七年级数学 11.3：整式的乘法

系列阅读：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章综合复习。

阅读提示

建议计算时先辨认乘法结构，注意负号、指数及合并同类项；几何应用先明确每部分面积。

一、知识清单#

知识点 1 单项式与单项式相乘#

单项式与单项式相乘的法则#

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘.

要点：#

（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用

（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.

（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成

（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) $3 b^{3} \cdot \frac {5} {6} b^{2}$

(2) $\left( - 6 a y^{3} \right) \left( - a^{2} \right)$

(3) $\left( - 3 x \right)^{3} \cdot \left( 5 x^{2} y \right)$ (4) $\big ( 2 \times 10^{4} \big ) \big ( 6 \times 10^{3} \big ) \cdot 10^{7}$

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$( 1 ) \frac {5} {2} b^{5}$

(2) $6 a^{3} y^{3}$

(3) $- 135 x^{5} y$

(4) $1 . 2 \times 10^{15}$

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本题考查了单项式乘以单项式，解题关键是牢记运算法则，注意：①单项式的乘法应遵循“符号优先”，先确定符号，再把它们的绝对值相乘．②单项式与单项式相乘，若它们的系数为带分数，应化为假分数，再相乘，最后结果的系数若是带分数应化为假分数.

（1）先计算系数的积，再将字母的指数相加；

（2）先计算系数的积，再将相同字母的指数相加，只在一个单项式里出现的字母则连同它的指数一起作为积的因式；

（3）先算乘方，再计算系数的积，最后将相同字母的指数相加，只在一个单项式里出现的字母则连同它的

指数一起作为积的因式；

（4）将2和6相乘，再将10的指数相加.

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（1）解： $3 b^{3} \cdot \frac {5} {6} b^{2}$ $= \left( 3 \times \frac {5} {6} \right) \cdot \left( b^{3} \cdot b^{2} \right)$ $= \frac {5} {2} b^{5}$

（2）解： $\left( - 6 a y^{3} \right) \left( - a^{2} \right)$

$= [ ( - 6 ) \times ( - 1 ) ] ( a \cdot a^{2} ) y^{3}$

$= 6 a^{3} y^{3}$

（3）解： $\left( - 3 x \right)^{3} \cdot \left( 5 x^{2} y \right)$

$= [ \left( - 3 \right)^{3} \times 5 ] \left( x^{3} \cdot x^{2} \right) y$

$= - 135 x^{5} y$

（4）解： $\big ( 2 \times 10^{4} \big ) \big ( 6 \times 10^{3} \big ) \cdot 10^{7}$

$= \left( 2 \times 6 \right) \times \left( 10^{4} \times 10^{3} \times 10^{7} \right)$

$= 12 \times 10^{14}$

$= 1 . 2 \times 10^{15}$

第 2 题#

计算：

(1) $3 x^{2} y \cdot \left( - 2 x y^{3} \right) = \_$ (2) $\left( - 5 a^{4} \right) \cdot \left( - 8 a b^{2} \right) =$

(3) $\left( - 2 x^{3} y^{2} \right)^{3} \cdot 4 x y^{2} =$

查看答案

(1) $-6x^3y^4$ ；(2) $40a^5b^2$ ；(3) $-32x^{10}y^8$ 。

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本题考查了单项式与单项式相乘，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）根据单项式与单项式相乘的法则计算即可；

（2）根据单项式与单项式相乘的法则计算即可；

（3）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则计算即可

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（1） $3 x^{2} y \cdot \left( - 2 x y^{3} \right) = - 6 x^{3} y^{4}$

(2) $\left( - 5 a^{4} \right) \cdot \left( - 8 a b^{2} \right) = 40 a^{5} b^{2}$ (3) $\left( - 2 x^{3} y^{2} \right)^{3} \cdot 4 x y^{2} = - 32 x^{10} y^{8}$

故答案为： $- 6 x^{3} y^{4} ; 40 a^{5} b^{2} ; - 32 x^{10} y^{8}$

第 3 题#

已知单项式 $3 x^{2} y^{3}$ 与 $2 x y^{2}$ 的积为 $m x^{3} y^{n}$ ，则 $m - n =$

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本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得 $3 x^{2} y^{3} \cdot 2 x y^{2} = 6 x^{3} y^{5}$ ，求出m、 n的值，然后代入 $m - n$ 中计算求解即可.

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解： $\because 3 x^{2} y^{3} \cdot 2 x y^{2} = 6 x^{3} y^{5}$

因此 $mx^3y^n=6x^3y^5$ ，

$\therefore m = 6 , n = 5 ,$

$\therefore m - n = 6 - 5 = 1 .$

故答案为：1.

知识点 2 单项式与整式相乘#

单项式与整式相乘的运算法则

单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即

$m(a+b+c)=ma+mb+mc.$

要点：

（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.

（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.

（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) $x {\Bigl (} 2 x^{2} - 3 x + 1 {\Bigr )}$

(2) ${\frac {1} {2}} a b^{2} \cdot \left( 2 a^{2} b - 3 a b^{2} \right)$

(3) $\left( 2 m^{2} - m n + 4 n^{2} \right) \cdot \left( - m n \right)$

(4) $a \left( a^{2} + a b + b^{2} \right) - b \left( a^{2} + a b + b^{2} \right)$

查看答案

$( 1 ) 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$

(2) $a^{3} b^{3} - {\frac {3} {2}} a^{2} b^{4}$

(3) $- 2 m^{3} n + m^{2} n^{2} - 4 m n^{3}$

(4) $a^{3} - b^{3}$

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本题考查了整式的混合运算，单项式乘整式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

（1）利用单项式乘整式法则计算即可；

（2）利用单项式乘整式法则计算即可；

（3）利用单项式乘整式法则计算即可；

（4）先利用单项式乘整式法则计算，再合并同类项即可.

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（1）解： $x \left( 2 x^{2} - 3 x + 1 \right) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x$

（2）解： ${\frac {1} {2}} a b^{2} \cdot \left( 2 a^{2} b - 3 a b^{2} \right) = a^{3} b^{3} - {\frac {3} {2}} a^{2} b^{4}$

（3）解： $\left( 2 m^{2} - m n + 4 n^{2} \right) \cdot \left( - m n \right) = - 2 m^{3} n + m^{2} n^{2} - 4 m n^{3}$

（4）解： $a {\left( a^{2} + a b + b^{2} \right)} - b {\left( a^{2} + a b + b^{2} \right)}$

$= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3}$

第 2 题#

(1) $a \left( 2 b - 3 c + 2 d \right) =$

(2) $\left( - 3 x \right) \left( 2 x^{2} - x - 1 \right) = \qquad ;$

(3) $( 3 x )^{2} \left( {\frac {1} {3}} x^{2} - {\frac {1} {9}} x - 2 \right) =$

(4) $a(b+c-bc)-b(c+a-ac)+c(b-c)=$ ____。

查看答案

(1) $2ab-3ac+2ad$ ；(2) $-6x^3+3x^2+3x$ ；(3) $3x^4-x^3-18x^2$ ；(4) $ac-c^2$ 。

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本题考查单项式乘以整式，根据项式乘以整式的运算即可求解，理解并掌握单项式乘以整式的运算法则是解决问题的关键.

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解：（1） $a \left( 2 b - 3 c + 2 d \right) = 2 a b - 3 a c + 2 a d$ 故答案为： $2 a b - 3 a c + 2 a d$ (2) $\left( - 3 x \right) \left( 2 x^{2} - x - 1 \right) = - 6 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

故答案为： $- 6 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

(3) $( 3 x )^{2} \left( {\frac {1} {3}} x^{2} - {\frac {1} {9}} x - 2 \right) = 9 x^{2} \cdot \left( {\frac {1} {3}} x^{2} - {\frac {1} {9}} x - 2 \right) = 3 x^{4} - x^{3} - 18 x^{2}$

故答案为： $3 x^{4} - x^{3} - 18 x^{2}$ (4) $a \left( b + c - b c \right) - b \left( c + a - a c \right) + c \left( b - c \right)$

$= a b + a c - a b c - b c - a b + a b c + b c - c^{2}$

$= a c - c^{2}$

故答案为： $a c - c^{2}$

第 3 题#

一个长方形的长为 $6 x^{2}$ ，宽为 $3 x - 2$ ，则这个长方形的面积为_

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$18 x^{3} - 12 x^{2}$

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本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用单项式乘整式的运算法则

根据长方形的面积为长×宽，即可求解.

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解：长方形的面积 $= 6 x^{2} \cdot ( 3 x - 2 ) = 18 x^{3} - 12 x^{2}$

故答案为： $18 x^{3} - 12 x^{2}$

知识点 3 整式与整式相乘#

1. 思考#

如何计算 $( 2 \mathbf {x}^{3} + 3 \mathbf {x} \mathbf {y} ) \cdot ( \mathbf {x} + \mathbf {y}^{2} ) ?$

可以把 $x+y^2$ 看成一个整体，运用乘法对加法的分配律计算，得

$\begin{array} {c} {{( 2 \mathrm {x}^{3} + 3 \mathrm {x y} ) {\cdot} ( \mathrm {x} + \mathrm {y}^{2} ) {=} 2 \mathrm {x}^{3} {\cdot} ( \mathrm {x} + \mathrm {y}^{2} ) + 3 \mathrm {x y} {\cdot} ( \mathrm {x} + \mathrm {y}^{2} )}} \\ {{=} 2 \mathrm {x}^{3} {\cdot} \mathrm {x} + 2 \mathrm {x}^{3} {\cdot} \mathrm {y}^{2} + 3 \mathrm {x y} {\cdot} \mathrm {x} + 3 \mathrm {x y} {\cdot} \mathrm {y}^{2}} \\ {{=} 2 \mathrm {x}^{4} + 2 \mathrm {x}^{3} \mathrm {y}^{2} + 3 \mathrm {x}^{2} \mathrm {y} + 3 \mathrm {x y}^{3} .} \end{array}$

2. 整式与整式相乘的运算法则#

整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即

$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.$

要点：

整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积

整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：

$( x + a ) ( x + b ) = x^{2} + ( a + b ) x + a b .$

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) $(x+2)(x+1)$

(2) $( m - 1 ) ( m - 2 )$

(3) ${\left( 2 a - 3 b \right)} {\left( 3 a + 2 b \right)}$

(4) $\left( 2 a + 3 \right) \left( - a - 2 \right)$

查看答案

$( 1 ) x^{2} + 3 x + 2$

(2) $m^{2} - 3 m + 2$

(3) $6 a^{2} - 5 a b - 6 b^{2}$

(4) $- 2 a^{2} - 7 a - 6$

查看分析思路

此题考查了整式乘以整式运算，解题的关键是掌握整式乘以整式运算法则

（1）利用整式乘以整式运算法则求解即可；

（2）利用整式乘以整式运算法则求解即可；

（3）利用整式乘以整式运算法则求解即可；

（4）利用整式乘以整式运算法则求解即可

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$( 1 ) \ \bigl ( x + 2 \bigr ) \bigl ( x + 1 \bigr )$

$= x^{2} + x + 2 x + 2$

$= x^{2} + 3 x + 2 ;$

$( 2 ) \ \left( m - 1 \right) \left( m - 2 \right)$

$= m^{2} - 2 m - m + 2$

$=m^2-3m+2$ ；

(3) $(2a-3b)(3a+2b)=6a^2+4ab-9ab-6b^2=6a^2-5ab-6b^2$ ； (4) $(2a+3)(-a-2)=-2a^2-4a-3a-6=-2a^2-7a-6$ 。

第 2 题#

计算：

(1) $( a b + 3 c d ) ( 3 a b - 2 c d )$

(2) $\big ( 9 m - 4 n \big ) \big ( 4 n + 9 m \big )$

(3) ${\big (} a + b + 1 {\big )} {\big (} a - b - 2 {\big )}$

(4) $( x - 2 ) ( x + 5 ) - ( 2 x - 3 ) ( 2 x + 1 )$

查看答案

$( 1 ) 3 a^{2} b^{2} + 7 a b c d - 6 c^{2} d^{2}$

(2) $81 m^{2} - 16 n^{2}$

(3) $a^{2} - a - b^{2} - 3 b - 2$

(4) $- 3 x^{2} + 7 x - 7$

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本题考查整式的混合运算，

（1）直接利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可；

（2）直接利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可：

（3）直接利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可：

（4）先利用整式乘整式的运算法则将原式展开，然后去括号，最后进行合并即可；

解题的关键是掌握整式乘整式的运算法则：整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每项，再把所得的积相加.

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（1）解： $( a b + 3 c d ) ( 3 a b - 2 c d )$ $= 3 a^{2} b^{2} - 2 a b c d + 9 a b c d - 6 c^{2} d^{2}$ $= 3 a^{2} b^{2} + 7 a b c d - 6 c^{2} d^{2} ;$ (2) $(9m-4n)(4n+9m)$ $= 36 m n + 81 m^{2} - 16 n^{2} - 36 m n$ $= 81 m^{2} - 16 n^{2} ;$ (3) $(a+b+1)(a-b-2)$ $= a^{2} - a b - 2 a + a b - b^{2} - 2 b + a - b - 2$ $= a^{2} - a - b^{2} - 3 b - 2 ;$

(4) $( x - 2 ) ( x + 5 ) - ( 2 x - 3 ) ( 2 x + 1 )$ $= x^{2} + 5 x - 2 x - 10 - \left( 4 x^{2} + 2 x - 6 x - 3 \right)$ $= x^{2} + 5 x - 2 x - 10 - 4 x^{2} - 2 x + 6 x + 3$ $= - 3 x^{2} + 7 x - 7$

第 3 题#

已知 $( x + a ) ( x - 2 ) = x^{2} + x + b$ ，则a，b的值分别是（） A. $a = -3$ , $b = -6$ B. $a = 3$ , $b = -6$ C. $a =-3$ , $b = 6$ D. $a =3$ , $b = 6$

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本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题关键．先利用整式乘以整式法则计算等式的左边，再与等式的右边比较系数即可得.

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解： $\ ( x + a ) ( x - 2 ) = x^{2} - 2 x + a x - 2 a = x^{2} + ( a - 2 ) x - 2 a$ $\because ( x + a ) ( x - 2 ) = x^{2} + x + b$ $\therefore x^{2} + ( a - 2 ) x - 2 a = x^{2} + x + b$ $\therefore a - 2 = 1 , - 2 a = b$ $\therefore a = 3 , b = - 6$ 故选：B.

第 4 题#

计算 $(2x-y)(3x+y)$ 的结果中，含xy的项的系数为（)A. -1 B. 1 C. 5 D. -5

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本题考查了整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式的运算法则是解题关键．根据整式乘以整式法则计算即可得.

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解： ${\big (} 2 x - y {\big )} {\big (} 3 x + y {\big )}$ $= 6 x^{2} + 2 x y - 3 x y - y^{2}$ $= 6 x^{2} - x y - y^{2}$ 则计算 $(2x-y)(3x+y)$ 的结果中，含xy的项的系数为-1，故选：A.

第 5 题#

已知 $P=(x-1)(x-4)$ ， $Q=(x-2)(x-3)$ ，则P与Q的大小关系为（)A. $P>Q$ B. $P=Q$ C. $P< Q$ D. 不确定

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本题考查整式乘以整式，熟练掌握整式乘以整式运算法则是解题的关键根据整式乘以整式分别计算P与Q，然后做差比较即可：

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解： $P = ( x - 1 ) ( x - 4 ) = x^{2} - 5 x + 4$

$Q = {\big (} x - 2 {\big )} {\big (} x - 3 {\big )} = x^{2} - 5 x + 6$

$Q-P=x^2-5x+6-(x^2-5x+4)=2>0$ ，

则 $Q > P$

故选：C

二、题型精讲#

题型 01 单项式与单项式相乘#

典例1#

计算：

(1) $6 a^{5} \cdot 5 a^{3}$

(2) $\left( - 2 a^{2} c \right) \cdot \left( - 3 b c \right)$

(3) $3 a^{2} b \cdot 2 a b \cdot {\frac {1} {3}} a b c^{2}$

(4) $\left( - 4 a b \right)^{3} \cdot \left( \frac {3} {4} a^{2} b \right)^{3}$

(5) $\left( 2 \times 10^{3} \right)^{2} \times \left( - 3 \times 10^{5} \right)^{3}$

(6) $\left( - 3 a^{n - 1} b \right) \cdot \left( - 2 a^{2 n} b^{n - 1} \right)$ (n是整数， $n>1$ ）

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(1) $30 a^{8}$

(2) $6 a^{2} b c^{2}$

(3) $2 a^{4} b^{3} c^{2}$

(4) $- 27 a^{9} b^{6}$

(5) $- 1 . 08 \times 10^{23}$

(6) $6 a^{3 n - 1} b^{n}$

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本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键

（1）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可；

（3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（4）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（5）先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可：

（6）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可.

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（1）解： $6 a^{5} \cdot 5 a^{3} = 30 a^{8}$

（2）解； $\left( - 2 a^{2} c \right) \cdot \left( - 3 b c \right) = 6 a^{2} b c^{2}$

（3）解： $3 a^{2} b \cdot 2 a b \cdot {\frac {1} {3}} a b c^{2} = 6 a^{3} b^{2} \cdot {\frac {1} {3}} a b c^{2} = 2 a^{4} b^{3} c^{2}$ （4）解： $\left( - 4 a b \right)^{3} \cdot \left( \frac {3} {4} a^{2} b \right)^{3}$ $= - 64 a^{3} b^{3} \cdot \frac {27} {64} a^{6} b^{3}$ $= - 27 a^{9} b^{6} ;$ （5）解： $\left( 2 \times 10^{3} \right)^{2} \times \left( - 3 \times 10^{5} \right)^{3}$ $= 4 \times 10^{6} \times \left( - 27 \times 10^{15} \right)$ $= - 108 \times 10^{21}$ $= - 1 . 08 \times 10^{23}$ （6）解： $\left( - 3 a^{n - 1} b \right) \cdot \left( - 2 a^{2 n} b^{n - 1} \right)$ $= 6 a^{n - 1 + 2 n} b^{1 + n - 1}$ $= 6 a^{3 n - 1} b^{n}$

变式1#

计算：

(1) $-\left(x^2\right)^2 \cdot \left( 2 x y^{2} \right)^{3}$ (2) $\left( a^{2} \right)^{2} \cdot \left( - 2 a b \right)$ (3) $\left( - x^{2} \right) \cdot 2 x \cdot \left( - 5 x \right)^{3}$ (4) $\left( 2 x^{2} \right)^{3} \cdot \left( - 3 x y^{2} \right)$

查看答案

(1) $- 8 x^{7} y^{6}$ (2) $- 2 a^{5} b$ (3) $250 x^{6}$ (4) $- 24 x^{7} y^{2}$

查看分析思路

本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键.

先分别对各题运用幂的乘方、积的乘方计算，然后再运用单项式乘单项式法则计算即可.

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（1）解： $- {\left( x^{2} \right)}^{2} \cdot {\left( 2 x y^{2} \right)}^{3}$

$= - x^{4} \cdot 8 x^{3} y^{6}$

$= - 8 x^{7} y^{6}$

（2）解： $\left( a^{2} \right)^{2} \cdot \left( - 2 a b \right)$

$= a^{4} \cdot \left( - 2 a b \right)$

=- $2a^5b$ （3）解： $\left( - x^{2} \right) \cdot 2 x \cdot \left( - 5 x \right)^{3}$ $= \left( - x^{2} \right) \cdot 2 x \cdot \left( - 125 x^{3} \right)$ $= 250 x^{6}$ （4）解： $\left( 2 x^{2} \right)^{3} \cdot \left( - 3 x y^{2} \right)$ $= 8 x^{6} \cdot \left( - 3 x y^{2} \right)$ $= - 24 x^{7} y^{2}$

变式2#

计算：

(1) ${\frac {2} {3}} x^{3} y^{2} \cdot \left( {\frac {3} {2}} x y^{2} \right)^{2} \cdot \left( {\frac {2} {3}} x \right)$

(2) $\left( - 3 x y \right)^{2} \left( - \frac {1} {5} x^{2} y \right)^{3} \cdot \left( - \frac {1} {4} y z^{2} \right)^{2}$

查看答案

$( 1 ) x^{6} y^{6}$

(2) $- {\frac {9} {2000}} x^{8} y^{7} z^{4}$

查看分析思路

本题主要考查单项式乘以单项式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；

（1）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解；

（2）先算乘方，然后再根据单项式乘以单项式可进行求解.

查看详细解析

（1）解：原式 $= \frac {2} {3} x^{3} y^{2} \cdot \frac {9} {4} x^{2} y^{4} \cdot \left( \frac {2} {3} x \right)$ $= {\frac {2} {3}} \times {\frac {9} {4}} \times {\frac {2} {3}} \cdot x^{3 + 2 + 1} y^{2 + 4}$ $= {x^{6} y^{6}}$ （2）解：原 $= 9 x^{2} y^{2} \cdot \left( - \frac {1} {125} x^{6} y^{3} \right) \cdot \left( \frac {1} {16} y^{2} z^{4} \right)$ $= - 9 \times \frac {1} {125} \times \frac {1} {16} x^{2 + 6} y^{2 + 3 + 2} z^{4}$ $= - {\frac {9} {2000}} x^{8} y^{7} z^{4}$

题型 02 单项式与单项式相乘求值问题#

典例1#

先化简，后求值： $4 x^{3} y^{3} \cdot \left( - {\frac {3} {4}} x^{2} y \right)^{2} + \left( - {\frac {1} {4}} x^{2} y \right) \cdot 16 x y^{2}$ ，其中 $x = 0 . 4 , y = - 2 . 5$

查看答案

${\frac {9} {4}} x^{7} y^{5} - 4 x^{3} y^{3} , 3 {\frac {16} {25}}$

查看分析思路

此题考查了整式的混合运算，首先根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则化简，然后代入求解即可，解题的关键掌握运算法则

查看详细解析

解： $4 x^{3} y^{3} \cdot \left( - {\frac {3} {4}} x^{2} y \right)^{2} + \left( - {\frac {1} {4}} x^{2} y \right) \cdot 16 x y^{2}$ $= 4 x^{3} y^{3} \cdot {\frac {9} {16}} x^{4} y^{2} + \left( - 4 x^{3} y^{3} \right)$ $= {\frac {9} {4}} x^{7} y^{5} - 4 x^{3} y^{3}$ 当 $x = 0 . 4 = \frac {2} {5} , y = - 2 . 5 = - \frac {5} {2}$ 时，原式 $: = \frac {9} {4} \times ( \frac {2} {5} )^{7} \times ( - \frac {5} {2} )^{5} - 4 \times ( \frac {2} {5} )^{3} \times ( - \frac {5} {2} )^{3}$ $= - {\frac {9} {4}} \times {\frac {2^{7}} {5^{7}}} \times {\frac {5^{5}} {2^{5}}} - 4 \times \left( - {\frac {2} {5}} \times {\frac {5} {2}} \right)^{3}$ $= - {\frac {9} {25}} + 4$ $= 3 \frac {16} {25}$

变式1#

已知 $\left( \mathbf {m} + 2 \right) \mathbf {a}^{2} \mathbf {b}^{| \mathbf {m} + 1 |}$ 是关于a，b的三次单项式，且 $\left| \mathbf {n}+1 \right| = 2$ ，求 $2 \mathrm {m}^{2} \cdot ( - 2 \mathrm {m n} ) \cdot \left( - {\frac {1} {2}} \mathrm {m}^{2} \mathrm {n}^{3} \right) + \mathrm {n}$ 的值.

查看答案

当 $\scriptstyle \mathbf {m} = 0 , \mathbf {n} = 1$ 时，原式=1；当 $\mathrm {m} = 0 , ~ \mathrm {n} = - 3$ 时，原式=-3.

查看分析思路

先根据三次单项式，求得m，根据绝对值的意义求得n，再化简代数式求值

查看详细解析

解：由题意得 $\begin{cases}m+2\ne0,\\|m+1|+2=3.\end{cases}$

解得 $m=0$ .

$\because \left| \mathbf {n}+1 \right| = 2$

$\therefore \mathrm {n} = 1$

$n = - 3$

$2 \mathrm {m}^{2} \cdot ( - 2 \mathrm {m n} ) \cdot \left( - {\frac {1} {2}} \mathrm {m}^{2} \mathrm {n}^{3} \right) + \mathrm {n}$

$= 2 \mathrm {m}^{2 + 1 + 2} \mathrm {n}^{1 + 3} + \mathrm {n}$

$= 2 \mathrm {m}^{5} \mathrm {n}^{4} + \mathrm {n}$

当 $m=0,n=1$ 时，原式 $=1$ ；当 $m=0,n=-3$ 时，原式 $=-3$ 。

点睛。 本题考查单项式的系数与次数，单项式的乘法，熟练掌握基础知识是关键

变式2#

已知 $-2x^{3m+1}y^{2n}$ 与 $4x^{-3}y^4$ 的积和 $-4x^4y^2$ 是同类项。

(1)求m,n的值，

(2)先化简，再求值： $5 m^{3} n \cdot \left( - 3 n \right)^{2} + \left( 6 m n \right)^{2} \cdot \left( - m n \right) - m n^{3} \cdot \left( - 4 m \right)^{2}$

查看答案

(1) $m = 2 , n = - 1$

$( 2 ) - 7 m^{3} n^{3}$ ，56

查看分析思路

本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义：

（1）先根据单项式乘以单项式的计算法按照求出 $- 2 x^{3 m + 1} y^{2 n} \cdot 4 x^{- 3} y^{4} = - 8 x^{3 m + 1 - 3} y^{2 n + 4}$ ，再由同类项的定义得到 $3 m + 1 - 3 = 4 , 2 n + 4 = 2$ ，解之即可得到答案；

（2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可.

查看详细解析

（1）解： $- 2 x^{3 m + 1} y^{2 n} \cdot 4 x^{- 3} y^{4} = - 8 x^{3 m + 1 - 3} y^{2 n + 4}$

$-8x^{3m-2}y^{2n+4}$ 与 $-4x^4y^2$ 是同类项。

因此 $-8x^{3m-2}y^{2n+4}$ 与 $-4x^4y^2$ 是同类项，

$\therefore 3 m + 1 - 3 = 4 , 2 n + 4 = 2$

$\therefore m = 2 , n = - 1 ;$

（2）解： $5 m^{3} n \cdot \left( - 3 n \right)^{2} + \left( 6 m n \right)^{2} \cdot \left( - m n \right) - m n^{3} \cdot \left( - 4 m \right)^{2}$ $= 5 m^{3} n \cdot 9 n^{2} + 36 m^{2} n^{2} \cdot \left( - m n \right) - m n^{3} \cdot 16 m^{2}$ $= 45 m^{3} n^{3} - 36 m^{3} n^{3} - 16 m^{3} n^{3}$ $= - 7 m^{3} n^{3}$ 当 $m = 2 , n = - 1$ 时，原式 $= - 7 \times 2^{3} \times \left( - 1 \right)^{3} = 56$

点睛。 原题含负指数，按此表达式求得 $m=2,n=-1$ 后要求 $x e0,y e0$ 。这些表达式不属于通常定义的整式。

题型 03 单项式与整式相乘#

典例1#

计算：

(1) $4 x {\left( 2 x^{2} + 3 x - 1 \right)}$

(2) $\left( \frac {2} {3} a b^{2} - 2 a b \right) \cdot \left( - \frac {1} {2} a b \right) .$

查看答案

$( 1 ) 8 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x$

(2) $- {\frac {1} {3}} a^{2} b^{3} + a^{2} b^{2}$

查看分析思路

本题考查单项式乘整式，熟练掌握运算法则是解题的关键，

（1）根据单项式乘整式的法则，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加；

（2）根据单项式乘整式的法则，用单项式乘整式的每一项，再把所得的积相加

查看详细解析

（1）解： $4 x {\left( 2 x^{2} + 3 x - 1 \right)}$

$= 4 x \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 3 x + 4 x \cdot ( - 1 )$

$= 8 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x$

（2）解： ${\Bigg (} {\frac {2} {3}} a b^{2} - 2 a b {\Bigg )} \cdot {\Bigg (} - {\frac {1} {2}} a b {\Bigg )}$

$= {\frac {2} {3}} a b^{2} \cdot \left( - {\frac {1} {2}} a b \right) + \left( - 2 a b \right) \cdot \left( - {\frac {1} {2}} a b \right)$

$= - {\frac {1} {3}} a^{2} b^{3} + a^{2} b^{2}$

变式1#

（1）计算： $- {\frac {1} {2}} x \cdot \left( - 2 x^{2} + 4 \right)$

(2) 计算： $4 x y \cdot \left( - 3 y \right) + 2 y \left( 6 x y + 2 \right)$

（3）计算： $\left( - {\frac {1} {2}} a^{2} b \right)^{2} \left( 4 a - b^{2} \right)$

（4）计算： $x^{2} \left( x - 1 \right) - x \left( x^{2} - x - 1 \right)$

查看答案

$(1)x^3-2x$ ；（2）4y；（3） $a^{5} b^{2} - {\frac {1} {4}} a^{4} b^{4}$ ；（4）x

查看分析思路

（1）根据单项式乘以整式的运算法则计算即可；

（2）先计算单项式乘以单项式及整式，然后合并同类项计算即可；

（3）先计算积的乘方运算，然后计算单项式乘以整式即可；

（4）先计算单项式乘以整式去括号，然后合并同类项即可.

查看详细解析

解：（1）原式 $= - {\frac {1} {2}} x \cdot \left( - 2 x^{2} \right) + \left( - {\frac {1} {2}} x \right) \times 4 = x^{3} - 2 x$

（2）原式 $= - 12 x y^{2} + 12 x y^{2} + 4 y = 4 y$

（3）原式 $= {\frac {1} {4}} a^{4} b^{2} \left( 4 a - b^{2} \right)$

$= a^{5} b^{2} - {\frac {1} {4}} a^{4} b^{4}$

(4) $x^{2} \left( x - 1 \right) - x \left( x^{2} - x - 1 \right)$

$=x^3-x^2-x^3+x^2+x=x.$

点睛。 题目主要考查单项式乘以单项式及整式，合并同类项等的运算法则，熟练掌握各个运算法则是解题关键.

变式2#

计算：

(1) ${\frac {1} {2}} x^{2} \cdot \left( 2 x + 1 \right)$

(2) ${\left( {\frac {2} {3}} a^{2} b - 3 a b^{2} \right)} {\cdot} 3 a b$

(3) $\left( - \frac {5} {2} x y \right) \cdot \left( \frac {2} {3} x y^{2} - 2 x y + \frac {4} {3} y \right)$

(4) $3x \cdot \left( 2 x^{2} - x + 1 \right) - x \cdot \left( 2 x - 3 \right) - 4 \left( 1 - x^{2} \right)$

查看答案

$( 1 ) x^{3} + {\frac {1} {2}} x^{2}$

(2) $2 a^{3} b^{2} - 9 a^{2} b^{3}$

(3) $- \frac {5} {3} x^{2} y^{3} + 5 x^{2} y^{2} - \frac {10} {3} x y^{2}$

(4) $6 x^{3} - x^{2} + 6 x - 4$

查看分析思路

本题考查了整式的混合运算，单项式乘整式，熟练掌握相关的运算法则是解题关键.

（1）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可

（2）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可；

（3）根据单项式乘整式的运算法则进行求解即可；

（4）根据单项式乘整式的运算法则进行运算，再合并同类项即可

查看详细解析

（1）解： ${\frac {1} {2}} x^{2} \cdot {\bigl (} 2 x + 1 {\bigr )}$

$= {\frac {1} {2}} x^{2} \cdot 2 x + {\frac {1} {2}} x^{2}$

$= x^{3} + {\frac {1} {2}} x^{2} ;$

(2) ${\left( {\frac {2} {3}} a^{2} b - 3 a b^{2} \right)} {\cdot} 3 a b$

$= {\frac {2} {3}} a^{2} b \cdot 3 a b - 3 a b^{2} \cdot 3 a b$

$= 2 a^{3} b^{2} - 9 a^{2} b^{3}$

(3) $\left( - \frac {5} {2} x y \right) \cdot \left( \frac {2} {3} x y^{2} - 2 x y + \frac {4} {3} y \right)$

$= - {\frac {5} {2}} x y \cdot {\frac {2} {3}} x y^{2} + {\frac {5} {2}} x y \cdot 2 x y - {\frac {5} {2}} x y \cdot {\frac {4} {3}} y$

$= - {\frac {5} {3}} x^{2} y^{3} + 5 x^{2} y^{2} - {\frac {10} {3}} x y^{2} ;$

(4) $3 x \cdot {\Big (} 2 x^{2} - x + 1 {\Big )} - x \cdot {\big (} 2 x - 3 {\big )} - 4 {\Big (} 1 - x^{2} {\Big )}$ $= 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - ( 2 x^{2} - 3 x ) - 4 + 4 x^{2}$ $= 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 2 x^{2} + 3 x - 4 + 4 x^{2}$ $= 6 x^{3} - x^{2} + 6 x - 4 .$

题型 04 单项式与整式相乘求值问题#

典例1#

先化简，再求值： $2 x {\bigl (} x^{2} - x + 1 {\bigr )} - x {\bigl (} 2 x^{2} + 2 x - 3 {\bigr )}$ ，其中 $x = 1$

查看答案

$-4x^2+5x$ ，1

查看分析思路

本题主要考查了整式的化简求值，先计算单项式乘以整式，再合并同类项，最后代入数值求解即可.

查看详细解析

解： $2 x {\bigl (} x^{2} - x + 1 {\bigr )} - x {\bigl (} 2 x^{2} + 2 x - 3 {\bigr )}$

$= 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$

$= - 4 x^{2} + 5 x$

当 $x = 1$ 时，原式 $= - 4 + 5 = 1$

变式1#

先化简，再求值： $5 a \left( 2 a^{2} - 5 a + 3 \right) - 2 a^{2} \left( 5 a + 5 \right) + 7 a^{2}$ ，其中 $a = 2$

查看答案

$-28a^2+15a$ ， $-82$ 。

查看分析思路

先根据整式的运算法则化简式子，再代入求值，

查看详细解析

解：原式 $= 10 a^{3} - 25 a^{2} + 15 a - 10 a^{3} - 10 a^{2} + 7 a^{2} = - 28 a^{2} + 15 a$

当 $a=2$ 时，原式 $=-28\times2^2+15\times2=-112+30=-82$ 。

点睛。 本题考查整式的化简求值，掌握整式的相关运算法则是关键.

变式2#

先化简，再求值： $2 a^{3} b^{2} \left( 2 a b^{3} - 1 \right) - \left( - {\frac {2} {3}} a^{2} b^{2} \right) \left( 3 a - {\frac {9} {2}} a^{2} b^{3} \right)$ 其中 $a = {\frac {1} {3}} , b = - 3$

查看答案

$a^{4} b^{5} , - 3$

查看分析思路

先根据单项式乘以整式的计算法则化简，然后合并同类项，最后代值计算即可

查看详细解析

解： $2 a^{3} b^{2} {\Big (} 2 a b^{3} - 1 {\Big )} - \left( - {\frac {2} {3}} a^{2} b^{2} \right) \left( 3 a - {\frac {9} {2}} a^{2} b^{3} \right)$

$= 4 a^{4} b^{5} - 2 a^{3} b^{2} + 2 a^{3} b^{2} - 3 a^{4} b^{5}$

$= a^{4} b^{5}$

当 $a=\frac13,b=-3$ 时，原式 $=(\frac13)^4(-3)^5=(\frac13)^4(-3)^4(-3)=(-3\cdot\frac13)^4(-3)=-3$ 。

点睛。 本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键

题型 05 整式与整式相乘#

典例1#

计算：

(1) $( - 4 x + 3 ) ( x + 1 )$

(2) $( a - b ) \left( a^{2} + a b + b^{2} \right)$

(3) ${\frac {5 x + 2} {6}} \cdot {\frac {x - 2} {3}} \cdot ( - x + 3 )$

(4) $( a - 2 ) ( 2 a + 1 ) - ( a - 5 ) ( a + 1 )$

查看答案

$( 1 ) - 4 x^{2} - x + 3$

(2) $a^{3} - b^{3}$

(3) $- {\frac {5} {18}} x^{3} + {\frac {23} {18}} x^{2} - {\frac {10} {9}} x - {\frac {2} {3}}$

(4) $a^{2} + a + 3$

查看分析思路

本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键

（1）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可：

（2）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可

（3）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可

（4）先根据整式乘整式的法则进行计算，再合并同类项即可

查看详细解析

（1）解： $( - 4 x + 3 ) ( x + 1 )$

$= - 4 x^{2} - 4 x + 3 x + 3$

$= - 4 x^{2} - x + 3$

（2）解： $( a - b ) \left( a^{2} + a b + b^{2} \right)$

$= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3}$

（3）解： ${\frac {5 x + 2} {6}} \cdot {\frac {x - 2} {3}} \cdot ( - x + 3 )$ $= \frac {( 5 x + 2 ) ( x - 2 ) ( - x + 3 )} {18}$ $= {\frac {\left( 5 x^{2} - 10 x + 2 x - 4 \right) \left( - x + 3 \right)} {18}}$ $= {\frac {\left( 5 x^{2} - 8 x - 4 \right) \left( - x + 3 \right)} {18}}$ $= \frac {- 5 x^{3} + 15 x^{2} + 8 x^{2} - 24 x + 4 x - 12} {18}$ $= \frac {- 5 x^{3} + 23 x^{2} - 20 x - 12} {18}$ $= - {\frac {5} {18}} x^{3} + {\frac {23} {18}} x^{2} - {\frac {10} {9}} x - {\frac {2} {3}}$ （4）解： $( a - 2 ) ( 2 a + 1 ) - ( a - 5 ) ( a + 1 )$ $= 2 a^{2} + a - 4 a - 2 - \left( a^{2} + a - 5 a - 5 \right)$ $= 2 a^{2} - 3 a - 2 - a^{2} + 4 a + 5$ $= a^{2} + a + 3$

变式1#

计算：

(1) $( x - 6 ) ( x - 3 )$

(2) $\left( x + {\frac {1} {2}} \right) \left( x - {\frac {1} {3}} \right)$

(3) $( 3 x + 2 ) ( x + 2 )$

(4) $( 4 y - 1 ) ( 5 - y )$ (5) $( x - 2 ) \left( x^{2} + 4 \right)$

(6) $( x - y ) \left( x^{2} + x y + y^{2} \right)$

查看答案

$( 1 ) x^{2} - 9 x + 18$

(2) $x^{2} + {\frac {1} {6}} x - {\frac {1} {6}}$

(3) $3 x^{2} + 8 x + 4$

(4) $- 4 y^{2} + 21 y - 5$

(5) $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$

(6) $x^{3} - y^{3}$

查看分析思路

（1）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（2）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（3）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（4）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（5）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（6）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案.

查看详细解析

（1） $( x - 6 ) ( x - 3 ) = x^{2} - 3 x - 6 x + 18 = x^{2} - 9 x + 18 {\mathrm {~ ;}}$

(2) ${\Bigg (} x + {\frac {1} {2}} {\Bigg )} {\Bigg (} x - {\frac {1} {3}} {\Bigg )} = x^{2} - {\frac {1} {3}} x + {\frac {1} {2}} x - {\frac {1} {6}} = x^{2} + {\frac {1} {6}} x - {\frac {1} {6}} =$

(3) $( 3 x + 2 ) ( x + 2 ) = 3 x^{2} + 6 x + 2 x + 4 = 3 x^{2} + 8 x + 4 ;$

(4) $( 4 y - 1 ) ( 5 - y ) = 20 y - 4 y^{2} - 5 + y = - 4 y^{2} + 21 y - 5 ,$

(5) $( x - 2 ) {\big (} x^{2} + 4 {\big )} = x^{3} + 4 x - 2 x^{2} - 8 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$

$(6)(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$= x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3}$

$= \boldsymbol {x}^{3} - \boldsymbol {y}^{3}$

点睛。 本题考查的是整式乘以整式，掌握“整式乘以整式的法则：把一个整式的每一项分别乘以另一个整式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键

题型06 整式与整式相乘求值问题#

典例1#

先化简，再求值： $( x - 1 ) ( x - 2 ) - 3 x ( x + 3 )$ ，其中 $x = - 2$

查看答案

$- 2 x^{2} - 12 x + 2$ ，18

查看分析思路

先利用整式乘整式法则与单项式乘以整式法则展开，然后合并同类项，再赋值准确计算即可.

查看详细解析

解： $( x - 1 ) ( x - 2 ) - 3 x ( x + 3 )$ $= x^{2} - 3 x + 2 - 3 x^{2} - 9 x$ $= - 2 x^{2} - 12 x + 2$ 当 $x = - 2$ 时，原式 $= - 2 \times {\left( - 2 \right)}^{2} - 12 \times {\left( - 2 \right)} + 2 = 18$ 点睛。 本题考查化简求值问题，关键是掌握整式乘整式法则与单项式乘以整式法则，会判断同类项与合并同类项法则，掌握化简求值的步骤与要求.

变式1#

先化简，再求值： $(x-y)(x-2y)-(3x-2y)(x-3y)$ ，其中 $x=4,y=-1$ 。

查看答案

$- 2 x^{2} + 8 x y - 4 y^{2} , ~ - 68$

查看分析思路

本题考查了整式的化简求值，先根据整式乘以整式法则、合并同类项法则化简，然后把x、y的值代入计算即可.

查看详细解析

解：原式 $=x^2-2xy-xy+2y^2-(3x^2-9xy-2xy+6y^2)=x^2-3xy+2y^2-3x^2+11xy-6y^2=-2x^2+8xy-4y^2$ 。把 $x=4,y=-1$ 代入，原式 $=-2\times4^2+8\times4\times(-1)-4\times(-1)^2=-32-32-4=-68$ 。

变式2#

先化简，再求值 $\big ( m + 2 n \big ) \big ( m^{2} - 2 m n + 4 n^{2} \big )$ ，其中 $m = 3 , n = - {\frac {1} {2}}$

查看答案

$m^{3} + 8 n^{3} ; ~ 26$

查看分析思路

本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用整式乘整式法则化简得到 $m^{3} + 8 n^{3}$ 将 $m = 3 , n = - \frac {1} {2}$ 代入计算即可.

查看详细解析

解： $\big ( m + 2 n \big ) \big ( m^{2} - 2 m n + 4 n^{2} \big )$ $= m^{3} - 2 m^{2} n + 4 m n^{2} - 4 m n^{2} + 2 m^{2} n + 8 n^{3}$ $= m^{3} + 8 n^{3}$ $\because m = 3 , n = - {\frac {1} {2}} ,$ 因此原式 $= 3^{3} + 8 \times ( - \frac {1} {2} )^{3} = 27 - 1 = 26$

题型 07 “看错”、“抄错”等问题#

典例1#

小明在计算一个整式乘以 $- 2 x^{2} + x - 1$ 时，因看错运算符号，变成了加上 $- 2 x^{2} + x - 1$ ，得到的结果为 $- 2 x^{2} - 2 x + 1$ ，请你帮助小明得到正确的计算结果.

查看答案

$6 x^{3} - 7 x^{2} + 5 x - 2$

查看分析思路

根据整式的加减混合运算求出原整式，根据整式乘整式法则求出正确的结果.

查看详细解析

解：原整式为： $(-2x^2-2x+1)-(-2x^2+x-1)$ =- $2x^2-2x+1+2x^2-x+1$ =- $3x+2$ , 因此 $(-3x+2)(-2x^2+x-1)$ = $6x^3-3x^2 + 3x -4x^2 + 2x -2$ = $6x^3 -7x^2 +5x-2$ . 所以正确的计算结果是 $6 x^{3} - 7 x^{2} + 5 x - 2$

点睛。 本题考查的是整式乘整式，整式的加减混合运算，整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另外一个整式的每一项，再把所得的积相加，

变式1#

在计算 $(x+a)(x+b)$ 时，甲把b错看成了6，得到结果是： $x^{2} + 8 x + 12$

(1)求出a的值；

(2)在（1）的条件下，且 $b=-3$ 时，计算 $(x+a)(x+b)$ 的结果.

查看答案

$(1)a=2$ $(2)x^2-x-6$

查看分析思路

（1）根据整式乘整式计算 $(x+a)(x+6)$ ，与 $x^{2} + 8 x + 12$ 对照即可得出a的值；（2）把 $a=2$ ， $b=-3$ 代入计算即可.

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（1）解：因为 $(x+a)(x+6)$ = $x^2+6x+ax+6a$ = $x^2+(6+a)x+6a$ , 因此 $x^2+(6+a)x+6a=x^2+8x+12$ , 因此 $6+a=8$ ， $6a=12$ , 解得 $a=2$ ; （2）解：当 $a=2$ ， $b=-3$ 时， $(x+a)(x+b)$ = $(x+2)(x-3)$ = $x^2-3x+2x-6$ = $x^2-x-6$ .

点睛。 本题考查了整式乘整式，掌握整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另外一个整式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键.

变式2#

小奇计算一道整式的混合运算的题： $( x - a ) ( 4 x + 3 ) - 2 x$ ，由于小奇将第一个整式中的“-a”抄成 $" + a "$ ，得到的结果为 $4 x^{2} + 13 x + 9$

(1)求a的值；

(2)请计算出这道题的正确结果.

查看答案

(1)3

(2) $4 x^{2} - 11 x - 9$

查看分析思路

（1）计算 $( x + a ) ( 4 x + 3 ) - 2 x$ 的结果，将所得的结果等于 $4 x^{2} + 13 x + 9$ 即可；

（2）按照整式的混合运算法则进行计算即可：

查看详细解析

(1) 由题意， $(x+a)(4x+3)-2x=4x^2+3x+4ax-2x+3a=4x^2+13x+9$ ，

$3 a = 9$

解得 $a=3$ .

（2）正确的算式为 $( x - 3 ) ( 4 x + 3 ) - 2 x = 4 x^{2} - 9 x - 9 - 2 x = 4 x^{2} - 11 x - 9$

点睛。 本题主要考查了整式的混合运算，熟练地掌握整式乘以整式以及合并同类项的法则是解题的关键。

题型08 $(x+p)(x+q)$ 型整式乘法#

典例1#

若 ${\big (} x - 15 {\big )} {\big (} x + 20 {\big )} = x^{2} + m x + n$ ，则m，n的值分别为（） A. -5, -300 B. 35, -300 C. 35, 300 D. 5, -300

查看答案

查看分析思路

本题主要考查整式乘整式，根据整式乘整式的运算法则进行计算即可

查看详细解析

解： $\bigl ( x - 15 \bigr ) \bigl ( x + 20 \bigr ) = x^{2} + 5 x - 300$ 由原式可得， $x^{2} + m x + n = x^{2} + 5 x - 300$ 所以， $m = 5 , n = - 300$

故选：D.

变式1#

若 $( x - 1 ) ( x + 6 ) = x^{2} + p x + q$ ，则 $p + q$ 的值为（） A. 11 B. -11 C. -1 D. 1

查看答案

查看分析思路

本题考查了整式的乘法，代数式求值，掌握整式乘整式法则是解决问题的关键先利用整式乘整式法则计算 $(x-1)(x+6)$ ，再根据整式的值相等确定p,q的值,最后计算 $p + q$

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解： $\cdot ( x - 1 ) ( x + 6 ) = x^{2} + 5 x - 6 = x^{2} + p x + q$ $\therefore p = 5 , q = - 6$ $\therefore p + q = 5 + ( - 6 ) = - 1$

故选：C.

变式2#

若 $( x + a ) ( x + 1 ) = x^{2} - b x - 4$ ，则实数a、b的符号为（）

A. a、b同为正 B. a、b同为负C. a、b异号且绝对值大的为正 D. a、b异号且绝对值大的为负

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查看分析思路

本题考查整式乘整式法则，将左边，对比两边，相同项的系数相同，可得 $a+1=-b$ ， $a=-4$ ，即可得到 $a=-4$ ， $b=3$ ，且 $\left| - 4 \right| = 4 > \left| 3 \right| = 3$ ，即可解答.

查看详细解析

解：将左边式子展开可得， $x^{2} + ( a + 1 ) x + a = x^{2} - b x - 4$ $\therefore a + 1 = - b , a = - 4 ,$ 因此 $a=-4$ ， $b=3$ ，且 $\left| - 4 \right| = 4 > \left| 3 \right| = 3$ 因此 a、b异号且绝对值大的为负，故选：D.

变式3#

已知等式 $\big ( x + m \big ) \big ( x - n \big ) = x^{2} + k x - 12$ (m,n为整数)，则k的值不可能是（）A. -1 B. 4 C. 11 D. 7

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查看分析思路

本题主要考查了整式与整式相乘．将左边展开后比较系数，得到关于m、n的方程组，结合整数条件分析可能的k值.

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解：展开左边： $\left( x + m \right) \left( x - n \right) = x^{2} + m x - n x - m n = x^{2} + ( m - n ) x - m n$ $\because {\big (} x + m {\big )} {\big (} x - n {\big )} = x^{2} + k x - 12$ $\therefore \left( x + m \right) \left( x - n \right) = x^{2} + k x - 12$ $\therefore m - n = k , - m n = - 12 ,$ $\therefore m n = 12$ $\because m , n$ 为整数，因此当 $m = 1$ 时， $n = 12$ ，此时 $k = m- n = -11$ ; 当 $m = 2$ 时， $n = 6$ ，此时 $k = m - n = -4$ ；当 $m = 3$ 时， $n = 4$ ，此时 $k = m - n = -1$ ；当 $m = 4$ 时， $n = 3$ ，此时 $k = m - n = 1$ ；当 $m = 6$ 时， $n = 2$ ，此时 $k = m - n = 4$ ；当 $m =12$ 时， $n=1$ ，此时 $k = m- n=11$ ；当 $m = -1$ 时， $n = -12$ ，此时 $k = m- n = 11$ ; 当 $m = -2$ 时， $n = -6$ ，此时 $k = m - n = 4$ ；当 $m = -3$ 时， $n = -4$ ，此时 $k = m - n = 1$ ; 当 $m = -4$ 时， $n = -3$ ，此时 $k = m - n = -1$ ; 当 $m = -6$ 时， $n = -2$ ，此时 $k = m - n = -4$ ；当 $m = -12$ 时， $n = -1$ ，此时 $k = m- n = -11$ ；

因此 k的值不可能是7

故选：D

题型 09 整式的乘法综合#

典例1#

计算：

(1) $\left( - 2 x^{2} \right)^{3} + 4 x^{3} \cdot x^{3} ;$

(2) ${\big (} 3 x^{2} - x + 1 {\big )} {\big (} - 4 x {\big )}$

(3) $( x - 3 ) \left( x^{2} + 4 x \right)$

(4) ${\bigl (} 3 x - y {\bigr )} {\bigl (} x + 2 y {\bigr )}$

查看答案

(1) $- 4 x^{6}$

(2) $- 12 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x$

(3) $x^{3} + x^{2} - 12 x$

(4) $3 x^{2} - 2 y^{2} + 5 x y$

查看分析思路

本题考查了单项式乘整式，整式乘整式，同底数幂的乘法，积的乘方及整式的加减运算.

（1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再算合并同类项即可解答；

（2）利用单项式乘整式的法则，进行计算即可解答；

（3）利用整式乘整式的法则，进行计算即可解答；

（4）利用整式乘整式的法则，进行计算即可解答.

查看详细解析

（1）解：原式 $= - 8 x^{6} + 4 x^{6}$

$= - 4 x^{6} :$

（2）解：原式 $= 3 x^{2} \left( - 4 x \right) - x \left( - 4 x \right) + \left( - 4 x \right)$

$= - 12 x^{3} + 4 x^{2} - 4 x ;$

(3) 解：原式 $=x\cdot x^2+x\cdot4x-3x^2-12x$

$= x^{3} + 4 x^{2} - 3 x^{2} - 12 x$

= $x^3+x^2-12x$ ;

(4) 解：原式 $=3x\cdot x+3x\cdot2y-x\cdot y-y\cdot2y$

$= 3 x^{2} + 6 x y - x y - 2 y^{2}$

$= 3 x^{2} - 2 y^{2} + 5 x y .$

变式1#

计算：

(1) $3 x^{2} y \cdot \left( - 2 x y^{3} \right)$

(2) $2 a^{2} \left( 3 a^{2} - 5 b \right)$

(3) $\left( - 2 a^{2} \right) \left( 3 a b^{2} - 5 a b^{3} \right)$ (4) $( 5 x + 2 y ) ( 3 x - 2 y )$

查看答案

（1） $- 6 x^{3} y^{4}$ ；(2) $6 a^{4} - 10 a^{2} b$ ；(3) $- 6 a^{3} b^{2} + 10 a^{3} b^{3}$ ；（4) $15 x^{2} - 4 x y - 4 y^{2}$

查看分析思路

（1）根据单项式乘单项式的法则计算；

（2）根据单项式乘整式的法则计算：

（3）根据单项式乘整式的法则计算；

（4）根据整式乘整式的法则计算.

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解：（1）原式 $= 3 \cdot ( - 2 ) x^{2} \cdot x \cdot y \cdot y^{3} = - 6 x^{3} y^{4}$

(2) 原式 $=2a^2\cdot3a^2-2a^2\cdot5b=6a^4-10a^2b$ 。

（3）原式= $- 2 a^{2} \cdot 3 a b^{2} + 2 a^{2} \cdot 5 a b^{3} = - 6 a^{3} b^{2} + 10 a^{3} b^{3}$

（4）原式= $\begin{array} {r} {{5} x \cdot 3 x - 5 x \cdot 2 y + 2 y \cdot 3 x - 2 y \cdot 2 y = 15 x^{2} - 10 x y + 6 x y - 4 y^{2} = 15 x^{2} - 4 x y - 4 y^{2} .} \end{array}$

点睛。 本题考查整式乘法，应熟练掌握单项式乘单项式的法则、单项式乘整式的法则、整式乘整式的法则.

变式2#

先化简，再求值： $\left( - {\frac {3} {2}} x + {\frac {1} {3}} y^{2} \right) \left( 2 x - {\frac {2} {3}} y \right) - {\frac {1} {3}} y^{2} \left( x - {\frac {2} {3}} y \right) + 3 x^{2}$ ，其中 $x=2$ ， $y =-1$ .

查看答案

${\frac {x y^{2}} {3}} + x y ; - {\frac {4} {3}}$

查看分析思路

根据整式乘以整式，单项式乘以整式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解.

查看详细解析

解： $\left( - {\frac {3} {2}} x + {\frac {1} {3}} y^{2} \right) \left( 2 x - {\frac {2} {3}} y \right) - {\frac {1} {3}} y^{2} \left( x - {\frac {2} {3}} y \right) + 3 x^{2}$ $= - 3 x^{2} + x y + {\frac {2} {3}} x y^{2} - {\frac {2} {9}} y^{3} - {\frac {1} {3}} x y^{2} + {\frac {2} {9}} y^{3} + 3 x^{2}$ $= x y + {\frac {x y^{2}} {3}} ;$ 当 $x = 2 \ , y = - 1$ 时，原式 $=2\times(-1)+\frac{2\times(-1)^2}{3}$ $= - 2 + \frac {2} {3}$ $= - {\frac {4} {3}} \ .$

点睛。 本题考查了整式的化简求值，掌握整式乘以整式以及整式乘以整式的运算法则是解题的关键.

题型 10 根据整式的乘法求参数#

典例1#

若 $x^{2} + a x = x {\bigl (} x + 4 {\bigr )}$ ，则a的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

查看答案

查看分析思路

本题主要考查了单项式乘以整式，根据单项式乘以整式的计算法则求出 $x \left( x + 4 \right)$ 的结果即可得到答案.

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解： $\because x^{2} + a x = x {\bigl (} x + 4 {\bigr )}$ $\therefore x^{2} + a x = x^{2} + 4 x$ $\therefore a = 4$

故选：C.

变式1#

若 $(a^{m+1}b^{n+2})\cdot(a^{2n-1}b^{2m})=a^5b^3$ ，则 $m+n$ 的值为（）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. -3

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查看分析思路

先利用单项式乘单项式法则，得到 $a^{m+2n}b^{n+2m+2}$ ，比较同一字母的指数，得到关于 $m,n$ 的方程组，再将两式相加。

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解： $(a^{m+1}b^{n+2})\cdot(a^{2n-1}b^{2m})=a^{m+1+2n-1}b^{n+2+2m}=a^{m+2n}b^{n+2m+2}$ 。

因为 $(a^{m+1}b^{n+2})\cdot(a^{2n-1}b^{2m})=a^5b^3$ ，

所以 $\begin{cases}m+2n=5,\\n+2m+2=3.\end{cases}$

两式相加，得 $3m+3n=6$ ，解得 $m+n=2$ 。故选 B。

点睛。 本题主要考查了利用单项式乘法求字母或代数式的值，熟练掌握单项式乘单项式法则是解题的关键。

变式2#

若等式 $- 3 x {\left( - 2 x^{2} + 3 x - 1 \right)} = 6 x^{3} - 9 x^{2} + \sqsupset$ 成立，则□内应填

查看答案

查看分析思路

本题考查了去括号与添括号，根据去括号法则计算即可作出判断

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解： $- 3 x \left( - 2 x^{2} + 3 x - 1 \right) = 6 x^{3} - 9 x^{2} + 3 x$

所以□内应填写3x，

故答案为：3x.

题型 11 整式的乘法不含某项问题#

典例1#

如果 $\left( x + 1 \right) \left( x^{2} - 2 a x + a^{2} \right)$ 的乘积中不含 $x^{2}$ 项，则 $a=$

查看答案

0.5

查看分析思路

先根据整式乘以整式展开，即可得出 $1 - 2 a = 0$ ，求解即可得出答案

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解： $\left( x + 1 \right) \left( x^{2} - 2 a x + a^{2} \right)$

$= x^{3} - 2 a x^{2} + a^{2} x + x^{2} - 2 a x + a^{2}$

$= x^{3} + \left( 1 - 2 a \right) x^{2} + \left( a^{2} - 2 a \right) x + a^{2}$ $\because ( x + 1 ) \left( x^{2} - 2 a x + a^{2} \right)$ 的乘积中不含 $x^{2}$ 项， $\therefore 1 - 2 a = 0$ $\therefore a = 0 . 5$ 故答案为：0.5.

点睛。 本题考查了整式乘以整式法则，能根据整式乘以整式法则展开是解题的关键.

变式1#

若计算 $( 3 x^{2} + 2 a x + 1 ) \cdot ( - 3 x ) - 4 x^{2}$ 的结果中不含有 $x^{2}$ 项，则a的值为（）A. $- {\frac {2} {3}}$ B. 0 C. 2 D. $- {\frac {3} {2}}$

查看答案

A， $a=-\frac23$ 。

查看分析思路

利用单项式乘整式的法则进行求解，再结合不含 $x^{2}$ 项，则其 $x^{2}$ 项的系数为0，从而求解

查看详细解析

解： $( 3 x^{2} + 2 a x + 1 ) \cdot ( - 3 x ) - 4 x^{2}$ $= - 9 x^{3} - 6 a x^{2} - 3 x - 4 x^{2}$ $= - 9 x^{3} + ( - 6 a - 4 ) x^{2} - 3 x$ 因为结果中不含有 $x^{2}$ 项， $\therefore - 6 a - 4 = 0$ 解得 $a = - {\frac {2} {3}}$ 故选：A.

点睛。 本题主要考查了单项式乘整式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则

变式2#

已知 $\big ( x - 2 \big ) \big ( x^{2} + m x + n \big )$ 的乘积项中不含 $x^{2}$ 和x项，则 $m + n =$

查看答案

6。

查看分析思路

先用一个整式的每一项乘以另一个整式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；即可求解.

查看详细解析

${\big (} x - 2 {\big )} {\big (} x^{2} + m x + n {\big )}$ $= x^{3} + m x^{2} + n x - 2 x^{2} - 2 m x - 2 n$ $= x^{3} + {\big (} m - 2 {\big )} x^{2} + {\big (} n - 2 m {\big )} x - 2 n$ 因为乘积项中不含 $x^2$ 和x项， $\therefore m - 2 = 0 , \quad n - 2 m = 0$ $\therefore m = 2 , n = 4$ $\therefore m + n = 6$ 故答案为：6 点睛。 本题考查了整式乘整式法则，解题的关键是合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同，不

含某一项就是说这一项的系数为0.

题型12 整式的乘法的几何应用#

典例1#

如图：已知长方形纸片ABCD长为 $3a+1$ ，宽为 $b+3$ ，裁去一个长为 $2 a + 1$ ，宽为 $b+1$ 的长方形AEFG，则剩余部分面积为

查看答案

$a b + 7 a + 2$

查看分析思路

长方形纸片ABCD的面积减去长方形 $A E F G$ ，即可作答.

查看详细解析

根据题意，有：

长方形 $ABCD$ 的面积： $S_{ABCD}=(3a+1)(b+3)=3ab+9a+b+3$ 。

长方形 $AEFG$ 的面积： $S_{AEFG}=(2a+1)(b+1)=2ab+2a+b+1$ 。

则剩余部分的面积为： $S_{\text{剩余}}=S_{ABCD}-S_{AEFG}=(3ab+9a+b+3)-(2ab+2a+b+1)=ab+7a+2$ 。

故答案为 $ab+7a+2$ 。

点睛。 本题主要考查了利用整式乘以整式求解图形的面积的知识，掌握整式乘以整式是解答本题的关键

变式1#

如图，该几何图形的面积可用代数恒等式表示为

查看答案

$2 a (a+b) = 2 a^{2} + 2 a b$

查看分析思路

本题主要考查了单项式乘以整式在几何图形中的应用，最大的长方形的面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，据此列式求解即可.

查看详细解析

解：由题意得最大的长方形的长和宽分别为 $a + a = 2 a , a + b$

因此最大的长方形面积为 $2 a {\bigl (} a + b {\bigr )}$

又因为最大的长方形面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，

$\therefore 2 a (a+b) = a^{2} + a^{2} + a b + a b = 2 a^{2} + 2 a b$

故答案为： $2 a (a+b) \ = 2 a^{2} + 2 a b$

变式2#

如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是

查看答案

${\frac {11} {2}} x y$

查看分析思路

本题考查了列代数式，整式的混合运算．由题意得，小芳卧室的面积为 $3 x \cdot 2 y - 0 . 5 x {\big (} 2 y - y {\big )}$ ，再根据整式的混合运算法则整理即可.

查看详细解析

解：小芳卧室的面积 $=3x\cdot2y-0.5x(2y-y)$ $= 6 x y - {\frac {1} {2}} x y$ $= {\frac {11} {2}} x y$ 故答案为： ${\frac {11} {2}} x y$

变式3#

如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为 $a$ ，右边小正方形边长为b，则图中阴影部分的面积可表示为（）.

A. $a^{2} + b^{2} - a b$ B. ${\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - {\frac {1} {2}} a b$ C. ${\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - a b$ D. $a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a b$

查看答案

查看分析思路

根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去空白部分的面积，即可求解

查看详细解析

解：根据题意得：阴影部分的面积为 $a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a^{2} - {\frac {1} {2}} b {\bigl (} a + b {\bigr )}$ $= a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a^{2} - {\frac {1} {2}} a b - {\frac {1} {2}} b^{2}$ $= {\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - {\frac {1} {2}} a b$ 故选：B

点睛。 本题主要考查了整式加减及乘法的应用，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.

变式4#

A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材A，B面积分别为 $S_{1} , S_{2}$ ，请比较S1， $S_{2}$ 的大小

查看答案

$S_{1} < S_{2}$

查看分析思路

本题主要考查整式乘整式及整式的大小比较，熟练掌握整式乘整式及整式的大小比较是解题的关键.

由题意及图形可得 $S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5$ ， $S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8$ ，进而运用作差法求解即可。

查看详细解析

解：由题意得 $S_1=(m+5)(m+1)=m^2+6m+5$ ， $S_2=(m+4)(m+2)=m^2+6m+8$ 。

$\therefore S_{1} - S_{2} = m^{2} + 6 m + 5 - \left( m^{2} + 6 m + 8 \right) = - 3 ,$

$\because S_{1} - S_{2} = - 3 < 0 \ ,$

$\therefore S_{1} < S_{2} ,$

故答案为： $S_{1} < S_{2}$

变式5#

如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为 $2 a + b$ ，宽为 $a+2b$ 的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共__张.

查看答案

查看分析思路

本题考查了整式乘整式与图形面积．由 ${\bigl (} 2 a + b {\bigr )} {\bigl (} a + 2 b {\bigr )} = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ ，得A类卡片的面积为 $a^{2}$

B类卡片的面积为 $b^{2}$ ，C类卡片的面积为 $a b$ ，因此需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张.

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解：长为 $(2a+b)$ ，宽为 $(a+2b)$ 的大长方形的面积为： ${\left( 2 a + b \right)} ( a + 2 b ) = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$

因为 A类卡片的面积为 $a^{2}$ ，B类卡片的面积为 $b^{2}$ ，C类卡片的面积为 $a b$

<需要a类卡片2张>，B类卡片2张，C类卡片5张，共9张.

故答案为：9.

变式6#

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到 $( a + b )^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若 $a + b + c = 15 , a b + a c + b c = 35$ ，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ =_;

（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为 $( 2 a + b ) ( a + 2 b )$ 长方形图形，则 $x + y + z =$

(4)如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足 $a+b=12$ ， $ab=20$ ，你能求出阴影部分的面积吗？

查看答案

(1) $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$ ；(2) 155；(3) 9；(4) 42。

查看分析思路

（1）由大正方形等于9个长方形面积的和；

（2）将所求式子转化为 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ( a + b + c )^{2} - ( 2 a b + 2 b c + 2 a c )$ ，代入已知条件即可；

（3）将式子化简为 $( 2 a + b ) ( a + 2 b ) = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ ，即可确定x、y、z的值；

（4）阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积.

查看详细解析

解：（1）由图可知大正方形面积为 $( a + b + c )^{2}$ ，大正方形由9个长方形组成，则有 $( a + b + c )^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

故答案为 $( a + b + c )^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$ .

（2）由（1）可得 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = ( a + b + c )^{2} - ( 2 a b + 2 b c + 2 a c )$

$\because a + b + c = 15 , a b + a c + b c = 35 ,$

$\therefore a^{2} + b^{2} + c^{2} = 225 - 2 \times 35 = 155 ;$

故答案为155;

$( 3 ) \because ( 2 a + b ) ( a + 2 b ) = 2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2} ,$

$\therefore x = 2 , y = 2 , z = 5 ,$

$\therefore x + y + z = 9 ;$

故答案为9；

（4）由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积

$a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a ( a + b ) - {\frac {1} {2}} b^{2} = {\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - {\frac {1} {2}} a b = {\frac {1} {2}} [ ( a + b )^{2} - 3 a b ] ,$

$\because a + b = 12 \ , a b = 20 \ ,$

$\therefore {\frac {1} {2}} [ ( a + b )^{2} - 3 a b ] = {\frac {1} {2}} ( 144 - 60 ) = 42 .$

点睛。 本题考查因式分解的应用；熟练掌握因式分解的方法，能够利用正方形与三角形面积灵活处理不规则图形面积是解题的关键.

题型13 材料、规律题#

典例1#

观察以下等式：

$( x + 1 ) ( x^{2} - x + 1 ) = x^{3} + 1$

$\big ( x + 3 \big ) \big ( x^{2} - 3 x + 9 \big ) = x^{3} + 3^{3}$

${\big (} x + 6 {\big )} {\big (} x^{2} - 6 x + 36 {\big )} = x^{3} + 6^{3}$

(1)按以上等式的规律，填空：

① $\big ( x + 8 \big ) \big ( x^{2} - 8 x + 64 \big ) =$

② $\scriptstyle ( a + b ) \left( a^{2} - a b + b^{2} \right) =$

(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立.

(3)利用（1）中的公式化简；

$\big ( x + y \big ) \big ( x^{2} - x y + y^{2} \big ) - \big ( x + 4 y \big ) \big ( x^{2} - 4 x y + 16 y^{2} \big )$

查看答案

$( 1 ) x^{3} + 8^{3} ; a^{3} + b^{3}$

(2) $a^{3} + b^{3}$

(3) $- 63 y^{3}$

查看分析思路

本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键

（1）根据材料提示的方法即可求解：

（2）运用整式乘以整式，再根据整式的运算法则即可求解；

（3）根据材料提示，分别计算 $\left( x + y \right) \left( x^{2} - x y + y^{2} \right)$ 与 ${\left( x + 4 y \right)} {\left( x^{2} - 4 x y + 16 y^{2} \right)}$ 的值，再运用整式加减运算即可求解.

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（1）解：根据材料提示，

① ${\big (} x + 8 {\big )} {\big (} x^{2} - 8 x + 64 {\big )} = x^{3} + 8^{3}$

② $\displaystyle {\big ( a + b \big ) \big ( a^{2} - a b + b^{2} \big ) = a^{3} + b^{3}}$

故答案为： $x^{3} + 8^{3} \colon a^{3} + b^{3}$ （2）解： ${( a + b )} {\left( a^{2} - a b + b^{2} \right)}$

$= a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + b a^{2} - a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3}$

（3）解： $\big ( x + y \big ) \big ( x^{2} - x y + y^{2} \big ) - \big ( x + 4 y \big ) \big ( x^{2} - 4 x y + 16 y^{2} \big )$ $= x^{3} + y^{3} - \left( x^{3} + 64 y^{3} \right)$ $= x^{3} + y^{3} - x^{3} - 64 y^{3}$ $= - 63 y^{3}$

变式1#

在学习整式乘以整式时，我们知道 ${\bigg (} {\frac {1} {2}} x + 4 {\bigg )} {\bigl (} 2 x + 5 {\bigr )} {\bigl (} 3 x - 6 {\bigr )}$ 的结果是一个整式，并且最高次项为： ${\frac {1} {2}} x \cdot 2 x \cdot 3 x = 3 x^{3}$ ，常数项为 $4 \times 5 \times \left( - 6 \right) = - 120$ ．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是 $\frac {1} {2} \times 5 \times ( - 6 ) + 2 \times 4 \times ( - 6 ) + 3 \times 4 \times 5 = - 3$ ，即一次项为 $- 3 x$

请参考上面的方法，解决下列问题：

(1)计算 $( x + 1 ) ( 3 x + 2 ) ( 5 x - 3 )$ 所得整式的一次项系数为

(2)如果计算 $\Big ( x^{2} + x + 5 \Big ) \Big ( 7 x^{2} - 2 x + a \Big ) \big ( 3 x - 1 \big )$ 所得整式不含一次项，则常数a的值是_；

(3)如果 $\left( x + 1 \right)^{2024} = a_{0} x^{2024} + a_{1} x^{2023} + a_{2} x^{2022} + \cdots + a_{2023} x + a_{2024}$ ，则 $a_{2023}$ 的值是

查看答案

$(1)-5$

(2) $a = - {\frac {5} {7}}$

(3) 2024

查看分析思路

本题考查了整式乘整式的规律探究，熟练掌握整式乘整式的运算法则是解题的关键.

（1）根据题干提示列式计算即可；

(2）根据给定的方法可得出一次项系数 $1 \times a \times ( - 1 ) + ( - 2 ) \times 5 \times ( - 1 ) + 5 \times 3 \times a = 0$ ，进一步求解即可；

（3）根据给定的方法找出 $\left( x + 1 \right)^{2024}$ 的一次项系数即可

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（1）解： $( x + 1 ) ( 3 x + 2 ) ( 5 x - 3 )$ 所得整式的一次项系数为：

$1 \times 2 \times ( - 3 ) + 1 \times 2 \times 5 + 1 \times 3 \times ( - 3 ) = - 6 + 10 - 9 = - 5 ,$

（2）根据题意，一次项系数 $1 \times a \times ( - 1 ) + ( - 2 ) \times 5 \times ( - 1 ) + 5 \times 3 \times a = 0$ ，

即 $- a + 10 + 15 a = 0$

解得 $a = - {\frac {5} {7}}$

(3) $\left( x + 1 \right)^{2024} = a_{0} x^{2024} + a_{1} x^{2023} + a_{2} x^{2022} + \cdots + a_{2023} x + a_{2024}$ 的一次项系数为：

$2024 \times 1 = 2024$

$\therefore a_{2023} = 2024$

变式2#

“杨辉三角”揭示 $\left( a + b \right)^{n}$ （ $n$ 为非负整数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：

第一行 1 第二行 1 1 $\left( a + b \right)^{1} = a + b$ 各项系数和为2 第三行 1 2 1 $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 各项系数和为4 第四行 1 3 3 1 $\left( a + b \right)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 各项系数和为8 第五行 1 4 6 4 1 $\left( a + b \right)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ 各项系数和为16

根据上述规律，完成下列各题：

(1)将 ${\left( a + b \right)}^{5}$ 展开后，各项的系数和为

(2)将 $\left( a + b \right)^{n}$ 展开后，各项的系数和为

(3) $\left( a + b \right)^{6} :$

下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：

第一行 $\frac {1} {1}$

第二行 $\frac {1} {2} \frac {1} {2}$

第三行 ${\begin{array} {l l l l} {{\frac {1} {3}}} & {{\begin{array} {l} {{\frac {1} {6}}} \end{array}}} & {{\frac {1} {3}}} \end{array}}$

第四行 ${\frac {1} {4}} \quad {\frac {1} {12}} \quad {\frac {1} {12}} \quad {\frac {1} {4}}$

第五行 $\frac {1} {5} \frac {1} {20} \frac {1} {30} \frac {1} {20} \frac {1} {5}$

(4)若(m,n)表示第m行，从左到右数第n个数，如(4,2)表示第四行第二个数是 $\frac {1} {12}$ ，则(6,3)表示的数是(8,6)表示的数是__.

查看答案

(1)32

(2) $2^{n}$

(3) $a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$

(4): ${\frac {1} {60}} , {\frac {1} {168}}$

查看分析思路

此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键.

（1）根据规律可知：将 ${\left( a + b \right)}^{5}$ 展开后，各项的系数和为 $2^{5}$

（2）根据规律可得结论；

（3）把 $\left( a + b \right)^{6}$ 展开，即可得出答案；

（4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 $\cdot {\frac {1} {n}}$ ，经过计算可得结论.

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（1）解： $( a + b )^{5}$ 展开后，各项的系数和为 $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$

故答案为：32；

（2）根据“杨辉三角”可知，

第2行， $( a + b )^{1}$ 展开后，各项的系数和为2¹，

第3行， $( a + b )^{2}$ 展开后，各项的系数和为 $1 + 2 + 1 = 4 = 2^{2}$

第4行， $\left( a + b \right)^{3}$ 展开后，各项的系数和为 $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^{3}$

第5行， $\left( a + b \right)^{4}$ 展开后，各项的系数和为 $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$

第6行， $( a + b )^{5}$ 展开后，各项的系数和为 $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^{5}$

$( a + b )^{n}$ 展开后，各项的系数和为 $2^{n}$

故答案为： $2^{n}$

（3）解：根据规律可得， $( a + b )^{6}$ 展开后，各项的系数依次为1、6、15、20、15、6、1，

$a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$

故答案为： $a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}$

（4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是 $\frac {1} {n}$

因此 (6,3)表示第六行第三个数，

<第六行第二个数是> ${\frac {1} {5}} - {\frac {1} {6}} = {\frac {1} {30}}$

第六行第三个数是 $\frac {1} {20} - \frac {1} {30} = \frac {1} {60}$

$\frac {1} {60}$

由规律可得 $\left( 8 , 6 \right) = \left( 8 , 3 \right)$

<因为> 第七行第一个数为 $\frac {1} {7}$ ，第六行第一个数为 $\frac {1} {6}$

因此第七行第二个数为 ${\frac {1} {6}} - {\frac {1} {7}} = {\frac {1} {42}}$

<第八行第一个数为> $\frac {1} {8}$

<第八行第二个数为>： ${\frac {1} {7}} - {\frac {1} {8}} = {\frac {1} {56}}$ ，第八行第三个数为 ${\frac {1} {42}} - {\frac {1} {56}} = \frac {1} {168}$

$\frac {1} {168}$

故答案： ${\frac {1} {60}} , {\frac {1} {168}}$

三、强化训练#

一、单选题#

第 1 题#

计算 $3 a \cdot ( - 2 a )$ 的结果是（）A. $5 a^{2}$ B. $- 5 a^{2}$ C. $6 a^{2}$ D. $- 6 a^{2}$

查看答案

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本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式的运算法则进行计算，即可求解

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解： $3 a \cdot ( - 2 a ) = - 6 a^{2}$ 故选：D.

第 2 题#

下列运算正确的是（）A. $2 a^{2} \cdot 3 a b = 6 a^{3} b$ B. $\left( 2 a \right)^{3} = 2 a^{3}$ C. $a b ( b - a ) = a b^{2} - a b$ D. $( 2 x - y ) ( x + y ) = x^{2} - y^{2}$

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本题考查整式的乘法运算知识点，解题的关键是掌握单项式乘单项式，积的乘方，单项式乘整式以及整式乘整式的运算法则根据整式乘法的相关运算法则，分别对每个选项进行计算，然后判断其正确性

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A、根据单项式乘单项式法则，系数相乘，同底数幂相乘， $2 a^{2} \cdot 3 a b = ( 2 \times 3 ) \times \left( a^{2} \cdot a \right) \times b = 6 a^{3} b$ 该选项正确；B、根据积的乘方法则， $( a b )^{n} = a^{n} b^{n}$ ，则 $( 2 a )^{3} = 2^{3} \times a^{3} = 8 a^{3} \neq 2 a^{3}$ ，该选项错误；C、根据单项式乘整式法则，用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加， $a b ( b - a ) = a b \cdot b - a b \cdot a = a b^{2} - a^{2} b \neq a b^{2} - a b$ ，该选项错误；D、根据整式乘整式法则，用一个整式的每一项去乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加， $( 2 x - y ) ( x + y ) = 2 x \cdot x + 2 x \cdot y - y \cdot x - y \cdot y = 2 x^{2} + x y - y^{2} \neq x^{2} - y^{2}$ ，该选项错误.故选：A.

第 3 题#

计算 $\Big ( - 2 a^{3} + 3 a^{2} - 4 a \Big ) \Big ( - 5 a^{5} \Big )$ 等于（）

A. $10 a^{15} - 15 a^{10} + 20 a^{5}$ B. $- 7 a^{8} - 2 a^{7} - 9 a^{6}$ C. $10 a^{8} + 15 a^{7} - 20 a^{6}$ D. $10 a^{8} - 15 a^{7} + 20 a^{6}$

查看答案

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根据单项式乘以整式的运算法则即可求解.

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$\left( - 2 a^{3} + 3 a^{2} - 4 a \right) \left( - 5 a^{5} \right) = 10 a^{8} - 15 a^{7} + 20 a^{6}$ 故选D. 点睛。 此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则.

第 4 题#

若 $\ ( y + 3 ) ( y - 2 ) = y^{2} + y + n$ ，则n的值为（） A. -6 B. 1 C. 5 D. 6

查看答案

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本题考查了整式乘法以及等式的性质，解题的关键是通过整式乘法法则将等式左边展开，然后对比等式两边同类项的系数先利用整式乘法法则将 $(y+3)(y-2)$ 展开，再根据等式两边同类项系数相等求出n的值.

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解： ${\big (} y + 3 {\big )} {\big (} y - 2 {\big )} = y^{2} - 2 y + 3 y - 6 = y^{2} + y - 6 = y^{2} + y + n$ 等式两边 $y^{2}$ 与y的系数都分别相等，那么常数项也应相等，所以 $n=-6$ . 故选：A.

第 5 题#

已知 $m+n= 4$ ， $m n = - 6$ ，则 $\left( 2 - m \right) \left( 2 - n \right)$ 的值为（）A. -10 B. -8 C. -2 D. 6

查看答案

A。

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本题考查整式乘以整式．先利用整式乘以整式化简 $(2-m)(2-n)$ ，将 $m + n = 4$ $m n = - 6$ 代入即可得到答案.

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解： $(2-m)(2-n)$ = $4 -2n - 2m + mn$ $= 4 - 2 \big ( m + n \big ) + m n ,$ 因为 $m + n = 4$ ， $mn = -6$ , 因此原式= $4-2\times 4-6=-10$ ，故选：A.

第 6 题#

小轩计算一道整式乘法的题： ${\bigl (} 3 x + 2 m {\bigr )} {\bigl (} 5 x - 6 {\bigr )}$ ，由于小轩将第一个整式中的 $" + 2 m "$ 抄成 $"-2m"$ ，得到的结果为 $15 x^{2} - 78 x + 72$ ．则m的值为（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

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由题意得： $\big ( 3 x - 2 m \big ) \big ( 5 x - 6 \big ) = 15 x^{2} - 78 x + 72$ ，把等式左边利用整式乘整式进行计算，合并同类项后与等式右边对比，即可得出m的值；

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解：由题意得 $(3x-2m)(5x-6)=15x^2-78x+72$ ；展开得 $(3x-2m)(5x-6)=15x^2-(10m+18)x+12m$ 。因此 $15x^2-78x+72=15x^2-(10m+18)x+12m$ 。 $\therefore 12 m = 72$ $\therefore m = 6 ,$ 故选：C 点睛。 本题考查了整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的法则是解决问题的关键

第 7 题#

若 $( x + 2 y ) ( 2 x - m y - 1 )$ 的结果中不含xy项，则m的值为（）A. 4 B. -4 C. 2 D. -2

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利用整式乘整式运算法则将原式展开，然后合并同类项，使xy项系数为零即可解答

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$( x + 2 y ) ( 2 x - m y - 1 )$ $= 2 x^{2} - m x y - x + 4 x y - 2 m y^{2} - 2 y$ $= 2 x^{2} + ( - m + 4 ) x y - x - 2 m y^{2} - 2 y$ $\because ( x + 2 y ) ( 2 x - m y - 1 )$ 的结果中不含xy项， $\therefore - m + 4 = 0$ 解得： $m=4$ ，故选：A.

点睛。 本题考查整式乘整式，熟练掌握整式乘整式的运算法则，会根据整式积中不含某项的系数为零求解参数是解答的关键.

第 8 题#

如图，正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为a，b，连接EC、GC，若阴影部分CEFG的面积为10.当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A. $a^{2} + b^{2}$ B. ab C. $b(a-b)$ D. $a^{2} - b^{2}$

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先观察图形可知：阴影部分 $CEFG$ 的面积等于正方形 $ABCD$ 的面积减去 $\triangle BCG$ 、 $\triangle DEC$ 及正方形 $AEFG$ 的面积，再根据题意列等式。

本题主要考查了整式乘整式，解题关键是用数形结合思想理解上述面积关系。

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解：由题意得： $a^{2} - {\frac {1} {2}} a \left( a - b \right) - {\frac {1} {2}} a \left( a - b \right) - b^{2} = 10$

$a^{2} - a \left( a - b \right) - b^{2} = 10 ,$

$a^{2} - a^{2} + a b - b^{2} = 10 ,$

$a b - b^{2} = 10 \ ,$

$b ( a - b ) = 10 ,$

因此当a，b的值发生变化时，代数式的值不变的是： $b ( a - b )$

故选：C.

二、填空题#

第 9 题#

计算： $( 3 x - 1 ) {\bigl (} x + 2 {\bigr )}$

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$3 x^{2} + 5 x - 2$

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本题考查整式的乘法，根据整式乘整式的运算进行运算即可

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解： $\left( 3 x - 1 \right) \left( x + 2 \right)$

$= 3 x^{2} + 6 x - x - 2$

$= 3 x^{2} + 5 x - 2 \ ,$

故答案为： $3 x^{2} + 5 x - 2$

第 10 题#

计算 $3 a \cdot \left( 4 a^{2} b - 1 \right)$ 的结果是

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$12 a^{3} b - 3 a$

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本题主要考查了单项式乘以整式，直接根据单项式乘以整式的计算法则求解即可.

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解： $3 a \cdot \left( 4 a^{2} b - 1 \right) = 12 a^{3} b - 3 a$

故答案为： $12 a^{3} b - 3 a$

第 11 题#

用含x的代数式表示图中阴影部分的面积为

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$3x^2+2x$ （等价于 $2x+3x^2$ ）。

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阴影部分面积分成两个长方形的面积计算：其中一个是长为 $\left( 2 x + 1 \right)$ ，宽为x的长方形的面积；另个是长为 $\left( 2 x + 1 - x \right)$ ，宽为x的长方形的面积，这两个长方形的面积相加即可.

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解：如图，

由题意知：阴影部分的面积为： $x {\bigl (} 2 x + 1 {\bigr )} + x {\bigl (} 2 x + 1 - x {\bigr )}$ $= 2 x^{2} + x + x^{2} + x$ $= 3 x^{2} + 2 x ,$ 故答案为： $3 x^{2} + 2 x$

点睛。 本题考查了列代数式，掌握长方形的面积公式，利用割补的方法求图形面积是本题的关键.

第 12 题#

若 $\left( m x^{3} \right) \cdot \left( 2 x^{k} \right) = - 8 x^{18}$ ，则 $m + k =$

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本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则得到 $\left( m x^{3} \right) \cdot \left( 2 x^{k} \right) = 2 m x^{3 + k}$ ，结合 $\left( m x^{3} \right) \cdot \left( 2 x^{k} \right) = - 8 x^{18}$ 得到 $2 m = - 8 \ , \ 3 + k = 18$ ，求出m,k的值，即可求解.

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解： $\because \left( m x^{3} \right) \cdot \left( 2 x^{k} \right) = 2 m x^{3 + k} , \left( m x^{3} \right) \cdot \left( 2 x^{k} \right) = - 8 x^{18}$ $\therefore 2 m x^{3 + k} = - 8 x^{18} ,$ $\therefore 2 m = - 8 , 3 + k = 18 ,$ 因此 $m = -4$ ， $k = 15$ , 因此 $m+k=-4+15=11$ . 故答案为：11.

第 13 题#

若等式 $\big ( x - s \big ) \big ( 3 x + t \big ) = 3 x^{2} + m x - n$ 恒成立．无论t为何值， $2 m + 3 n$ 的值始终为一个定值，则这个定值为

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本题主要考查了整式乘法中的无关型问题，根据整式乘以整式的计算法则得到

$3 x^{2} - \left( 3 s - t \right) x - s t = 3 x^{2} + m x - n$ ，则 $m = - 3 s + t , n = s t$ ，进而可得 $2 m + 3 n = - 6 s + 2 t + 3 s t = \left( 2 + 3 s \right) t - 6 s$ ，再根据 $2 m + 3 n$ 是定值，得到 $2 + 3 s = 0$ ，据此求解即可.

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解： $\because ( x - s ) ( 3 x + t ) = 3 x^{2} + m x - n$ $\therefore 3 x^{2} - 3 s x + t x - s t = 3 x^{2} + m x - n ,$ $\therefore 3 x^{2} - ( 3 s - t ) x - s t = 3 x^{2} + m x - n$ $\therefore m = - ( 3 s - t ) = - 3 s + t , n = s t ,$ $\therefore 2 m + 3 n = - 6 s + 2 t + 3 s t = {\big (} 2 + 3 s {\big )} t - 6 s ,$ 因为无论t为何值， $2m+3n$ 的值始终为一个定值， $\therefore 2 + 3 s = 0 \ .$ $\therefore s = - {\frac {2} {3}} ,$ $2 m + 3 n = - 6 s + 2 t + 3 s t = 0 - 6 \times ( - \frac {2} {3} ) = 4 ,$ 故答案为：4.

三、解答题#

第 14 题#

(1) $5 a b^{3} \cdot \left( - {\frac {3} {4}} a^{3} b \right) \cdot \left( - {\frac {2} {3}} a b^{4} c \right)$ (2) $\Big [ 4 ( a - b )^{m - 1} \Big ] \Big [ - 3 ( a - b )^{2 m} \Big ]$

查看答案

$( 1 ) \frac {5} {2} a^{5} b^{8} c ; ( 2 ) - 12 ( a - b )^{3 m - 1}$

查看分析思路

（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可；

（2）根据同底数幂的乘法计算法则进行求解即可

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解：（1） $5 a b^{3} \cdot \left( - {\frac {3} {4}} a^{3} b \right) \cdot \left( - {\frac {2} {3}} a b^{4} c \right)$ $= 5 a b^{3} \cdot {\frac {3} {4}} a^{3} b \cdot {\frac {2} {3}} a b^{4} c$ $= {\frac {5} {2}} a^{5} b^{8} c$ (2) $\Big [ 4 ( a - b )^{m - 1} \Big ] \Big [ - 3 ( a - b )^{2 m} \Big ]$ $= - 4 ( a - b )^{m - 1} \cdot 3 ( a - b )^{2 m}$ $= - 12 ( a - b )^{2 m + m - 1}$ $= - 12 ( a - b )^{3 m - 1}$

点睛。 本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则.

第 15 题#

计算：

(1) $\left( 4 a - b^{2} \right) \left( - 2 b \right)$

(2) $2 x^{2} \left( x - {\frac {1} {2}} \right)$

(3) $5 a b ( 2 a - b + 0 . 2 )$

(4) ${\biggl (} 2 a^{2} - {\frac {2} {3}} a - {\frac {4} {9}} {\biggr )} ( - 9 a )$

查看答案

$\mathrm {( 1 )} - 8 a b + 2 b^{3} ; \mathrm {( 2 )} 2 x^{3} - x^{2} ; \mathrm {( 3 )} 10 a^{2} b - 5 a b^{2} + a b ; \mathrm {( 4 )} - 18 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a .$

查看分析思路

直接利用单项式乘整式运算法则计算得出答案

查看详细解析

解：（1） $\biggl ( 4 a - b^{2} \biggr ) ( - 2 b ) = - 8 a b + 2 b^{3}$

(2) $2 x^{2} \left( x - {\frac {1} {2}} \right) = 2 x^{3} - x^{2}$

(3) $5 a b ( 2 a - b + 0 . 2 ) = 10 a^{2} b - 5 a b^{2} + a b$

(4) $\left( 2 a^{2} - {\frac {2} {3}} a - {\frac {4} {9}} \right) \left( - 9 a \right) = - 18 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a \ .$

点睛。 本题主要考查了单项式乘整式，正确掌握相关运算法则是解题关键

第 16 题#

计算：

(1) $( x - 6 ) ( x - 3 )$ (2) $( x + \frac {1} {2} ) ( x - \frac {1} {3} )$

(3) $( 3 x + 2 ) ( x + 2 )$ (4) $( 4 y - 1 ) ( 5 - y )$

(5) $( x - 2 ) \left( x^{2} + 4 \right)$

(6) $( x - y ) \left( x^{2} + x y + y^{2} \right)$

查看答案

(1) $x^2-9x+18$ ；(2) $x^2+\frac16x-\frac16$ ；(3) $3x^2+8x+4$ ；(4) $-4y^2+21y-5$ ；(5) $x^3-2x^2+4x-8$ ；(6) $x^3-y^3$ 。

查看分析思路

（1）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（2）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案；

（3）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案；

（4）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案；

（5）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案：

（6）利用整式乘以整式的法则进行运算即可得到答案

查看详细解析

解：（1） $\scriptstyle ( x - 6 ) ( x - 3 ) = x^{2} - 3 x - 6 x + 18 = x^{2} - 9 x + 18$

(2) ${\Bigg (} x + {\frac {1} {2}} {\Bigg )} {\Bigg (} x - {\frac {1} {3}} {\Bigg )} = x^{2} - {\frac {1} {3}} x + {\frac {1} {2}} x - {\frac {1} {6}} = x^{2} + {\frac {1} {6}} x - {\frac {1} {6}} ,$

(3) $( 3 x + 2 ) ( x + 2 ) = 3 x^{2} + 6 x + 2 x + 4 = 3 x^{2} + 8 x + 4 ;$

(4) $( 4 y - 1 ) ( 5 - y ) = 20 y - 4 y^{2} - 5 + y = - 4 y^{2} + 21 y - 5$

(5) $( x - 2 ) {\big (} x^{2} + 4 {\big )} = x^{3} + 4 x - 2 x^{2} - 8 = x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8$ $( 6 ) ( x - y ) \left( x^{2} + x y + y^{2} \right)$ $= x^{3} + x^{2} y + x y^{2} - x^{2} y - x y^{2} - y^{3}$ $= \boldsymbol {x}^{3} - \boldsymbol {y}^{3}$

第 17 题#

先化简，再求值： $( x - 1 ) ( x - 2 ) - 3 x ( x + 3 ) + 2 ( x + 2 ) ( x - 1 )$ ，其中 $x = \frac {1} {3}$

查看答案

$- 10 x - 2 , - \frac {16} {3}$

查看分析思路

本题主要考查整式乘以整式及化简求值，熟练掌握整式乘以整式是解题的关键；因此此题可先根据整式乘以整式进行化简，然后代值求解即可

查看详细解析

解：原式 $= x^{2} - 3 x + 2 - ( 3 x^{2} + 9 x ) + 2 ( x^{2} + x - 2 )$ $= x^{2} - 3 x + 2 - 3 x^{2} - 9 x + 2 x^{2} + 2 x - 4$ $= - 10 x - 2$ $\because x = {\frac {1} {3}} .$ 因此原式 $= - 10 \times \frac {1} {3} - 2 = - \frac {16} {3}$

第 18 题#

已知 $( m x - 3 ) ( - x + n )$ 的展开式中不含x的一次项，且常数项是-3.

(1)求 m，n的值；

(2)先化简 $( m + n ) \big ( m^{2} - m n + n^{2} \big )$ ，再根据（1）中的结果求值.

查看答案

$( 1 ) m = - 3 , n = 1$

(2) $m^{3} + n^{3} \ , \quad - 26$

查看分析思路

本题主要考查了整式乘以整式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键

（1）根据整式乘以整式运算法则将原式展开，结合展开式中不含的一次项，常数项是-3可得 $m n + 3 = 0$ $- 3 n = - 3$ ，求解即可获得答案；

（2）根据整式乘以整式运算法则将原式化简原式 $= m^{3} + n^{3}$ ，然后将 $m = - 3 , n = 1$ ，的值代入求解即可.

查看详细解析

（1）解： $( m x - 3 ) ( - x + n ) = - m x^{2} + m n x + 3 x - 3 n = - m x^{2} + \left( m n + 3 \right) x - 3 n$

因为展开式中不含x的一次项，且常数项是-3， $\therefore m n + 3 = 0 , - 3 n = - 3 ,$ $\therefore m = - 3 , n = 1 ;$

(2) 解：原式 $=m^3-m^2n+mn^2+m^2n-mn^2+n^3=m^3+n^3$ 。

当 $m = - 3 , n = 1$ 时，

原式 $=(-3)^3+1^3=-26$ 。

第 19 题#

如图，公园有一块长为 $(2m+n)$ 米．宽为 $\left( m + 2 n \right)$ 米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹.

(1)请用m、n表示牡丹栽种的面积，结果化为最简；

(2)若种植牡丹费用为60元/平方米．已知 $m = 5$ 米， $n=4$ 米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？

查看答案

$( 1 ) \left( 2 n^{2} + 7 m n - m^{2} \right)$ 平方米

(2)8820元

查看分析思路

本题主要考查整式运算与图形面积，理解图示面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键.

（1）根据图示，阴影部分的宽为 $m + 2 n - {\bigl (} m - n {\bigr )} = 3 n$ ，阴影部分（包括两个空白处）的面积为

$\left( 2 m + n \right) \cdot3n = 3 n^{2} + 6 m n$ (平方米)，阴影部分两个空白部分的面积为：

$m n + {\big (} m - n {\big )} {\big (} m - n {\big )} = m^{2} - 2 m n + m n + n^{2} = m^{2} - m n + n^{2}$ (平方米)，由此即可求解；

（2）把 $m=5$ 米， $n=4$ 米代入计算即可.

查看详细解析

（1）解：公园有一块长为 $\left( 2 m + n \right)$ 米.宽为 $(m+2n)$ 米的空地，

根据图示，阴影部分的宽为 $m + 2 n - {\bigl (} m - n {\bigr )} = 3 n$

<阴影部分>（包括两个空白处）的面积为 $\left( 2 m + n \right) \cdot3n = 3 n^{2} + 6 m n$ (平方米),

阴影部分两个空白部分的面积为： $m n + {\big (} m - n {\big )} {\big (} m - n {\big )} = m^{2} - 2 m n + m n + n^{2} = m^{2} - m n + n^{2}$ (平方米),因为计划在阴影部分栽种牡丹，

<牡丹栽种的面积为>： $3 n^{2} + 6 m n - \left( m^{2} - m n + n^{2} \right) = 2 n^{2} + 7 m n - m^{2}$ (平方米);

（2）解：已知 $m=5$ 米， $n=4$ 米，

因此牡丹栽种的面积为 $= 2 n^{2} + 7 m n - m^{2} = 2 \times 4^{2} + 7 \times 5 \times 4 - 5^{2} = 147$ (平方米),

因为种植牡丹费用为60元/平方米，

因此 $147\times60=8820$ （元），

因此栽种牡丹需要的费用为8820元.

第 20 题#

7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 $S_{1}$ ，左下角的面积为 $S_{2} , AB$ 的长度为 m.

(1)填空： $S_{1} =_{-}$ $S_{2} =$ (用含a、b、m的式子表示);

(2)若 $S_{1} - S_{2}$ 的值与m的取值无关，求a与b的数量关系；

(3)在（2）的条件下，直接写出 $S_{1} - S_{2}$ 的值.

查看答案

(1) $a m - 3 a b$ $2 b m - 4 a b$

(2) $a = 2 b$

(3) $a b$

查看分析思路

本题主要考查了单项式乘以整式的意义，整式加减中的无关型问题，正确求出 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 是解题的关键.

（1）根据题意分别表示出两个阴影部分长方形的长和宽，进而表示出对应的面积即可；

（2）根据（1）所求结合整式的加减计算法则求出 $S_{1} - S_{2}$ 的结果，再根据结果与 m无关列式求解即可；

（3）根据（2）所求即可得到答案.

查看详细解析

（1）解：由题意得， $S_{1} = a \left( m - 3 b \right) = a m - 3 a b$

$S_{2} = 2 b \bigl ( m - 2 a \bigr ) = 2 b m - 4 a b$

（2）解：由（1）得 $S_{1} - S_{2} = a m - 3 a b - \left( 2 b m - 4 a b \right) = \left( a - 2 b \right) m + a b$ $\because S_{1} - S_{2}$ 的值与m的取值无关， $\therefore a - 2 b = 0$ 因此 $a = 2b$ ;

（3）解：由（2）得 $S_{1} - S_{2} = {\big (} a - 2 b {\big )} m + a b = a b$

第 21 题#

定义：对于依次排列的整式 $x + a , x + b , x + c , x + d ( a , b , c , d$ 是常数)，当它们满足 $( x + a ) ( x + d ) - ( x + b ) ( x + c ) = M$ ，且M为常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子.如对于整式 $x + 2 , x + 1 , x + 6 , x + 5$ ，因为 $( x + 2 ) ( x + 5 ) - ( x + 1 ) ( x + 6 ) = \left( x^{2} + 7 x + 10 \right) - \left( x^{2} + 7 x + 6 \right) = 4$ 所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子.

(1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M.

(2)若a，b，c，d是一组平衡数， $a = 4 , d = 3$ ，请写出一组b，c的值，

(3)当 $a , b , c , d$ 之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由.

查看答案

$(1)-10$

(2) $b = 1 , c = 6$ (答案不唯一)

(3)当 $a + d = b + c$ 时，a，b，c，d是一组平衡数

查看分析思路

本题考查整式乘整式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现 $a + d = b + c ~ , ~ M = a d - b c$

（1）直接根据定义计算M的值；

（2）根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为0，代入 $a=4$ ， $d=3$ 可得结论；

（3）根据（2）可得a，b，c，d之间满足的数量关系式.

查看详细解析

（1）解： $M = ( x + 2 ) ( x + 9 ) - ( x + 4 ) ( x + 7 ) = \left( x^{2} + 11 x + 18 \right) - \left( x^{2} + 11 x + 28 \right) = - 10$

（2）由题意，得

$M = ( x + 4 ) ( x + 3 ) - ( x + b ) ( x + c ) = \left( x^{2} + 7 x + 12 \right) - \left[ x^{2} + ( b + c ) x + b c \right] = ( 7 - b - c ) x + 12 - b c \ ,$

因为 $M \ , b \ , c$ 是常数，所以 $7 - b - c = 0$ ，即 $b + c = 7$ ，所以b，c的值可以是 $b = 1 , c = 6$ （答案不唯一，满足 $b + c = 7$ 即可）

$( 3 ) \quad M = ( x + a ) ( x + d ) - ( x + b ) ( x + c ) = \left[ x^{2} + ( a + d ) x + a d \right] - \left[ x^{2} + ( b + c ) x + b c \right] = ( a + d - b - c ) x + a d - b c \ ,$

$a \ , b \ , c \ , d$ 都是常数，所以当 $a + d - b - c = 0$ 时，M是常数，即当 $a + d = b + c$ 时， $a \ : , \ : b \ : , \ : \ : c \ : , \ : \ : d$ 是一组平衡数

系列导航：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章综合复习。

一、知识清单#

知识点 1 单项式与单项式相乘#

单项式与单项式相乘的法则#

要点：#

即学即练#

第 1 题#

第 2 题#

第 3 题#

知识点 2 单项式与整式相乘#

即学即练#

第 1 题#

第 2 题#

第 3 题#

知识点 3 整式与整式相乘#

1. 思考#

2. 整式与整式相乘的运算法则#

即学即练#

第 1 题#

第 2 题#

第 3 题#

第 4 题#

第 5 题#

二、题型精讲#

题型 01 单项式与单项式相乘#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 02 单项式与单项式相乘求值问题#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 03 单项式与整式相乘#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 04 单项式与整式相乘求值问题#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 05 整式与整式相乘#

典例1#

变式1#

题型06 整式与整式相乘求值问题#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 07 “看错”、“抄错”等问题#

典例1#

变式1#

变式2#

题型08 (x+p)(x+q)(x+p)(x+q)(x+p)(x+q) 型整式乘法#

典例1#

变式1#

变式2#

变式3#

题型 09 整式的乘法综合#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 10 根据整式的乘法求参数#

典例1#

变式1#

变式2#

题型 11 整式的乘法不含某项问题#

典例1#

变式1#

变式2#

题型12 整式的乘法的几何应用#

典例1#

变式1#

变式2#

变式3#

变式4#

变式5#

变式6#

题型13 材料、规律题#

典例1#

变式1#

变式2#

题型08 $(x+p)(x+q)$ 型整式乘法#