x_n=1/(2\pi n)$，则 $f'(x_n)=-1$；取 $z_n=1/((2n+1)\pi)$，则 $f'(z_n)=1$。两列自变量都趋于零，导函数值却不同，因此 $\lim_{x\to0}f'(x)$ 不存在，更不可能等于 $f'(0)$。

结论区分： 可导必连续，说的是 $f$ 本身；“可导且导函数连续”是更强的性质。本例不能作为“可导但函数不连续”的反例。

原点单独用定义求导；两列点的导函数值分别为 −1、1。观察窗口只改变采样，不改变导数。