七年级数学 10.2：合并同类项与整式

3 4 -7

此题主要考查整式次数、项数及常数项的定义，解题的关键是熟知整式的特点.

根据整式次数、项数及常数项的定义即可求解.

解：整式 $- {\frac {1} {3}} x^{2} y + 4 x y^{3} - 7$ 的项数是3；次数是4；常数项是-7；

故答案为： $3 ; ~ 4 ; ~ - 7$

3

本题考查整式的次数，根据整式中最高项的次数为整式的次数，进行作答即可.

解：整式 $4 - 2 y^{2} + \frac {\pi} {2} x y^{2}$ 的次数为 ${\frac {\pi} {2}} x y^{2}$ 的次数，是3;

故答案为：3.

A

本题考查了整式的项、项数或次数，整式中每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个整式的次数，根据定义判定即可.

解：A、 $2 x^{2} - 2 x + 3$ 是二次三项式，故该选项符合题意；B、 $3 m^{2} - \frac {2} {n} + 1$ 不是整式，故该选项不符合题意；C、 $x^{2} - 2 x - 3^{4}$ 是二次三项式，不是四次三项式，故该选项不符合题意：D、 $3 x^{3} - 2 x^{2} + 1$ 是三次三项式，故该选项不符合题意；故选：A

$\frac 13$

本题考查了整式，单项式的系数的定义．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做整式.先找出整式的最高次项，再找出最高次项的系数即可.

解： ${\frac {1} {3}} x^{2} y + 3 x - 1$ 的最高次项为 ${\frac {1} {3}} x^{2} y$ ，其系数为 $\frac 13$ 故答案为： $\frac 13$

4

本题主要考查整式的次数、项数、项等知识点，熟练掌握整式的次数、项数及项是解题的关键直接根据整式的次数、项数即可解答

解：因为 整式 $2 x^{m} - 3 x y + 5 y$ 是四次三项式，

因此 该整式的最高次数为4，即 $m = 4$

故答案为：4.

-6

本题考查整式的概念，整式中次数最高项的次数就是整式的次数，解题的关键是掌握整式的有关概念．根据九次二项式的定义可得 $m - 6 \neq 0$ ，且 $\left| m \right| + 3 = 9$ ，计算即可.

解：由题可知：$m-6\ne0$，且 $|m|+3=9$。

解得： $m = - 6$ ，

故答案为：-6.

答案见解析

本题考查了整式的概念，几个单项式的和叫做整式．整式中的每个单项式都叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项，各单项式的字母因数是每一项的系数，整式的每一项都包括前面的符号，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数．根据定义作答即可

解：填表如下：

$- 7 {x^{3}} ; 3 ; 3 ; - 4 ; 7 {x^{3}} {y^{2}} ; 5 ; 4 ; - 5$

此题主要考查了整式的项与次数，正确掌握整式的项、次数是解题关键直接利用整式的次数与项数确定方法分析得出答案

解：

故答案为： $- 7 x^{3}$ ; 3; 3; -4; $7 {x^{3}} {y^{2}}$ ； 5；4； -5

3 4 -7

此题主要考查整式次数、项数及常数项的定义，解题的关键是熟知整式的特点根据整式次数、项数及常数项的定义即可求解

解：整式 $- {\frac {1} {3}} x^{2} y + 4 x y^{3} - 7$ 的项数是3；次数是4；常数项是-7；

3

本题考查了整式的次数的定义，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数．根据整式的次数的定义求解即可.

解：整式 $r l + 2 r^{3} + 5$ 的次数为3，

故答案为：3.

六 四

本题考查了整式的相关概念，整式中的每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个整式的次数．根据整式的次数、项数的概念即可作答

解：整式 $- \frac {4} {5} x^{3} y - \frac {2} {3} x^{4} y^{2} - x + 1$ 的最高次数为6，项数为4，所以该整式是六次四项式故答案为：六，四.

C

本题考查了整式，熟练掌握整式的概念是解题的关键根据“整式中次数最高项的次数是这个整式的次数，每个单项式叫做整式的项”逐个判断即可

解：A.x-y为一次二项式，故不符合题意；B. $x + y + 2$ 为一次三项式，故不符合题意；

C. $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ 为二次三项式，故符合题意；

D. $x^{3} - y^{3}$ 为三次二项式，故不符合题意；

故选：C.

三次三项式，三次项是 $\frac14ab^2$、$-6a^2b$

本题主要考查整式，整个整式由3个不同的单项式组成，是三项式，次数最高项是 ${\frac {1} {4}} b^{2} a , - 6 a^{2} b$ 所以整个整式是三次整式

解：整式 ${\frac {1} {4}} b^{2} a - 5 - 6 a^{2} b$ 是三次三项式，三次项是 ${\frac {1} {4}} b^{2} a , - 6 a^{2} b$

故答案为：三，三， ${\frac {1} {4}} b^{2} a , - 6 a^{2} b$

$- {\frac {3} {7}} x y^{3}$

本题主要考查的整式的有关定义，解题的关键是掌握整式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个整式的次数；整式的项数就是整式中包含的单项式的个数．据此求解即可.

解：整式 $- \frac {3} {7} x y^{3} + 3 x^{2} y + 5$ 的最高次项为 $- {\frac {3} {7}} x y^{3}$

故答案为： $- {\frac {3} {7}} x y^{3}$

$\frac {4} {5} / 0 . 8$

本题考查了整式的概念，根据整式的定义，可得常数项为不含字母的项，即可求解.

解：在一次式 $\frac {3 x + 4} {5}$ 中，常数项是 $\frac {4} {5}$

故答案为： $\frac {4} {5}$

$5 -2$

本题考查了整式的相关概念，根据几个单项式的和（或者差），叫做整式；整式中的每个单项式叫做整式的项；这些单项式中的最高项次数，就是这个整式的次数；其中整式中不含字母的项叫做常数项，

熟练掌握整式的相关概念是解题的关键

解：整式 $x^{4} - y - 3 x y - 2 x y^{2} - 5 x^{2} y^{3} - 1$ 中次数是 $2 + 3 = 5$ (次)，三次项为 $- 2 x y^{2}$ ，其系数是-2，故答案为： $5 , - 2$

2

本题主要考查了整式，根据整式的项、单项式的系数的定义求出整式 $x^{3} - 2 x^{2} y^{2} + 3 y^{2}$ 每项的系数，再相加即可求解.

解：整式 $x^{3} - 2 x^{2} y^{2} + 3 y^{2}$ 每项的系数分别是 $1 , \ - 2 , \ + 3$

故答案为：2.

五 $- \frac {2} {3} a^{3} b^{2} - \frac {2} {3}$

本题主要考查了整式的项，次数及其对应项的系数的定义，几个单项式的和的形式叫做整式，每个单项式叫做整式的项，不含字母的项叫做常数项，整式里，次数最高项的次数叫做整式的次数，据此可得答案.

解：整式 $- {\frac {1} {3}} a^{2} b - {\frac {2} {3}} a^{3} b^{2} + {\frac {1} {4}} a^{3} + {\frac {1} {4}} b^{2}$ 是五次四项式，最高次项是 $- {\frac {2} {3}} a^{3} b^{2}$ 最高次项的系数是 $- {\frac {2} {3}}$ 故答案为：五； $- \frac {2} {3} a^{3} b^{2} ; - \frac {2} {3}$

答案不唯一，如 $a^{2} - a - 1$

本题考查了整式的含义，熟练掌握整式的整式的次数与项数含义是解题的关键；

几个单项式的和称为整式，其中每个单项式称为整式的项，有几项称为几项式，其中次数最高的那项的次数叫做整式的次数，据此求解即可

解：只含有字母的二次三项式为 $a^{2} - a - 1$

故答案为： $a^{2} - a - 1$ (答案不唯一).

$a b^{2} - 1$ (答案不唯一)

此题考查的是整式的项数和次数，根据整式的次数和项数的概念解答即可，二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而常数项为-1，即可作答

解：因为 只含a，b两个字母，且常数项为-1的三次二项式，

因此 该三次二项式为 $a b^{2} - 1$

故答案为： $a b^{2} - 1$ (答案不唯一)

$a^{2} + a b + b^{2}$ (答案不唯一)

本题考查了整式的概念，整式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记整式的次数，项数概念是解题的关键.

根据整式次数，项数的定义，降幂排列求解即可

解：因为 二次三项式满足：(1)只含有字母a和b；(2)每一项的次数都是2；(3)按字母a的降幂排列，因此 这个整式可以为： $a^{2} + a b + b^{2}$

故答案为： $a^{2} + a b + b^{2}$ (答案不唯一).

$2 y^{2} - 2 y + \frac {1} {2}$

本题考查了整式的各项、系数和次数，熟练掌握知识点是解题的关键．直接根据题目要求求解即可.

解：根据题意，这个二次三项式为 $2 y^{2} - 2 y + \frac {1} {2}$

故答案为： $2 y^{2} - 2 y + \frac {1} {2}$

$- x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3}$

本题考查了整式的重新排列，我们把一个整式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的指数从大到小排列即可.

解：把整式 $y^{3} - x^{3} - x y^{2} - x^{2} y$ 按x的降幂排列是 $- x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3}$

故答案为： $- x^{3} - x^{2} y - x y^{2} + y^{3}$

$-ab^4-b^3+\frac13a^3b^2+a^5$

本题考查的是整式的降幂排列，熟记整式的降幂排列的含义是解本题的关键．先把整式按照字母b的指数由高到低排列，从而可得答案

解：整式 $a^{5} - a b^{4} + \frac {1} {3} a^{3} b^{2} - b^{3}$ 按字母b降幂排列后为： $- a b^{4} - b^{3} + {\frac {1} {3}} a^{3} b^{2} + a^{5}$ 故答案为： $- a b^{4} - b^{3} + {\frac {1} {3}} a^{3} b^{2} + a^{5}$

$- 1 + x^{3} y + 2 x y^{2} - 3 x^{2} y^{3}$

把原整式按照字母y的指数从低到高重新排列即可.

解：将整式 $2 x y^{2} + x^{3} y - 3 x^{2} y^{3} - 1$ 按字母y升幂排列是 $- 1 + x^{3} y + 2 x y^{2} - 3 x^{2} y^{3}$ 故答案为： $- 1 + x^{3} y + 2 x y^{2} - 3 x^{2} y^{3}$

-4

本题主要考查了整式，先把整式的各项按y降幂排列后，找出第二项，从而找出其系数即可.

解：整式 $3 x^{7} y - 4 x^{m + 1} y^{4} + 2 x^{m} y^{2} + x^{3} y^{6}$ 按y降幂排列为： $x^{3} y^{6} - 4 x^{m + 1} y^{4} + 2 x^{m} y^{2} + 3 x^{7} y$ 因为 第二项是 $- 4 x^{m + 1} y^{4}$ 因此 第二项的系数是-4，故答案为：-4.

A

本题主要考查整式的次数与项，熟练掌握整式的次数与项是解题的关键．根据整式的次数、项可 进行求解.

解：整式 $4 x^{2} y + 2 x y - 1$ 的次数是3，常数项是-1，二次项是 $2 x y$ :

故选：A.

D

本题考查了整式的相关概念，根据整式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握整式的相关定义是解此题的关键.

解：A、整式 $-abx^2-\frac13x^3+9$ 有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意；

B、整式 $- a b x^{2} - {\frac {1} {3}} x^{3} + 9$ 的常数项为9，故原说法正确，不符合题意

C、整式 $- a b x^{2} - {\frac {1} {3}} x^{3} + 9$ 中不含二次项，故原说法正确，不符合题意：

D、整式 $-abx^2-\frac13x^3+9$ 各项分别是 $- a b x^{2} , - \frac {1} {3} x^{3} , 9$ 故原说法错误，符合题意：

故选：D.

9

本题考查了整式的系数，根据题意直接列式 $1 - 3 + \bullet = 7$ ，即可求解.

解：由题意得： $1 - 3 + \bullet = 7$

解得：●=9，

故答案为：9.

3

本题考查了整式的定义，正确根据定义求得n的值是解题的关键

根据整式是关于x的二次三项式，即可求出n的值.

解：因为 整式 $x^{n - 1} + x - 2$ 是关于x的二次三项式，

解得： $n = 3$

故答案为：3.

1

本题主要考查了整式的次数和项，

根据题意可知 $2 x^{m} y^{n}$ 与 $3 \boldsymbol {y}^{m + 1} \boldsymbol {x}^{n - 1}$ 是同类项，且是三次单项式，可得 $\left\{{\begin{array} {l} {m = n - 1} \\ {m + n = 3} \end{array}} \right.$ 求出m，n的值，即可得出答案.

解：根据题意，得 $\begin{array} {c} {{\left[ m = n - 1 \right.}} \\ {{\left. m + n = 3 \right.}} \end{array}$

解得 $\begin{array} {c} {{\left\{m = 1 \right.}} \\ {{\left. n = 2 \right.}} \end{array}$

$2xy^2+3y^2x-1=5xy^2-1$ 是三次二项式，

所以 $m^{- n} = 1^{- 2} = 1$ ·

故答案为：1.

3 ±2

本题考查了整式，根据整式的次数、单项式的次数得出方程组是解题关键．根据整式的次数，单 项式的次数求解即可.

解：因为 整式 $\left( a - 3 \right)^{2} x^{3} + x^{\left| b \right|} - 2 x + b + 1$ 的次数与单项式-2xy的次数相同，

故答案为：3，±2.

1或 $\frac 12$

本题考查了整式的定义，解二元一次方程，代数式求值，掌握整式次数和项数的定义是解题关键.根据四次三项式得到关于m、n的方程，分别求解并代入计算求值即可.

解：如果 $m x^{3} y^{m + n} - \left( n - 3 \right) x^{2} y^{n - m} - 2 x y + 1$ 是关于x、y的四次三项式

则 $\left\{\begin{array} {l l} {3 + m + n = 4} \\ {n - 3 = 0} \end{array} \right.$ 或 $\left\{\begin{aligned}m&=0\\2+n-m&=4\end{aligned}\right.$

解得： $\begin{array} {l} {{\left\{m = - 2 \right.}} \\ {{\left. n = 3 \right.}} \end{array}$ 或 $\begin{array} {c} {{\left\{m = 0 \right.}} \\ {{\left. n = 2 \right.}} \end{array}$

当m=−2，n=3时， ${\frac {1} {- 2 + 3}} = 1$

当 $m = 0 , n = 2$ 时， ${\frac {1} {0 + 2}} = {\frac {1} {2}}$

故答案为：1或 $\frac 12$

(1) $4m-n$

(2) $- {\frac {1} {4}} a^{2} b$

（1）利用合并同类项的方法即可求解

（2）利用合并同类项的方法即可求解

点睛。 本题考查了合并同类项，熟练掌握其运算方法是解题的关键，

按分析思路逐项计算即可得到上方答案。

$( 1 ) 0 . 62 x^{2} y + 0 . 15 x^{2} y^{2} - 0 . 1 y^{2} x$

(2) $- 4 x^{n} y^{n}$

(3) $| - 1 . 4 a^{2} b - a b$

（1）根据合并同类项法则直接合并同类项即可；

（2）根据合并同类项法则直接合并同类项即可；

（3）根据合并同类项法则直接合并同类项即可.

（1）解： $0 . 12 x^{2} y + 0 . 15 x^{2} y^{2} - 0 . 1 y^{2} x + \frac {1} {2} y x^{2}$ $= \left( 0 . 12 x^{2} y + {\frac {1} {2}} y x^{2} \right) + 0 . 15 x^{2} y^{2} - 0 . 1 y^{2} x$ $= 0 . 62 x^{2} y + 0 . 15 x^{2} y^{2} - 0 . 1 x y^{2}$ (2) $3 x^{n + 1} y^{2} - 4 x^{n} y^{n} - 2 y^{2} x^{n + 1} - y^{2} x^{n + 1}$ $= \left( 3 x^{n + 1} y^{2} - 2 x^{n + 1} y^{2} - x^{n + 1} y^{2} \right) - 4 x^{n} y^{n}$ $= - 4 x^{n} y^{n}$ (3) $0 . 8 a^{2} b - 6 a b - 3 . 2 a^{2} b + 5 a b + a^{2} b$ $= \left( 0 . 8 a^{2} b - 3 . 2 a^{2} b + a^{2} b \right) + ( - 6 a b + 5 a b )$ $= - 1 . 4 a^{2} b - a b$

点睛。 本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可，

(1) $-7y$

(2) $4 x^{2} - x - 5$

(3) $x^{2} y + 6 x y^{2}$

(4) $6 m^{2} n - 3 m n$

先去括号，然后合并同类项即可.

（1）解：原式 $= 2 x - 3 y - 2 x - 4 y$

（2）解：原式 $= 3 x^{2} - 2 x + x - 5 + x^{2}$

（3）解：原式 $= 2 x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y + 3 x y^{2}$

（4）解：原式 $= 4 m^{2} n - 4 m n + 2 m^{2} n + m n$

点睛。 本题考查了去括号，合并同类项．解题的关键与难点在于正确的去括号

$( 1 ) - \frac {1} {5} y^{2} + 3 \ , \frac {59} {20}$

(2) $x^{3} - x^{2} + 5 x + 7 \ , 7 {\frac {121} {125}} \ ;$

(3) $- 2 a^{3} + 9 a^{2} + a - 1 \ , \ 9 ;$

(4) $4 a b - {\frac {3} {2}} a^{3} b^{2} , - 14$

（1）先合并同类项，然后再代入求值；

（2）先合并同类项，然后再代入求值；

（3）先合并同类项，然后再代入求值：

（4）先合并同类项，然后再代入求值.

（1）解：原式 $= \left( 0 . 2 - 1 . 3 + 0 . 3 + 0 . 8 - {\frac {1} {5}} \right) y^{2} + 3 = - {\frac {1} {5}} y^{2} + 3 = - {\frac {1} {5}} \times \left( {\frac {1} {2}} \right)^{2} + 3 =\frac{59}{20}$。

(2)原式 $= \left( \frac {1} {5} + \frac {4} {5} \right) x^{3} - \left( \frac {2} {7} + \frac {5} {7} \right) x^{2} + 5 x + 7 = x^{3} - x^{2} + 5 x + 7$

当 $x = \frac {1} {5}$ 时，原式 $= \left( \frac {1} {5} \right)^{3} - \left( \frac {1} {5} \right)^{2} + 5 \times \frac {1} {5} + 7 = 7 \frac {121} {125}$

（3）原式 $= 5 a^{2} - 2 a^{2} + a - 2 a^{3} + 6 a^{2} - 1 = - 2 a^{3} + 9 a^{2} + a - 1$

当 $a = - 1$ 时，原式 $=-2\times(-1)^3+9\times(-1)^2+(-1)-1=9$

（4）原式 $= ( 5 - {\frac {9} {4}} + {\frac {5} {4}} ) a b - ( {\frac {1} {2}} + 1 ) a^{3} b^{2} = 4 a b - {\frac {3} {2}} a^{3} b^{2}$

当 $a = 1 , b = - 2$ 时，原式 $= 4 \times 1 \times ( - 2 ) - \frac {3} {2} \times 1^{3} \times ( - 2 )^{2} = - 14$

点睛。 本题考查了整式的加减运算与代数式的化简求值，熟练掌握代数式的各种运算法则是解题的关键.

24

根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x，y的值，再将整式化简代入即可得到答案.

解：由 $\frac12a^{6+x}b^{3y}$ 与 $3a^4b^6$ 是同类项，知 $6 + x = 4 , 3 y = 6$

可得 $\scriptstyle x = - 2 , y = 2$ ，

所以当 $\scriptstyle x = - 2 , y = 2$ 时，

原式 $= 3\times2^3-4\times(-2)^3\times2-4\times2^3+2\times(-2)^3\times2$

$=24.$

点睛。 本题主要考查同类项的定义和整式的化简，利用相同字母指数相同来求解是解题的关键.

$- 2 a^{2} b^{4} / - 2 b^{4} a^{2}$

本题考查合并同类项，同类项（所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式），解题的关键是根据同类项的定义求出未知数m，n的值，然后合并同类项．据此解答即可