七年级数学第 11 章：整式的乘除综合复习

系列阅读：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章整式的加减复习。

阅读提示

除式必须非零；含字母的参数等式按整式恒等式理解。逆用乘法公式时先辨认整体，求指数时还要核对底数及指数范围。

一、知识清单#

知识点 1 幂的运算#

1. 乘方与幂#

将 $n$ 个 $a$ 相乘的运算叫作乘方，记作 $a^n$ ，结果叫作幂。 $a$ 是底数，正整数 $n$ 是指数； $a^n$ 读作“ $a$ 的 $n$ 次方”或“ $a$ 的 $n$ 次幂”。例如 $a\cdot a\cdot a=a^3$ ， $n=1$ 时 $a^1=a$ 。

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ 个 }a}

2. 三条法则#

正整数指数范围内： $a^ma^n=a^{m+n}$ ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加； $(a^m)^n=a^{mn}$ ，幂的乘方，底数不变，指数相乘； $(ab)^n=a^nb^n$ ，积的乘方等于乘方的积。

推广： $((a^m)^n)^p=a^{mnp}$ ； $(abc)^n=a^nb^nc^n$ 。逆用： $a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$ ， $a^nb^n=(ab)^n$ 。例如 $(\frac12)^{10}\times2^{10}=(\frac12\times2)^{10}=1$ 。题中若出现负指数，另须使用非零底数及负整数指数的定义。

即学即练#

1.#

下列计算正确的是（）A. $a^{3}\cdot a^{2}= a^{6}$ B. $2 a \cdot 3 a = 6 a$ C. $\left( a^{3}\right)^{2}= a^{5}$ D. $\left( a b \right)^{2}= a^{2}b^{2}$

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逐个区分指数相加、指数相乘和系数相乘。

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A 应为 $a^5$ ；B 应为 $6a^2$ ；C 应为 $a^6$ ；D 由积的乘方得到 $a^2b^2$ ，正确。

2.#

计算： $a \cdot \left( - a \right)^{2}\cdot a^{3}=$

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$a^6$ 。

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先算偶次方，再合并同底数幂。

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$a(-a)^2a^3=a\cdot a^2\cdot a^3=a^{1+2+3}=a^6$ 。

3.#

计算： $2^{2025}\times \left( - \frac{1}{2}\right)^{2024}= .$

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$2$

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把指数相同的部分组成积的乘方。

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$2^{2025}(-\frac12)^{2024}=2[2(-\frac12)]^{2024}=2(-1)^{2024}=2$ 。

4.#

已知 $3^{m}= 2 , 9^{n}= 4$ ，则 $3^{m + 2 n}$ =_

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$8$

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把底数 9 改写为 $3^2$ 。

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$3^{2n}=9^n=4$ ，所以 $3^{m+2n}=3^m3^{2n}=2\times4=8$ 。

5.#

若 $3^{x + 1}\cdot 2^{x + 1}= 6^{2 x + 4}$ ，则x=

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$x=-3$

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合并相同指数的幂，统一底数。

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$3^{x+1}2^{x+1}=6^{x+1}=6^{2x+4}$ ，故 $x+1=2x+4$ ，得 $x=-3$ 。这里用正底数幂的规律；所得指数为负数时，按负整数指数定义计算仍成立。

知识点 2 整式的乘法#

1. 单项式与单项式相乘#

系数相乘，同底数幂分别相乘；只在一个单项式里出现的字母，连同指数作为积的一个因式。先确定系数的符号，再算绝对值，字母部分的相同底数幂指数相加。结果为单项式，三个以上单项式相乘同样适用。

2. 单项式与整式相乘#

用单项式乘整式的每一项，再把所得积相加： $m(a+b+c)=ma+mb+mc$ 。这是分配律的应用；注意每项前的符号。非零单项式相乘，合并后的项数与原整式相同；乘数为零时不能沿用项数不变的说法。

3. 整式与整式相乘#

用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所有积相加： $(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$ 。合并前展开的乘积项数等于两个式子项数的积，合并同类项后可能减少。特殊二项式相乘： $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ 。

即学即练#

1.#

计算： $\left( - 4 x^{3}y \right) \cdot \frac{1}{2}x y^{2}=$ （) A. $- 2 x^{4}y^{3}$ B. $2 x^{3}y^{4}$ C. $- x^{4}y^{3}$ D. $x^{3}y^{3}$

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系数相乘，同一字母指数相加。

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$(-4x^3y)\cdot\frac12xy^2=(-4\times\frac12)x^{3+1}y^{1+2}=-2x^4y^3$ 。

2.#

计算：
(1) ${\left( -{\frac{1}{2}}a^{3}b^{2}\right)}\cdot \left( 4 b + 8 a b^{3}\right)$ (2) $( - 3 m + 1 ) ( m - 2 )$

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（1） $-2a^3b^3-4a^4b^5$ ；（2） $-3m^2+7m-2$ 。

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应用分配律，最后合并同类项。

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（1） $(-\frac12a^3b^2)4b+(-\frac12a^3b^2)8ab^3=-2a^3b^3-4a^4b^5$ 。（2） $(-3m+1)(m-2)=-3m^2+6m+m-2=-3m^2+7m-2$ 。

3.#

若 $\big ( x - 2 \big ) \big ( x + m \big ) = x^{2}+ a x - 14$ ，则a=

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$a=5$

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展开左边后比较一次项和常数项的系数。

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$(x-2)(x+m)=x^2+(m-2)x-2m$ 。由恒等式得 $-2m=-14,m-2=a$ ，所以 $m=7,a=5$ 。

4.#

如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是____。（用含 $a$ 的代数式表示）

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$18a^2$ 。

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用大长方形面积减去两个空白长方形面积。

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总长为 $a+2a+a+2a+a=7a$ ，总高为 $1.5a+2.5a=4a$ ，故阴影面积 $4a\cdot7a-2\cdot2a\cdot2.5a=28a^2-10a^2=18a^2$ ，其中 $a>0$ 。

5.#

如果多项式 ${\big (}3 x^{2}- 2 x + 1{\big )}{\big (}a x - 3{\big )}$ 乘积中不含关于x的一次项，那么常数a=

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$a=-6$

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不含一次项意味着展开后一次项系数为零。

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$(3x^2-2x+1)(ax-3)=3ax^3-(9+2a)x^2+(6+a)x-3$ ，故 $6+a=0,a=-6$ 。

知识点 3 乘法公式#

平方差公式： $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 。 $a,b$ 可以是数或整式；抓住“一个相同项，一个相反项”。常见变形包括： $(a+b)(-b+a)$ 、 $(3x+5y)(3x-5y)$ 、 $(m^3+n^2)(m^3-n^2)$ 、 $(-a-b)(a-b)$ 、 $(m+n+p)(m-n+p)$ ，先调整次序或把共同部分看作整体。

完全平方公式： $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ， $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 。平方和加减两数乘积的两倍，才能构成完全平方。常用变形：

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab,\qquad(a+b)^2=(a-b)^2+4ab

即学即练#

1.#

下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）A. ${\bigl (}4 x - 3 y{\bigr )}{\bigl (}3 y - 4 x{\bigr )}$ B. $( - 4 x + 3 y ) ( - 4 x - 3 y )$ C. $\left( -{\frac{1}{4}}x + 2 y \right) \left( -{\frac{1}{4}}x - 2 y \right)$ D. $\displaystyle{\bigl (}3 y + 2 x{\bigr )}{\bigl (}2 x - 3 y{\bigr )}$

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平方差公式要求有一个相同项和一个相反项。

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A 的两项同时反号，积为 $-(4x-3y)^2$ ，不能直接用平方差公式。B 以 $-4x$ 为相同项，C 以 $-\frac14x$ 为相同项，D 以 $2x$ 为相同项，均符合平方差结构。

2.#

下列计算正确的是（）A. $\big ( x + 2 y \big ) \big ( x - 2 y \big ) = x^{2}- 2 y^{2}$ B. $\big ( x - y \big ) \big ( - x - y \big ) = - x^{2}- y^{2}$ C. $\left( x - 2 y \right)^{2}= x^{2}- 4 x y + 4 y^{2}$ D. $\left( x + y \right)^{2}= x^{2}+ y^{2}$

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用平方差和完全平方公式核对。

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A 应为 $x^2-4y^2$ ；B 为 $-(x-y)(x+y)=-x^2+y^2$ ；C 为 $x^2-4xy+4y^2$ ，正确；D 应为 $x^2+2xy+y^2$ 。

3.#

已知 $m^{2}+ k m + 81$ 是完全平方式，则k的值为（）A. 9 B. ±9 C. ±18 D. 18

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C， $k=\pm18$ 。

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常数项 $81=9^2$ ，中间项为首末两项乘积的两倍。

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$m^2+km+81=(m\pm9)^2=m^2\pm18m+81$ ，故 $k=\pm18$ 。

4.#

用乘法公式计算：(1) $99^{2}$ (2) $2025^{2}- 2024 \times 2026$

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（1） $9801$ ；（2） $1$ 。

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把接近整数的平方和邻数乘积变形。

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（1） $99^2=(100-1)^2=10000-200+1=9801$ 。（2） $2025^2-2024\times2026=2025^2-(2025-1)(2025+1)=2025^2-(2025^2-1)=1$ 。

5.#

已知 $a+b=5,ab=6$ 。（1）求 $a^2+b^2$ 的值；（2）求 $(a-b)^2$ 的值。

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（1） $13$ ；（2） $1$ 。

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分别由和的平方减去 $2ab$ 、 $4ab$ 。

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$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13$ ； $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=25-24=1$ 。

知识点 4 整式的除法#

同底数幂相除，底数不变，指数相减： $a^m\div a^n=a^{m-n}$ （正整数 $m>n$ 、 $a\ne0$ ）。 $m=n$ 时规定 $a^0=1$ （ $a\ne0$ ）。乘除互为逆运算，除式不能为零；连续除法应从左到右，底数可为数、单项式或整式。
两个单项式相除，系数和同底数幂分别相除，只在被除式中出现的字母保留。要使商仍是整式，相应字母的指数不能在相减后变为负数。
整式除以单项式，把每项分别相除后求和。 $m\ne0$ 时， $(am+bm+cm)\div m=a+b+c$ 。每项都包含它前面的符号，不能漏项。

即学即练#

1.#

计算： $\left( 6 a^{3}- 10 a^{2}+ 2 a \right) \div 2 a =$

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$3a^2-5a+1$ 。

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分子各项分别除以 $2a$ 。

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$6a^3\div2a-10a^2\div2a+2a\div2a=3a^2-5a+1$ ，其中 $a\ne0$ 。

2.#

计算： $\left( 10 a^{2}b \right) \div \left( 2 b \right) =$

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$5a^2$ 。

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系数与字母分别相除。

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$10a^2b\div2b=5a^2$ ，其中 $b\ne0$ 。

3.#

下列四个算式： ① $4x^2y\div\frac14xy=xy^3$ ； ② $16a^6b^4c\div8a^3b^2=2a^2b^2c$ ； ③ $9x^8y^2\div3x^3y=3x^5y$ ； ④ $(12m^3+8m^2-4m)\div(-2m)=-6m^2+4m+2$ 。其中正确的有（　）。A. 0 个　B. 1 个　C. 2 个　D. 3 个

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B，1 个。

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逐项计算检查，留意分数系数和负号。

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① $4x^2y\div(\frac14xy)=16x$ ；② $16a^6b^4c\div8a^3b^2=2a^3b^2c$ ；③ $9x^8y^2\div3x^3y=3x^5y$ ，正确；④ $(12m^3+8m^2-4m)\div(-2m)=-6m^2-4m+2$ 。只有③正确。

4.#

若 $2 a^{5}b^{2}\div a = 2 a^{m}b^{n}$ ，则m，n的取值分别为（ ) A. $m = 4 , n = 0$ B. m=4, n=2 C. m=5, n=2 D. $m = 5 , n = 0$

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B， $m=4,n=2$ 。

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按整式恒等式比较各字母的指数。

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$2a^5b^2\div a=2a^4b^2$ ，故 $m=4,n=2$ ，其中除式 $a\ne0$ 。

5.#

若一个长方形的面积为 $2 a b + b^{2}$ ，一边长为b，则另一边的长为

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$2a+b$ 。

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面积除以已知边长，得到另一边。

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$(2ab+b^2)\div b=2a+b$ 。边长条件为 $b>0$ 且 $2a+b>0$ 。

6.#

先化简再求值： $\left( a - b \right)^{2}+ \left( 8 a^{2}b^{2}- 4 a b^{3}\right) \div 4 a b$ ，其中a=2， $b = -{\frac{1}{2}}$

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$a^2$ ；值为 $4$ 。

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先展开完全平方，再逐项相除。

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原式 $=a^2-2ab+b^2+2ab-b^2=a^2$ 。代入 $a=2$ 得 $4$ ；原式要求 $ab\ne0$ ，题中给定值满足。

二、题型精讲#

题型 01 幂的运算#

典例1#

下列计算结果正确的是（）A. $a^{4}\cdot a^{2}{=}a^{8}$ B. $\left( - 3 a^{3}\right)^{2}= 6 a^{6}$ C. $a^{10}\div a^{2}= a^{5}$ D. $\left( - a b^{2}\right)^{2}= a^{2}b^{4}$

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分别按幂的乘法、乘方和除法计算。

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A 应为 $a^6$ ；B 应为 $9a^6$ ；C 在 $a\ne0$ 时应为 $a^8$ ；D 为 $a^2b^4$ ，正确。

变式1#

下列计算正确的是（）A. $x^{4}\cdot x^{4}= x^{14}$ B. $\left( a^{5}\right)^{2}= a^{7}$ C. $\left( a b^{2}\right)^{3}= a^{3}b^{6}$ D. $x^{10}\div x^{5}= x^{2}$

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按各自的运算法则核对指数。

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A 应为 $x^8$ ；B 应为 $a^{10}$ ；C 由积的乘方得 $a^3b^6$ ；D 在 $x\ne0$ 时应为 $x^5$ ，故选 C。

变式2#

若 $k$ 为正整数，则 $(\underbrace{k+k+\cdots+k}_{k\text{ 个 }k})^k=$ （　）。 A. $k^{2k+1}$ 　B. $k^{2k}$ 　C. $2k$ 　D. $k^2+k$

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B， $k^{2k}$ 。

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先求括号内 $k$ 个 $k$ 的和。

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$\underbrace{k+k+\cdots+k}_{k\text{ 个}}=k\cdot k=k^2$ ，故 $(k^2)^k=k^{2k}$ 。

题型02整式的乘除运算（解答题）#

典例1#

计算：（1） $-6a\cdot(a-3b)$ ；（2） $-\frac12ab\cdot(-\frac23ab^2-4ab)$ ；（3） $x\cdot(3x^2-5x+1)-3x^2\cdot(x-2)$ ；（4） $[ab\cdot(1-a)-2a\cdot(b-\frac12)]\cdot2ab^2$ 。

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（1） $-6a^2+18ab$ ；（2） $\frac13a^2b^3+2a^2b^2$ ；（3） $x^2+x$ ；（4） $-2a^3b^3-2a^2b^3+2a^2b^2$ 。

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逐项分配相乘，再合并同类项。

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（1） $-6a(a-3b)=-6a^2+18ab$ 。（2） $(-\frac12ab)(-\frac23ab^2-4ab)=\frac13a^2b^3+2a^2b^2$ 。（3） $3x^3-5x^2+x-3x^3+6x^2=x^2+x$ 。（4）中括号为 $ab-a^2b-2ab+a=-a^2b-ab+a$ ，乘以 $2ab^2$ 得 $-2a^3b^3-2a^2b^3+2a^2b^2$ 。

变式1#

计算：（1） $(-\frac12a^5b^2)^3$ ；（2） $(-x)^3\div x\cdot(-x)^2$ ；（3） $-10^{2n}\times100\div(-10)^{2n-1}$ ；（4） $(-9)^3\times(-\frac23)^3\times(\frac13)^3$ 。

查看答案

（1） $-\frac18a^{15}b^6$ ；（2） $-x^4$ ；（3） $10^3$ ；（4） $8$ 。

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乘方先算，乘除从左到右，指数符号需按整数范围判断。

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（1） $(-\frac12)^3a^{5\times3}b^{2\times3}=-\frac18a^{15}b^6$ 。（2） $(-x)^3\div x\cdot(-x)^2=-x^3\div x\cdot x^2=-x^4$ ，其中 $x\ne0$ 。（3）在 $n$ 为整数、各幂有意义时， $(-10)^{2n-1}=-10^{2n-1}$ ，故 $-10^{2n}\times100\div(-10)^{2n-1}=10^{2n+2-(2n-1)}=10^3$ 。题中参数未写范围，此处按本章整数指数情形理解。（4） $[(-9)(-\frac23)(\frac13)]^3=2^3=8$ 。

变式2#

计算：

(1) $( x + y )^{2}- ( x - y )^{2}$

(2) $\big ( 3 m + 4 n \big ) \big ( 3 m - 4 n \big ) \big ( 9 m^{2}+ 16 n^{2}\big )$

(3) $( a - b + 1 ) ( a + b - 1 )$

(4) $\left( 3 x - z \right)^{2}\left( - 3 x - z \right)^{2}$

查看答案

（1） $4xy$ ；（2） $81m^4-256n^4$ ；（3） $a^2-b^2+2b-1$ ；（4） $z^4-18x^2z^2+81x^4$ 。

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重复使用平方差或完全平方公式。

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（1） $(x+y)^2-(x-y)^2=4xy$ 。（2） $(9m^2-16n^2)(9m^2+16n^2)=81m^4-256n^4$ 。（3） $[a-(b-1)][a+(b-1)]=a^2-(b-1)^2=a^2-b^2+2b-1$ 。（4） $[(3x-z)(-3x-z)]^2=(z^2-9x^2)^2=z^4-18x^2z^2+81x^4$ 。

题型03 整式的乘除运算（选填题）#

典例 1#

计算： $- 2 x^{3}\cdot 3 x y =$

查看答案

$-6x^4y$ 。

查看分析思路

系数相乘，相同字母指数相加。

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$(-2\times3)x^{3+1}y=-6x^4y$ 。

变式1#

计算 $a \left( 5 a - 2 b \right) =$

查看答案

$5a^2-2ab$ 。

查看分析思路

用 $a$ 乘括号内的每一项。

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$a(5a-2b)=5a^2-2ab$ 。

变式2#

计算： $3 m^{3}\cdot 4 m n \div ( 2 m^{2}) =$

查看答案

$6m^2n$ 。

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先乘后除。

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$3m^3\cdot4mn\div2m^2=12m^4n\div2m^2=6m^2n$ ，其中 $m\ne0$ 。

变式3#

计算 $(8x^3y^2-6xy^2)\div(2xy^2)=$ ____。

查看答案

$4x^2-3$ 。

查看分析思路

逐项除以 $2xy^2$ 。

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$8x^3y^2\div2xy^2-6xy^2\div2xy^2=4x^2-3$ ，其中 $xy\ne0$ 。

变式4#

$(-3)^{2024}\times(-\frac13)^{2025}=$ ____。

查看答案

$-\frac13$ 。

查看分析思路

把 2024 次方组成整体积。

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$(-3)^{2024}(-\frac13)^{2025}=[(-3)(-\frac13)]^{2024}(-\frac13)=-\frac13$ 。

变式5#

给出下列式子：

① $\left( 3 a + 4 \right) \left( 3 a - 4 \right) = 9 a^{2}- 4 \ ;$ ② $\left( a - 2 b \right)^{2}= a^{2}- 4 b^{2}$

③ $\bigl ( 3 x - y \bigr ) \bigl ( x + y \bigr ) = 3 x^{2}- 2 x y + y^{2}$ ④ $\left( - 3 a + 2 \right) \left( - 3 a - 2 \right) = 9 a^{2}- 4$

其中正确的是（）A. ④ B. ③ C. ② D. ①

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A，④。

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分别展开四个等式的左边。

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① 左边为 $9a^2-16$ ；② 左边为 $a^2-4ab+4b^2$ ；③ 左边为 $3x^2+2xy-y^2$ ；④ 左边为 $9a^2-4$ 。只有④与右边相同。

题型04 根据整式的乘除运算求参数#

典例1#

如果 $( x - 4 ) ( x - 3 ) = x^{2}+ m x + n$ ，那么m、n的值分别是（）A. -7, 12 B. 7, 12 C. -7, -12 D. 7, -12

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A， $m=-7,n=12$ 。

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展开后比較对应系数。

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$(x-4)(x-3)=x^2-7x+12$ ，故 $m=-7,n=12$ 。

变式1#

若 $2 a^{5}b^{2}\div a = 2 a^{m}b^{n}$ ，则m，n的取值分别为（） A. m = 4, n = 0 B. m= 4, n = 2 C. m =5, n = 2 D. m = 5, n = 0

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B， $m=4,n=2$ 。

查看分析思路

按整式恒等式比较指数。

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$2a^5b^2\div a=2a^4b^2$ ，故 $m=4,n=2$ 。

变式2#

若 $\big ( x + n y \big ) \big ( x - 3 y \big ) = x^{2}- 2 x y + m y^{2}$ ，则m=

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$m=-3$

查看分析思路

先展开，再建立系数方程。

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$(x+ny)(x-3y)=x^2+(n-3)xy-3ny^2$ ，因此 $n-3=-2,m=-3n$ ，得 $n=1,m=-3$ 。

变式3#

若 $3^{x + 1}\cdot 2^{x + 1}= 6^{2 x + 4}$ ，则x=_

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$x=-3$

查看分析思路

先合并成底数 6 的幂。

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$3^{x+1}2^{x+1}=6^{x+1}=6^{2x+4}$ ，故 $x+1=2x+4,x=-3$ 。

题型05 根据整式的乘除运算求代数式的值#

典例1#

若 $x^{2}y^{3}= - 2$ ，则 $6 x y^{2}\cdot \left( -{\frac{1}{2}}x^{3}y^{4}\right)$ 的值为_

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$-12$

查看分析思路

将乘积化成已知整体的平方。

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$6xy^2(-\frac12x^3y^4)=-3x^4y^6=-3(x^2y^3)^2=-3\times4=-12$ 。

变式1#

已知 $a^{n}= 2 , b^{n}= 3$ ，则 $a^{3 n}\cdot b^{2 n}$ 的值为_

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$72$

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逆用幂的乘方。

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$a^{3n}b^{2n}=(a^n)^3(b^n)^2=2^3\times3^2=72$ 。

变式2#

若 $3^{a}= 6 , ~ 9^{b}= 2$ ，则 $3^{2 a + 4 b}$ 的值为_

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$144$

查看分析思路

把指数分成两个已知整体的倍数。

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$3^{2a+4b}=(3^a)^2(9^b)^2=6^2\times2^2=144$ 。

变式3#

若 $2 x + 3 y - 3 = 0$ ，则 $9^{x}\cdot 27^{y}$ 的值是

查看答案

$27$

查看分析思路

将幂统一为底数 3，整体代入线性条件。

查看详细解析

$2x+3y=3$ ，所以 $9^x27^y=3^{2x+3y}=3^3=27$ 。

变式4#

已知 $a^{m}= 3 , \quad a^{n}= 5$ ，则 $a^{3 m + 2 n}$

查看答案

$675$

查看分析思路

把指数的线性组合改成积。

查看详细解析

$a^{3m+2n}=(a^m)^3(a^n)^2=3^3\times5^2=675$ 。

题型06 根据完全平方公式求参数#

典例1#

若 $x^{m}= 5 , x^{n}= 4$ ，则 $x^{2 n - 3 m}=$

查看答案

$\frac{16}{125}$ （即 $0.128$ ）。

查看分析思路

把所求幂表示为已知幂的商。

查看详细解析

$x^{2n-3m}=(x^n)^2\div(x^m)^3=4^2\div5^3=\frac{16}{125}$ 。

变式1#

若 $x^{2}- 3{\bigl (}a + 1{\bigr )}x + 16$ 是一个完全平方式，则a的值为（）A. $\frac{11}{3}$ 或 $-{\frac{5}{3}}$ B. $-{\frac{11}{3}}$ C. $\frac{5}{3}$ D. $-{\frac{11}{3}}$ 或 $\frac{5}{3}$

查看答案

D， $a=-\frac{11}{3}$ 或 $\frac53$ 。

查看分析思路

常数项是 $4^2$ ，中间项系数应为 $\pm8$ 。

查看详细解析

$x^2-3(a+1)x+16=(x\pm4)^2$ ，故 $-3(a+1)=\pm8$ ，解得 $a=-\frac{11}{3}$ 或 $\frac53$ 。

变式2#

若 $4 x^{2}- k x y + 9 y^{2}$ 是一个完全平方式，则k的值为（）A. 6 B. ±6 C. 12 D. ±12

查看答案

D， $k=\pm12$ 。

查看分析思路

把首末项识别为 $(2x)^2$ 和 $(3y)^2$ 。

查看详细解析

$(2x\pm3y)^2=4x^2\pm12xy+9y^2$ ，所以 $-k=\pm12$ ，即 $k=\pm12$ 。

变式3#

若代数式 $x^{2}- 2 k x + 25$ 是一个完全平方式，则k=

查看答案

$k=\pm5$ 。

查看分析思路

比较 $(x\pm5)^2$ 的一次项。

查看详细解析

$(x\pm5)^2=x^2\pm10x+25$ ，所以 $-2k=\pm10$ ，得 $k=\pm5$ 。

变式4#

若 $4 x^{2}- ( m + 2 ) x + 9$ 是完全平方式，则 m 的值是( )A. -8 B. 10 C. 10或-14 D. 10或-8

查看答案

C， $m=10$ 或 $-14$ 。

查看分析思路

中间项系数等于 $\pm2\cdot2\cdot3$ 。

查看详细解析

$4x^2-(m+2)x+9=(2x\pm3)^2$ ，故 $m+2=\pm12$ ，得 $m=10$ 或 $-14$ 。

题型07 根据完全平方公式求代数式的值#

典例1#

若 $x + y = 3$ $x^{2}+ y^{2}= 13$ ，则xy的值为（） A. 4 B. -4 C. -2 D. 2

查看答案

C， $xy=-2$ 。

查看分析思路

用和的平方减去平方和。

查看详细解析

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ ，代入得 $9=13+2xy$ ，故 $xy=-2$ 。

变式1#

已知 $a + b = 15$ $a^{2}- b^{2}= 5$ ，则a−b=

查看答案

$\frac13$ 。

查看分析思路

利用平方差表示为和与差的乘积。

查看详细解析

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ ，所以 $a-b=5\div15=\frac13$ 。

变式 2#

已知关于x的式子 $x -{\frac{1}{x}}= 3$ ，则 $x^{2}+{\frac{1}{x^{2}}}=$ A. 9 B. 10 C. 11 D. 7

查看答案

C， $11$ 。

查看分析思路

展开已知差的平方。

查看详细解析

$(x-\frac1x)^2=x^2-2+\frac1{x^2}=9$ ，因此 $x^2+\frac1{x^2}=11$ ，其中 $x\ne0$ 。

题型08看错、遮住等问题#

典例1#

数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题： $- 3 x y \left( 4 y - 2 x - 1 \right) = - 12 x y^{2}+ \square + 3 x y$ ，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写的式子是（）A. $6 x^{2}y$ B. $- 6 x^{2}y$ C. $- 3 x y$ D. 3xy

查看答案

A， $6x^2y$ 。

查看分析思路

用单项式乘多项式逐项计算。

查看详细解析

$-3xy(4y-2x-1)=-12xy^2+6x^2y+3xy$ ，故方块中是 $6x^2y$ 。

变式1#

在计算(x−m)(x+n)时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是： $x^{2}+ 6 x - 8 m$ ；琪琪错把-m看成了+m，得到结果： $x^{2}+ 5 x + m n$

(1)求出 m，n的值；

(2)求 $\left( 2 m + n \right) \left( 2 m - n \right) - m \left( 4 m - n \right)$ 的值.

查看答案

（1） $m=2,n=3$ ；（2） $-3$ 。

查看分析思路

分别列出两次误看的乘积，再恢复原参数。

查看详细解析

（1） $(x-m)(x+8)=x^2+(8-m)x-8m$ ，所以 $8-m=6,m=2$ ； $(x+m)(x+n)=x^2+(m+n)x+mn$ ，所以 $m+n=5,n=3$ 。（2） $(2m+n)(2m-n)-m(4m-n)=4m^2-n^2-4m^2+mn=-n^2+mn=-9+6=-3$ 。

题型 09 不含某项问题#

典例1#

若 $\big ( x + 1 \big ) \big ( x^{2}- 2 a x + a \big )$ 的乘积中不含 $x^{2}$ 项，则常数a的值为（）A. 2 B. -2 C. $-{\frac{1}{2}}$ D. $\frac 12$

查看答案

D， $a=\frac12$ 。

查看分析思路

展开后令二次项系数为零。

查看详细解析

$(x+1)(x^2-2ax+a)=x^3+(1-2a)x^2-ax+a$ ，故 $1-2a=0,a=\frac12$ 。

变式1#

若 ${\big (}x + m{\big )}{\big (}x^{2}- 3 x + n{\big )}$ 的积中不含 $x^{2}, x$ 项，则m+n=_

查看答案

$12$

查看分析思路

同时令二次项、一次项系数为零。

查看详细解析

$(x+m)(x^2-3x+n)=x^3+(m-3)x^2+(n-3m)x+mn$ ，故 $m=3,n=9$ ，所以 $m+n=12$ 。

题型10 整式的乘除其他应用#

典例1#

若 $8 a^{3}b^{2}\div M = 2 a b^{2}$ ，则M =.

查看答案

$4a^2$ 。

查看分析思路

用被除式除以商，得到除式。

查看详细解析

$M=8a^3b^2\div2ab^2=4a^2$ 。这里按 $ab\ne0$ 的通常条件计算；若只作特殊数值等式且商为零，题面不能由此确定除式。

变式1#

已知 $a = 2^{55}, b = 3^{44}, c = 4^{33}$ ，则a，b，c的大小关系为 (用“>”连接).

查看答案

$b>c>a$ 。

查看分析思路

把三个幂都改成相同的指数。

查看详细解析

$a=(2^5)^{11}=32^{11}$ ， $b=(3^4)^{11}=81^{11}$ ， $c=(4^3)^{11}=64^{11}$ 。因 $81>64>32>0$ ，所以 $b>c>a$ 。

题型11 解答题一整式的乘除求值问题#

典例1#

先化简，再求值： ${\left( 2 a - b \right)}^{2}-{\left( b - a \right)}{\left( b + a \right)}+ a{\left( 2 b - 5 a \right)}$ ，其中 $a ={\frac{1}{2}}, b = 2$

查看答案

$-2ab$ ；值为 $-2$ 。

查看分析思路

展开三部分，再合并同类项。

查看详细解析

原式 $=4a^2-4ab+b^2-(b^2-a^2)+2ab-5a^2=-2ab$ 。代入 $a=\frac12,b=2$ 得 $-2$ 。

变式1#

先化简，再求值： $\biggl [ \left( 2 x^{2}\right)^{3}- 6 x^{3}\left( x^{3}+ 2 x^{2}\right) + 2 x^{4}\biggr ] \div 2 x^{4}$ ．其中 $x = 3$

查看答案

$x^2-6x+1$ ；值为 $-8$ 。

查看分析思路

先算括号内的乘方和乘法，再逐项相除。

查看详细解析

分子 $=8x^6-6x^6-12x^5+2x^4=2x^6-12x^5+2x^4$ 。除以 $2x^4$ 得 $x^2-6x+1$ ；代入 $x=3$ 得 $9-18+1=-8$ ，原式要求 $x\ne0$ 。

变式2#

先化简，再求值： ${\big (}m - 1{\big )}^{2}- m{\big (}m + 1{\big )}-{\big (}m + 2{\big )}{\big (}m - 2{\big )}$ ，其中 $m = - 2$

查看答案

$-m^2-3m+5$ ；值为 $7$ 。

查看分析思路

用完全平方与平方差公式展开。

查看详细解析

原式 $=m^2-2m+1-m^2-m-(m^2-4)=-m^2-3m+5$ 。代入 $m=-2$ 得 $-4+6+5=7$ 。

变式3#

已知： $5^{a}= 3 , 5^{b}= 8 , 5^{c}= 72$

(1)求 $5^{a - b + c}$ 的值；

(2)试说明 $2 a + b = c$

查看答案

（1） $27$ ；（2） $2a+b=c$ 。

查看分析思路

第一问把指数加减法改写成乘除；第二问比较底数 5 的幂。

查看详细解析

（1） $5^{a-b+c}=5^a\div5^b\times5^c=3\div8\times72=27$ 。（2） $5^{2a+b}=(5^a)^2\times5^b=3^2\times8=72=5^c$ 。因为底数 $5>1$ ，幂函数严格递增，故 $2a+b=c$ 。

题型12 整式的乘除的几何应用#

典例1#

如图，利用图中的面积关系可以验证的等式关系为（　）。

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=(a+b)^2-4ab

查看答案

查看分析思路

用两种方法计算阴影正方形的面积。

查看详细解析

阴影边长为 $a-b$ ，面积为 $(a-b)^2$ ；从大正方形中减去两条宽为 $b$ 的矩形，再加回重复扣去的小正方形，面积为 $a^2-2ab+b^2$ 。因此 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 。

变式1#

如图，从边长为 $a$ 的大正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　）。

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a(a-b)=a^2-ab

(a-b)^2=a^2-b^2

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

查看答案

查看分析思路

剪拼前后的面积相等。

查看详细解析

剪拼前面积为 $a^2-b^2$ ，剪拼后矩形长为 $a+b$ 、宽为 $a-b$ ，面积为 $(a+b)(a-b)$ ，故 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 。

变式2#

如图，两个正方形的边长分别为 $a,b$ ，如果 $a+b=18,ab=70$ 。

（1）求

a^2+b^2

的值；（2）求图中阴影部分的面积。

查看答案

（1） $184$ ；（2） $57$ 。

查看分析思路

平方和利用完全平方公式，阴影面积用两个正方形减去两个三角形。

查看详细解析

（1） $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=18^2-140=184$ 。（2） $S=a^2+b^2-\frac12a^2-\frac12(a+b)b=\frac12(a^2+b^2-ab)=\frac12[(a+b)^2-3ab]=\frac12(324-210)=57$ 。

变式3#

如图，两个相连的正方形的边长分别是 $a,b$ 。完成下面两题（如果含有 $\pi$ ，请在结果中保留 $\pi$ 的形式）。

（1）用含

a,b

的式子表示阴影部分的面积；（2）当

a=5,b=3

时，求阴影部分的面积。

查看答案

（1） $ab+\frac\pi4b^2-\frac12b^2$ ；（2） $\frac{21}{2}+\frac{9\pi}{4}$ 。

查看分析思路

用梯形减去三角形及小正方形中扇形以外的部分。

查看详细解析

$S=\frac12(a+b)^2-\frac12a^2-(b^2-\frac\pi4b^2)=ab+\frac\pi4b^2-\frac12b^2$ 。代入 $a=5,b=3$ 得 $15-\frac92+\frac{9\pi}4=\frac{21}2+\frac{9\pi}4$ 。

变式4#

如图，在长方形 $ABCD$ 中，放入 $6$ 个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为 $a$ ，宽为 $b$ 。

（1）用含

a,b

的代数式表示长方形

ABCD

的长

AB

、宽

AD

；（2）用含

a,b

的代数式表示阴影部分的面积。

查看答案

（1） $AB=a+2b,AD=a+b$ ；（2） $a^2-3ab+2b^2$ 。

查看分析思路

由拼放位置读出大矩形边长，再减去六块小矩形。

查看详细解析

横向长度为 $a+b+b=a+2b$ ，竖向长度为 $a+b$ 。阴影面积 $S=(a+2b)(a+b)-6ab=a^2-3ab+2b^2$ 。题图能放下所示矩形时边长还需相容，按图有 $a\ge3b>0$ 。

题型13 材料、规律题#

典例1#

小明同学在计算 ${\big (}a_{1}x + b_{1}{\big )}{\big (}a_{2}x + b_{2}{\big )}$ 时发现一次项 $\left( a_{1}b_{2}+ a_{2}b_{1}\right) x$ 可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算 $( 2 x + 1 ) ( x + 2 )$ 时一次项为 $2 x \cdot 2 + x \cdot 1 = 5 x$ ．仿照小明的方法，计算 $\bigl ( x + 1 \bigr ) \bigl ( x + 2 \bigr ) \bigl ( x + 3 \bigr ) \cdots \bigl ( x + n - 1 \bigr ) \bigl ( x + n \bigr )$ 展开式中 $x^{n - 1}$ 项的系数为_（用含n的代数式表示）

查看答案

$\frac{n(n+1)}2$ 。

查看分析思路

每个 $x^{n-1}$ 项恰从一个因式取常数，从其余因式取 $x$ 。

查看详细解析

取常数 $1,2,\ldots,n$ 的各项分别贡献 $1x^{n-1},2x^{n-1},\ldots,nx^{n-1}$ ，系数之和为 $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ ，其中 $n$ 为正整数。

变式1#

杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就。观察如下各式及其展开式，请问 $(x-1)^{2025}$ 展开式中，共有____项，含 $x^{2024}$ 项的系数是____。

\begin{array}{c|l} 1\quad1&(a+b)^1=a+b\\ 1\quad2\quad1&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 1\quad3\quad3\quad1&(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ 1\quad4\quad6\quad4\quad1&(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\ \cdots&\cdots \end{array}

查看答案

$2026$ 项；系数 $-2025$ 。

查看分析思路

由杨辉三角的项数规律及第二项系数规律推断。

查看详细解析

$(a+b)^n$ 有 $n+1$ 个非零单项式，第二项为 $na^{n-1}b$ 。令 $a=x,b=-1,n=2025$ ，得到 $2026$ 项， $x^{2024}$ 项系数为 $2025\times(-1)=-2025$ 。

三、强化训练#

一、单选题#

1.#

下列运算正确的是（）A. $a^{4}\cdot a^{2}= a^{8}$ B. $a^{6}\div a^{2}= a^{4}$ C. $\left( 2 a b^{2}\right)^{2}= 2 a^{2}b^{4}$ D. $\left( a^{3}\right)^{2}= a^{5}$

查看答案

查看分析思路

检查指数及数字系数。

查看详细解析

A 应为 $a^6$ ；B 为 $a^{6-2}=a^4$ ，正确；C 应为 $4a^2b^4$ ；D 应为 $a^6$ ，故选 B。

2.#

下列计算正确的是（）A. $6 a^{3}\div 2 a^{2}= 3 a$ B. $\left( - 2 a b^{2}\right)^{3}= - 8 a^{3}b^{5}$ C. $( a - 3 ) ( 3 + a ) = 9 - a^{2}$ D. $\left( 3 a - 2 b \right)^{2}= 9 a^{2}- 6 a b + 4 b^{2}$

查看答案

查看分析思路

按幂运算和乘法公式逐一展开。

查看详细解析

A 为 $6a^3\div2a^2=3a$ ，正确；B 应为 $-8a^3b^6$ ；C 应为 $a^2-9$ ；D 应为 $9a^2-12ab+4b^2$ 。

3.#

如图1，现有边长为 $b$ 和 $a+b$ 的正方形纸片各一张，长和宽分别为 $b,a$ 的长方形纸片一张。把纸片Ⅰ、Ⅲ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积 $S_1$ 和 $S_2$ 满足 $S_1=4S_2$ ，则 $a,b$ 满足的关系式为（　）。

b=4a

b=3a

b=2a

b=1.5a

查看答案

C， $b=2a$ 。

查看分析思路

分别求两块阴影的面积，再代入比例关系。

查看详细解析

$S_1=(a+b)^2-b^2-a^2=2ab$ ， $S_2=a(b-a)=ab-a^2$ 。由 $S_1=4S_2$ 得 $2ab=4ab-4a^2$ ，所以 $4a^2=2ab$ 。因 $a>0$ ，得 $b=2a$ 。

二、填空题#

4.#

计算 $\left( a \cdot a \cdot a \right)^{2}$ 的结果等于

查看答案

$a^6$ 。

查看分析思路

先合并括号中的乘积，再用幂的乘方。

查看详细解析

$(a\cdot a\cdot a)^2=(a^3)^2=a^6$ 。

5.#

计算： $\left( 10 a^{2}b \right) \div \left( 2 b \right) =$

查看答案

$5a^2$ 。

查看分析思路

系数除以 2，约去非零 $b$ 。

查看详细解析

$10a^2b\div2b=5a^2$ ，其中 $b\ne0$ 。

6.#

已知 $a + b = 15 , a^{2}- b^{2}= 5$ ，则 $a - b =$

查看答案

$\frac13$ 。

查看分析思路

用平方差公式求差。

查看详细解析

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2=5$ ，代入 $a+b=15$ 得 $a-b=\frac13$ 。

7.#

若 $\left[ \begin{array}{l l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right]$ 表示一种新的运算，其运算法则为 ${\left[ \begin{array}{l l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}\right]}= a d - b c$ ，则 $\left[ \begin{array}{l l}{{2 n^{3}}}&{{m^{2}n}}\\{{n^{2}}}&{{4 m^{2}}}\end{array}\right]$ 的结果为

查看答案

$7m^2n^3$ 。

查看分析思路

按新运算定义计算两条对角线乘积之差。

查看详细解析

$2n^3\cdot4m^2-m^2n\cdot n^2=8m^2n^3-m^2n^3=7m^2n^3$ 。

8.#

若 $A ={\big (}2 + 1{\big )}{\big (}2^{2}+ 1{\big )}{\big (}2^{4}+ 1{\big )}{\big (}2^{8}+ 1{\big )}$ ，则A-2003的末位数字是

查看答案

查看分析思路

连续使用平方差公式，再求末位。

查看详细解析

因为 $2-1=1$ ，所以 $A=(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=2^{16}-1$ 。 $2$ 的幂的末位按 $2,4,8,6$ 周期循环，故 $2^{16}$ 末位为 $6$ ， $A$ 末位为 $5$ 。 $A-2003=2^{16}-2004$ ，末位为 $5-3=2$ 。

三、解答题#

9.#

计算：
(1) $x^{2}\cdot \left( x^{2}\right)^{4}$
(2) $\left( - 3 a^{2}b^{3}\right)^{3}$
(3) $\left( - 2 x^{2}\right)^{3}- \left( 2 x^{3}\right)^{2}$
(4) $10^{6}\div \left( 10^{4}\times 10^{- 2}\right)$
(5) $0.2^{2}\times 0.4^{5}\times 12.5^{5}\div 5^{2}$
(6) $( a - b )^{5}\div ( b - a )^{2}$

查看答案

（1） $x^{10}$ ；（2） $-27a^6b^9$ ；（3） $-12x^6$ ；（4） $10^4$ ；（5） $5$ ；（6） $(a-b)^3$ 。

查看分析思路

先算乘方，再按法则合并指数或同类项。

查看详细解析

（1） $x^2(x^2)^4=x^{2+8}=x^{10}$ 。（2） $(-3a^2b^3)^3=-27a^6b^9$ 。（3） $(-2x^2)^3-(2x^3)^2=-8x^6-4x^6=-12x^6$ 。（4） $10^6\div(10^4\times10^{-2})=10^{6-(4-2)}=10^4$ 。（5） $0.2^2\times0.4^5\times12.5^5\div5^2=0.2^2(0.4\times12.5)^5\div5^2=0.2^2\times5^3=5$ 。（6） $(b-a)^2=(a-b)^2$ ，故商为 $(a-b)^{5-2}=(a-b)^3$ ，其中 $a\ne b$ 。

10.#

先化简，再求值： $\biggl [ \bigl ( 2 a + 1 \bigr )^{2}+ \bigl ( 2 a + 1 \bigr ) \bigl ( 2 a - 1 \bigr ) \biggr ] \div 2 a$ ，其中 $a = 3$

查看答案

$4a+2$ ；值为 $14$ 。

查看分析思路

应用完全平方和平方差公式后逐项相除。

查看详细解析

原式 $=(4a^2+4a+1+4a^2-1)\div2a=(8a^2+4a)\div2a=4a+2$ 。代入 $a=3$ 得 $14$ ；原式要求 $a\ne0$ 。

11.#

思考与探究

如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形。（1）在图2中的阴影部分的面积 $S_1$ 可表示为____（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积 $S_2$ 可表示为____（写成两数平方差的形式）。

（2）比较图2与图3的阴影部分的面积，可以得到的等式是____。 A.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

（3）请利用所得等式解决下面的问题：计算

(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)+1

的值。

查看答案

（1） $(a+b)(a-b)$ ， $a^2-b^2$ ；（2）B；（3） $2^{64}$ 。

查看分析思路

用面积守恒证明公式，再利用平方差连续消去乘积。

查看详细解析

（1）图2是长 $a+b$ 、宽 $a-b$ 的矩形；图3是边长 $a$ 的正方形减去边长 $b$ 的正方形，故阴影面积分别为 $(a+b)(a-b)$ 和 $a^2-b^2$ 。（2）由两种拼法面积相等得 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ ，选 B。（3）原积乘以 $2-1=1$ ，连续用平方差得到 $(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)\cdots(2^{32}+1)+1=2^{64}-1+1=2^{64}$ 。

系列导航：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章整式的加减复习。