$0$。

不要求分子单独收敛，只需它有界。

$-1/n\le\sin n/n\le1/n$，两边趋于零，所以夹逼得到结果。

（1）$1$；（2）$1/2$。

先为每项找统一上下界，再求和。不能因为每一项趋零就认定整个和趋零。

（1）$1\le k\le n$，求和后得

左右分别为 $1/\sqrt{1+1/n}$、$1/\sqrt{1+1/n^2}$，都趋于 $1$。

（2）分子为正，可把分母夹在 $n^2+n+1$ 和 $n^2+2n$ 之间。用 $\sum k=n(n+1)/2$，有

两端都趋于 $1/2$，故结论成立。

总和按全部n项实算，图仅抽样最多120条带；每项趋零与项数增长共同决定和，不能交换无限过程。

四问均为 $1$。

先证明最基本的 $\sqrt[n]n\to1$，再取固定次幂。

令 $u_n=\sqrt[n]n-1\ge0$。当 $n\ge2$，二项式定理给出

所以 $0\le u_n\le\sqrt{2/(n-1)}\to0$。因此第一问成立。

其余各问使用 $\sqrt[n]{n^k}=(\sqrt[n]n)^k\to1^k=1$，分别取 $k=2,100$。这里 $k$ 固定；若 $k$ 随 $n$ 增大，不能直接套用。

$1$。

逐项控制分母，求和后再乘外部的 n。

两端趋于 $1$，所以所求极限为 $1$。

总和按全部n项实算，图仅抽样最多120条带；每项趋零与项数增长共同决定和，不能交换无限过程。

$c$。

把整个和夹在最大项和最大项的固定倍数之间。

$c^n\le a^n+b^n+c^n\le3c^n$，所以 $c\le(a^n+b^n+c^n)^{1/n}\le c3^{1/n}$。

为说明 $3^{1/n}\to1$，令 $v_n=3^{1/n}-1\ge0$，则 $3=(1+v_n)^n\ge1+nv_n$，故 $0\le v_n\le2/n\to0$。由夹逼得结果。该方法也适用于有限个非负底数，结果是最大底数。

固定x后改变n，避免将同步变化误当逐点极限；比例缩放防止大幂溢出。例4实例固定底数1<2<3。

值域 $[1,+\infty)$。

对每个固定 x 应用最大底数结论，再比较三个底数。

$0\le x\le1$ 时最大底数为 $1$；$1\le x\le2$ 时 $x\ge1$ 且 $x\ge x^2/2$；$x\ge2$ 时 $x^2/2\ge x\ge1$。在两个连接点公式一致，故图像连续；最后一段无界增加，得到值域。

图示：水平线段、直线段、抛物线段依次连接。本极限对每个固定 x 求取，不让 x 与 n 任意同步变化。

固定x后改变n，避免将同步变化误当逐点极限；比例缩放防止大幂溢出。例4实例固定底数1<2<3。

依次为 $1,1/2,1$。

正切拆分，余弦用半角，反正弦作逆向换元。

（1）$\tan x/x=(\sin x/x)/\cos x\to1$。

（2）

（3）令 $t=\arcsin x\to0$，则 $x=\sin t$，原式为 $t/\sin t\to1$。

零点原比值无定义。单位圆三块面积按实际几何计算；减半角度可观察夹逼间隙缩小。

（1）$5$；（2）$\sqrt2$。

匹配自变量；根式化简保留绝对值，再使用右侧条件。

（1）$\tan5x/x=5(\tan5x/(5x))\to5$。

（2）$\sqrt{1-\cos x}=\sqrt2|\sin(x/2)|$，充分小的 $x>0$ 时正弦为正，因此

若改为左侧，结果是 $-\sqrt2$。

零点原比值无定义。单位圆三块面积按实际几何计算；减半角度可观察夹逼间隙缩小。

$S_n$ 严格递增且 $S_n<2$，因此收敛。

将正项放大成可裂项相消的式子以建立上界。

$S_{n+1}-S_n=1/(n+1)^2>0$。对 $k\ge2$，$1/k^2<1/[k(k-1)]=1/(k-1)-1/k$。当 $n\ge2$ 时，

$n=1$ 时 $S_1=1<2$，单独检查即可；上面严格裂项不等式用于 $n\ge2$。单调有界，故收敛。原注记其极限为 $\pi^2/6$ 并提示 Fourier 级数方法；上面证明完成题目的“收敛”要求，并没有据此就算出这个值。

$0<a_n<2$，严格递增，极限为 $2$。

先证明不变范围，再比较平方，最后筛选极限方程的根。

（1）$0<a_1<2$；若 $0<a_n<2$，则 $0<a_{n+1}<\sqrt4=2$，由归纳法成立。

（2）$a_{n+1}^2-a_n^2=2+a_n-a_n^2=(2-a_n)(a_n+1)>0$，两项为正，故 $a_{n+1}>a_n$。

（3）单调有界，所以极限 $L$ 存在。连续性给出 $L=\sqrt{2+L}$，解得 $L=2$ 或 $-1$；因 $L\ge\sqrt2$，只能为 $2$。

保留首项与第一步，蛛网实算；例8仅尾部非减，例9仅尾部非增。误差趋小不是收敛证明。

极限为 $3$；从第二项起非减，原数列不一定从第一项就递增。

利用 $a(6-a)=9-(a-3)^2$，先让数列进入更小的范围。

$0<a_2=\sqrt{9-(a_1-3)^2}\le3$。当 $0<a_n\le3$ 时，下一项仍在此范围，且

所以从第 $2$ 项起非减且有上界，极限 $L\ge a_2>0$ 存在。递推关系给出 $L^2=L(6-L)$，即 $L=0$ 或 $3$，排除零，得 $3$。

相邻差非负需要检查起始项。取 $a_1=5$，$a_2=\sqrt5<5$，说明必须改为“尾数列非减”。

保留首项与第一步，蛛网实算；例8仅尾部非减，例9仅尾部非增。误差趋小不是收敛证明。

极限存在，且等于 $\sqrt a$；从第二项起非增。

均值不等式给下界，再在该范围内作差。

各项均正，且 $a_{n+1}\ge\sqrt{a_n(a/a_n)}=\sqrt a$。故对 $n\ge2$，

尾数列非增且有下界，设极限 $L\ge\sqrt a>0$，则 $2L=L+a/L$，得 $L=\sqrt a$。

递减结论需要检查起始项；$a=4,a_1=1$ 时 $a_2=2.5>1$。初值等于 $\sqrt a$ 时是常数数列，不能一律称严格递减。

保留首项与第一步，蛛网实算；例8仅尾部非减，例9仅尾部非增。误差趋小不是收敛证明。

六项均成立；两列位于 $[2,4]$ 内，其差不超过 $4/n$。

相邻项比较使用均值不等式；第二列取倒数比较。共同极限来自差趋零，后续不等式来自取对数与累加。

（1）① 对 $n$ 个 $1+1/n$ 和一个 $1$ 使用严格均值不等式：

② 记 $b_n=e_n^{\prime}$。对 $n+1$ 个 $n/(n+1)$ 和一个 $1$ 使用均值不等式：

即 $1/b_n<1/b_{n+1}$，所以 $b_{n+1}<b_n$。又 $e_n<b_n$，故 $2=e_1\le e_n<b_n\le b_1=4$，两列单调有界。

③ $b_n-e_n=e_n/n\le4/n\to0$，故两列极限相同。

（2）① 固定 $n$，由 $e_n<e_{n+1}\le e$ 与 $e\le b_{n+1}<b_n$ 得严格夹逼。

② 取自然对数：$n\ln(1+1/n)<1<(n+1)\ln(1+1/n)$，除以正数得到题设不等式。

③ 将②对 $k=1,\ldots,n$ 累加，中间 $\sum\ln((k+1)/k)=\ln(n+1)$，得到左右调和和式的夹逼。

log1p稳定计算保留实际上下差与理论a_n/n。e参考值是机器常数。α模式仅对应例11(3)(4)(5)，其他小问仍保留正文推导。

依次为 $e,e,e^2,e^{-1},e^k,e^{-2}$。

记录“底数减一”乘以指数的极限。

各问的 $u_n$ 依次为 $1/(n+2),1/(n+1),2/n,-1/n,k/n,-1/(n+2)$。

乘上各自指数后，依次得到 $n/(n+2)\to1$、$(n-3)/(n+1)\to1$、$2$、$-1$、$k$、$-(2n+3)/(n+2)\to-2$，故应用上面的统一变形得到答案。

第（5）问 $k=0$ 时原式恒为 $1=e^0$，单独处理；负 $k$ 时从充分大的 n 起底数为正，有限个开头项不影响极限。

log1p稳定计算保留实际上下差与理论a_n/n。e参考值是机器常数。α模式仅对应例11(3)(4)(5)，其他小问仍保留正文推导。

依次为 $e,e^{-1},e^{-1},e^2,e^{-3}$。

方法与例 11 相同，注意一些开头项没有定义。

“底数减一 × 指数”依次为

代入 $e^L$ 即得答案。第（1）（2）（5）问可统一从 $n\ge4$ 起考虑，不影响极限。

依次为 $e^{-1},e^3,1,e,e^2$。

参数是连续实数，使用已经证明的函数形式；底数减一的阶数很关键。

（1）$u=-1/x$，$xu=-1$，极限为 $e^{-1}$，两个无穷方向均成立。

（2）令 $u=3x$，原式为 $[(1+u)^{1/u}]^3\to e^3$。

（3）$u=-1/x^2$，$xu=-1/x\to0$；在 $|x|>1$ 底数为正，故趋于 $e^0=1$。

（4）令 $u=\tan x$，$\cot x=1/u$，直接得到 e。

（5）原式为 $[(1+2x)^{1/(2x)}]^{2x/\sin x}$，内层趋 e，外指数趋 $2$，故结果为 $e^2$。

（1）$e^2$；（2）$e^{-k}$。

将固定倍数移到整个幂外。

（1）原式为 $[(1+1/x)^x]^2\to e^2$。（2）充分大的 $|x|$ 下底数为正，原式为 $[(1-1/x)^x]^k\to(e^{-1})^k=e^{-k}$；k=0 时直接为1。

均为 $1$。

对第二重要极限取对数，再使用反向换元；不用尚未证明的求导公式。

（1）$\ln(1+x)/x=\ln((1+x)^{1/x})\to\ln e=1$，其中对数在 e 处连续。

（2）令 $u=e^x-1\to0$，则 $x=\ln(1+u)$，原式为 $u/\ln(1+u)\to1$。两次变形均在足够小的去心邻域内进行。

（1）$2$；（2）$1$。

第一问补齐真实增量，第二问先合并对数。

（1）$\frac{e^{2x}-1}{\sin x}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot2\cdot\frac{x}{\sin x}\to2$。

（2）$x[\ln(x+1)-\ln x]=\ln(1+1/x)/(1/x)\to1$。