七年级数学 10.3：整式的加法和减法

系列阅读：10.1 整式 · 10.2 合并同类项 · 本篇：10.3 整式的加法和减法 · 章末综合复习。

阅读提示

建议判断单项式或整式时先看运算结构；合并同类项时只合并系数；去括号时尤其注意括号前的负号。

一、知识清单#

知识点 1 去括号与添括号#

1. 复习引入：#

在六年级的学习中，我们知道小学学习的去括号的方法适用于一次式的运算.同样的方法也适用于整式的运算.几个整式相加减，有括号的按照去括号的方法去括号，再合并同类项，就得到这几个整式相加减的运算结果.

2.去括号法则#

(1)如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

(2)如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

要点：#

（1）去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“ $+$ ”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘.

（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号.

（3）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号.

（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于整式的恒等变形

3.添括号法则#

(1)添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

(2)添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号.

要点：

(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“ $+$ ”号或“ $-$ ”号也是新添的，不是原整式某一项的符号“移”出来得到的

(2)去括号和添括号的关系如下：

$a+b-c=a+(b-c),\qquad a-b+c=a-(b-c).$

4.从数与一次式的相乘到数与整式的相乘#

(1)复习：一般地，数与一次式相乘，就是用这个数去乘一次式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为字母的系数，字母不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号.

(2)一般地，数与整式相乘，就是用这个数去乘整式的每一项，再把所得的积相加.在含有字母的项与数相乘时，把这个数与项的系数相乘的积作为项的系数，字母及其指数不变.运算时要注意这个数与项的系数相乘的积的符号.

即学即练#

下列各式中去括号错误的是（）A. $x - \left( 3 y + {\frac {1} {4}} \right) = x - 3 y - {\frac {1} {4}}$ B. $m + ( - n + a - b ) = m - n + a - b$ C. $- {\frac {1} {2}} {\Big [} 4 x + {\big (} 6 y - 3 {\big )} {\Big ]} = - 2 x - 3 y - 3$ D. ${\Bigg (} a + {\frac {1} {2}} b {\Bigg )} - {\Bigg (} - {\frac {2} {5}} c + {\frac {3} {4}} {\Bigg )} = a + {\frac {1} {2}} b + {\frac {2} {5}} c - {\frac {3} {4}}$

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本题考查了去括号，括号前是正号去掉括号及括号前的正号，各项符号都不变，括号前是负号去掉括号各项符号都要变号．根据去括号的法则逐一进行判断即可得答案

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解：A、 $x - \left( 3 y + {\frac {1} {4}} \right) = x - 3 y - {\frac {1} {4}}$ ，故A正确；

B、 $m + ( - n + a - b ) = m - n + a - b$ ，故B正确；

C、 $- \frac 12 \Big [ 4 x + \big ( 6 y - 3 \big ) \Big ] = - 2 x - 3 y + \frac 32$ ，故C错误；

D、 ${\Bigg (} a + {\frac {1} {2}} b {\Bigg )} - {\Bigg (} - {\frac {2} {5}} c + {\frac {3} {4}} {\Bigg )} = a + {\frac {1} {2}} b + {\frac {2} {5}} c - {\frac {3} {4}}$ ，故D正确；

故选：C.

先去括号，再合并同类项

(1) $6 a^{2} - 2 a b - 2 {\bigg (} 3 a^{2} - {\frac {1} {2}} a b {\bigg )}$

(2) $- {\left( t^{2} - t - 1 \right)} + {\left( 2 \mathbf {t}^{2} - 3 t + 1 \right)}$

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(1) $-ab$

(2) $t^{2} - 2 t + 2$

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（1）原式去括号，合并同类项进行化简；

（2）原式去括号，合并同类项进行化简.

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（1）解： $6 a^{2} - 2 a b - 2 {\bigg (} 3 a^{2} - {\frac {1} {2}} a b {\bigg )}$

= 6 a^{2} - 2 a b - 6 a^{2} + a b

$=-ab$

（2）解： $- {\left( t^{2} - t - 1 \right)} + {\left( 2 \mathbf {t}^{2} - 3 t + 1 \right)}$ $= - t^{2} + t + 1 + 2 {\bf t}^{2} - 3 t + 1$ $= t^{2} - 2 t + 2 .$

点睛。 本题考查整式的加减。合并同类项时系数相加、字母及其指数不变；去括号时，括号前是正号则各项不变号，括号前是负号则各项都变号。

合并同类项

(1) $- 3 {\Bigl (} 2 a^{2} b - a b^{2} {\Bigr )} - 2 {\Biggl (} {\frac {1} {2}} a b^{2} - 2 a^{2} b {\Biggr )}$

(2) $4 x y^{2} - {\frac {1} {2}} {\Big (} x^{2} y + 4 x y^{2} {\Big )} - 2 {\Bigg [} {\frac {1} {4}} x^{2} y - {\Big (} x^{2} y - x y^{2} {\Big )} {\Bigg ]}$

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$( 1 ) - 2 a^{2} b + 2 a b^{2}$

(2) $x^{2} y$

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本题考查了整式的加减，合并同类项：

（1）先去括号，然后合并同类项即可；

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（1）解：原式 $= - 6 a^{2} b + 3 a b^{2} - a b^{2} + 4 a^{2} b$ $= - 2 a^{2} b + 2 a b^{2}$

（2）解：原式 $= 4 x y^{2} - \frac {1} {2} x^{2} y - 2 x y^{2} - 2 \biggl ( \frac {1} {4} x^{2} y - x^{2} y + x y^{2} \biggr )$ $= 4 x y^{2} - {\frac {1} {2}} x^{2} y - 2 x y^{2} - {\frac {1} {2}} x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$ $= x^{2} y$

下列添括号，正确的是（）A. b+c=−(b+c) B. a−b=+(a−b)C. $- 2 x + 4 y = - {\bigl (} - 2 x - 4 y {\bigr )}$ D. 2x−y−1=2x−(y−1)

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本题主要考查添括号法则，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．依据添括号法则进行解答即可.

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解：A．b+c=-(-b-c)，因此该选项不正确，故本选项不符合题意；B. $a - b = + {\Big (} a - b {\Big )}$ ，因此该选项正确，故本选项符合题意；C. -2x+4y=-(2x-4y)，因此该选项不正确，故本选项不符合题意；D． 2x-y-1=2x-(y+1)，因此该选项不正确，故本选项不符合题意；故选：B.

下列添括号正确的是（）A. $a - 2 b - c = a - {\bigl (} 2 b - c {\bigr )}$ B. $m^{3} - 2 m^{2} - m - 1 = m^{3} + \left( 2 m^{2} + m + 1 \right)$ C. $a^{2} - 2 a + 3 = a^{2} - \left( 2 a + 3 \right)$ D. $2 x^{2} - 2 x + 2 = 2 {\Big (} x^{2} - x + 1 {\Big )}$

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本题考查了添括号，添括号的法则：添括号时，括号前是正号，括到括号里面的各项不改变符号：添括号时，括号前是负号，括到括号里面的各项符号都改变，解决本题的关键是根据添括号的法则添括号

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解：A、根据添括号的法则可知： $a - 2 b - c = a - {\bigl (} 2 b + c {\bigr )}$ ，故 A 选项错误； B、根据添括号的法则可知： $m^{3} - 2 m^{2} - m - 1 = m^{3} + \left( - 2 m^{2} - m - 1 \right)$ ，故B选项错误； C、根据添括号的法则可知： $a^{2} - 2 a + 3 = a^{2} - \left( 2 a - 3 \right)$ ，故C选项错误；

D、根据添括号的法则添括号可得： $2 x^{2} - 2 x + 2 = 2 {\Big (} x^{2} - x + 1 {\Big )}$ ，故D选项正确故选：D.

将整式 $3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 5$ 添括号后正确的是（）A. $3 x^{3} - \left( 2 x^{2} + 4 x - 5 \right)$ B. ${\left( 3 x^{3} + 4 x \right)} - {\left( 2 x^{2} + 5 \right)}$ C. $\left( 3 x^{3} - 5 \right) + \left( - 2 x^{2} - 4 x \right)$ D. $2 x^{2} + \left( 3 x^{3} + 4 x - 5 \right)$

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本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”添括号后，括号里的各项都改变符号：本题添了1或2个括号，且所添的括号前为负号，括号内各项改变符号；

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A、根据添括号的法则可知， $3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 5 = 3 x^{3} - \left( 2 x^{2} - 4 x + 5 \right)$ ，故本选项错误；B、根据添括号的法则可知， $3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 5 = {\bigl (} 3 x^{3} + 4 x {\bigr )} - {\bigl (} 2 x^{2} + 5 {\bigr )}$ ，故本选项正确；C、根据添括号的法则可知， $3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 5 = ( 3 x^{3} - 5 ) + ( - 2 x^{2} + 4 x )$ ，故本选项错误；D、根据添括号的法则可知， $3 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 5 = - 2 x^{2} + \left( 3 x^{3} + 4 x - 5 \right)$ ，故本选项错误；故选：B.

知识点 2 整式的加减运算#

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项要点：

（1）整式加减的一般步骤是：(1)先去括号；(2)再合并同类项.

（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来.

(3)整式加减的最后结果的要求：(1)不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；(2)不能出现带分数，带分数要化成假分数.

即学即练#

化简： $\left( 6 x^{2} y - 2 x y^{2} \right) - 3 \left( 2 x^{2} y - x y^{2} - 1 \right)$

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$x y^{2} + 3$

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原式去括号合并同类项即可得到最简结果.

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解：原式 $= 6 x^{2} y - 2 x y^{2} - 6 x^{2} y + 3 x y^{2} + 3$

= x y^{2} + 3

点睛。 本题考查了整式的加减化简，熟练掌握运算法则是解题的关键

化简

(1) $8 x - \left( - 3 x - 5 \right)$ (2) $\left( a^{2} - 2 a - 1 \right) + \left( 3 a^{2} + 2 a + 2 \right)$ (3) $\frac 13 \big ( 9 y - 3 \big ) + 2 \big ( y + 1 \big )$

(4) $5 a b - 2 \left[ 3 a b - \left( 4 a b^{2} + \frac {1} {2} a b \right) \right] - 5 a b^{2}$

(2) $4 a^{2} + 1$

(3) $5 y + 1$

(4) $3 a b^{2}$

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（1） $11x+5$ ；（2） $4a^2+1$ ；（3） $5y+1$ ；（4） $3ab^2$ 。

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本题考查了整式的加减运算，包括去括号和合并同类项，准确去括号确定符号是解决本题的关键

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$( 1 ) ~ 8 x - \left( - 3 x - 5 \right)$ $= 8 x + 3 x + 5$ $= 11 x + 5$ (2) $\left( a^{2} - 2 a - 1 \right) + \left( 3 a^{2} + 2 a + 2 \right)$ $= a^{2} - 2 a - 1 + 3 a^{2} + 2 a + 2$ $= a^{2} + 3 a^{2} - 2 a + 2 a - 1 + 2$ $= 4 a^{2} + 1$ $( 3 ) \frac 13 \bigl ( 9 y - 3 \bigr ) + 2 \bigl ( y + 1 \bigr )$ $= 3 y - 1 + 2 y + 2$ $= 3 y + 2 y - 1 + 2$ $= 5 y + 1$ (4) $5 a b - 2 [ 3 a b - ( 4 a b^{2} + \frac {1} {2} a b \bigg ) ] - 5 a b^{2}$ $= 5 a b - 2 \left( 3 a b - 4 a b^{2} - \frac {1} {2} a b \right) - 5 a b^{2}$ $= 5 a b - 6 a b + 8 a b^{2} + a b - 5 a b^{2}$ $= 5 a b - 6 a b + a b + 8 a b^{2} - 5 a b^{2}$ $= 3 a b^{2}$

先化简，再求值： $5 \big ( 3 a^{2} b - a b^{2} \big ) - \big ( a b^{2} + 3 a^{2} b \big )$ ，其中 $a = {\frac {1} {2}} , b = {\frac {1} {3}}$

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$12 a^{2} b - 6 a b^{2} , \frac {2} {3}$

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本题主要考查整式的化简求值，掌握其运算法则是解题的关键

先去括号，再运用整式的加减运算法则计算，最后代入计算即可

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解： $5 \big ( 3 a^{2} b - a b^{2} \big ) - \big ( a b^{2} + 3 a^{2} b \big )$ $= 15 a^{2} b - 5 a b^{2} - a b^{2} - 3 a^{2} b$ $= 12 a^{2} b - 6 a b^{2} ;$

当 $a = {\frac {1} {2}} , b = {\frac {1} {3}}$ 时，

原式 $= 12 \times \left( \frac {1} {2} \right)^{2} \times \frac {1} {3} - 6 \times \frac {1} {2} \times \left( \frac {1} {3} \right)^{2} = 12 \times \frac {1} {4} \times \frac {1} {3} - 6 \times \frac {1} {2} \times \frac {1} {9} = 1 - \frac {1} {3} = \frac {2} {3}$

知识点 3整式加减运算的应用#

例1 已知 $2 \mathbf {a}^{3} - 13 \mathbf {a} + 11$ 与某个整式的和是 $5 + 6 a + 3 a^{2} - 3 a^{3}$ ,求这个整式. 分析所求的整式应为 $5 + 6 a + 3 a^{2} - 3 a^{3}$ 减去 $2 \mathrm {a}^{3} - 13 \mathrm {a} + 11$ 的差. 解根据题意，得 $\begin{array} {c} {{( 5 + 6 {\bf a} + 3 {\bf a}^{2} - 3 {\bf a}^{3} ) - ( 2 {\bf a}^{3} - 13 {\bf a} + 11 ) = 5 + 6 {\bf a} + 3 {\bf a}^{2} - 3 {\bf a}^{3} - 2 {\bf a}^{3} + 13 {\bf a} - 11}} \\ {{= - 5 {\bf a}^{3} + 3 {\bf a}^{2} + 19 {\bf a} - 6 .}} \end{array}$ 因此，所求的整式是 $-5a^3+3a^2+19a-6$ 。例2 已知 $\mathrm {A} {=} 2 \mathrm {x}^{2} - 7 \mathrm {x} {+} 2 , \mathrm {B} {=} 3 \mathrm {x}^{2} - 5 \mathrm {x} {+} 4 , \mathrm {C} {=} {\mathrm {x}}^{2} + 2 \mathrm {x} {-} 5$ 求 $\mathrm {A - B + C} .$ 解： $A-B+C=(2x^2-7x+2)-(3x^2-5x+4)+(x^2+2x-5)=-7$ 。探究：一个五次整式与一个四次整式的和是一个几次整式? 五次整式一个五次整式与一个五次整式的和是一个几次整式？最高为五次整式（或不高于五次的整式）

即学即练#

已知一个整式与 $3 x^{2} + 9 x$ 的和等于 $5 x^{2} + 4 x - 1$ ，则这个整式是（）A. $8 x^{2} + 13 x - 1$ B. $- 2 x^{2} + 5 x + 1$ C. $8 x^{2} - 5 x + 1$ D. $2 x^{2} - 5 x - 1$

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此题考查了整式的加减运算，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键. 由和减去一个加数等于另一个加数，列出关系式，去括号合并即可得到结果

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解：根据题意列得：这个整式 $=5x^2 + 4 x - 1 - \left( 3 x^{2} + 9 x \right) = 2 x^{2} - 5 x - 1$ 故选：D.

王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的整式为（） $\square+(-x+3)=x^2+3x-1$ A. $x^{2} - x - 2$ B. $- 2 x^{2} - 2 x - 2$ C. $x^{2} + 4 x - 4$ D. $- x^{2} - 2 x + 4$

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本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式根据图可知，所捂的整式为： $( x^{2} + 3 x - 1 ) - ( - x + 3 )$ ，然后计算即可.

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解：由图可得，所捂的整式为： $( x^{2} + 3 x - 1 ) - ( - x + 3 )$ $= x^{2} + 3 x - 1 + x - 3$

= x^{2} + 4 x - 4 ,

故选：C.

把七个长和宽分别为7n,n的小长方形，摆成如图所示的图形，若四边形ABCD为长方形，则图中阴影部分的面积为_．（用含有n的代数式表示）

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$23 n^{2}$

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本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形ABCD的面积及小长方形的面积是解题的关键；将阴影部分的面积转化为长方形ABCD的面积减去7个小长方形的面积之和即可.

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解：由所给图形可知，长方形ABCD的长为： $7 n + 2 n = 9 n$ ，宽为： $7 n + n = 8 n$

所以长方形ABCD的面积为： $9 n \cdot 8 n = 72 n^{2}$

又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为： $7\times7n^2=49n^2$

所以阴影部分的面积为 $72 n^{2} - 49 n^{2} = 23 n^{2}$

故答案为： $23 n^{2}$

已知： $A = 2 a^{2} + 3 a b - 2 a - 1 , B = - a^{2} + a b - 1$

(1)求A+2B的值；

(2)若A+2B的值与a的取值无关，求b的值.

查看答案

$( 1 ) 5 a b - 2 a - 3$

(2) $b = \frac {2} {5}$

查看分析思路

本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟知与的取值无关即含的项的系数为是解题的关键

（1）根据整式的加减计算法则求解即可；

（2）根据A+2B的值与a的取值无关，求出A+2B的式子中含α的项的系数为0，据此求解即可.

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（1）解： $A + 2 B = 2 a^{2} + 3 a b - 2 a - 1 + 2 \left( - a^{2} + a b - 1 \right)$

= 2 a^{2} + 3 a b - 2 a - 1 - 2 a^{2} + 2 a b - 2

= 5 a b - 2 a - 3 ;

（2）解： $\because A + 2 B$ 的值与a的取值无关，

\therefore 5 a b - 2 a = 0 ,

可得 $\ ( 5 b - 2 ) a = 0$

解得 $b = \frac {2} {5}$

二、题型精讲#

题型 01 去括号#

典例1#

去括号：

(1) $5 c^{2} + \frac {2} {3} \left( a^{2} + b^{2} - a b \right)$

(2) $- m - \frac {1} {2} ( - n + p - q )$

(3) $3 x + [ 4 y - ( 7 z + 3 ) ]$

(4) $- 3 a^{3} - \left[ 2 x^{2} - ( 5 x + 1 ) \right]$

查看答案

$( 1 ) \frac {2} {3} a^{2} + \frac {2} {3} b^{2} - \frac {2} {3} a b + 5 c^{2}$

(2) $- m + \frac {1} {2} n - \frac {1} {2} p + \frac {1} {2} q$

(3) $3 x + 4 y - 7 z - 3$

(4) $- 3 a^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 1$

查看分析思路

本题考查去括号法则，要注意括号前是负号，去括号时要各项改号

（1）利用去括号法则即可求出答案；

（2）利用去括号法则即可求出答案：

（3）利用去括号法则即可求出答案：

（4）利用去括号法则即可求出答案.

查看详细解析

（1）解： $5 c^{2} + \frac {2} {3} \big ( a^{2} + b^{2} - a b \big )$

= \frac {2} {3} a^{2} + \frac {2} {3} b^{2} - \frac {2} {3} a b + 5 c^{2}

( 2 ) \ - m - \frac {1} {2} ( - n + p - q )

= - m + \frac {1} {2} n - \frac {1} {2} p + \frac {1} {2} q

( 3 ) 3 x + [ 4 y - ( 7 z + 3 ) ]

= 3 x + \left( 4 y - 7 z - 3 \right)

= 3 x + 4 y - 7 z - 3

( 4 ) ~ - 3 a^{3} - \left[ 2 x^{2} - ( 5 x + 1 ) \right]

= - 3 a^{3} - \left( 2 x^{2} - 5 x - 1 \right)

= - 3 a^{3} - 2 x^{2} + 5 x + 1

变式1#

合并下列各式的同类项：

(1) $x + ( 5 x - 3 y ) - ( x - 2 y )$

(2) $\displaystyle {\left( - p^{2} + 3 p q - \frac {1} {2} q^{2} \right)} - \left( - \frac {1} {2} p^{2} + 4 p q - \frac {3} {2} q^{2} \right)$

查看答案

(1) $5x-y$

(2) $- \frac {1} {2} p^{2} - p q + q^{2}$

查看分析思路

本题主要考查了去括号、合并同类项，

（1）先去括号，再合并同类项即可；

（2）先去括号，再合并同类项即可.

解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的符号要发生改变.

查看详细解析

（1）解： $x + ( 5 x - 3 y ) - ( x - 2 y )$ $= x + 5 x - 3 y - x + 2 y$ $= ( 1 + 5 - 1 ) x - ( - 3 + 2 ) y$ $= 5 x - y ;$ （2）解： $\displaystyle {\left( - p^{2} + 3 p q - \frac {1} {2} q^{2} \right)} - \left( - \frac {1} {2} p^{2} + 4 p q - \frac {3} {2} q^{2} \right)$ $= - p^{2} + 3 p q - \frac {1} {2} q^{2} + \frac {1} {2} p^{2} - 4 p q + \frac {3} {2} q^{2}$ $= \left( - 1 + \frac {1} {2} \right) p^{2} + \left( 3 - 4 \right) p q + \left( - \frac {1} {2} + \frac {3} {2} \right) q^{2}$ $= - \frac {1} {2} p^{2} - p q + q^{2} .$

变式2#

先去括号，再合并同类项：

(1) $\frac {1} {2} \Big ( 2 a b - a b^{2} \Big ) - \frac {2} {3} \Big ( a b^{2} - 3 a b \Big )$

(2) $2 x^{2} - \left[ x^{2} - \left( 3 x^{2} + 2 x - 1 \right) \right]$

查看答案

$( 1 ) - \frac {7} {6} a b^{2} + 3 a b$

(2) $4 x^{2} + 2 x - 1$

查看分析思路

（1）直接利用去括号法则去掉括号，进而合并同类项得出答案

（2）直接利用去括号法则去掉括号，进而合并同类项得出答案

查看详细解析

（1）解：原式 $= a b - \frac {1} {2} a b^{2} - \frac {2} {3} a b^{2} + 2 a b = - \frac {7} {6} a b^{2} + 3 a b$

（2）解：原式 $= 2 x^{2} - x^{2} + 3 x^{2} + 2 x - 1 = 4 x^{2} + 2 x - 1$

点睛。 本题考查的知识点是去括号法则以及合并同类项，解题关键是正确去括号

题型 02 添括号#

典例1#

下列添括号错误的是( )A. $3 - 4 x = - ( 4 x - 3 )$ B. $( a + b ) - 2 a - b = ( a + b ) - ( 2 a + b )$ C. $- x^{2} + 5 x - 4 = - ( x^{2} - 5 x + 4 )$ D. $- a^{2} + 4 a + a^{3} - 5 = - ( a^{2} - 4 a ) - ( a^{3} + 5 )$

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根据添括号法则，当括号前添正号时直接添括号即可.当括号前添负号时括号里面的各项都要变号即可解题.

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解：A,B,C都是正确的,其中，

D项的右侧展开为 $- a^{2} + 4 a - a^{3} - 5$ 与等号左侧不相等，

故错误项选D.

点睛。 本题考查了添括号的性质，属于简单题,熟悉去括号和添括号的性质与联系，特别的注意括号前为负号时要变号是解题关键.

变式1#

在括号内填上适当的项： $3-x^2+3xy-y^3=3-(\underline{\qquad})$ 。

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$x^{2} - 3 x y + y^{3}$

查看分析思路

本题主要考查添括号，熟练掌握添括号的法则是解题的关键．根据添括号的法则进行求解即可.

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解： $3 - x^{2} + 3 x y - y^{3} = 3 - {\Big (} x^{2} - 3 x y + y^{3} {\Big )}$

故答案为： $x^{2} - 3 x y + y^{3}$

变式2#

在括号内填上适当的式子，使等号左右两边相等：

(1) $a^{2} - b^{2} - c^{2} = a^{2} - ( \qquad \quad ) ;$ (2) $- 2 a + 2 b + 1 = - 2 ( ) + 1 ;$ (3) $a^{3} + a b^{2} - a^{2} b = ( ) + a^{2} b$ (4) $x^{2} - y^{2} + 2 x - y = x^{2} - y^{2} - ( \qquad \quad 1 .$

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$b^{2} + c^{2} a - b a - b a^{3} + a b^{2} - 2 a^{2} b y - 2 x$

查看分析思路

根据添括号法则即可求解.

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解： $( 1 ) a^{2} - b^{2} - c^{2} = a^{2} - \left( b^{2} + c^{2} \right)$ (2) $- 2 a + 2 b + 1 = - 2 {\bigl (} a - b {\bigr )} + 1$ (3) $a^{3} + a b^{2} - a^{2} b = \left( a^{3} + a b^{2} - 2 a^{2} b \right) + a^{2} b$ (4) $x^{2} - y^{2} + 2 x - y = x^{2} - y^{2} - \left( y - 2 x \right)$

点睛。 本题考查了添括号知识，解题关键是熟练掌握添括号法则

题型 03 整式的加减#

典例1#

化简

(1) $8 x - \left( - 3 x - 5 \right)$

(2) $\left( a^{2} - 2 a - 1 \right) + \left( 3 a^{2} + 2 a + 2 \right)$

(3) $\frac 13 \big ( 9 y - 3 \big ) + 2 \big ( y + 1 \big )$

(4) $5 a b - 2 \left[ 3 a b - \left( 4 a b^{2} + \frac {1} {2} a b \right) \right] - 5 a b^{2}$

查看答案

$( 1 ) 11 x + 5$

(2) $4 a^{2} + 1$

(3) $5 y + 1$

(4) $3 a b^{2}$

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本题考查了整式的加减运算，包括去括号和合并同类项，准确去括号确定符号是解决本题的关键. 刀帆本芯旦丁定巧时肌运异，凹

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（1）8x-(-3x-5) $= 8 x + 3 x + 5$ $= 11 x + 5$ (2) $\left( a^{2} - 2 a - 1 \right) + \left( 3 a^{2} + 2 a + 2 \right)$ $= a^{2} - 2 a - 1 + 3 a^{2} + 2 a + 2$ $= a^{2} + 3 a^{2} - 2 a + 2 a - 1 + 2$ $= 4 a^{2} + 1$ $( 3 ) \frac 13 \bigl ( 9 y - 3 \bigr ) + 2 \bigl ( y + 1 \bigr )$ $= 3 y - 1 + 2 y + 2$ $= 3 y + 2 y - 1 + 2$ $= 5 y + 1$ (4) $5 a b - 2 [ 3 a b - ( 4 a b^{2} + \frac {1} {2} a b \bigg ) ] - 5 a b^{2}$ $= 5 a b - 2 \left( 3 a b - 4 a b^{2} - \frac {1} {2} a b \right) - 5 a b^{2}$ $= 5 a b - 6 a b + 8 a b^{2} + a b - 5 a b^{2}$ $= 5 a b - 6 a b + a b + 8 a b^{2} - 5 a b^{2}$ $= 3 a b^{2}$

变式1#

化简：

(1 $\left( 2 a^{2} + {\frac {1} {2}} - 3 a \right) - 2 {\Bigg (} a - a^{2} + {\frac {1} {2}} {\Bigg )}$

(2) $\frac {1} {2} \Bigl ( 2 m n^{2} - m n \Bigr ) - 2 \Bigl ( - m n^{2} + 2 m n \Bigr ) + \frac {3} {2} m n \ .$

查看答案

$( 1 ) 4 a^{2} - 5 a - \frac {1} {2}$

(2) $3 m n^{2} - 3 m n$

查看分析思路

（1）去括号、合并同类项，将结果按x的降(升)幂排列即可；

(2）去括号、合并同类项，将结果按n的降(升)幂排列即可.

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（1）解：原式 $= 2 a^{2} + \frac {1} {2} - 3 a - 2 a + 2 a^{2} - 1$ $= 4 a^{2} - 5 a - {\frac {1} {2}} ;$

（2）解：原式 $= m n^{2} - \frac {1} {2} m n + 2 m n^{2} - 4 m n + \frac {3} {2} m n$ $= 3 m n^{2} - 3 m n$

点睛。 本题考查了整式的加减混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键

变式2#

化简：

(1) $- 5 m^{2} n + 4 m n^{2} - 2 m n + 6 m^{2} n + 3 m n$

(2)−(8x−5y)−2(3y−x);

(3) $2 {\left( 2 a b^{2} - 3 a^{2} b \right)} + 2 {\left( 5 a b^{2} - 4 a^{2} b \right)}$

查看答案

(1 $\vert m^{2} n + 4 m n^{2} + m n$

(2) $- 6 x - y$

(3) $14 a b^{2} - 14 a^{2} b$

查看分析思路

本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号，合并同类项，掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键.

（1）直接合并同类项即可；

（2）先去括号，再合并同类项即可；

（3）先去括号，再合并同类项即可，

查看详细解析

（1）解： $- 5 m^{2} n + 4 m n^{2} - 2 m n + 6 m^{2} n + 3 m n$

= ( - 5 m^{2} n + 6 m^{2} n ) + 4 m n^{2} + ( - 2 m n + 3 m n )

= m^{2} n + 4 m n^{2} + m n ;

（2）解： $- {\bigl (} 8 x - 5 y {\bigr )} - 2 {\bigl (} 3 y - x {\bigr )}$

= - 8 x + 5 y - 6 y + 2 x

（3）解： $2 {\left( 2 a b^{2} - 3 a^{2} b \right)} + 2 {\left( 5 a b^{2} - 4 a^{2} b \right)}$

$= 4 a b^{2} - 6 a^{2} b + 10 a b^{2} - 8 a^{2} b$ $= 14 a b^{2} - 14 a^{2} b .$

变式3#

计算：

(1) $6 a^{2} + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 7 a^{2}$

(2) $3mn^2-0.25n^2m+x^2y-2x^2y$

(3) $\left( 8 a - 7 b \right) - \left( 4 a - 5 b \right)$

(4) $- \frac 12 \Bigl ( x^{2} y - 2 x y^{2} - x^{2} \Bigr ) - \frac 13 \Bigl ( - x^{2} - x^{2} y - x y^{2} \Bigr ) ;$

(5) $2 {\left( x^{3} - 2 y^{2} \right)} - ( x - 2 y ) - ( x - 3 y^{2} + 2 x^{3} )$

(6) $3 x^{2} - [ 5 x - ( \frac {1} {2} x - 3 ) + 3 x^{2} ]$

查看答案

（1） $-a^2$ 。

(2) ${\frac {11} {4}} m n^{2} - x^{2} y$

(3) $4 a - 2 b$

$4 ) - {\frac {1} {6}} x^{2} y + {\frac {5} {6}} x^{2} + {\frac {4} {3}} x y^{2} ;$

(5) $- y^{2} - 2 x + 2 y$

(6) $- {\frac {9} {2}} x - 3 .$

查看分析思路

（1）直接利用合并同类项法则计算即可：

（2）直接利用合并同类项法则计算即可：

（3）先去括号，再进行合并同类项即可

（4）先去括号，再进行合并同类项即可

（5）先去括号，再进行合并同类项即可：

（6）先去括号，再进行合并同类项即可

查看详细解析

（1）解：原式 $= \left( 6 - 7 \right) a^{2} + ( 4 - 4 ) b^{2}$ $= - a^{2} ;$

（2）解：原式 $= \bigl ( 3 - 0 . 25 \bigr ) m n^{2} + \bigl ( 1 - 2 \bigr ) x^{2} y$ ，

$= \frac {11} {4} m n^{2} - x^{2} y$

（3）解：原式 $= 8 a - 7 b - 4 a + 5 b$ $= 4 a - 2 b$

（4）原式 $= - \frac {1} {2} x^{2} y + x y^{2} + \frac {1} {2} x^{2} + \frac {1} {3} x^{2} + \frac {1} {3} x^{2} y + \frac {1} {3} x y^{2}$ $= - {\frac {1} {6}} x^{2} y + {\frac {5} {6}} x^{2} + {\frac {4} {3}} x y^{2} ;$ （5）解：原式 $= 2 x^{3} - 4 y^{2} - x + 2 y - x + 3 y^{2} - 2 x^{3}$ $= - y^{2} - 2 x + 2 y$ （6）解：原式 $= 3 x^{2} - \left( 5 x - {\frac {1} {2}} x + 3 + 3 x^{2} \right)$ $= 3 x^{2} - 5 x + {\frac {1} {2}} x - 3 - 3 x^{2}$ $= - {\frac {9} {2}} x - 3 .$ 点睛。 此题考查了整式的加减，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则的应用

题型 04 整式的加减及其求值#

典例1#

先化简，再求值：

(1) $\frac 14 \big ( 6 m^{2} - 12 m - 8 \big ) - 3 \bigg ( \frac 12 m^{2} - 2 m + 1 \bigg ) - m$ ，其中 $m = - \frac {1} {2}$

(2) $2 {\left( x^{2} y + x y \right)} - 3 {\left( x^{2} y - x y \right)} - 4 x^{2} y$ ．其中 $x=1,\ y=1$

查看答案

(1) $2 m - 5 , - 6$

(2) $- 5 x^{2} y + 5 x y$ ，0

查看分析思路

本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将m的值代入计算即可；

(2)先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后将x，y的值代入计算即可

查看详细解析

$( 1 ) \frac 14 \Big ( 6 m^{2} - 12 m - 8 \Big ) - 3 \Bigg ( \frac 12 m^{2} - 2 m + 1 \Bigg ) - m$ $= \frac {3} {2} m^{2} - 3 m - 2 - \frac {3} {2} m^{2} + 6 m - 3 - m$ $= 2 m - 5 ,$ 当 $m = - \frac {1} {2}$ 时，原式 $= - 1 - 5 = - 6$ （2）解： $2 {\left( x^{2} y + x y \right)} - 3 {\left( x^{2} y - x y \right)} - 4 x^{2} y$ $= 2 x^{2} y + 2 x y - 3 x^{2} y + 3 x y - 4 x^{2} y$ $= - 5 x^{2} y + 5 x y$ 当 $x = 1 , y = 1$ 时，原式 $= - 5 {\times} 1^{2} \times 1 + 5 {\times} 1 {\times} 1 = - 5 + 5 = 0$

变式1#

先化简，再求值， $- 5 x^{2} y - 2 {\Big [} 2 x^{2} y - 3 {\Big (} x y^{2} - 2 x^{2} y {\Big )} - 4 {\Big ]} - 2 x y^{2}$ ，其中 $x = - 2 , y = - \frac {1} {2}$

查看答案

$- 21 x^{2} y + 4 x y^{2} + 8$ ，48

查看分析思路

首先根据整式的加减运算法则化简，再把字母的值代入计算

查看详细解析

解：原式 $= - 5 x^{2} y - 4 x^{2} y + 6 ( {x y}^{2} - 2 {x^{2} y} ) + 8 - 2 {x y}^{2}$ $= - 5 x^{2} y - 4 x^{2} y + 6 x y^{2} - 12 x^{2} y + 8 - 2 x y^{2}$ $= - 21 x^{2} y + 4 x y^{2} + 8 \ ,$ 因此当 $x = - 2 , y = - {\frac {1} {2}}$ 时，原式 $= - 21 \times - 2^{2} \times ( - \frac {1} {2} ) + 4 \times ( - 2 ) \times ( - \frac {1} {2} )^{2} + 8$ =48.

点睛。 本题考查整式加减运算的化简与求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键.

变式2#

（1）化简： $5 \left( 3 a^{2} b - a b^{2} \right) - 4 \left( - a b^{2} + 3 a^{2} b \right)$

（2）化简： $- 2 {\left( m n - 3 m^{2} \right)} - \left[ m^{2} - 5 {\left( m n - m^{2} \right)} + 2 m n \right]$

（3）先化简，再求值： $2 x y - \left[ {\frac {1} {2}} {\left( {5 x y - 16 x^{2} y^{2}} \right)} - 2 {\left( x y - 4 x^{2} y^{2} \right)} \right]$ ，其中 $x = - {\frac {1} {2}} , y = 4$

查看答案

（1） $3 a^{2} b - a b^{2} ( 2 ) m n ( 3 ) \frac {3} {2} x y , - 3$

查看分析思路

（1）先去括号，再合并同类项即可；

（2）先去括号，再合并同类项即可；

（3）按去括号、合并同类项的顺序化简原式，再将x、γ的值代入求值即可.

查看详细解析

解：（1）原式 $= 15 a^{2} b - 5 a b^{2} + 4 a b^{2} - 12 a^{2} b$

= 3 a^{2} b - a b^{2}

= - 2 m n + 6 m^{2} - m^{2} + 5 m n - 5 m^{2} - 2 m n

= m n

（3）原式 $= 2 x y - \left( {\frac {5} {2}} x y - 8 x^{2} y^{2} - 2 x y + 8 x^{2} y^{2} \right)$ $= 2 x y - {\frac {1} {2}} x y$ $= {\frac {3} {2}} x y$ 当 $x = - {\frac {1} {2}}$ ，y=4时，原式 $= \frac {3} {2} \times ( - \frac {1} {2} ) \times 4 = - 3$

点睛。 本题主要考查了整式的化简及整式化简求值的知识，熟练掌握去括号和合并同类项的方法是解题关键.

题型 05 辨析整式加减的解答过程#

典例1#

小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下：

计算： $\left( 5 a^{2} - 2 a - 1 \right) - 4 \left( 3 - 2 a + a^{2} \right)$

解：原式 $= 5 a^{2} - 2 a - 1 - 12 - 8 a - a^{2}$ 第一步

$= 5 a^{2} + a^{2} - 2 a - 8 a - 1 + 12$ 第二步

$= 6 a^{2} - 6 a - 11$ ．第三步

(1)已知小辉同学的解法是错误的，则他开始出现错误是在第步.

(2)请给出正确的计算过程.

查看答案

(1)一

(2) $a^{2} + 6 a - 13$

查看分析思路

先辨认题型与运算规则，再逐步化简或代入。

查看详细解析

（1）解：小辉同学的解法是错误的，则他开始出现错误是在第一步：

故答案为：一；

（2）解：原式 $= 5 a^{2} - 2 a - 1 - 12 + 8 a - 4 a^{2}$

= 5 a^{2} - 4 a^{2} - 2 a + 8 a - 1 - 12

= a^{2} + 6 a - 13 .

点睛。 此题考查了整式的化简，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

变式1#

在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题：

请同学们选择x的一个值，求整式 $5 x^{3} - 18 - ( 3 x^{3} + x^{2} - 3 x ) + \left( x^{2} - 3 x - 2 x^{3} \right) + 20$ 的值.

甲说：“当 $x = 0$ 时，原式=2.”

乙说：“当 $x = - 2$ 时，原式=2.”

丙说：“当x为任何一个有理数时，原式=2.”

请判断这三位同学的说法是否正确，并说明你的理由.

查看答案

三位同学说法都正确，理由见解析.

查看分析思路

本题主要考查整式的加减，原式去括号合并同类项后即可得出结果

查看详细解析

解： $5 x^{3} - 18 - ( 3 x^{3} + x^{2} - 3 x ) + \left( x^{2} - 3 x - 2 x^{3} \right) + 20$

= 5 x^{3} - 18 - 3 x^{3} - x^{2} + 3 x + x^{2} - 3 x - 2 x^{3} + 20

$=2$

所以，当x为任何一个有理数时，原式=2，

故三位同学说法都正确.

题型06 整式加减的代数应用——整体和差思想#

典例1#

一个整式与 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 的和是 $3 x - 2$ ，则这个整式为

查看答案

$- 3 x^{2} + 5 x - 3$

查看分析思路

本题考查了整式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键，根据题意利用整式的加减运算法则计算得出答案.

查看详细解析

解：因为一个整式与 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 的和是 $3 x - 2$

因此这一个整式是： $( 3 x - 2 ) - ( 3 x^{2} - 2 x + 1 ) = - 3 x^{2} + 5 x - 3$

故答案为 $- 3 x^{2} + 5 x - 3$

变式1#

已知 $-2\left(x^2-x+3\right)$ 减去整式 $M$ ，所得的差是 ${\frac {1} {2}} x - 1$ ，则M等于

查看答案

$- 2 x^{2} + \frac {3} {2} x - 5$

查看分析思路

本题考查整式的加减运算，根据题意得到 $M = - 2 \left( x^{2} - x + 3 \right) - ( \frac {1} {2} x - 1 )$ ，然后利用整式的加减运算法则去括号求解即可.

查看详细解析

解：由题意，

M = - 2 \left( x^{2} - x + 3 \right) - ( \frac {1} {2} x - 1 )

= - 2 x^{2} + 2 x - 6 - \frac {1} {2} x + 1

= - 2 x^{2} + {\frac {3} {2}} x - 5 ,

故答案为： $- 2 x^{2} + \frac {3} {2} x - 5$

变式2#

比 $4x^2+3xy+y^2$ 少 $3x^2+2xy+5y^2$ 的整式是

查看答案

$x^{2} + x y - 4 y^{2}$

查看分析思路

本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键，根据题意列出关系式，去括号合并同类项即可得到结果

查看详细解析

解：根据题意，得 $4 x^{2} + 3 x y + y^{2} - \left( 3 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} \right)$

= 4 x^{2} + 3 x y + y^{2} - 3 x^{2} - 2 x y - 5 y^{2}

= x^{2} + x y - 4 y^{2} \ ;

故答案为： $x^{2} + x y - 4 y^{2}$

题型 07 整式加减的代数应用——用手捂住整式问题#

典例1#

老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如下：

$\square+(-3x^2+5x-7)=-2x^2+3x-6$ ．求被捂住的整式.

查看答案

$x^{2} - 2 x + 1$

查看分析思路

根据加减法互为逆运算移项，然后去括号、合并同类项即可

查看详细解析

解：捂住的整式是： $- 2 x^{2} + 3 x - 6 - \left( - 3 x^{2} + 5 x - 7 \right)$

= - 2 x^{2} + 3 x - 6 + 3 x^{2} - 5 x + 7

= $x^{2}$ -2x+1.

点睛。 此题考查的是整式的加减法，掌握去括号法则和合并同类项法则是解决此题的关键.

变式1#

课上，老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：

$5 x + 2 x^{2} = 3 x^{2} - 7 x + 1$

(1)求所捂的二次三项式；

(2)若 $x = \frac {5} {7}$ ，求所捂二次三项式的值.

查看答案

$( 1 ) x^{2} - 2 x + 1$

(2) $\frac {4} {49}$

查看分析思路

本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键.

（1）根据整式的加减混合运算法则计算即可；

(2)把 $x = \frac {5} {7}$ 代入求值即可.

查看详细解析

（1）解： $3 x^{2} - 7 x + 1 + 5 x - 2 x^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

因此所捂的二次三项式是： $x^{2} - 2 x + 1$

（2）解：当 $x = \frac {5} {7}$ 时，原式 $= \left( {\frac {5} {7}} \right)^{2} - 2 \times {\frac {5} {7}} + 1 = {\frac {4} {49}}$

题型 08 整式加减的代数应用——mA-nB 型#

典例1#

已知 $A = 3 x^{3} - 2 x^{2} y - 7 y^{3} , B = 2 x^{3} - x y^{2} - x^{2} y + 4 y^{3}$ ，计算A-B，结果按x的降幂排列是它是次项式.

查看答案

$x^3-x^2y+xy^2-11y^3$ ，三次四项式

查看分析思路

本题考查整式的加减．列出式子，去括号合并同类项，按x的指数从大到小排列即可.

查看详细解析

解： $\because A = 3 x^{3} - 2 x^{2} y - 7 y^{3} , B = 2 x^{3} - x y^{2} - x^{2} y + 4 y^{3}$

\therefore A - B = 3 x^{3} - 2 x^{2} y - 7 y^{3} - \left( 2 x^{3} - x y^{2} - x^{2} y + 4 y^{3} \right)

= 3 x^{3} - 2 x^{2} y - 7 y^{3} - 2 x^{3} + x y^{2} + x^{2} y - 4 y^{3}

= x^{3} - x^{2} y + x y^{2} - 11 y^{3} .

它是三次四项式.

故答案为： $x^3-x^2y+xy^2-11y^3$ ，三次，四项.

变式1#

已知整式 $A = x^{2} + x y + 3 y , B = x^{2} - x y$

(1)求2A-B;

(2)x =-2，y =5时，求2A−B的值.

查看答案

$( 1 ) x^{2} + 3 x y + 6 y$ (2)4

查看分析思路

（1）直接列式计算即可；（2）将x=-2，y=5代入（1）中结果即可.

查看详细解析

（1） $2 A - B = 2 {\left( x^{2} + x y + 3 y \right)} - {\left( x^{2} - x y \right)}$ $= 2 x^{2} + 2 x y + 6 y - x^{2} + x y$ $= x^{2} + 3 x y + 6 y$ （2）将x=-2，y=5代入2A-B可得：原式 $= x^{2} + 3 x y + 6 y$ $= ( - 2 )^{2} + 3 \times ( - 2 ) \times 5 + 6 \times 5$ $= 4 - 30 + 30$ 点睛。 本题考查了整式的加减即代入求值，解答本题的关键是熟练掌握整式的运算法则.

变式2#

已知 $M = 3 y^{2} - 2 x y + x^{3} , ~ N = 2 y^{2} + x y - 3 x^{3}$ (1)求M + 2N ; (2)求2M-N.

查看答案

$( 1 ) 7 y^{2} - 5 x^{3}$ (2) $4 y^{2} - 5 x y + 5 x^{3}$

查看分析思路

本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；（1）把 $M = 3 y^{2} - 2 x y + x^{3} , ~ N = 2 y^{2} + x y - 3 x^{3}$ 代入进行整式的加减运算即可；（2）把 $M = 3 y^{2} - 2 x y + x^{3} , ~ N = 2 y^{2} + x y - 3 x^{3}$ 代入进行整式的加减运算即可

查看详细解析

（1）解：M+2N $= 3 y^{2} - 2 x y + x^{3} + 2 {\Big (} 2 y^{2} + x y - 3 x^{3} {\Big )}$ $= 3 y^{2} - 2 x y + x^{3} + 4 y^{2} + 2 x y - 6 x^{3}$ $= \left( 3 y^{2} + 4 y^{2} \right) + \left( 2 x y - 2 x y \right) + \left( x^{3} - 6 x^{3} \right)$ $= 7 y^{2} - 5 x^{3} ;$ （2）解：2M-N $= 2 {\left( 3 y^{2} - 2 x y + x^{3} \right)} - {\left( 2 y^{2} + x y - 3 x^{3} \right)}$ $= 6 y^{2} - 4 x y + 2 x^{3} - 2 y^{2} - x y + 3 x^{3}$ $= {\Big (} 6 y^{2} - 2 y^{2} {\Big )} - {\Big (} 4 x y + x y {\Big )} + {\Big (} 2 x^{3} + 3 x^{3} {\Big )}$ $= 4 y^{2} - 5 x y + 5 x^{3}$

题型 09 整式加减的代数应用——看错问题#

典例1#

小刚在解数学题时，由于粗心把原题“两个代数式A和B，其中 $A=?$ ， $B=4x^2 - 5 x - 6$ ，试求 $A {+} B$ 的值”中的 $" A + B "$ 错误的看成 $" A - B "$ ，结果求出的答案是- $7 {x}^{2} + 10 {x} + 12$ ，请你帮他纠错，正确地算出 $A {+} B$ 的值.

查看答案

$A + B = x^{2}$

查看分析思路

根据错误的计算可求得A的结果，再计算A+B的值即可.

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由题意可知： $A-B = - 7 x^{2} + 10 x + 12$

\therefore A = 4 x^{2} - 5 x - 6 - 7 x^{2} + 10 x + 12 = - 3 x^{2} + 5 x + 6 ;

\therefore A + B = ( - 3 x^{2} + 5 x + 6 ) + ( 4 x^{2} - 5 x - 6 ) = x^{2} ;

点睛。 本题考查了整式的加法运算，关键是掌握加法与减法是互逆的两种运算，才能由错误的计算求出代数式A的值.

变式1#

已知式子 $A = 3 x^{2} - x + 1$ ，马小虎同学在做整式加减运算时，误将“ $A-B$ ” 看成“ $A+B$ ” ，计算的结果是 $2 x^{2} - 3 x - 2$

(1)求式子B.

(2)求A-B的值.

查看答案

$( 1 ) - x^{2} - 2 x - 3$

(2) $4 x^{2} + x + 4$

查看分析思路

（1）已知代数式 $A = 3 x^{2} - x + 1$ ，A+B的结果是 $2 x^{2} - 3 x - 2$ ，由此即可求代数式B，

（2）利用（1）求得的代数式B，计算A-B即可.

查看详细解析

（1）解：根据题意得 $A = 3 x^{2} - x + 1$ $A + B$ 的结果是 $2 x^{2} - 3 x - 2$

\therefore B = 2 x^{2} - 3 x - 2 - ( 3 x^{2} - x + 1 )

= 2 x^{2} - 3 x - 2 - 3 x^{2} + x - 1

= - x^{2} - 2 x - 3

（2）解： $\because A = 3 x^{2} - x + 1 , B = - x^{2} - 2 x - 3$

\therefore A - B = \left( 3 x^{2} - x + 1 \right) - ( - x^{2} - 2 x - 3 )

= 3 x^{2} - x + 1 + x^{2} + 2 x + 3

= 4 x^{2} + x + 4 .

【点晴】本题主要考查整式的加减混合运算，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键.

题型 10 整式加减的代数应用——污染、遮住等问题#

典例 1#

$\left( 3 a b - {\frac {1} {2}} b^{2} - a^{2} \right) - \left( - {\frac {1} {2}} a^{2} + 4 a b - {\frac {3} {2}} b^{2} \right) =-\frac12a^2+\square+b^2$ 是小东做的一道整式运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面（阴影部分即为被墨水弄污的部分），那么被墨水遮住的一项应是

查看答案

-ab

查看分析思路

本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法，先对等式左边进行化简，即可得到被墨水遮住的一项.

查看详细解析

解： $\therefore ( 3 a b - {\frac {1} {2}} b^{2} - a^{2} ) - ( - {\frac {1} {2}} a^{2} + 4 a b - {\frac {3} {2}} b^{2} )$ $= 3 a b - {\frac {1} {2}} b^{2} - a^{2} + {\frac {1} {2}} a^{2} - 4 a b + {\frac {3} {2}} b^{2}$ $= - {\frac {1} {2}} a^{2} - a b + b^{2}$ 因此被墨水遮住的一项应是 $- a b$ 故答案为： $- a b$

变式1#

小明在数学课上学习了整式的加减，放学后，他拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容．突然，他发现一道题： $\left( - x^{2} + 3 x y - {\frac {1} {2}} y^{2} \right) - \left( - {\frac {1} {2}} x^{2} + 4 x y - {\frac {3} {2}} y^{2} \right) = -\frac12x^2-xy+y^2$ 被钢笔墨水弄污了，被弄污的地方应是（）A. $- 7 x y$ B. $7 x y$ C. $- x y$ D. $x y$

查看答案

查看分析思路

本题主要考查了整式的加减运算，先去括号，然后合并同类项即可得出答案.

查看详细解析

解： $\left( - x^{2} + 3 x y - {\frac {1} {2}} y^{2} \right) - \left( - {\frac {1} {2}} x^{2} + 4 x y - {\frac {3} {2}} y^{2} \right)$ $= - x^{2} + 3 x y - {\frac {1} {2}} y^{2} + {\frac {1} {2}} x^{2} - 4 x y + {\frac {3} {2}} y^{2}$ $= - {\frac {1} {2}} x^{2} - x y + y^{2}$ 故被弄污的地方应是-xy，故选：C.

变式2#

老师在黑板上给小明写出了一道计算题，如图所示，系数 $k$ 没有写清楚。

计算： $\left(kx^2+6x+8\right)-3\left(2x+x^2-1\right)$ 解：

（1）小明认为 $k=-1$ ，请求出这道题的结果；

(2)根据下面小刚对小明的提示，完成下列问题：

(1)小刚说：“当x的值是-1时，这道题的值为-2”，求此时系数 $k$ 的值；

(2)小刚说：“这道题最后的结果是个常数”，求此时系数 $k$ 的值.

查看答案

$( 1 ) - 4 x^{2} + 11$

（2）① $-10$ ；② $3$ 。

查看分析思路

本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键

（1）把■=-1代入式子，运用去括号法则，合并同类项法则进行化简即可；

（2）设系数“”的值为a，将式子化简为 $\left( a - 3 \right) x^{2} + 11$ (1)由当x的值是-1时，这道题的值为-2，可得 $\left( a - 3 \right) \times \left( - 1 \right)^{2} + 11 = - 2$ ，求解即可．(2)由这道题最后的结果是个常数，可得 $a - 3 = 0$ ，求解即可.

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（1）解：当“■”是“-1”时，该整式为： $\left( - x^{2} + 6 x + 8 \right) - 3 {\bigl (} 2 x + x^{2} - 1 {\bigr )}$ $\therefore ( - x^{2} + 6 x + 8 ) - 3 ( 2 x + x^{2} - 1 )$ $= - x^{2} + 6 x + 8 - 6 x - 3 x^{2} + 3$ $= - 4 x^{2} + 11$ （2）解：设系数“”的值为a，则 ${\Bigl (} a x^{2} + 6 x + 8 {\Bigl )} - 3 {\Bigl (} 2 x + x^{2} - 1 {\Bigl )}$ $= a x^{2} + 6 x + 8 - 6 x - 3 x^{2} + 3$ $= ( a - 3 ) x^{2} + 11$ (1)因为当x的值是-1时，这道题的值为-2， $\therefore ( a - 3 ) \times ( - 1 )^{2} + 11 = - 2$ $\therefore a = - 10 ~ .$ 因此此时系数“”的值为-10.(2)因为这道题最后的结果是个常数， $\therefore a - 3 = 0$ $\therefore a = 3 ,$ 因此此时系数“”的值为3.

题型 11 整式加减的代数应用——作差法比较整式的大小#

典例1#

若 $M = 2 x^{2} - 5 x + 10$ $N = 2 x^{2} - 4 x + 9$ ，则M与N的大小关系是（）A. $M > N$ B. M = N C. M < N D. 无法确定

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本题考查整式的加减，判断M与N的大小关系，可将M与N作差，比较结果与0的大小.

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解： $\because M = 2 x^{2} - 5 x + 10 \ , N = 2 x^{2} - 4 x + 9$ $\therefore M - N = \left( 2 x^{2} - 5 x + 10 \right) - \left( 2 x^{2} - 4 x + 9 \right) = - x + 1$ 因为 x的值不确定，因此 -x+1的符号也是不确定的.故选：D.

变式1#

已知代数式 $M = 2 x^{2} - 1$ $N = x^{2} - 2$ ，则无论x取何值，它们的大小关系是

$M > N / N < M$

查看答案

$M>N$

查看分析思路

本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型.

用作差法比较大小即可判断.

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$\because M = 2 x^{2} - 1 , N = x^{2} - 2$ $\therefore M - N = 2 x^{2} - 1 - \left( x^{2} - 2 \right)$ $= 2 x^{2} - 1 - x^{2} + 2$ $= x^{2} + 1 > 0$ $\therefore M - N > 0$ $\therefore M > N$ 故答案为： $M > N$

变式2#

根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

(1)若 $A - B > 0$ ，则 $A > B$

(2)若 $A - B = 0$ ，则 $A = B$

(3)若 $A - B < 0$ ，则 $A < B$

这种比较大小的方法称为作差法，请运用这种方法比较 $4+3a^2-2b+b^2$ 与 $3a^2-2b+1$ 的大小.

查看答案

$4 + 3 a^{2} - 2 b + b^{2} > 3 a^{2} - 2 b + 1$

查看分析思路

根据材料提示的“作差法”与平方数的非负性即可求解. 本题主要考查整式的加减混合运算，作差法比较两个代数式的大小，不等式的性质，掌握以上知识的运用是解题的关键.

查看详细解析

解：由题意，得 $4 + 3 a^{2} - 2 b + b^{2} - \left( 3 a^{2} - 2 b + 1 \right)$ $= 4 + 3 a^{2} - 2 b + b^{2} - 3 a^{2} + 2 b - 1$ $= b^{2} + 3$ 因为 $b^{2} \geq 0 , ~ 3 > 0$ 所以 $b^{2} + 3 > 0$ 所以 $4 + 3 a^{2} - 2 b + b^{2} > 3 a^{2} - 2 b + 1$

题型 12 整式加减的代数应用——不含某项#

典例1#

若关于x，y的整式 $x^{2} + 3 k x y - 3 y^{2} - \frac {1} {3} x y - 8$ 不含xy项，则k的值为（）A. $\frac 13$ B. $\frac {1} {9}$ C. $- {\frac {1} {9}}$ D. $- {\frac {1} {3}}$

查看答案

查看分析思路

根据不含xy项即含xy项的系数为0，据此求解即可，

本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在整式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值

查看详细解析

解：依题意， $x^{2} + 3 k x y - 3 y^{2} - {\frac {1} {3}} x y - 8 = x^{2} + \left( 3 k - {\frac {1} {3}} \right) x y - 3 y^{2} - 8$ 因为关于x，y的整式 $x^{2} + 3 k x y - 3 y^{2} - \frac {1} {3} x y - 8$ 不含xy项， $\therefore 3 k - {\frac {1} {3}} = 0$ $\therefore k = {\frac {1} {9}}$

变式1#

关于x、y的整式 $\left( x^{2} - 2 a x y + x + 1 \right) - \left( b x^{2} + 4 x y - 5 y + 2 \right)$ 不含二次项，则a+2b的值是（）A. -3 B. 0 C. 4 D. 5

查看答案

查看分析思路

本题考查了整式加减中的无关题型，掌握相关运算法则是解题关键，先去括号、合并同类项，再根据不含二次项求出a、b的值，再代入计算即可.

查看详细解析

解： $\left( x^{2} - 2 a x y + x + 1 \right) - \left( b x^{2} + 4 x y - 5 y + 2 \right)$ $= x^{2} - 2 a x y + x + 1 - b x^{2} - 4 x y + 5 y - 2$ $= \left( 1 - b \right) x^{2} - \left( 2 a + 4 \right) x y + x + 5 y - 1$ 因为整式不含二次项， $\therefore 1 - b = 0 , 2 a + 4 = 0$ $\therefore b = 1 , a = - 2$ $\therefore a + 2 b = - 2 + 2 \times 1 = 0$ 故选：B.

题型 13 整式加减的代数应用——与某字母的取值无关#

典例1#

已知 $A = 2 a^{2} b + a b c$ ，小红错将 “ $2A-B$ ” 看成了 “ $2A+B$ ” ，算得结果为 $5 a^{2} b + 4 a b c$ (1)求B；

(2)小军跟小红说： “ $2A-B$ ” 的大小与c取值无关”，小军的说法对吗？为什么？

$B = a^{2} b + 2 a b c$

(2)对，理由见解析

查看答案

（1） $B=a^2b+2abc$ ；（2）小军的说法正确。

查看分析思路

（1）将错就错，列出关系式，去括号，合并同类项即可求得B；（2）把A和B代入2A-B中化简，根据结果与c的取值关系判断即可.

查看详细解析

（1）根据题意： $A = 2 a^{2} b + a b c , \quad 2 A + B = 5 a^{2} b + 4 a b c$ 即 $B = 5 a^{2} b + 4 a b c - 2 A$ $= 5 a^{2} b + 4 a b c - 2 \left( 2 a^{2} b + a b c \right)$ $= 5 a^{2} b + 4 a b c - 4 a^{2} b - 2 a b c$

= a^{2} b + 2 a b c ;

（2）小军的说法对，

理由： $\because A = 2 a^{2} b + a b c , B = a^{2} b + 2 a b c ,$ $\therefore 2 A - B$ $= 2 {\Big (} 2 a^{2} b + a b c {\Big )} - {\Big (} a^{2} b + 2 a b c {\Big )}$ $= 4 a^{2} b + 2 a b c - a^{2} b - 2 a b c$ $= 3 a^{2} b$ 因此结果不含c，即2A-B的大小与c取值无关，

故小军的说法对.

点睛。 本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项是解题的关键

A = - 3 x - 4 x y + 3 y , B = - 2 x + x y

(1)化简A-3B.

(2)当 $x + y = \frac {5} {6} , x y = - 1$ ，求A-3B的值.

(3)若A-3B的值与y的取值无关，则x=

查看答案

(1) $3x+3y−7xy$ (2) $\frac {19} {2}$ (3) $\frac {3} {7}$

查看分析思路

（1）先去括号，再计算整式的加减即可得；

(2）将 $x + y = \frac {5} {6} , x y = - 1$ 代入计算即可得；

（3）根据A-3B的值与y的取值无关可得含字母y的项的系数等于0，由此即可得

\therefore A = - 3 x - 4 x y + 3 y , B = - 2 x + x y

\therefore A - 3 B = - 3 x - 4 x y + 3 y - 3 ( - 2 x + x y )

= - 3 x - 4 x y + 3 y + 6 x - 3 x y

= 3 x + 3 y - 7 x y .

（2）解：将 $x + y = \frac {5} {6} , x y = - 1$ 代入得： $A - 3 B = 3 x + 3 y - 7 x y$ $= 3 {\bigl (} x + y {\bigr )} - 7 x y$ $= 3 \times \frac {5} {6} - 7 \times ( - 1 )$ $= {\frac {19} {2}}$ （3）解： $A - 3 B = 3 x + 3 y - 7 x y = 3 x + \left( 3 - 7 x \right) y$ $\because A - 3 B$ 的值与y的取值无关， $\therefore 3 - 7 x = 0$ 解得 $x = \frac {3} {7}$ 故答案为： $\frac {3} {7}$

点睛。 本题考查了整式的加减、代数式求值、整式加减中的无关型问题、一元一次方程的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键

查看详细解析

按分析思路逐项计算即可得到上方答案。

题型14 整式加减的几何应用#

典例1#

学校某间教室的建筑平面图如图所示（图中长度单位：m），分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，这个教室的面积用一个整式表示，这个整式是_，次数是_．（）

A. $2 x + x^{2} + 12$ ，2 B. $2 x + x^{2} + 18$ ，3 C. $x + x^{2} + 12$ , 2 D. $2 x + x^{2} + 18$ ，2

查看答案

查看分析思路

本题主要考查了整式，解题关键是理解题意，列出代数式

先根据这间教室的建筑面积=I，Ⅱ，，V四个区域的面积和，列出代数式，合并同类项，最后判断即可

查看详细解析

解：由题意得这间教室的建筑面积为： $2 x + 4 \times 3 + x^{2} + 3 \times 2$ $= 2 x + 12 + x^{2} + 6$ $=x^2+2x+18$ 因此这个整式的次数为2，

故选：D.

变式1#

如图，将长为28cm、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm.则n张白纸粘合后的总长度为 cm（用含n的代数式表示）.

查看答案

(26n+2)

查看分析思路

本题考查的是列代数式，整式的加减运算，由图可知，将n张这样的白纸粘合后的总长度=n张白纸的总长-(n-1)个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式

查看详细解析

解：由题意可得： $n$ 张白纸粘合后的总长度为 $28n-2(n-1)=26n+2$ 故答案为： $\left( 26 n + 2 \right)$

变式2#

如图，在边长为6的正方形的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4. 其中正方形1的边长为m，图中阴影部分的周长为 __（用含m的代数式表示）

查看答案

$24-2m$

查看分析思路

此题考查了列代数式．根据图意知：阴影部分的水平长度之和为 $2 \times 6$ ，竖直长度之和为 $2 ( 6 - m )$ 结合图形求得阴影部分的周长即可.

查看详细解析

解：由题意知：阴影部分的水平长度之和为 $2 \times 6 = 12$ ，竖直长度之和为 $2 ( 6 - m )$ 则阴影部分的周长为： $12 + 2 ( 6 - m ) = 24 - 2 m$

故答案为：24-2m.

变式3#

如图，长为a，宽为b的长方形被分割成7部分，除阴影部分外，其余5部分为形状和大小完全相同的小长方形，其中小长方形的宽为3.

(1)求小长方形的长；（用含a的代数式表示）

(2)若b=10，求阴影部分的周长.

查看答案

$( 1 ) a - 9$

(2)阴影部分的周长为46

查看分析思路

本题考查了列代数式、整式加减的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键.

（1）由图可知，小长方形的宽×3+小长方形的长=a，据此即可求解；

（2）用a、b分别表示出阴影部分2个长方形的周长，再相加求出阴影部分的周长，再代入b=10即可求解.

查看详细解析

（1）解：由图可得，小长方形的长为 $a-3\times3=a-9$

（2）解：由图可得，阴影部分的周长为 $2 ( b - 2 \times 3 ) + 2 [ b - ( a - 9 ) ] + 2 a$ $= 2 b - 12 + 2 b - 2 a + 18 + 2 a$

= 4 b + 6 .

当b=10时，原式 $= 4 {\times} 10 + 6 = 46$

因此阴影部分的周长为46.

变式4#

如图，两个正方形边长分别为a，4，且 $a > 4$

(1)用含a的式子表示阴影部分的面积；

(2)当a=8时，求阴影部分的面积.

查看答案

$( 1 ) {\frac {1} {2}} a^{2} - 2 a + 8$

(2)24

查看分析思路

本题主要考查代数式表示图形面积，掌握整式的运算，代入求值是解题的关键.

（1）根据题意， $S_{\text{阴影}}=S_{ABCD}+S_{CEFG}-S_{\triangle ABD}-S_{\triangle CFG}$ 代入计算即可；

（2）把a=8代入（1）中的代数式即可求解.

查看详细解析

（1）解：如图所示， $A B = B C = C D = A D = a , C E = E F = F G = C G = 4 , B G = B C + C G = a + 4$

$\therefore S_{\text{阴影}}=S_{ABCD}+S_{CEFG}-S_{\triangle ABD}-S_{\triangle CFG}$

$= a^{2} + 4^{2} - \frac {1} {2} a^{2} - \frac {1} {2} \big ( a + 4 \big ) \times 4$

$= {\frac {1} {2}} a^{2} - 2 a + 8 ;$

（2）解： $S_{\text{阴影}} = \frac {1} {2} a^{2} - 2 a + 8$ $= \frac {1} {2} \times 8^{2} - 2 \times 8 + 8$ = 24 .

一、单选题#

三、强化训练#

下列去括号中正确的（）A. $x + ( 3 y + 2 ) = x + 3 y - 2$ B. $a^{2} - ( 3 a^{2} - 2 a + 1 ) = a^{2} - 3 a^{2} - 2 a + 1$ C. $y^{2} + ( - 2 y - 1 ) = y^{2} - 2 y - 1$ D. $- ( 2 m^{2} - 4 m - 1 ) = - 2 m^{2} + 4 m - 1$

查看答案

查看分析思路

根据去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号.

查看详细解析

解：A、 $x + ( 3 y + 2 ) = x + 3 y + 2$ ，故本选项不符合题意；B、 $a^{2} - ( 3 a^{2} - 2 a + 1 ) = a^{2} - 3 a^{2} + 2 a - 1$ ，故本选项不符合题意；C、 $y^{2} + ( - 2 y - 1 ) = y^{2} - 2 y - 1$ ，故本选项符合题意；D、 $- ( 2 m^{2} - 4 m - 1 ) = - 2 m^{2} + 4 m + 1$ ，故本选项不符合题意；故选：C.

下列各式运算正确的是（）A. $5 a^{2} - 3 a^{2} = 2$ B. $3 a + 5 a = 8 a^{2}$ C. $3 a + 2 b = 5 a b$ D. $a^{2} b - b a^{2} = 0$

查看答案

查看分析思路

本题考查了整式的加减运算，根据合并同类项的方法“字母及字母的指数不变，系数相加（或减）即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键

查看详细解析

解：A、 $5 a^{2} - 3 a^{2} = 2 a^{2}$ ，原选项计算错误，不符合题意；B、 $3 a + 5 a = 8 a$ ，原选项计算错误，不符合题意； $3a$ 与 $2b$ 不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；D、 $a^{2} b - b a^{2} = \left( 1 - 1 \right) a^{2} b = 0$ ，原选项计算正确，符合题意；故选：D.

计算 $6 m^{2} - 5 m + 3$ 与 $5 m^{2} + 2 m - 1$ 的差，结果是（）A. $m^{2} - 3 m + 4$ B. $m^{2} - 3 m + 2$ C. $m^{2} - 7 m + 2$ D. $m^{2} - 7 m + 4$

查看答案

查看分析思路

本题主要考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解答此题的关键，先根据题意列出式子，再运算即可.

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解：由题意得： $6 m^{2} - 5 m + 3 - \left( 5 m^{2} + 2 m - 1 \right)$ $= 6 m^{2} - 5 m + 3 - 5 m^{2} - 2 m + 1$ $= m^{2} - 7 m + 4$ 故选：D.

下列变形中错误的是（）A. $m^{2} - \left( 2 m - 1 \right) = m^{2} - 2 m + 1$ B. $a^{2} - 2 a b + b^{2} = a^{2} - \left( 2 a b - b^{2} \right)$ C. $a - b + c - d = \left( a - d \right) - \left( b + c \right)$ D. $b + c - ( a - d ) = ( b - a ) + ( c + d )$

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去括号法则：当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“-”号时，去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要变号，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．结合各选项进行判断即可.

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解： $\mathsf {A .} m^{2} - \bigl ( 2 m - 1 \bigr ) = m^{2} - 2 m + 1$ ，正确，不符合题意； $8 . a^{2} - 2 a b + b^{2} = a^{2} - \left( 2 a b - b^{2} \right)$ ，正确，不符合题意； C $\displaystyle a - b + c - d = \bigl ( a - d \bigr ) - \bigl ( b - c \bigr )$ ，故不正确，符合题意； $. b + c - ( a - d ) = ( b - a ) + ( c + d )$ ，正确，不符合题意；

故选C.

点睛。 本题考查了去括号法则与添括号法则，熟练掌握去括号及添括号的法则是关键.

若A，B，C都是关于x的三次整式，则A-B+C是关于x的（）A. 三次整式B. 六次整式C. 不低于三次的整式D. 不高于三次的整式

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先识别题目所考的定义或运算规则，再确定计算顺序。

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详细过程见上方答案，并可按题干中的定义逐步计算。

关于代数式 $x y z^{2} - 1 + 3 x y + z^{2} x y - 2 x y z^{2} - 3 x y$ ，下列说法正确的是（）A. 无论x，y取何值，其值都是一个常数B． x取不同值时，其值不同C. y取不同值时，其值不同 D. 以上说法都不正确

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本题考查了整式的运算中无关项的问题，熟悉掌握运算的法则是解题的关键合并同类项后进行判断即可.

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解： $\because x y z^{2} - 1 + 3 x y + z^{2} x y - 2 x y z^{2} - 3 x y = - 1$ 因此无论x，y，z取何值，其值都是-1，故A正确；故选：A.

二、填空题#

$\begin{array} {r l r} {\left( 5 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 6 \right) - (} & {{}} & {) = 2 x^{3} - x + 1} \end{array}$

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$3 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 5$

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根据减数=被减数-差，列出算式计算即可求解.

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解： $\left( 5 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 6 \right) - ( 2 x^{3} - x + 1 )$ $= 5 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 6 - 2 x^{3} + x - 1$ $= 3 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 5 .$ 故答案为： $3 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x + 5$

点睛。 本题考查了整式的加减，关键是熟悉减数=被减数-差的知识点

已知 $x - 2 y = - 2$ ，则整式 $( x - 2 y )^{2} - x + 2 y - 1$ 的值为

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根据题意化简代数式，再代入数值求解即可

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因为 $x - 2 y = - 2$ ，所以原式 $= \left( x - 2 y \right)^{2} - \left( x - 2 y \right) - 1 = \left( - 2 \right)^{2} - \left( - 2 \right) - 1 = 4 + 2 - 1 = 5$

故答案为5

点睛。 本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练的掌握代数式的运算

已如 $A - B = 3 x^{2} - 2 x + 1 , B - C = 4 - 2 x^{2}$ ，则C-A=

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$- x^{2} + 2 x - 5$

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先把两式相加求解A-C，再求解A-C的相反数即可得到答案.

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解：因为 $A - B = 3 x^{2} - 2 x + 1 , B - C = 4 - 2 x^{2}$

因此两式相加可得：

A - C = 3 x^{2} - 2 x + 1 + 4 - 2 x^{2}

= x^{2} - 2 x + 5

\therefore C - A = - ( A - C ) = - ( x^{2} - 2 x + 5 ) = - x^{2} + 2 x - 5

故答案为： $- x^{2} + 2 x - 5$

点睛。 本题考查的是整式的加减运算，相反数的含义，掌握去括号的法则与合并同类项的法则是解题的关键.

老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个整式，形式如

$- {\Big (} 2 x^{2} - 2 x + 1 {\Big )} = - x^{2} + 5 x - 3$ ，则所捂住的整式是

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$x^{2} + 3 x - 2$

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根据加减法互为逆运算移项,然后去括号、合并同类项即可

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解：捂住的整式是 $\displaystyle : - x^{2} + 5 x - 3 + \left( 2 x^{2} - 2 x + 1 \right)$

= - x^{2} + 5 x - 3 + 2 x^{2} - 2 x + 1

= x^{2} + 3 x - 2

故答案为: $x^{2} + 3 x - 2$

点睛。 此题考查的是整式的加减法,掌握去括号法则和合并同类项法则是解决此题的关键.

11.一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为

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$313 m - 98$

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根据题意先表示个位数为：3m+2,再表示百位数为：3m-1,从而可得答案.

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解：因为一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，

因此个位数为： $3 m + 2 ,$ 百位数为： $3 m + 2 - 3 = 3 m - 1 ,$

所以这个三位数为： $100 {\bigl (} 3 m - 1 {\bigr )} + 10 m + 3 m + 2 = 313 m - 98 .$

故答案为：313m-98

点睛。 本题考查的是列代数式，整式的加减运算，一个三位数的百位，十位，个位为分别为a,b,c，则这个三位数表示为： $100 a + 10 b + c ,$ 掌握列式的方法是解题的关键

$3 x^{n + 1} - 4 x^{n - 1} + {\frac {1} {2}} x^{n + 1} + {\frac {3} {2}} x^{n - 1} + 5 x^{n} - 2 x^{n} =$

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${\frac {7} {2}} {x^{n + 1}} + 3 {x^{n}} - {\frac {5} {2}} {x^{n - 1}}$

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根据整式的加减即可求解

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原式 $= \left( 3 {x}^{n + 1} + \frac {1} {2} {x}^{n + 1} \right) + \left( 5 {x}^{n} - 2 {x}^{n} \right) + \left( - 4 {x}^{n - 1} + \frac {3} {2} {x}^{n - 1} \right)$ $= ( 3 + {\frac {1} {2}} ) x^{n + 1} + ( 5 - 2 ) x^{n} + ( - 4 + {\frac {3} {2}} ) x^{n - 1}$ $= {\frac {7} {2}} x^{n + 1} + 3 x^{n} - {\frac {5} {2}} x^{n - 1}$ 答案： ${\frac {7} {2}} x^{n + 1} + 3 x^{n} - {\frac {5} {2}} x^{n - 1}$

点睛。 此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知整式的加减运算法则

三、解答题#

计算：

(1) $\left( 4 a^{3} b - 10 b^{3} \right) + \left( - 3 a^{2} b^{2} + 10 b^{3} \right)$ (2) $\left( 4 x^{2} y - 5 x y^{2} \right) - \left( 3 x^{2} y - 4 x y^{2} \right)$ (3) $5 a^{2} - \left[ a^{2} + \left( 5 a^{2} - 2 a \right) - 2 \left( a^{2} - 3 a \right) \right]$ (4) $15 + 3 ( 1 - a ) - \left( 1 - a - a^{2} \right) + \left( 1 - a + a^{2} - a^{3} \right) ;$ (5) $\left( 4 a^{2} b - 3 a b \right) + \left( - 5 a^{2} b + 2 a b \right)$ (6) $\left( 6 m^{2} - 4 m - 3 \right) + \left( 2 m^{2} - 4 m + 1 \right)$ (7) $\left( 5 a^{2} + 2 a - 1 \right) - 4 {\left( 3 - 8 a + 2 a^{2} \right)}$ (8) $3 x^{2} - \left[ 5 x - \left( {\frac {1} {2}} x - 3 \right) + 2 x^{2} \right] .$

查看答案

（1） $4 a^{3} b - 3 a^{2} b^{2} ; ( 2 ) x^{2} y - x y^{2} ; ( 3 ) a^{2} - 4 a ; ( 4 ) 18 - 3 a + 2 a^{2} - a^{3}$ (5) $- a^{2} b - a b$ • (6) $8 m^{2} - 8 m - 2$ (7) $- 3 a^{2} + 34 a - 13$ (8) $x^{2} - {\frac {9} {2}} x - 3$

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去括号法则：括号前面是“+”号，把括号与括号前面的“+”号去掉，括号内各项不改变符号，括号前面是“-”号，把括号与括号前面的“-”号去掉，括号内各项改变符号，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；合并同类项的法则：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，根据去括号的法则把（1）至（8）小题先去括号，再合并同类项即可

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解：（1） $\left( 4 a^{3} b - 10 b^{3} \right) + \left( - 3 a^{2} b^{2} + 10 b^{3} \right)$ $= 4 a^{3} b - 10 b^{3} - 3 a^{2} b^{2} + 10 b^{3}$ $= 4 a^{3} b - 3 a^{2} b^{2}$ $( 2 ) \ \left( 4 x^{2} y - 5 x y^{2} \right) - \left( 3 x^{2} y - 4 x y^{2} \right)$ $= 4 x^{2} y - 5 x y^{2} - 3 x^{2} y + 4 x y^{2}$ ${=} x^{2} y - x y^{2}$ (3) $5 a^{2} - \left[ a^{2} + \left( 5 a^{2} - 2 a \right) - 2 \left( a^{2} - 3 a \right) \right]$ $= 5 a^{2} - \left( a^{2} + 5 a^{2} - 2 a - 2 a^{2} + 6 a \right)$ $= 5 a^{2} - ( 4 a^{2} + 4 a )$ $= 5 a^{2} - 4 a^{2} - 4 a = a^{2} - 4 a$ $( 4 ) 15 + 3 ( 1 - a ) - \left( 1 - a - a^{2} \right) + \left( 1 - a + a^{2} - a^{3} \right)$ $= 15 + 3 - 3 a - 1 + a + a^{2} + 1 - a + a^{2} - a^{3}$ $= - a^{3} + 2 a^{2} - 3 a + 18$ $( 5 ) ~ \left( 4 a^{2} b - 3 a b \right) + \left( - 5 a^{2} b + 2 a b \right)$ $= 4 a^{2} b - 3 a b - 5 a^{2} b + 2 a b$ $= - a^{2} b - a b$ $( 6 ) \ \left( 6 m^{2} - 4 m - 3 \right) + \left( 2 m^{2} - 4 m + 1 \right)$ $= 6 m^{2} - 4 m - 3 + 2 m^{2} - 4 m + 1$ $= 8 m^{2} - 8 m - 2$ $( 7 ) \ \left( 5 a^{2} + 2 a - 1 \right) - 4 \left( 3 - 8 a + 2 a^{2} \right)$ $= 5 a^{2} + 2 a - 1 - 12 + 32 a - 8 a^{2}$ $= - 3 a^{2} + 34 a - 13$ (8) $3 x^{2} - [ 5 x - ( {\frac {1} {2}} x - 3 ) + 2 x^{2} ]$ $= 3 x^{2} - ( 5 x - \frac {1} {2} x + 3 + 2 x^{2} )$ $= 3 x^{2} - ( 2 x^{2} + {\frac {9} {2}} x + 3 )$

$= 3 x^{2} - 2 x^{2} - {\frac {9} {2}} x - 3$ $= x^{2} - {\frac {9} {2}} x - 3$

点睛。 本题考查的是去括号，合并同类项，掌握去括号的法则，合并同类项的法则是解题的关键.

14.（1）求整式 $2 x^{2} - 5 x + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} - 2$ 的值，其中 $x = \frac {1} {2}$

(2) 求整式 $3 a + a b c - {\frac {1} {3}} c^{2} - 3 a + {\frac {1} {3}} c^{2}$ 的值，其中 $a = - \frac {1} {6} , b = 2 , c = - 3$

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$( 1 ) - x - 2 , - \frac {5} {2} ; ( 2 ) a b c , 1$

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（1）将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变，合并完同类项再代入 $x = \frac {1} {2}$ 求值；

（2）先合并同类项再代入 $a = - \frac {1} {6} , b = 2 , c = - 3$ 求值即可.

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解：（1） $2 x^{2} - 5 x + x^{2} + 4 x - 3 x^{2} - 2$ $= ( 2 + 1 - 3 ) x^{2} + ( - 5 + 4 ) x - 2$ $= - x - 2$ 当 $x = \frac {1} {2}$ 时，原式 $= - {\frac {1} {2}} - 2 = - {\frac {5} {2}}$ (2) $3 a + a b c - {\frac {1} {3}} c^{2} - 3 a + {\frac {1} {3}} c^{2}$ $= ( 3 - 3 ) a + a b c + ( - \frac {1} {3} + \frac {1} {3} ) c^{2}$ $= a b c$ 当 $a = - \frac {1} {6} , b = 2 , c = - 3$ 时，原式 $= \left( - \frac {1} {6} \right) \times 2 \times ( - 3 ) = 1$

点睛。 本题考查的是合并同类项，掌握其法则及公式是解决此题的关键

已知关于x的整式 $a {\left( x^{3} - x^{2} + 3 x \right)} + b {\left( 2 x^{2} + x \right)} + x^{3} - 7$ 的二次项系数为0，且当x=2时，它的值是-19，求当 $x = - 2$ 时，该整式的值.

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根据题意先将整式化简，再根据整式的二次项系数为0，进一步化简代数式，根据x=2时的值为-19 求得 $8 {\big (} a + 1 {\big )} + 2 {\big (} 3 a + b {\big )} = - 12$ ，再将其代入x=-2时的代数式中求解即可

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$\because a \left( x^{3} - x^{2} + 3 x \right) + b \left( 2 x^{2} + x \right) + x^{3} - 7$

= a x^{3} - a x^{2} + 3 a x + 2 b x^{2} + b x + x^{3} - 7

$= ( a + 1 ) x^{3} + ( 2 b - a ) x^{2} + ( 3 a + b ) x - 7$ 因为整式的二次项系数为0，即2b−a=0，因此原式 $= \left( a + 1 \right) x^{3} + \left( 3 a + b \right) x - 7 ,$ 当x=2时， $8 {\big (} a + 1 {\big )} + 2 {\big (} 3 a + b {\big )} - 7 = - 19$ 即 $8 {\big (} a + 1 {\big )} + 2 {\big (} 3 a + b {\big )} = - 12$ 因此当x=-2时，原式 $= - 8 {\big (} a + 1 {\big )} - 2 {\big (} 3 a + b {\big )} - 7 = 12 - 7 = 5$ 点睛。 本题考查了整数的加减，整式的系数，代数式求值，整体代入是解题的关键

已知 $A = - x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} , B = 5 x^{2} - x y + 2 y^{2} .$

(1)求4A-6B;

(2)若 $2 A + B + C = 0$ ，求C.

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$( 1 ) - 34 x^{2} + 14 x y - 24 y^{2}$

- 3 x^{2} - 3 x y + 4 y^{2}

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本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键

A = - x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} , B = 5 x^{2} - x y + 2 y^{2}

4 A - 6 B

2 A + B = 3 x^{2} + 3 x y - 4 y^{2}

2 A + B + C = 0

$= 4 {\left( - x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} \right)} - 6 {\left( 5 x^{2} - x y + 2 y^{2} \right)}$ $= - 4 x^{2} + 8 x y - 12 y^{2} - 30 x^{2} + 6 x y - 12 y^{2}$ $= - 34 x^{2} + 14 x y - 24 y^{2} ;$ (2) $2A+B$ $= 2 {\left( - x^{2} + 2 x y - 3 y^{2} \right)} + {\left( 5 x^{2} - x y + 2 y^{2} \right)}$ $= - 2 x^{2} + 4 x y - 6 y^{2} + 5 x^{2} - x y + 2 y^{2}$ $= 3 x^{2} + 3 x y - 4 y^{2}$ 因为 2A+B+C=0 因此 C = 0 −(2A + B) $= - {\left( 3 x^{2} + 3 x y - 4 y^{2} \right)}$ $= - 3 x^{2} - 3 x y + 4 y^{2} .$

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按分析思路逐项计算即可得到上方答案。

某位同学做一道题：已知两个整式A、B，若 $B = x^{2} - x - 1$ ，求A-B的值.他误将A-B看成 $A + B$ 求得结果为 $3 x^{2} - 3 x + 5$

(1)求整式A的表达式；

(2)求A-B的正确答案.

查看答案

$( 1 ) 2 x^{2} - 2 x + 6$

(2) $x^{2} - x + 7$

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本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法

（1）根据题意，可以计算出A的值；

（2）根据（1）中 $A$ 的值和题意，可以计算出A-B的正确答案.

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（1）解：由题意可得， A+ B = 3 $x^{2}$ −3x + 5 , B = $x^{2}$ − x −1 , $\therefore A = ( 3 x^{2} - 3 x + 5 ) - B$ $= ( 3 x^{2} - 3 x + 5 ) - ( x^{2} - x - 1 )$ $= 3 x^{2} - 3 x + 5 - x^{2} + x + 1$ $= 2 x^{2} - 2 x + 6 ;$ (2) $\because A = 2 x^{2} - 2 x + 6 , B = x^{2} - x - 1$ 因此 A-B $= ( 2 x^{2} - 2 x + 6 ) - ( x^{2} - x - 1 )$ $= 2 x^{2} - 2 x + 6 - x^{2} + x + 1$ $= x^{2} - x + 7 .$

已知关于x，y的整式 $m x^{4} + 4 n x y^{3} + 3 x^{4} - x y^{3} + x y$ 不含四次项，求 $m + 4 n$ 的值.

查看答案

-2

查看分析思路

根据合并同类项，可化简整式，根据整式不含四次项，可得四次项的系数为零，可得m、n的值，根据代数求值，可得答案.

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解： $m x^{4} + 4 n x y^{3} + 3 x^{4} - x y^{3} + x y = \left( m + 3 \right) x^{4} + \left( 4 n - 1 \right) x y^{3} + x y$ ，

因为此整式不含四次项．所以 $m + 3 = 0 , 4 n - 1 = 0$ ，即 $m = - 3 , 4 n = 1$

所以 $m + 4 n = - 3 + 1 = - 2$

点睛。 本题考查了整式，先化简整式，在确定项的系数，最后代数式求值

阅读材料：

我们知道， $4 x - 2 x + x = ( 4 - 2 + 1 ) x = 3 x$ ，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则

$4 ( a + b ) - 2 ( a + b ) + ( a + b ) = ( 4 - 2 + 1 ) ( a + b ) = 3 ( a + b )$ .“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在整式的化简与求值中应用极为广泛.

尝试应用：

（1）把 $( a {-} b )^{2}$ 看成一个整体，合并 $3 ( a - b )^{2} - 6 ( a - b )^{2} + 2 ( a - b )^{2}$ 的结果是_

(2) 已知 $x^{2} - 2 y = 4$ ，求 $3 x^{2} - 6 y - 21$ 的值；

（3）已知 a-2b=3，2b-c=-5，c-d=10，求 $( a - c ) + ( 2 b - d ) - ( 2 b - c )$ 的值.

查看答案

$( 1 ) ~ - {\big (} a - b {\big )}^{2} ~ ; ~ ( 2 ) ~ - 9 ; ~ ( 3 ) ~ 8$

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（1）把 $( a {-} b )^{2}$ 看成一个整体，然后合并 $3 ( a - b )^{2} - 6 ( a - b )^{2} + 2 ( a - b )^{2}$ 即可得到答案；

（2）根据 $3 x^{2} - 6 y - 21 = 3 {\bigl (} x^{2} - 2 y {\bigr )} - 21$ ，利用 $x^{2} - 2 y = 4$ 即可求解；

(3)先根据 $a - 2 b = 3 , 2 b - c = - 5 , c - d = 10$ ,得到 $\left( a - 2 b \right) + \left( 2 b - c \right) + \left( c - d \right) = 3 + \left( - 5 \right) + 10 = 8$ ，即可得到 $a - d = 8$ 再把 $( a - c ) + ( 2 b - d ) - ( 2 b - c )$ 去括哈合并同类项即可求解

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解：（1） $3 {\bigl (} a - b {\bigr )}^{2} - 6 {\bigl (} a - b {\bigr )}^{2} + 2 {\bigl (} a - b {\bigr )}^{2}$ $= ( 3 - 6 + 2 ) {\bigl (} a - b {\bigr )}^{2}$ $= - \left( a - b \right)^{2} ;$ (2)因为 $x^{2}$ −2y =4, $\therefore 3 x^{2} - 6 y - 21 = 3 {\Big (} x^{2} - 2 y {\Big )} - 21 = 3 \times 4 - 21 = - 9 ;$ (3) $(a-c)+(2b-d)-(2b-c)$ $= a - c + 2 b - d - 2 b + c$ $= a − d ,$ $\because a - 2 b = 3 , 2 b - c = - 5 , c - d = 10 ,$ $\therefore ( a - 2 b ) + ( 2 b - c ) + ( c - d ) = 3 + ( - 5 ) + 10 = 8 \ ,$ $\therefore a - 2 b + 2 b - c + c - d = 8 ,$ 因此 a − d = 8 $\therefore ( a - c ) + ( 2 b - d ) - ( 2 b - c ) = 8 .$

点睛。 本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练运用整体的思想进行求解.

关于x的整式，当 $x$ 取任意一组相反数 $m,-m$ 时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如： $x^{2}$ 是“偶整式”， $x^{3}$ 是“奇整式”.

(1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与-1时，对应的整式值分别为 $A_{1} , A_{2}$ ，则 $A_{1} + A_{2} =$

(2)判断式子 $\left( x - 2 \right)^{2} - \left( x + 2 \right)^{2}$ 是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由；

(3)对于整式 $x^{5} - x^{3} + x^{2} + x + 1$ ，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和.

(1)这个“偶整式”是，“奇整式”是

(2)当x分别取-3，-2，-1，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是

想一想，能否不计算每个整式的值，利用该整式的特点简便计算?

查看答案

(1)0

(2)奇整式；理由见解析

（3）(1) $x^2+1$ ； $x^5-x^3+x$ ；(2) $35$

查看分析思路

（1）根据定义直接判断即可；

（2）将-x代替x代入观察结果与原式的结果关系即可判断；

（3）(1)将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式：

(2)将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解

查看详细解析

（1）由定义可知，整式的值互为相反数，

故答案为：0;

（2）奇整式

理由：将-x代入x中可得 $\left( - x - 2 \right)^{2} - \left( - x + 2 \right)^{2} = \left( x + 2 \right)^{2} - \left( x - 2 \right)^{2}$

$\because ( x + 2 )^{2} - ( x - 2 )^{2} ( x - 2 )^{2} - ( x + 2 )^{2}$ 互为相反数，

因此该式为奇整式；

(3)(1) $x^{5} - x^{3} + x^{2} + x + 1 = ( x^{2} + 1 ) + ( x^{5} - x^{3} + x )$ ，

\because x^{2} + 1 = \left( - x \right)^{2} + 1 , - \left( x^{5} - x^{3} + x \right) = \left( - x \right)^{5} - \left( - x \right)^{3} + \left( - x \right) ,

$\therefore x^{2} + 1$ 是偶整式， $x^{5} - x^{3} + x$ 是奇整式.

(2)由于 $x^{2} + 1$ 是偶整式， $x^{5} - x^{3} + x$ 是奇整式，

因此当x分别取-3，-2，-1，0，1，2，3时，

$x^{2} + 1$ 的值分别为10,5,2,1,2，5,10；当x取互为相反数的值时 $x^{5} - x^{3} + x$ 的值也互为相反数，即和为0;

因此这七个整式的值之和是 $10 + 5 + 2 + 1 + 2 + 5 + 10 = 35$

故答案为：35.

点睛。 本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等

系列导航：10.1 整式 · 10.2 合并同类项 · 10.3 整式的加法和减法 · 章末综合复习。

七年级数学 10.3：整式的加法和减法

一、知识清单#

知识点 1 去括号与添括号#

1. 复习引入：#

2.去括号法则#

要点：#

3.添括号法则#

4.从数与一次式的相乘到数与整式的相乘#

即学即练#

知识点 2 整式的加减运算#

即学即练#

知识点 3整式加减运算的应用#

即学即练#

二、题型精讲#

题型 01 去括号#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 02 添括号#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 03 整式的加减#

典例1#

变式1#

变式2#

变式3#

题型 04 整式的加减及其求值#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 05 辨析整式加减的解答过程#

典例1#

变式1#

题型06 整式加减的代数应用——整体和差思想#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 07 整式加减的代数应用——用手捂住整式问题#

典例1#

变式1#

题型 08 整式加减的代数应用——mA-nB 型#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 09 整式加减的代数应用——看错问题#

典例1#

变式1#

题型 10 整式加减的代数应用——污染、遮住等问题#

典例 1#

变式1#

变式2#

题型 11 整式加减的代数应用——作差法比较整式的大小#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 12 整式加减的代数应用——不含某项#

典例1#

变式1#

题型 13 整式加减的代数应用——与某字母的取值无关#

典例1#

题型14 整式加减的几何应用#

典例1#

变式1#

变式2#

变式3#

变式4#

一、单选题#

三、强化训练#

二、填空题#

三、解答题#

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