$v(t)=8t-3\,\mathrm{m/s}$；$a(t)=8\,\mathrm{m/s^2}$。

速度是位移的导数，加速度是速度的导数。

先对位移求导得到 $s^{\prime}(t)=8t-3$，再求一次导数得8。速度在t=3/8为零，但加速度仍为8，说明速度零不代表加速度零。

$y^{\prime}=a$，$y^{\prime\prime}=0$；$y^{(n)}=0$（n≥2）。

一次求导得到常数，再求导为零。

$(ax+b)^{\prime}=a$，常数a的导数为0，零函数再求导仍为0。因此从二阶起全为零；不能把n=1也放进这一结论。

默认a=2、b=3，切换n核对一阶、二阶和n阶。

（1）$e^x$；（2）$a^x(\ln a)^n$，a>0、n为正整数。

每次求导形状不变，系数再乘一个ln a。

（1）一阶导数是自身，归纳可知各阶都为 $e^x$。

（2）一阶为 $a^x\ln a$。若n阶为 $a^x(\ln a)^n$，再次求导得到 $a^x(\ln a)^{n+1}$，故归纳成立。a=1时函数常值1，所有正阶导数为零，也符合该公式；负底数不作为实轴上的通常实指数函数。

$(-1)^ne^{-x}$。

内层−x每次贡献−1。

一阶−e⁻ˣ，二阶e⁻ˣ；假设第n阶为 $(-1)^ne^{-x}$，下一阶再乘−1，即 $(-1)^{n+1}e^{-x}$。由归纳法成立。

（1）$\sin(x+n\pi/2)$；（2）$\cos(x+n\pi/2)$。

连续四次求导回到原函数，用相位平移统一表示。

正弦依次变成cos x、−sin x、−cos x、sin x；余弦依次变成−sin x、−cos x、sin x、cos x。

每求一次导数相当于把相位增加π/2。例如 $[\sin(x+n\pi/2)]^{\prime}=\cos(x+n\pi/2)=\sin(x+(n+1)\pi/2)$，故归纳成立；余弦同理。

sin/cos 两个原题分支共享整数阶数。

每次系数乘当前幂指数，次数下降一；常数之后才变零。

逐次得到 $kx^{k-1},k(k-1)x^{k-2},\ldots$。第n阶系数是n个连续下降因子的乘积，即k!/(k−n)!。n=k时是常数k!；再求导为0。n>k必须分段，不能使用负阶乘。

n=k的常数与n>k的零函数分开。

$(-1)^{n-1}(n-1)!/(1+x)^n$，x>−1。

观察前三阶，再归纳证明任意阶。

前三阶为 $1/(1+x),-1/(1+x)^2,2/(1+x)^3$。假设第n阶公式成立，求导得

正是下一阶公式。一阶成立，所以所有n成立。定义域始终是x>−1。

定义域与阶乘符号同步。

满足。

求两阶导数后完整代回，不要求解出所有函数。

$y'=e^x(\sin x+\cos x)$，$y''=2e^x\cos x$。所以

这是给定函数的验证，不是方程通解的推导。

三项当前数值独立计算后相加。

在m>0、k>0下满足 $mx^{\prime\prime}=-kx$，角频率为 $\sqrt{k/m}$。

牛顿第二定律把力关系转为二阶导数关系。

令 $\omega=\sqrt{k/m}$。由 $F=ma=mx''$，目标为 $x''+(k/m)x=0$。给定函数满足

代回即成立。A、φ控制振幅与初相位，可由初始位移、速度确定；本题仅验证解。

控制m、k、A、φ和t，观察回复关系。

$v=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$，$a=-A\omega^2\sin(\omega t+\varphi)$，$F=-m\omega^2x$。通常非退化参数下为简谐运动。

连续求导两次，识别加速度与位移的负比例关系。

（1）位移求导得到v。（2）再求导得到a，且a=−ω²x。（3）F=ma=−mω²x，指向平衡位置，大小与偏离量成正比，符合简谐振动。若A=0或ω=0，公式仍成立，但为静止的退化情形，不能描述为非平凡振动。

原题直接角频率分支，允许ω=0退化对照。