七年级数学 11.5：整式的除法 - 个人博客-初高中数学

系列阅读：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章整式的加减复习。

阅读提示

先独立作答，再展开答案、分析思路和详细解析。字母作除式时默认原式有意义，化简后仍须保留原除式非零的条件。含字母的参数等式按整式恒等式理解；遇到具体底数的幂等式，不可无条件比较指数。源题缺少必要条件之处会在题解中说明。

一、知识清单#

知识点 1 同底数幂的除法#

1. 观察与法则#

2^5\div2^2=\frac{2\times2\times2\times2\times2}{2\times2}=2^3=2^{5-2}

$a^5\div a^2=a^3=a^{5-2}$ （ $a\ne0$ ）。同理， $(-3)^m\div(-3)^n=(-3)^{m-n}$ 。一般地，若 $m,n$ 是正整数、 $m>n$ 、 $a\ne0$ ，则

a^m\div a^n=\frac{\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{m\text{ 个}}}{\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ 个}}}=a^{m-n}

同底数幂相除，底数不变，指数相减。这个运算可转化为指数的减法。 $a\ne0$ 时， $a^m\div a^m=1$ ，为使 $m=n$ 时法则仍成立，规定 $a^0=1$ 。

2. 要点#

同底数幂的乘法与除法互为逆运算，除式不能为零。
本节正整数指数形式先讨论 $m>n$ ； $m=n$ 时使用零次幂。多个同底数幂连续相除，应从左到右逐个减去指数。
底数可以是数、单项式或整式，使用除法时该底数必须非零。
$0^0$ 在本课程中不定义。非零常数可以视为零次单项式；零不能据此称为有确定次数的单项式。

即学即练#

1.#

计算：

(1) $4^{3}\div 4$

(2) $\left( -{\frac{1}{4}}\right)^{6}\div \left( -{\frac{1}{4}}\right)^{2}$

(3) $m^{22}\div m^{2}$

(4) $( - q )^{6}\div ( - q )$

(5) $( - a b )^{7}\div ( a b )^{3}$

(6) $( - x - y )^{4}\div ( x + y )^{3}$

查看答案

（1） $16$ ；（2） $\frac1{256}$ ；（3） $m^{20}$ ；（4） $-q^5$ ；（5） $-a^4b^4$ ；（6） $x+y$ 。

查看分析思路

同底数相除时指数相减，先检查负号和除式。

查看详细解析

（1） $4^{3-1}=16$ 。（2） $(-\frac14)^{6-2}=\frac1{256}$ 。（3） $m^{22-2}=m^{20}$ 。（4） $(-q)^{6-1}=-q^5$ 。（5） $(-ab)^7\div(ab)^3=-(ab)^{7-3}=-a^4b^4$ ，注意原题除式是 $(ab)^3$ 。（6） $(-x-y)^4=(x+y)^4$ ，所以原式为 $(x+y)^{4-3}=x+y$ 。字母除式要求 $m\ne0$ 、 $q\ne0$ 、 $ab\ne0$ 、 $x+y\ne0$ 。

2.#

计算：

(1) $\left( - a b \right)^{7}\div \left( - a b \right)^{2}\div \left( - a b \right)^{2}$

(2) $\left( m^{4}\right)^{2}\div m^{3}$

(3) $\left( - x^{2}\right) \cdot x^{6}\div \left( - x \right)^{4}$

查看答案

（1） $-a^3b^3$ ；（2） $m^5$ ；（3） $-x^4$ 。

查看分析思路

先算乘方，再按从左到右的顺序进行乘除。

查看详细解析

（1） $(-ab)^{7-2-2}=(-ab)^3=-a^3b^3$ 。（2） $m^{4\times2-3}=m^5$ 。（3） $(-x^2)x^6\div(-x)^4=-x^8\div x^4=-x^4$ 。对应除式中的底数均非零。

3.#

已知 $x^{a}= 2 , x^{b}= 6$

(1)求 $x^{a - b}$ 的值；

(2)求 $x^{2 a - b}$ 的值.

查看答案

（1） $\frac13$ ；（2） $\frac23$ 。

查看分析思路

把所求幂写成已知幂的商。

查看详细解析

$x^{a-b}=x^a\div x^b=2\div6=\frac13$ ； $x^{2a-b}=(x^a)^2\div x^b=4\div6=\frac23$ 。

知识点 2 单项式除以单项式#

1. 问题与思考#

2022 年我国粮食总产量大约为 $7.0\times10^{11}\ \mathrm{kg}$ 。如果按我国人口 $1.4\times10^9$ 人计算，人均粮食产量为

(7.0\times10^{11})\div(1.4\times10^9)=(7.0\div1.4)\times10^{11-9}=5\times10^2\ \mathrm{kg}

用乘法验证： $(5x^2)(1.4x^9)=7x^{11}$ 。除法是乘法的逆运算，所以 $(7x^{11})\div(1.4x^9)=5x^2$ （ $x\ne0$ ）。把单项式作为除式时，默认除以整个单项式。

2. 法则与要点#

两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除；只在被除式中出现的字母，连同它的指数保留。除式非零，且在整式商的范围内，被除式中相应字母的指数不能小于除式中的指数。法则是有理数除法与同底数幂除法的结合。

即学即练#

1.#

计算：

(1) $- 5 x^{5}y^{3}z \div 3 x^{2}y^{2};$

(2) $5 a^{2}b^{3}c \div ( - 2 a^{2}b )$

(3) $\left( - \frac 12 a^{2}b^{2}c \right) \div \left( - \frac 16 a b^{2}\right)$

(4) $\left( 3 x^{2}y \right)^{2}\cdot \left( - 15 x y^{3}\right) \div \left( - 9 x^{4}y^{2}\right)$

查看答案

（1） $-\frac53x^3yz$ ；（2） $-\frac52b^2c$ ；（3） $3ac$ ；（4） $15xy^3$ 。

查看分析思路

系数相除，相同字母的指数相减；只在被除式里出现的字母保留。

查看详细解析

（1） $(-5\div3)x^{5-2}y^{3-2}z=-\frac53x^3yz$ 。（2） $(5\div(-2))a^{2-2}b^{3-1}c=-\frac52b^2c$ 。（3） $[(-\frac12)\div(-\frac16)]a^{2-1}b^{2-2}c=3ac$ 。（4） $(3x^2y)^2\cdot(-15xy^3)\div(-9x^4y^2)=9x^4y^2\cdot(-15xy^3)\div(-9x^4y^2)=15xy^3$ 。

2.#

计算：

(1) $- 3 a^{7}b^{4}c \div 9 a^{4}b^{2}$

(2) $8 a^{3 m + 1}b^{m}\div \left( - 2 a^{2 m + 1}b^{m}\right)$

(3) $\left( 6.4 \times 10^{5}\right) \div 200 ;$

(4) $\left( 2 a b^{2}\right)^{3}\div ( 4 a b )^{2}$

查看答案

（1） $-\frac13a^3b^2c$ ；（2） $-4a^m$ ；（3） $3.2\times10^3$ ；（4） $\frac12ab^4$ 。

查看分析思路

先化乘方，再分别处理数字系数和字母指数。

查看详细解析

（1） $(-3\div9)a^{7-4}b^{4-2}c=-\frac13a^3b^2c$ 。（2） $(8\div(-2))a^{(3m+1)-(2m+1)}b^{m-m}=-4a^m$ 。（3） $(6.4\times10^5)\div200=3.2\times10^3$ 。（4） $(2ab^2)^3\div(4ab)^2=8a^3b^6\div16a^2b^2=\frac12ab^4$ 。

3.#

已知 $(-5a^{m+1}b^{2n-1})\div a^3b=-5ab^2$ ，则 $m,n$ 的值分别为（　）。 A. $m=3,n=-1$ 　B. $m=1,n=4$ 　C. $m=3,n=8$ 　D. $m=3,n=2$

查看答案

查看分析思路

化简左边并在整式恒等式中比较指数。

查看详细解析

$(-5a^{m+1}b^{2n-1})\div a^3b=-5a^{m-2}b^{2n-2}$ ，因此 $m-2=1$ 、 $2n-2=2$ ，得 $m=3,n=2$ 。

知识点 3 整式除以单项式#

整式除以单项式，先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例如 $m\ne0$ 时：

(am+bm+cm)\div m=am\div m+bm\div m+cm\div m=a+b+c

这种算法利用除法对加法的分配规律。计算时每一项都包括它前面的符号，不能漏项或漏掉常数商。若希望商仍是整式，还需各项除法都能得到整式。

即学即练#

1.#

计算：(1) $\left( 16 a^{2}b^{2}+ 6 a^{2}b \right) \div \left( - 2 a^{2}b \right) .$ (2) $\left( 4 a^{2}b - a b^{2}-{\frac{1}{3}}a b \right) \div{\frac{1}{3}}a b .$

查看答案

（1） $-8b-3$ ；（2） $12a-3b-1$ 。

查看分析思路

被除式的每一项都要除以单项式。

查看详细解析

（1） $16a^2b^2\div(-2a^2b)+6a^2b\div(-2a^2b)=-8b-3$ 。（2） $4a^2b\div(\frac13ab)-ab^2\div(\frac13ab)-\frac13ab\div(\frac13ab)=12a-3b-1$ ，其中 $ab\ne0$ 。

2.#

计算：

(1) $\displaystyle{\Bigl ( - 6 a^{4}+ 24 a^{3}b - 8 a^{2}\Bigr ) \div \Bigl ( - 4 a^{2}\Bigr )}$

(2) $\left( 4 x^{3}y - x y^{3}+ \frac{3}{2}x y \right) \div ( - \frac{1}{2}x y )$

查看答案

（1） $\frac32a^2-6ab+2$ ；（2） $-8x^2+2y^2-3$ 。

查看分析思路

逐项相除并保留每项的符号。

查看详细解析

（1） $(-6a^4)\div(-4a^2)+(24a^3b)\div(-4a^2)-8a^2\div(-4a^2)=\frac32a^2-6ab+2$ 。（2） $4x^3y\div(-\frac12xy)-xy^3\div(-\frac12xy)+\frac32xy\div(-\frac12xy)=-8x^2+2y^2-3$ 。

3.#

先化简，再求值： $[ a \bigl ( a - 2 b \bigr ) + \bigl ( a + 2 b \bigr ) \bigl ( - a + 2 b \bigr ) - 6 b ] \div 2 b$ ，其中 $a - 2 b + 1 = 0$

查看答案

$2b-a-3$ ；值为 $-2$ 。

查看分析思路

先展开中括号，利用条件整体代入。

查看详细解析

括号内为 $a^2-2ab+4b^2-a^2-6b=4b^2-2ab-6b$ ；除以 $2b$ 得 $2b-a-3$ 。由 $a-2b+1=0$ 得 $2b-a=1$ ，所以值为 $1-3=-2$ ，并要求 $b\ne0$ 。

二、题型精讲#

题型 01 同底数幂的除法#

典例1#

下列计算是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”，并写出正确的计算结果。（1） $a^8\div a^4=a^2$ （），；（2） $t^{10}\div t^9=t$ （），；（3） $m^5\div m=m^5$ （），；（4） $(-b)^6\div(-b)^2=-b^4$ （），。

查看答案

（1）×， $a^4$ ；（2）√， $t$ ；（3）×， $m^4$ ；（4）×， $b^4$ 。

查看分析思路

用指数相减检查四个等式。

查看详细解析

$a^8\div a^4=a^4$ ； $t^{10}\div t^9=t$ ； $m^5\div m=m^4$ ； $(-b)^6\div(-b)^2=(-b)^4=b^4$ 。

变式1#

计算下列各题：

(1) $a^{7}\div a^{4}$

(2) $\left( - m \right)^{8}\div \left( - m \right)^{3}$

(3) $x^{2 m + 2}\div x^{m + 2}$

(4) $( x - y )^{5}\div ( y - x )^{3}$

查看答案

（1） $a^3$ ；（2） $-m^5$ ；（3） $x^m$ ；（4） $-(y-x)^2$ 。

查看分析思路

对互为相反数的底数先统一符号。

查看详细解析

（1） $a^{7-4}=a^3$ 。（2） $(-m)^{8-3}=-m^5$ 。（3） $x^{(2m+2)-(m+2)}=x^m$ 。（4） $(x-y)^5=-(y-x)^5$ ，原式为 $-(y-x)^{5-3}=-(y-x)^2$ 。

变式2#

计算：（1） $0.1^8\div0.1^6$ ；（2） $(-\frac13)^7\div(-\frac13)^4$ ；（3） $(a-b)^3\div(a-b)$ ；（4） $(xy)^5\div(xy)^3$ 。

查看答案

（1） $0.01$ ；（2） $-\frac1{27}$ ；（3） $a^2-2ab+b^2$ ；（4） $x^2y^2$ 。

查看分析思路

先用除法法则，再展开平方。

查看详细解析

（1） $0.1^{8-6}=0.1^2=0.01$ 。（2） $(-\frac13)^{7-4}=-\frac1{27}$ 。（3） $(a-b)^{3-1}=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 。（4） $(xy)^{5-3}=x^2y^2$ 。

题型 02 幂的综合运算#

典例1#

计算：

(1) $x^{3}y^{2}\cdot \left( x y^{2}\right)^{3}\div \left( x y \right)^{2}$

(2) $\left( a^{5}\right)^{3}\cdot \left( a^{2}\right)^{4}\div a^{12}\div \left( a^{2}\right)^{5}$

查看答案

（1） $x^4y^6$ ；（2） $a$ 。

查看分析思路

乘方先乘指数，乘除再分别加减指数。

查看详细解析

（1） $x^3y^2\cdot x^3y^6\div x^2y^2=x^{3+3-2}y^{2+6-2}=x^4y^6$ 。（2） $a^{15}\cdot a^8\div a^{12}\div a^{10}=a^{15+8-12-10}=a$ 。

变式1#

计算：
(1) $a^{5}\cdot a^{4}\div a^{2}$
(2) $a^{5}\div a^{4}\cdot a^{2}$
(3) $\left( a + b \right)^{8}\div \left( a + b \right)^{4};$
(4) $( - x )^{8}\div ( - x )^{3}\div ( - x )^{2}$

查看答案

（1） $a^7$ ；（2） $a^3$ ；（3） $(a+b)^4$ ；（4） $-x^3$ 。

查看分析思路

同级的乘除从左到右运算。

查看详细解析

$a^{5+4-2}=a^7$ ； $a^{5-4+2}=a^3$ ； $(a+b)^{8-4}=(a+b)^4$ ； $(-x)^{8-3-2}=-x^3$ 。

变式2#

计算：

(1) $\left( - x y \right)^{9}\div \left( - x y \right)^{6}$

(2) $\Big ( a^{3}\Big )^{5}\cdot \Big ( a^{2}\Big )^{4}\div \Big ( a^{4}\Big )^{3}\div \Big ( a^{2}\Big )^{5}\div a :$

(3) $\left[ \left( x - 2 y \right)^{3}\right]^{3}\div \left[ \left( 2 y - x \right)^{2}\right]^{4}$

查看答案

（1） $-x^3y^3$ ；（2） $1$ ；（3） $x-2y$ 。

查看分析思路

先算幂的乘方，再检查零次幂和相反数。

查看详细解析

（1） $(-xy)^{9-6}=-x^3y^3$ 。（2） $a^{15+8-12-10-1}=a^0=1$ ，其中 $a\ne0$ 。（3）分子为 $(x-2y)^9$ ，分母为 $(2y-x)^8=(x-2y)^8$ ，所以商为 $x-2y$ ，其中 $x-2y\ne0$ 。

题型03 根据同底数幂的除法求参数的值#

典例1#

若 $2^{3}\cdot m = 2^{7}$ ，则m的值为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

查看答案

查看分析思路

用等式两边同时除以 $2^3$ 。

查看详细解析

$m=2^7\div2^3=2^{7-3}=16$ 。

变式1#

若 $\left( x^{2}\right)^{3}\div x^{m}= x^{4}$ ，则m=

查看答案

$m=2$

查看分析思路

把左边化为一个幂，在整式恒等式语境下比较指数。

查看详细解析

$(x^2)^3\div x^m=x^{6-m}=x^4$ ，所以 $6-m=4$ ，得 $m=2$ 。这里按关于 $x$ 的恒等式理解；若只给某个特殊底数，如 $x=1$ ，则不能单凭数值等式确定 $m$ 。

变式2#

已知 $4^{m + 3}\cdot 8^{m + 1}\div 2^{4 m + 7}= 16$ ，求m的值.

查看答案

$m=2$

查看分析思路

把所有底数统一为 2。

查看详细解析

$4^{m+3}\cdot8^{m+1}\div2^{4m+7}=2^{2m+6+3m+3-4m-7}=2^{m+2}=2^4$ ，故 $m+2=4,m=2$ 。

题型04 同底数幂除法的逆用#

典例1#

已知 $x^a=2,x^b=6$ 。（1）求 $x^{a-b}$ 的值；（2）求 $x^{2a-b}$ 的值。

查看答案

（1） $\frac13$ ；（2） $\frac23$ 。

查看分析思路

将所求幂改写成已知幂的乘积和商。

查看详细解析

$x^{a-b}=2\div6=\frac13$ ； $x^{2a-b}=2^2\div6=\frac23$ 。

变式1#

已知： $10^{m}= 5 ~ , ~ 10^{n}= 4$ ，求 $10^{2 m - 3 n}$ 的值.

查看答案

$\frac{25}{64}$ 。

查看分析思路

将指数的线性组合转化为乘方的商。

查看详细解析

$10^{2m-3n}=(10^m)^2\div(10^n)^3=5^2\div4^3=\frac{25}{64}$ 。

变式2#

若 $4^{2 x + 1}= 64$ ，则 $4^{2 x - 1}$ 的值为

查看答案

$4$

查看分析思路

两指数相差 2，可直接相除。

查看详细解析

$4^{2x-1}=4^{2x+1}\div4^2=64\div16=4$ 。

变式3#

（1）已知 $a^{m}= 2 \ , \quad a^{n}= 3$ ，求

① $a^{m + n}$ 的值；

② $a^{3 m - 2 n}$ 的值

(2) 已知 $3 \times 9^{x}\times 27 = 3^{22}$ ，求x的值.

查看答案

（1）① $6$ ；② $\frac89$ ；（2） $x=9$ 。

查看分析思路

逆用幂的乘方和同底数幂乘除法。

查看详细解析

① $a^{m+n}=a^ma^n=2\times3=6$ 。② $a^{3m-2n}=(a^m)^3\div(a^n)^2=\frac89$ 。（2） $3\times9^x\times27=3^{1+2x+3}=3^{22}$ ，因此 $2x+4=22,x=9$ 。

题型05 根据同底数幂除法求代数式的值#

典例1#

已知 $3^{a}\div 3^{b}= 9 , a b = 3$ ，则a+b的值为（）A. 16 B. 4 C. -4 D. ±4

查看答案

D， $a+b=\pm4$ 。

查看分析思路

先求差，再用完全平方公式求和。

查看详细解析

$3^{a-b}=9=3^2$ ，所以 $a-b=2$ 。 $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=4+12=16$ ，故 $a+b=\pm4$ 。

变式1#

若 $2^{a}= 6 , 4^{b}= 5 , 8^{c}= 15$ ，则 $a + 2 b - 3 c =$

查看答案

$1$

查看分析思路

把各幂统一为底数 2。

查看详细解析

$2^{a+2b-3c}=2^a\cdot4^b\div8^c=6\times5\div15=2=2^1$ ，所以 $a+2b-3c=1$ 。

变式2#

若 $10^{a}= 20 \ , 100^{b}= 50$ ，则 $2 a + 4 b - 1$ 的值是（） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10

查看答案

B， $5$ 。

查看分析思路

利用已知数求对应的幂，再比较指数。

查看详细解析

$10^{2a}=20^2=400$ ， $10^{4b}=(100^b)^2=50^2=2500$ ，因此 $10^{2a+4b-1}=400\times2500\div10=100000=10^5$ ，故所求值为 $5$ 。

题型06 根据同底数幂除法求参数之间的关系#

典例1#

已知 $5^{a}= 3 , 5^{b}= 8 , 5^{c}= 72$

(1)求 $\left( 5^{a}\right)^{2}$ 的值；

(2)求 $5^{a + b - c}$ 的值；

(3)直接写出字母 $a,b,c$ 之间的数量关系为

查看答案

（1） $9$ ；（2） $\frac13$ ；（3） $c=2a+b$ 。

查看分析思路

先算已知幂的乘积，再利用固定底数 5 的指数一一对应。

查看详细解析

（1） $(5^a)^2=3^2=9$ 。（2） $5^{a+b-c}=5^a5^b\div5^c=3\times8\div72=\frac13$ 。（3） $5^{2a+b}=(5^a)^2\cdot5^b=9\times8=72=5^c$ ，所以 $c=2a+b$ 。

变式1#

已知： $2^{a}= 3 , 2^{b}= 5 , 2^{c}= 75$

(1)求 $2^{c + b - a}$ 的值；

(2)证明： $a = c - 2 b$

查看答案

（1） $125$ ；（2） $a=c-2b$ 。

查看分析思路

分别逆用乘法和除法的指数规律。

查看详细解析

（1） $2^{c+b-a}=2^c2^b\div2^a=75\times5\div3=125$ 。（2） $2^{c-2b}=2^c\div(2^b)^2=75\div25=3=2^a$ ，故 $a=c-2b$ 。

题型07 单项式除以单项式#

典例1#

计算：

(1) $8 a^{3}b^{5}c \div ( - 2 a b )^{3}$

(2) $\left( - 4 x y \right)^{3}\div \left( - 2 x y \right)$

查看答案

（1） $-b^2c$ ；（2） $32x^2y^2$ 。

查看分析思路

先算积的乘方，再作单项式除法。

查看详细解析

（1） $8a^3b^5c\div(-2ab)^3=8a^3b^5c\div(-8a^3b^3)=-b^2c$ 。（2） $(-4xy)^3\div(-2xy)=-64x^3y^3\div(-2xy)=32x^2y^2$ 。

变式1#

计算：

(1) $- 5 a^{5}b^{3}c \div 15 a^{4}b$

(2) $- a^{2}x^{4}y^{3}\div \left( -{\frac{5}{6}}a x y^{2}\right) ;$

(3) $6 x^{2}y^{5}\div \left( 3 x y^{2}\right)^{2}$

查看答案

（1） $-\frac13ab^2c$ ；（2） $\frac65ax^3y$ ；（3） $\frac23y$ 。

查看分析思路

系数相除，字母指数逐个相减。

查看详细解析

（1） $(-5\div15)a^{5-4}b^{3-1}c=-\frac13ab^2c$ 。（2） $(-a^2x^4y^3)\div(-\frac56axy^2)=\frac65ax^3y$ 。（3） $6x^2y^5\div(3xy^2)^2=6x^2y^5\div9x^2y^4=\frac23y$ 。

变式2#

计算：

(1) $- 5 x^{5}y^{3}z \div 3 x^{2}y^{2}$

(2) $5 a^{2}b^{3}c \div ( - 2 a^{2}b )$

(3) $\left( - \frac 12 a^{2}b^{2}c \right) \div \left( - \frac 16 a b^{2}\right)$

(4) $\left( 3 x^{2}y \right)^{2}\cdot \left( - 15 x y^{3}\right) \div \left( - 9 x^{4}y^{2}\right)$

查看答案

（1） $-\frac53x^3yz$ ；（2） $-\frac52b^2c$ ；（3） $3ac$ ；（4） $15xy^3$ 。

查看分析思路

先算乘方，各项的系数和字母分别处理。

查看详细解析

（1） $(-5\div3)x^{5-2}y^{3-2}z=-\frac53x^3yz$ 。（2） $(5\div(-2))a^{2-2}b^{3-1}c=-\frac52b^2c$ 。（3） $[(-\frac12)\div(-\frac16)]a^{2-1}b^{2-2}c=3ac$ 。（4） $9x^4y^2\cdot(-15xy^3)\div(-9x^4y^2)=15xy^3$ 。

题型08 单项式除以单项式的应用#

典例1#

已知 $28 a^{3}b^{m}\div ( 28 a^{n}b^{2}) = b^{2}$ ，那么m，n的值分别为（）A. 4, 3 B. 4, 1 C. 1, 3 D. 2, 3

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A， $m=4,n=3$ 。

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把左边化简，再比较恒等式中相同字母的指数。

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$28a^3b^m\div(28a^nb^2)=a^{3-n}b^{m-2}=b^2$ ，所以 $3-n=0,m-2=2$ ，得 $n=3,m=4$ 。

变式1#

若n是正整数，且 $x^{2 n}= 6$ ，则 $\left( 2 x^{3 n}\right)^{3}\div \left( 6 x^{5 n}\right) =$

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$48$

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利用幂的乘方化简后整体代入。

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$(2x^{3n})^3\div(6x^{5n})=\frac86x^{9n-5n}=\frac43(x^{2n})^2=\frac43\times36=48$ 。

变式2#

明明在检查作业时，发现有一道题的部分内容被墨水浸染了： $\square\times\frac23ab=2a^2b^3$ ，那么这部分内容可能是（　）。 A. $3ab$ 　B. $3a^2b$ 　C. $3ab^2$ 　D. $3a^2b^2$

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C， $3ab^2$ 。

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被遮住的因式等于积除以已知因式。

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$2a^2b^3\div(\frac23ab)=2\times\frac32a^{2-1}b^{3-1}=3ab^2$ 。

题型09 整式除以单项式#

典例 1#

计算：

(1) $\left( 3 x^{2}y^{2}- 2 x y^{2}+ x y \right) \div \left( \frac{1}{2}x y \right) .$

(2) $\left( 12 a^{4}- 4 a^{3}- 8 a^{2}\right) \div ( 2 a )^{2}$

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（1） $6xy-4y+2$ ；（2） $3a^2-a-2$ 。

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分子各项分别相除；第二题先算除式的平方。

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（1） $3x^2y^2\div(\frac12xy)-2xy^2\div(\frac12xy)+xy\div(\frac12xy)=6xy-4y+2$ 。（2）除式为 $(2a)^2=4a^2$ ，因此商为 $3a^2-a-2$ 。

变式1#

计算：（1） $(\frac23a^5b^8-2a^2b^6)\div(\frac13ab^3)^2$ ；（2） $(\frac3{10}m^6n^2+\frac12m^5n^4-\frac13m^4n^2)\div(-\frac12m^2n)^2$ 。

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（1） $6a^3b^2-18$ ；（2） $\frac65m^2+2mn^2-\frac43$ 。

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先求除式的平方，再逐项相除。

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（1）除式为 $\frac19a^2b^6$ ，两项分别相除得 $6a^3b^2$ 和 $-18$ 。（2）除式为 $\frac14m^4n^2$ ，三项分别相除得 $\frac65m^2$ 、 $2mn^2$ 、 $-\frac43$ 。

变式2#

计算：

(1) $( 8 x^{4}- 5 x^{3}) \div ( - 2 x^{2})$

(2) $( 45 a^{3}b^{2}- 12 a^{2}b^{3}) \div 3 a^{2}b$

(3) $( - 28 x y^{3}+ 77 x y^{2}- 84 x ) \div ( - 7 x )$

(4) $\left( -{\frac{5}{12}}x y z^{2}- x^{2}y z +{\frac{3}{4}}x y^{2}z \right) \div{\frac{1}{12}}x y z$

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（1） $-4x^2+\frac52x$ ；（2） $15ab-4b^2$ ；（3） $4y^3-11y^2+12$ ；（4） $-5z-12x+9y$ 。

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对分子的每一项实行同一除法。

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（1） $8x^4\div(-2x^2)-5x^3\div(-2x^2)=-4x^2+\frac52x$ 。（2） $45a^3b^2\div3a^2b-12a^2b^3\div3a^2b=15ab-4b^2$ 。（3） $(-28xy^3)\div(-7x)+77xy^2\div(-7x)-84x\div(-7x)=4y^3-11y^2+12$ 。（4）将三项分别除以 $\frac1{12}xyz$ 得 $-5z-12x+9y$ 。

题型10整式除以单项式的求值问题#

典例1#

先化简，再求值： $[ \big ( x - 2 y \big )^{2}+ \big ( x + 2 y \big ) \big ( x - 2 y \big ) ] \div 2 x$ ，其中 $x = 2 , y = - 3$

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$x-2y$ ；值为 $8$ 。

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展开公式并合并同类项，然后代入。

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$[(x-2y)^2+(x+2y)(x-2y)]\div2x=(2x^2-4xy)\div2x=x-2y$ 。代入 $x=2,y=-3$ 得 $2-2(-3)=8$ 。原式要求 $x\ne0$ 。

变式1#

先化简，再求值： $( a + b ) ( a - b ) + \ ( 4 a b^{3}- 8 a^{2}b^{2}) \div 4 a b$ ，其中a=2，b=1.

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$a^2-2ab$ ；值为 $0$ 。

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用平方差公式及逐项除法化简。

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原式 $=a^2-b^2+b^2-2ab=a^2-2ab$ 。代入 $a=2,b=1$ 得 $4-4=0$ 。

变式2#

先化简，再求值. $\left[ \left({\frac{1}{2}}x - 2 y \right)^{2}- \left( - y +{\frac{1}{2}}x \right) \left({\frac{1}{2}}x + y \right) + y \left( x^{2}y - 5 y \right) \right] \div x y$ ,其中 $\left| x - 1 \right| + \left( y + 2 \right)^{2}= 0$

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$xy-2$ ；值为 $-4$ 。

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先化简，再由两个非负数的和为零求出变量。

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中括号为 $\frac14x^2-2xy+4y^2-(\frac14x^2-y^2)+x^2y^2-5y^2=x^2y^2-2xy$ 。除以 $xy$ 得 $xy-2$ 。由 $|x-1|+(y+2)^2=0$ 得 $x=1,y=-2$ ，所以值为 $-4$ 。

题型11 整式除以单项式的应用一积商思想#

典例1#

如果 $\left( 4 a^{2}b - 3 a b^{2}\right) \div M = - a b$ ，那么M =

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$M=-4a+3b$ 。

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利用被除式等于除式乘商。

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$M=(4a^2b-3ab^2)\div(-ab)=-4a+3b$ 。须使原除式 $M\ne0$ ；此求商步骤按 $ab\ne0$ 的通常条件进行。

变式1#

一个整式除以 $-{\frac{1}{2}}x$ ，商为 $- 6 x + 2 y - 1$ ，这个整式为

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$3x^2-xy+\frac12x$ 。

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被除式等于除式乘商。

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$(-\frac12x)(-6x+2y-1)=3x^2-xy+\frac12x$ 。

变式2#

整式 $A$ 与单项式 $2a^2b$ 的积为 $38a^4b^5-22a^7b^2$ ，则整式 $A$ 为____。

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$19a^2b^4-11a^5b$ 。

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用积除以已知因式。

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$A=(38a^4b^5-22a^7b^2)\div2a^2b=19a^2b^4-11a^5b$ 。

变式3#

已知整式 $2 x^{3}- 4 x^{2}- 10$ 除以一个整式A，得商式为2x，余式为 $x - 10$ ，求这个整式A是

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$x^2-2x-\frac12$ 。

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被除式减去余式等于除式乘商。

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$2xA=2x^3-4x^2-10-(x-10)=2x^3-4x^2-x$ ，所以 $A=x^2-2x-\frac12$ 。这按源题的等式求除式；若另要求标准多项式除法，余式次数必须低于除式次数。

题型12 整式除以单项式的应用—遮住、看错等问题#

典例1#

老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下： $\square\times2x=4x^2-6xy+2x$ ，则所指的整式为____。

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$2x-3y+1$ 。

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将等式右边除以 $2x$ 。

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$(4x^2-6xy+2x)\div2x=2x-3y+1$ ，其中 $x\ne0$ 。

变式1#

小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水： $(24x^4y^3-\square+6x^2y^2)\div(-6x^2y)=-4x^2y^2+3xy-y$ 。通过计算，这道题的“■”处应是____。

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$18x^3y^2$ 。

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把等式右边乘以除式，再对比被除式。

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$(-6x^2y)(-4x^2y^2+3xy-y)=24x^4y^3-18x^3y^2+6x^2y^2$ ，因此方块中为 $18x^3y^2$ 。

变式2#

已知A=2x，B是一个整式，在计算B+A时，小马同学把B+A看成了B÷A，结果得 $x +{\frac{1}{2}}$ 则B+A=_

查看答案

$2x^2+3x$ 。

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先由误算的商恢复 $B$ ，再求正确的和。

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$B=2x(x+\frac12)=2x^2+x$ ，所以 $B+A=2x^2+x+2x=2x^2+3x$ 。

变式3#

已知A=3x，B是整式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B÷A，结果得 $2 x^{2}-{\frac{1}{3}}x + 1$ 细心的小明同学计算正确，那么小明计算出B+A的值为

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$6x^3-x^2+6x$ 。

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先求被除式，再计算真正需要的加法。

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$B=3x(2x^2-\frac13x+1)=6x^3-x^2+3x$ ，所以 $B+A=6x^3-x^2+6x$ 。

题型13 整式除以单项式的几何应用#

典例1#

面积为 $(a^2-2ab)$ 的长方形，若它的宽为 $a$ ，则它的长为____。

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$a-2b$ 。

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长方形的长等于面积除以宽。

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$(a^2-2ab)\div a=a-2b$ 。几何情形还要求 $a>0$ 且 $a-2b>0$ 。

变式1#

已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $6 m^{4}- 3 m^{3}+ m^{2}$ ，一边长为 $3 m^{2}$ ，则这条边上的高为

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$4m^2-2m+\frac23$ 。

查看分析思路

三角形的高等于面积的两倍除以底边长。

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$h=2(6m^4-3m^3+m^2)\div3m^2=4m^2-2m+\frac23$ ，其中 $m\ne0$ 。

题型14 材料题一整式除以整式#

典例1#

在求整式除以整式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得 $(x^2-3x+11)\div(x+2)$ 的商式为 $x-5$ ，余式为 $22$ ，如下面的等式所示：

x^2-3x+11=(x+2)(x-5)+22

运用此方法，那么 $(3x^3+2x^2+x+5)\div(x+1)$ 的商式为____，余式为____。

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商式 $3x^2-x+2$ ；余式 $3$ 。

查看分析思路

依次用最高次项确定商的每一项。

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$3x^3+2x^2+x+5-3x^2(x+1)=-x^2+x+5$ ；再减 $-x(x+1)$ 得 $2x+5$ ；再减 $2(x+1)$ 得 $3$ 。即 $3x^3+2x^2+x+5=(x+1)(3x^2-x+2)+3$ ，余式次数低于除式。

变式1#

在学习整式的除法之后，小婷通过延伸发现：两个整式相除，可以先把这两个整式都按照同一字母的降幂排列，然后仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算。计算 $(8x^2+6x+1)\div(2x+1)$ 时，可以仿照 $936\div18$ 用竖式计算： $8x^2+6x+1=(2x+1)(4x+1)$ 。请你仿照上面的例子计算 $(3x^2+8x+4)\div(x+2)$ 的结果为____。

查看答案

$3x+2$ 。

查看分析思路

按降幂排列进行整式竖式除法。

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$3x^2+8x+4-3x(x+2)=2x+4$ ，再减 $2(x+2)$ 得零。即 $3x^2+8x+4=(x+2)(3x+2)$ ，故商为 $3x+2$ 、余式为零。

变式2#

我们学过单项式除以单项式、整式除以单项式，那么整式除以整式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为 $0$ 或余式的次数低于除式的次数。例如 $(8x^2+6x+1)\div(2x+1)$ 可依照 $672\div21$ 计算，商为 $4x+1$ ，余式为零。（1） $(6x^2-7x+2)\div(2x-1)$ 的商是____。（2）已知一个长为 $(x+2)$ ，宽为 $(x-2)$ 的长方形 $A$ ，若将它的长增加 $8$ ，宽增加 $a$ 就得到一个新长方形 $B$ ，此时长方形 $B$ 的周长是 $A$ 周长的 $3$ 倍（如图），用含 $x$ 的代数式表示 $a$ 。（3）在（2）的条件下，另有长方形 $C$ 的一边长为 $(x+9)$ ，若长方形 $B$ 的面积比 $C$ 的面积小 $55$ ，求长方形 $C$ 的另一边长。

查看答案

（1） $3x-2$ ；（2） $a=4x-8$ ；（3） $5x-5$ 。

查看分析思路

先求商；周长关系给出增加的宽，再用面积求另一边。

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（1） $6x^2-7x+2=(2x-1)(3x-2)$ 。（2） $x+2+8+x-2+a=3(x+2+x-2)$ ，解得 $a=4x-8$ 。（3） $S_B=(x+10)(x-2+a)=(x+10)(5x-10)=5x^2+40x-100$ 。 $S_C=S_B+55=5x^2+40x-45=(x+9)(5x-5)$ ，故另一边为 $5x-5$ 。长方形情形有 $x>2$ 。

三、强化训练#

一、单选题#

1.#

下列四个算式： ① $(-c)^4\div(-c)^2=-c^2$ ； ② $(-y)^6\div(-y^4)=-y^2$ ； ③ $z^3\div z=z^3$ ； ④ $a^{4m}\div a^m=a^4$ 。其中，计算错误的有（　）。A. 4 个　B. 3 个　C. 2 个　D. 1 个

查看答案

B，3 个。

查看分析思路

逐个计算，特别注意括号包住的是底数还是整项。

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① $(-c)^4\div(-c)^2=c^2$ ，错误。② $(-y)^6\div(-y^4)=y^6\div(-y^4)=-y^2$ ，正确；分母是 $-y^4$ ，不是 $(-y)^4$ 。③ $z^3\div z=z^2$ ，错误。④ $a^{4m}\div a^m=a^{3m}$ ，一般不等于 $a^4$ ，错误。

2.#

下列计算错误的是（）A. $- 6 x^{2}y^{3}\div \left( 2 x y^{2}\right) = - 3 x y$ B. $\left( - x y^{2}\right)^{3}\div \left( - x^{2}y \right) = x y^{5}$ C. $\left( - 2 x^{2}y \right)^{3}\div ( - x y ) = - 2 x^{5}y^{2}$ D. $- ( - a^{3}b )^{2}\div ( - a^{2}b^{2}) = a^{4}$

查看答案

查看分析思路

分别按单项式除法计算。

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A 的结果为 $-3xy$ ；B 的结果为 $(-x^3y^6)\div(-x^2y)=xy^5$ ；C 的结果为 $(-8x^6y^3)\div(-xy)=8x^5y^2$ ，与题面不同；D 为 $-a^6b^2\div(-a^2b^2)=a^4$ 。

3.#

已知 $\left( x^{n + a}+ x^{n + b}\right) \div x^{n + 1}= x^{2}+ x^{3}$ ，其中n是正整数， $a - b$ 的值是（）A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或1

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D， $-1$ 或 $1$ 。

查看分析思路

按关于 $x$ 的整式恒等式比较指数，并考虑两项交换。

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$x^{a-1}+x^{b-1}=x^2+x^3$ ，因此 $(a-1,b-1)=(2,3)$ 或 $(3,2)$ ，即 $(a,b)=(3,4)$ 或 $(4,3)$ ，故 $a-b=-1$ 或 $1$ 。若等式仅在特殊的一个 $x$ 值成立，则不能这样比较指数。

4.#

已知 $2^{a}= 8$ ，则 $2^{a - 2}$ 的值为（）A. 6 B. 1 C. 2 D. 4

查看答案

C， $2$ 。

查看分析思路

把所求幂表示为已知幂除以 $2^2$ 。

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$2^{a-2}=2^a\div2^2=8\div4=2$ 。

5.#

李老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：这个被捂住的整式是（　）。 $\square\times(-\frac12xy)=3x^2y-xy^2+\frac12xy$ 。 A. $6x+2y-1$ 　B. $-6x+2y-1$ 　C. $6x-2y+1$ 　D. $-6x-2y+1$

查看答案

B， $-6x+2y-1$ 。

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积除以已知因式，恢复被遮住的整式。

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$(3x^2y-xy^2+\frac12xy)\div(-\frac12xy)=-6x+2y-1$ 。中间一项的系数为 $(-1)\div(-\frac12)=2$ 。

6.#

下列运算正确的是（　）。 ① $(12x^{12}-6x^6)\div3x^3=4x^4-2x^2$ ； ② $(3a^2b-6ab)\div6ab=\frac12a$ ； ③ $(36x^6-24x^5)\div(6x^3\cdot x^2)=6x-4$ ； ④ $(21m^5n^2-9m^4n^3)\div3m^3n^2=7m^2-3mn$ 。 A. ①②　B. ③④　C. ①②③　D. ②③④

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B，③④。

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逐项相除，不能漏掉常数项。

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① 应为 $4x^9-2x^3$ 。② 应为 $\frac12a-1$ 。③ 除式为 $6x^5$ ，商为 $6x-4$ 。④ 商为 $7m^2-3mn$ 。因此③④正确。

7.#

已知 $2^{x}= 3$ ， $2^{2 x - 4 y}= 36$ ，若 $4^{y}= m$ ，则m的值为（） A. $\pm \frac 12$ B. $\frac 12$ C. 2 D. ±18

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B， $m=\frac12$ 。

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先求平方，再利用正底数幂为正排除负根。

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$2^{2x-4y}=(2^x)^2\div(4^y)^2=9\div m^2=36$ ，得 $m^2=\frac14$ 。由于 $m=4^y>0$ ，故 $m=\frac12$ 。

8.#

若整数x，y，z满足 ${\bigg (}{\frac{15}{8}}{\bigg )}^{x}\cdot{\bigg (}{\frac{16}{9}}{\bigg )}^{y}\cdot{\bigg (}{\frac{27}{10}}{\bigg )}^{z}= 16$ ，则 $x - y - z$ 的值为（）A. -2 B. -1 C. 0 D. 1

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A， $-2$ 。

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用质因数分解及整数指数的唯一性建立方程组。

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$5^{x-z}3^{x-2y+3z}2^{4y-3x-z}=2^4$ 。因为 $x,y,z$ 是整数，比较质因数的指数得 $x-z=0$ 、 $x-2y+3z=0$ 、 $4y-3x-z=4$ 。解得 $x=1,y=2,z=1$ ，故 $x-y-z=-2$ 。

二、填空题#

9.#

（1） $a^5\div a=$ ；（2） $(-x)^5\div(-x)^2=$ ；（3） $y^{16}\div$ $=y^{11}$ ；（4） $\div b^5=b^2$ ；（5） $(x-y)^9\div(x-y)^6=$ ____。

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（1） $a^4$ ；（2） $-x^3$ ；（3） $y^5$ ；（4） $b^7$ ；（5） $(x-y)^3$ 。

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缺少被除式时用商乘除式，缺少除式时用被除式除以商。

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（1） $a^{5-1}=a^4$ 。（2） $(-x)^{5-2}=-x^3$ 。（3） $y^{16}\div y^{11}=y^5$ 。（4） $b^2\cdot b^5=b^7$ 。（5） $(x-y)^{9-6}=(x-y)^3$ 。

10.#

计算： $3 m^{3}\cdot 4 m n \div ( 2 m^{2}) =$

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$6m^2n$ 。

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先乘后除，相同字母指数相减。

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$3m^3\cdot4mn\div2m^2=12m^4n\div2m^2=6m^2n$ 。

11.#

计算： $\left( - 12 x^{2}y^{3}+ 3 x y^{2}\right) \div \left( - 3 x y^{2}\right) =$

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$4xy-1$ 。

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两项分别除以 $-3xy^2$ 。

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$(-12x^2y^3)\div(-3xy^2)+3xy^2\div(-3xy^2)=4xy-1$ ，其中 $xy\ne0$ 。

12.#

长方形的面积为 $\left( 4 a^{2}- 6 a b + 2 a \right)$ ，如果它的长为2a，则它的宽为

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$2a-3b+1$ 。

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宽等于面积除以长。

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$(4a^2-6ab+2a)\div2a=2a-3b+1$ 。几何题要求 $a>0$ 且所得宽为正。

13.#

已知 $a^{m}= \frac{1}{4}, a^{n}= 2$ ，则 $a^{2 n - m}$

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$16$

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将所求式改写为已知幂的商。

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$a^{2n-m}=(a^n)^2\div a^m=2^2\div\frac14=16$ 。

14.#

已知 $3^{2 n + 1}\div 3^{4}= 3^{n}+ 3^{n}+ 3^{n}$ ，则n的值为.

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$n=4$

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右边三项是同类项，先相加再比较指数。

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$3^{2n+1}\div3^4=3^{2n-3}$ ， $3^n+3^n+3^n=3^{n+1}$ 。故 $2n-3=n+1$ ，得 $n=4$ 。

15.#

已知 $25^{a}\cdot 5^{2 b}= 5^{6}, 4^{b}\div 4^{c}= 4$ ，则代数式a-3b+4c的值是

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$-1$

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用两个已知等式得到指数之间的关系。

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$25^a5^{2b}=5^{2a+2b}=5^6$ ，故 $a+b=3$ ； $4^{b-c}=4$ ，故 $b-c=1$ 。因此 $a+c=2$ ， $a-3b+4c=(a+c)-3(b-c)=2-3=-1$ 。

16.#

如图，正方形卡片 $A$ 类、 $B$ 类和长方形卡片 $C$ 类若干张，如果要拼一个长为 $(3a+b)$ ，宽为 $(a+3b)$ 的大长方形，则需要 $C$ 类卡片张数为____。

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10 张（按字母面积恒等式配比）。

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展开总面积并匹配三类卡片的面积。

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$(3a+b)(a+3b)=3a^2+10ab+3b^2$ ，对应 A 类 3 张、B 类 3 张、C 类 10 张。这里采用面积作为关于 $a,b$ 的恒等式配比；若只给具体边长且允许三类面积恰好相同，单凭总面积不能保证卡片数量唯一。例如 $a=b$ 时三类卡片都同样大，需要另给拼法或配比条件。

三、解答题#

17.#

计算：（1） $(ab)^4\div ab$ ；（2） $-y^{3m-3}\div y^{n+1}$ ；（3） $(-\frac14x^2)^5\div(-0.25x^2)^2$ ；（4） $[(-5mn)^6\div(-5mn)^4]^2$ ；（5） $(x-y)^8\div(y-x)^4\cdot(x-y)$ 。

查看答案

（1） $a^3b^3$ ；（2） $-y^{3m-n-4}$ ；（3） $-\frac1{64}x^6$ ；（4） $625m^4n^4$ ；（5） $(x-y)^5$ 。

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先计算乘方和同底数幂除法，再处理负号。

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（1） $(ab)^{4-1}=a^3b^3$ 。（2） $-y^{3m-3-(n+1)}=-y^{3m-n-4}$ 。（3） $(-\frac14)^5x^{10}\div[(-\frac14)^2x^4]=(-\frac14)^3x^6=-\frac1{64}x^6$ 。（4） $[(-5mn)^{6-4}]^2=(-5mn)^4=625m^4n^4$ 。（5） $(y-x)^4=(x-y)^4$ ，所以原式为 $(x-y)^{8-4+1}=(x-y)^5$ 。除式均须非零；参数指数还须处于相应幂有意义的范围。

18.#

计算下列各题：（1） $(2x^2y)^3\cdot(-7xy^2)\div14x^4y^3$ ；（2） $[(2x+y)(x-y)+y^2]\div2x$ 。

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（1） $-4x^3y^2$ ；（2） $x-\frac12y$ 。

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先展开乘方或括号，再作除法。

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（1） $8x^6y^3\cdot(-7xy^2)\div14x^4y^3=-56x^7y^5\div14x^4y^3=-4x^3y^2$ 。（2） $[(2x+y)(x-y)+y^2]\div2x=(2x^2-xy)\div2x=x-\frac12y$ 。

19.#

已知 $\left( a^{x}\right)^{y}= a^{8}, \left( a^{x}\right)^{2}\div a^{y}= a^{3}$ ，求 $x y + 2 x - y$ 的值.

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原题条件不足；在 $a>0,a e1$ 或幂恒等式的语境下，答案为 $11$ 。

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比较同底数幂的指数需要额外条件，先辨明适用范围。

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若 $a>0,a\ne1$ ，则 $a^{xy}=a^8$ 得 $xy=8$ ， $a^{2x-y}=a^3$ 得 $2x-y=3$ ，故所求为 $11$ 。但源题没有限定底数；取 $a=1,x=y=1$ 时两个已知等式仍成立，而 $xy+2x-y=2$ 。因此仅按题面不能断定唯一答案。

20.#

先化简，再求值： $\left[ \left( x + 2 y \right) \left( x - 2 y \right) - \left( 2 x - y \right)^{2}- \left( x^{2}- 5 y^{2}\right) \right] \div \left( - 2 x \right)$ ，其中x，y满足 $x - y = - 2$

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$2x-2y$ ；值为 $-4$ ，须 $x\ne0$ 。

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先应用平方差和完全平方公式，再整体代入差。

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中括号 $=(x^2-4y^2)-(4x^2-4xy+y^2)-(x^2-5y^2)=-4x^2+4xy$ 。除以 $-2x$ 得 $2x-2y=2(x-y)$ ，代入 $x-y=-2$ 得 $-4$ 。 $x=0,y=2$ 虽满足差的条件，却使原式无意义，所以定义域需保留 $x\ne0$ 。

21.#

（1）若 $2 x - y + 3 = 1$ ，求 $4^{x}\div 2^{y}$ 的值；

(2) 若 $a^{x}\cdot a^{2 y}= a^{6}$ ，其中x，y是正整数，求 $2 x - 3 y$ 的值.

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（1） $\frac14$ ；（2）原题条件不足；在可比较指数的条件下为 $5$ 或 $-2$ 。

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第一问用指数差求值；第二问还要检查特殊底数。

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（1） $2x-y=-2$ ，故 $4^x\div2^y=2^{2x-y}=2^{-2}=\frac14$ 。（2）若 $a>0,a\ne1$ ，则 $x+2y=6$ ，正整数解为 $(x,y)=(2,2)$ 或 $(4,1)$ ，所求为 $-2$ 或 $5$ 。源题没有限制 $a$ ；取 $a=1,x=y=1$ ，仍有 $a^xa^{2y}=a^6$ ，但 $2x-3y=-1$ 。取 $a=0$ 时也无法由等式推出指数相等，因此源题本身不能确定这两个值。

22.#

小明在做练习册上的一道整式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是 $-8x^3y^3$ 及中间的“÷”，污染后习题形式如下： $(-8x^3y^3+\square+\square)\div\square$ 。小明翻看了书后的答案是“ $4x^2y^2-3xy+6x$ ”，你能够复原这个算式吗？请你试一试。

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$(-8x^3y^3+6x^2y^2-12x^2y)\div(-2xy)$ 。

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先由首项的商求出除式，再用除式乘完整商。

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除式 $=(-8x^3y^3)\div4x^2y^2=-2xy$ 。被除式 $=(-2xy)(4x^2y^2-3xy+6x)=-8x^3y^3+6x^2y^2-12x^2y$ ，所以复原式如答案，其中 $xy\ne0$ 。

23.#

已知A、B均为整式， $A = ( x y + 1 ) ( x y - 2 ) - 2 x^{2}y^{2}+ 2$ ，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“-”，这样他计算的正确结果为 $- x^{2}y^{2}$

(1)将整式A化为最简形式；

(2)求整式 B;

(3)求A÷B的正确结果.

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（1） $A=-x^2y^2-xy$ ；（2） $B=-xy$ ；（3） $xy+1$ 。

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先化简 $A$ ，再由误写成的减法恢复 $B$ 。

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（1） $A=x^2y^2-xy-2-2x^2y^2+2=-x^2y^2-xy$ 。（2） $A-B=-x^2y^2$ ，故 $B=A+x^2y^2=-xy$ 。（3） $A\div B=(-x^2y^2-xy)\div(-xy)=xy+1$ ，其中 $xy\ne0$ 。

24.#

如果 $x^n=y$ ，那么我们规定 $[x,y]=n$ 。例如：因为 $3^2=9$ ，所以 $[3,9]=2$ 。（1） $[3,81]=$ ；若 $[2,y]=6$ ，则 $y=$ 。（2）已知 $[3,60]=a$ ， $[3,4]=b$ ， $[3,m]=c$ ，若 $a-b=c$ ，则 $m=$ ____。（3）若 $[3,18]=x$ ， $[6,18]=y$ ，求 $\frac{36^y}{27^x}$ 的值。

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（1） $4$ ， $64$ ；（2） $15$ ；（3） $\frac1{18}$ 。

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将新定义还原成通常的幂等式。

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（1） $3^4=81$ ，所以 $[3,81]=4$ ； $[2,y]=6$ 即 $y=2^6=64$ 。（2） $3^a=60,3^b=4,3^c=m$ ，又 $a-b=c$ ，所以 $m=3^{a-b}=60\div4=15$ 。（3） $3^x=18,6^y=18$ ，故 $36^y\div27^x=(6^y)^2\div(3^x)^3=18^2\div18^3=\frac1{18}$ 。新定义用于题中正底数且底数不等于 1 的情况。

25.#

因为 $( x + 3 ) ( x - 2 ) = x^{2}+ x - 6$ ，所以 $\left( x^{2}+ x - 6 \right) \div ( x - 2 ) = x + 3$ ．这说明 $x^{2}+ x - 6$ 能被x-2整除，同时也说明整式 $x^{2}+ x - 6$ 有一个因式为x-2；另外，当x=2,整式 $x^{2}+ x - 6$ 的值为0．阅读上述材料回答问题：（1）由 $( x - 2 ) ( x + 1 ) = x^{2}- x - 2$ 可知，当x=_时，整式 $x^{2}- x - 2$ 的值为0；

（2）一般地，如果一个关于字母x的整式M，当 $x = a$ 时，M的值为0，那么M与代数式x-a之间有一定的关系，这种关系是：_

（3）已知关于x的整式 $x^{2}+ k x - 10$ 能被x-2整除，试求k的值.

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（1） $2$ 或 $-1$ ；（2） $M$ 能被 $x-a$ 整除；（3） $k=3$ 。

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利用因式与代入后为零的关系。

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（1） $(x-2)(x+1)=0$ 时 $x^2-x-2=0$ ，故 $x=2$ 或 $-1$ 。（2）把 $M$ 除以 $x-a$ ，余式为常数 $r$ ；令 $x=a$ 得 $M(a)=r=0$ ，所以余式为零。（3）令 $x=2$ 得 $4+2k-10=0$ ，因此 $k=3$ 。

系列导航：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章整式的加减复习。