1. 自变量趋于无穷#

当 $x\to+\infty$ 时，若 $f(x)$ 趋近有限常数 $A$，记为 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$；负无穷方向类似。例如

记号约定：$x\to\infty$ 表示 $|x|\to\infty$，要求正、负无穷方向有相同的极限：

如 $(2x-1)/x=2-1/x$ 在两端都趋于 $2$。注意区分 $\infty$ 和 $+\infty$。

计算方法：有理式比较最高次幂；根式作差有理化；有界量乘趋零量用夹逼。无穷大不是一个可以像实数一样代入和四则运算的数。

例 1：三个无穷远极限#

（1）$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{-2x^2+x-1}{3x^2-x+2}$； （2）$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2})$； （3）$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}$。

例 2：两端不同，整体极限不存在#

判断 $\lim_{x\to\infty}1/(1+2^x)$ 是否存在。

指数函数与数列的使用条件#

若 $|g(x)|\le M$，且 $f(x)\to0$，则 $|f(x)g(x)|\le M|f(x)|\to0$，所以乘积趋于零。

实指数函数 $a^x$ 需 $a>0$，其极限分类为

最后一项是无穷发散，不是有限极限。若改为整数指标数列 $a^n$，才可讨论负底数：$|a|<1$ 时趋零；$a=-1$ 时振荡；$a<-1$ 时振荡且绝对值无界。

随堂练 1：无穷远极限计算#

（1）$\lim_{x\to+\infty}\arctan x$；（2）$\lim_{x\to\infty}1/x^2$；（3）$\lim_{x\to-\infty}2^x$； （4）$\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt x)$；（5）$\lim_{x\to-\infty}\cos^2x/x$； （6）$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x^4+x^3-2x^2+x-1}{3x^4-2x^3+x^2-5}$； （7）$\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+x}/x$。

2. 自变量趋于有限点、左极限与右极限#

$f$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若 $x\to x_0$、$x\ne x_0$ 时 $f(x)\to A$，记为 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$。极限不要求 $f(x_0)$ 本身有定义。例如

只从 $x<x_0$ 或 $x>x_0$ 趋近，分别记 $x\to x_0^-$、$x\to x_0^+$。双侧有限极限存在，当且仅当两侧极限存在且相等。

例如

的正确结论为 $\lim_{x\to0^-}f(x)=0$、$\lim_{x\to0^+}f(x)=1$。左右极限不同，因此双侧极限不存在。

例 3：单侧指数与消去零因子#

（1）求 $\lim_{x\to0^-}10^{1/x}$；（2）求 $\lim_{x\to1}(x^3-1)/(x-1)$。

例 4：复合函数的左右极限#

求 $\lim_{x\to0}1/(1+10^{1/x})$。

随堂练 2：有限点的极限#

（1）$\lim_{x\to-1}(5x+2)$；（2）$\lim_{x\to4}\sqrt x$；（3）$\lim_{x\to2}x^2$； （4）$\lim_{x\to5}(x^2-6x+5)/(x-5)$；（5）$\lim_{x\to0}\cos x$；（6）$\lim_{x\to9}\log_3x$； （7）$\lim_{x\to2^+}1/(2+3^{1/(x-2)})$；（8）同一函数在 $x\to2^-$ 时的极限。

3. 函数值趋于无穷#

$\lim_{x\to0^+}1/x=+\infty$，$\lim_{x\to0^-}1/x=-\infty$。双侧 $1/x$ 趋于无符号 $\infty$ 表示绝对值无界增大。这一记号既不是有限实数极限，也不是两侧同号的扩充实数极限。运算时必须分清正负方向。

随堂练 3：无穷极限的符号#

（1）$\lim_{x\to0^+}\log_2x$；（2）$\lim_{x\to0^+}\log_{1/3}x$；（3）$\lim_{x\to-\infty}(1/2)^x$； （4）$\lim_{x\to\pi/2}\tan x$；（5）$\lim_{x\to+\infty}(-x^3+4x^2+18x+2)$。

1. 增量、连续与单侧连续#

$\Delta x=x_2-x_1$，$\Delta y=f(x_2)-f(x_1)$。例如 $y=t^2$ 从 $t=1$ 到 $1.1$，$\Delta t=0.1$，$\Delta y=0.21$。增量是带符号的差，不是总为正的距离。

$f$ 在 $x_0$ 连续，当且仅当

需同时满足：点值有定义、极限存在、二者相等。左连续、右连续分别把极限改为相应单侧极限；两者同时成立等价于连续。

在开区间处处连续记为 $f\in C(a,b)$；若再在 $a$ 右连续、$b$ 左连续，则记为 $f\in C[a,b]$。端点只考察定义域内的一侧。

图像的有限分辨率不能代替对无限振荡的极限判断。

例 5：左连续而不连续#

设 $f(x)=\cos x$（$x<0$），$f(0)=1$，$f(x)=x^2$（$x>0$），比较两侧极限与点值。

例 6：振荡函数的连续性#

在零点均补值 $0$，判断（1）$x\sin(1/x)$；（2）$\sin(1/x)$ 在零点是否连续。

随堂练 4：分段函数的连接点#

$f(x)=\sin x$（$0\le x\le\pi$），$f(x)=1$（$-\pi\le x<0$）。讨论 $0$ 处连续性。

2. 连续函数的运算#

基本初等函数在各自定义区间内连续。有限次四则运算与复合保持连续性，但除法分母不为零，对数、根式、反三角函数也必须满足定义域条件。“表达式能形式化写出”不等于在所有实数处有定义。

例 7：辨认结构再连续代入#

指出 $f(x)=\left|\frac{2\sin x-1}{3\log_2(\pi/x)+1}\right|$ 的结构，并求 $x\to\pi/2$ 的极限。

例 8：最大值与最小值函数的连续性#

若 $f,g$ 在区间 $I$ 连续，判断 $\max\{f,g\}$、$\min\{f,g\}$ 是否连续。

随堂练 5：初等复合函数的极限#

（1）$\lim_{x\to3}\sqrt{(x-1)/(x+1)}$；（2）$\lim_{x\to1}\log_a(x^2+\sqrt x+1)$。

3. 闭区间连续函数的性质#

最值定理：$f\in C[a,b]$ 时，最大值 $M$ 与最小值 $m$ 均能在区间内取到。

零点定理：若还满足 $f(a)f(b)<0$，则至少有 $\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。只保证存在，不自动保证唯一。

介值定理：上述连续函数能取到 $m,M$ 之间的每个值，因此 $f([a,b])=[m,M]$。连续性与闭区间条件不可随意删除。

例 9：端点异号证明存在零点#

证明 $4x-2^x$ 在 $(0,1/2)$ 内有零点。

随堂练 6：只有严格单调够不够#

$f$ 在 $[a,b]$ 严格单调，且 $f(a)f(b)<0$。方程 $f(x)=0$：A. 至少一个实根；B. 至多一个实根；C. 没有实根；D. 必有唯一的实根。

例 10：构造差函数找交点#

$f\in C[0,1]$，$f(0)=0,f(1)=1$。证明存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f(\xi)=1-\xi$。

随堂练 7：两条连续曲线相交#

$f,g\in C[a,b]$，$f(a)<g(a)$、$f(b)>g(b)$，证明某 $\xi\in(a,b)$ 满足 $f(\xi)=g(\xi)$。

4. 反函数的连续性#

连续且严格单调的函数，在其值域区间上有连续的反函数，反函数保持相应的严格递增或严格递减性。严格单调保证唯一对应；连续性使值域没有缺口。

理解：在 $x_0$ 左右各选一个近点，其函数值把 $f(x_0)$ 夹住；当 $y$ 位于这两个像之间，反函数值就被夹在两个输入之间。这说明反函数在对应点连续，端点按单侧解释。