七年级数学 11.2：积的乘方与幂的综合运算

（1）$8a^3$；（2）$a^2b^4$；（3）$4a^2b^4$；（4）$-9\times10^6$。

系数和每个字母因子都分别乘方；括号外的负号保留。

（1）$2^3a^3=8a^3$；（2）$(-1)^2a^2(b^2)^2=a^2b^4$；（3）$(-2)^2a^2(b^2)^2=4a^2b^4$；（4）$-(-3)^2(10^3)^2=-9\times10^6$。

（1）$x^{6m}$；（2）$\left(\frac12\right)^6$；（3）$(x+y)^6$；（4）$a^{10}$。

先算幂的乘方，再算同底数乘法。

（1）$x^{3m\times2}=x^{6m}$；（2）$(-\frac12)^6=(\frac12)^6$；（3）$(x+y)^{3\times2}=(x+y)^6$；（4）$a^4a^6=a^{10}$。

（1）$x^{3m}y^{3m}$；（2）$9p^2q^2$；（3）$9\times10^8$；（4）$-\frac{64}{27}a^3b^6c^9$。

积中每个因子分别乘方，系数先算出幂值。

（1）$(x^3)^m(y^3)^m=x^{3m}y^{3m}$；（2）$(-3)^2p^2q^2=9p^2q^2$；（3）$3^2(10^4)^2=9\times10^8$；（4）$(-\frac43)^3a^3(b^2)^3(c^3)^3=-\frac{64}{27}a^3b^6c^9$。

$\frac12$。

拆出一个 $rac12$，其余同指数幂合成积的乘方。

$\left(2\times\frac12\right)^{2024}\times\frac12=1\times\frac12=\frac12$。

625。

把所求式写成已知整体的四次方。

$a^4b^8=(ab^2)^4=5^4=625$。

形式代入：（1）15；（2）400；原题没有满足全部条件的实数 $m$。

计算可以形式代入，但还要检查已知条件是否相容。

（1）$2^{2m+3n}=4^m8^n=5\times3=15$。

（2）$12^{2m}=(3\times4)^{2m}=(3^m)^2(4^m)^2=4^2\times5^2=400$。

相容性核验：若 $3^m=4$，则 $m>\frac54$，因为 $3^{5/4}<4$（等价于 $3^5=243<4^4=256$）。于是 $4^m>4^{5/4}>5$（等价于 $4^5=1024>5^4=625$），与 $4^m=5$ 冲突。故两结果只是原题给定数值的形式推算。

（1）$8a^3$；（2）$-125b^3$；（3）$x^2y^4$；（4）$16x^{12}$。

系数、字母各自乘方，再相乘。

（1）$2^3a^3=8a^3$；（2）$(-5)^3b^3=-125b^3$；（3）$x^2(y^2)^2=x^2y^4$；（4）$(-2)^4(x^3)^4=16x^{12}$。

（1）$4x^2$；（2）$4x^2$；（3）$27x^3y^9$；（4）$16a^8b^{16}c^{16}$。

负数偶次幂为正，奇次幂为负；外部负号最后处理。

（1）$2^2x^2=4x^2$；（2）$(-2)^2x^2=4x^2$；（3）$-(-27x^3y^9)=27x^3y^9$；（4）$(-2)^4(a^2)^4(b^4)^4(c^4)^4=16a^8b^{16}c^{16}$。

（1）$x^{3m}y^{2m}$；（2）$x^{6n}y^6$；（3）$2.56\times10^{22}$；（4）$8(a-b)^6$。

按顺序计算嵌套的乘方，科学记数法最后规范系数。

（1）$x^{3m}y^{2m}$；（2）$(-x^ny)^6=x^{6n}y^6$；（3）$4^4\times10^{20}=256\times10^{20}=2.56\times10^{22}$；（4）$2^3(a-b)^{2\times3}=8(a-b)^6$。

（1）$2x^6$；（2）$a^{21}$；（3）0；（4）$(3x-2y)^6(2x-3y)^{15}$。

先乘方后乘法，最后加减；不同底数不能合并指数。

（1）$x^6+x^6=2x^6$；（2）$a^9a^{12}=a^{21}$；（3）$-a^6a^3+a^2a^7=-a^9+a^9=0$；（4）分别相乘指数得 $(3x-2y)^6(2x-3y)^{15}$。

（1）$x^{14}$；（2）$x^{2n}$；（3）$4a^8$；（4）$x^5y^8$；（5）0；（6）$a^{18}$。

每一项先算乘方、乘法，再合并字母部分相同的项。

（1）$x^{12}x^2=x^{14}$；（2）$2x^{2n}-x^{2n}=x^{2n}$；（3）$a^8+a^8+2a^8=4a^8$。

（4）$x^3y^2\cdot x^2y^6=x^5y^8$。

（5）$2x^6x^3-27x^9+25x^2x^7=(2-27+25)x^9=0$。

（6）$a^{12}(-a^6)+2a^8a^{10}=-a^{18}+2a^{18}=a^{18}$。

（1）$729a^{12}b^{18}$；（2）$2.7\times10^{19}$；（3）$27a^6$；（4）$\frac{24}5$。

先把带分数化为假分数；可将互为倒数的因子配成相同指数。

（1）$[(-3a^2b^3)^3]^2=(-3a^2b^3)^6=729a^{12}b^{18}$。

（2）$3^3\times10^6\times10^{12}=27\times10^{18}=2.7\times10^{19}$。

（3）$64a^6-(-27a^6)-64a^6=27a^6$。

（4）$-1\frac23=-\frac53$。配对得 $[(-0.125)(-8)]^{12}[(-\frac53)(-\frac35)]^7(-8)(-\frac35)=1^{12}\times1^7\times\frac{24}5=\frac{24}5$。

D。

检验同类项、指数相加及系数乘方。

A 的两项不是同类项；B 应为 $a^5$；C 应为 $2^3a^6=8a^6$；D 为 $(-2)^2(a^3)^2=4a^6$，正确。

D。

每个等式都按恒等式判断，不能因特殊值偶然相等而认为运算法则正确。

A 不可合并；B 应为 $a^5$；C 应为 $a^6b^3$；D 为 $(-1)^4a^{2\times4}=a^8$，正确。

C。

除系数也要乘方，不同字母指数的项不能合并。

A 应为 $a^6$；B 应为 $\frac{a^3}{27}$；C 为 $a^{2+4}=a^6$；D 不是同类项，不能如此相减。

C，3 个。

乘方不分配到和上；正负和系数都要正确乘方。

①正确；②应为 $-y^{10}$；③正确；④应为 $-8x^3$；⑤$x^4x^3=x^7$，正确；⑥不是恒等式（如 $x=y=1$，左32、右2）。所以①③⑤共3个正确。

按恒等式意图选 A，$m=3,n=4$。

展开积的乘方，比较对应字母指数。

左侧 $x^{3m}y^{3n+3}$。按恒等式得 $3m=9$、$3n+3=15$，所以 $m=3,n=4$。例如只取 $x=y=1$，任意允许的 $m,n$ 都满足原等式，不能由单次等式断定参数。

按恒等式意图：$m=2,n=-2$。

比较对应字母指数，得到关于 $m,n$ 的两个方程。

$9a^{2m}b^{2m-2n}=9a^4b^8$，按恒等式得 $2m=4$、$2m-2n=8$。故 $m=2$，$4-2n=8$ 得 $n=-2$。若 $a=b=1$，等式对其他参数也成立，不能比较指数。

3。

分别统一为底数3与2，先求 $b$ 再求 $a$。

$3^{3b}=3^{a+5}$，故 $3b=a+5$。又 $2^4=2^{2+2b-2}=2^{2b}$，得 $b=2$，所以 $a=1$，$a+b=3$。

$-162$。

先把每一项改写为已知整体 $x^{2n}$ 的幂。

$x^{2n}=9$。原式 $=\frac19x^{6n}-3x^{4n}=\frac19(x^{2n})^3-3(x^{2n})^2=\frac19\times9^3-3\times9^2=81-243=-162$。

36。

“任意”表示恒成立，可以比较每个字母的指数。

左侧 $a^{5m+5}b^{5n+10}$，与右侧恒等，故 $5m+5=15,5n+10=20$，得 $m=n=2$。因此 $(3m)^n=6^2=36$。

（1）3；（2）2；（3）$p^5q^7$。

统一底数后比较指数；表示式中把指数35拆成 $7 imes5$。

（1）$2^{1+3x+4x}=2^{22}$，$1+7x=22$ 得 $x=3$；（2）$(3^{3x})^2=3^{6x}=3^{12}$，得 $x=2$；（3）$35^{35}=5^{35}7^{35}=(5^7)^5(7^5)^7=p^5q^7$。

$-\frac5{12}$。

带分数 $2 rac25= rac{12}5$，可配成积为 $-1$ 的同指数幂。

$-\frac5{12}\left[(-\frac5{12})(\frac{12}5)\right]^{2022}=-\frac5{12}(-1)^{2022}=-\frac5{12}$。

$-\frac1{15}$。

取出多余的一个 $- rac1{15}$，其余合成同指数幂。

$[3\times5\times(-\frac1{15})]^{2022}(-\frac1{15})=(-1)^{2022}(-\frac1{15})=-\frac1{15}$。

$-\frac43$。

把 $2^{4026}$ 写成 $4^{2012} imes4$，配成同指数的倒数积。

$-\frac13[(-\frac13)\times3]^{2012}[(-\frac14)\times4]^{2012}\times4=-\frac13\times1\times1\times4=-\frac43$。

（1）144；（2）原题条件不能同时满足，形式推得 $x=-1$ 不是有效解。

整体代入后还要将候选值代回最初条件。

（1）$(x^2y)^{2n}=x^{4n}y^{2n}=(x^n)^4(y^n)^2=2^4\times3^2=144$。

（2）在能合法使用幂法则的正底数范围内，$x^{n(x+3)}y^{n(x+3)}=(x^ny^n)^{x+3}=6^{x+3}$。令它等于 $36=6^2$，形式上得到 $x=-1$，与正底数范围冲突；若按整数指数检验 $x=-1$，则 $(-1)^n$ 只能为 $1$ 或 $-1$，也不可能为2。因此原题无满足全部条件的有效解，不能把 $-1$ 当成答案。

$-39$。

将每个幂组合成已知幂的乘方。

原式 $=(b^{3n})^2-(a^{2m})^4b^{3n}=3^2-2^4\times3=9-48=-39$。

（1）$-16$；（2）137。

先化简再代入；第二问按已知整体的三次方改写。

（1）原式 $=-2a^4b^7+\frac14a^4b^6\cdot4b=-a^4b^7$；代入得 $-2^4\times1=-16$。 （2）原式 $=(x^{2m})^3+(y^{2n})^3-x^{2m}y^{2n}=3^3+5^3-3\times5=137$。

$y=x^6$。

统一底数2，再逆用幂的乘方。

$y=4^{3m}=2^{6m}=(2^m)^6=x^6$。

$xy=x+y$。

注意 $17 imes119=2023$，分别乘方使指数成为 $xy$。

$(17^x)^y=2023^y$，$(119^y)^x=2023^x$。相乘得 $(17\times119)^{xy}=2023^{x+y}$，即 $2023^{xy}=2023^{x+y}$。底数大于1，故 $xy=x+y$。

（1）$xz^3$；（2）$x^3y^3$；（3）$x^4y^6$。

分解底数，把各项转为已知的三个幂。

（1）$54^a=(2\times3^3)^a=2^a(3^a)^3=xz^3$；（2）$8^{a+b}=(2^a)^3(2^b)^3=x^3y^3$；（3）$4^{2a+3b}=2^{4a+6b}=(2^a)^4(2^b)^6=x^4y^6$。

$=$。

分别取幂后相乘，使底数相乘为10。

$2^{ab}=10^b$，$5^{ab}=10^a$，所以 $10^{ab}=2^{ab}5^{ab}=10^{a+b}$。底数10使指数唯一，得 $ab=a+b$。

（1）①1；②$\frac{25}{72}$；（2）$n=4$。

等指数幂先合成积的乘方；求参数时统一底数3。

（1）①$[8\times(-0.125)]^{2024}=(-1)^{2024}=1$。

②$\left(\frac{12}5\times\frac56\times\frac12\right)^{11}\left(\frac56\right)^2\times\frac12=1^{11}\times\frac{25}{36}\times\frac12=\frac{25}{72}$。

（2）$3\times3^{2n}\times3^{4n}=3^{1+6n}=3^{25}$，所以 $1+6n=25$，$n=4$。

（1）4；（2）3；（3）1。

统一底数或先提取共同幂，再比较指数。

（1）直接得 $x=4$；（2）$2^{3x}=2^9$ 得 $3x=9,x=3$；（3）$5^{x+1}(5-1)=100$，所以 $5^{x+1}=25=5^2$，得 $x=1$。

（1）①1；②$\frac{25}{72}$；（2）$n=4$。