七年级数学 11.1：同底数幂的乘法与幂的乘方

（1）$3^8$；（2）$-b^9$；（3）$-x^7$；（4）$(a+b)^7$。

先处理符号，再保持底数、相加指数；把括号内的整式看作整体。

（1）$3^3\cdot3^5=3^{3+5}=3^8$。

（2）$-b^4\cdot b^5=-b^{4+5}=-b^9$。

（3）$(-x)\cdot x^2\cdot(-x)^4=-x\cdot x^2\cdot x^4=-x^7$。

（4）$(a+b)^3(a+b)^4=(a+b)^{3+4}=(a+b)^7$。

（1）$2^7$；（2）$x^8$；（3）$b^{m+n}$；（4）$a^{m+n+3}$。

逐项确认底数相同，将各因子的指数相加。

（1）$2^{4+3}=2^7$；（2）$x^{3+5}=x^8$；（3）$b^mb^n=b^{m+n}$；（4）$a^{3+m+n}=a^{m+n+3}$。

（1）$(-2)^{17}$；（2）$(x-y)^8$；（3）$-t^{2m+1}$；（4）$\left(\frac1{10}\right)^9$；（5）$(-a)^{5n+4}$。

括号中的负底数整体保持不变；单独一个因子的指数是 1。

（1）$(-2)^{12+5}=(-2)^{17}$；（2）$(x-y)^{3+5}=(x-y)^8$。

（3）$-t^{m+(m+1)}=-t^{2m+1}$；（4）$\left(\frac1{10}\right)^{4+3+2}=\left(\frac1{10}\right)^9$。

（5）指数和为 $(2n+1)+(3n+2)+1=5n+4$，故得 $(-a)^{5n+4}$。

C。

逆用同底数幂的乘法，将指数的和拆成积。

$a^{m+2}=a^m\cdot a^2$，所以选 C。

D，24。

把所求的幂拆成题设中的两个幂相乘。

$x^{m+n}=x^mx^n=6\times4=24$，选 D。

（1）$y^8$；（2）$3x^{12}$。

先算幂的乘方、判断负号，最后相乘或合并同类项。

（1）$y^{2\times3}y^2=y^8$；（2）$4x^{12}-x^{12}=3x^{12}$。

（1）$-64$；（2）$x^{16}$；（3）$(x-y)^6$；（4）$-y^{2m+3}$；（5）$b^{16}$；（6）$x^{15}$。

负号是否在乘方范围内决定结果的符号，指数按乘方或相乘关系分别计算。

（1）$(-2^2)^3=(-4)^3=-64$。

（2）$(x^4)^4=x^{16}$；（3）$[(x-y)^2]^3=(x-y)^6$。

（4）$y^{2m}(-y^3)=-y^{2m+3}$；（5）$-b(-b^{15})=b^{16}$。

（6）$2x^{15}-x^{15}=x^{15}$。

C。

把 8 写成 $4 imes2$，逆用幂的乘方。

$x^8=(x^4)^2=a^2$，选 C。

（1）256；（2）68。

指数中的加号表示同底数幂的积；两个幂之间的加号表示求和。

（1）$x^{2m+3n}=(x^m)^2(x^n)^3=2^2\times4^3=256$；（2）$x^{2m}+x^{3n}=(x^m)^2+(x^n)^3=4+64=68$。

（1）不变、相加；（2）$a^6$；（3）$a^5$；（4）5。

按法则保持底数，相加指数；缺失指数由总指数减去已知指数。

（1）不变、相加。（2）$a^{2+4}=a^6$。（3）$a^{1+4}=a^5$。（4）$2+\square=7$，所以填 5。

$a^{10}$。

先合并为负底数的一个幂，再利用偶次幂的符号。

$(-a)^{5+3+2}=(-a)^{10}=a^{10}$。

把外部负号作为系数时，选 D。

区分负号属于底数还是作为幂外的系数。

A 的底数分别是 $x,a$；B 中平方的底数是 $-a$，$-a^3$ 的三次幂部分底数是 $a$；C 的底数分别是 $x-y,y-x$，不能因平方相等就说写法中的底数相同。

D 写为 $(-1)x^2$ 与 $x^1$，两个幂部分均以 $x$ 为底，所以选 D。严格说 $-x^2$ 是幂的相反数，此处题意是在比较幂部分的底数。

均错误；依次改为 $x^6$、$x^6$、$2b^5$、$c^4$。

乘法相加指数，加法只合并系数；不要漏掉单个字母的指数 1。

（1）$x^3x^3=x^{3+3}=x^6$；（2）$x^4x^2=x^{4+2}=x^6$；（3）$b^5+b^5=(1+1)b^5=2b^5$；（4）$c^1c^3=c^4$。

（1）$x^7$；（2）$a^7$；（3）256；（4）$x^{m+3n+1}$。

同底数相乘，相加题干给出的指数；第（4）问必须分别保留 $m,n$。

（1）$x^{2+5}=x^7$；（2）$a^{1+6}=a^7$；（3）$(-2)^{1+4+3}=(-2)^8=256$。

（4）$x^m x^{3n+1}=x^{m+(3n+1)}=x^{m+3n+1}$。这里没有 $m=n$ 的条件。

B。

分子是求和，分母是求积，分别使用合并同类项与乘方定义。

分子为 $8a$，分母为 $b^7$，所以结果为 $\frac{8a}{b^7}$，选 B。

（1）$10^{10}$；（2）$-x^5$；（3）$a^{3n+4}$；（4）$(y-1)^3$；（5）$(b+2)^9$。

把括号内的式子视为同一个底数，单因子按指数 1 处理。

（1）$10^{8+2}=10^{10}$；（2）$(-x)^{2+3}=(-x)^5=-x^5$；（3）$a^{(n+2)+(n+1)+n+1}=a^{3n+4}$；（4）$(y-1)^{2+1}=(y-1)^3$；（5）$(b+2)^{3+5+1}=(b+2)^9$。

$\frac43$。

统一为底数 2，再比较指数。

$2^{3a}=16=2^4$，底数 $2>1$，所以 $3a=4$，$a=\frac43$。本题涉及非整数指数，按正底数幂的性质计算。

按指数恒等式意图选 C，$x=7$；仅按原题单个等式不能唯一确定。

比较指数需要适用条件，不能从 $1^u=1^v$ 推出 $u=v$。

按恒等式比较指数，$2+(x-4)=5$，得 $x=7$。

但当 $a=1$ 时，任意允许的 $x$ 都使等式成立，例如 $x=5$ 也有 $1^2\cdot1^1=1^5$。因此原题缺少“恒成立”或足以保证指数唯一的底数条件（如 $a>0,a\ne1$）；需要明确这一底数限制。

2015。

把乘积合为一个幂。

$10^{2+m}=10^{2017}$，所以 $2+m=2017$，$m=2015$。

C。

逆用指数相加，把总指数拆成 $3m+1$。

$x^{3m+1}=x^{3m}x$，选 C。A 的指数和是 $m+4$；B、D 是和式，不能用同底数乘法合并。

B。

把第二项拆出一个 $-2$，再提取共同的幂。

$(-2)^{2023}[1+(-2)]=-(-2)^{2023}=2^{2023}$，选 B。

A，6。

按指数的和拆成两个已知幂的积。

$a^{m+n}=a^ma^n=3\times2=6$，选 A。

B。

将指数的 $+3$ 转为乘以 $2^3$。

$2^{x+3}=2^x\cdot2^3=8\cdot2^x=m$，故 $2^x=\frac m8$，选 B。

（1）不变、相乘；（2）$a^6$；（3）4；（4）6；（5）10；（6）3。

按幂的恒等变形比较指数，区别“乘方指数相乘”与“相乘指数相加”。

（2）$a^{2\times3}=a^6$；（3）$3\square=12$，填4；（4）$2\square=12$，填6；（5）$a^{12}=a^2a^{10}$；（6）$a^{12}=(a^3)^4$。

依次为 $10^4$、9、$y^3$、$p^{n+1}$。

把原指数写成乘积，或者交换两次乘方的次序。

（1）$10^{12}=(10^4)^3$；（2）$b^{27}=(b^3)^9$；（3）$y^{3m}=(y^3)^m$；（4）$p^{3(n+1)}=(p^{n+1})^3$。

（1）$-x^{15}$；（2）$-m^{10}$；（3）$m^{10}$；（4）$a^{26}$；（5）$-(a-b)^6$；（6）$3^8$。

判断负号范围、统一底数，先算乘方再算乘法。

（1）$-x^{3\times5}=-x^{15}$；（2）$(-1)^5m^{2\times5}=-m^{10}$；（3）$(-m)^{10}=m^{10}$；（4）$a^{10}a^{16}=a^{26}$；（5）$-(a-b)^{2\times3}=-(a-b)^6$；（6）$3^2(3^2)^3=3^{2+6}=3^8$。

（1）$(x+y)^8$；（2）$(a-b)^{12}$；（3）0；（4）$4(x-y)^{2n}$。

先处理乘方，互为相反数的底数在偶次幂时可以统一。

（1）$(x+y)^2(x+y)^6=(x+y)^8$；（2）$(-1)^4(a-b)^{12}=(a-b)^{12}$；（3）$x^{4n}x^{2n}-x^{6n}=0$；（4）$3(x-y)^{2n}+(y-x)^{2n}=4(x-y)^{2n}$。

（1）$-a^{18}$；（2）$y^6$；（3）$-a^6$；（4）$(a+b)^{14}$。

各幂先化简，再按乘法或加减法处理同类项。

（1）$a^6\cdot a^6\cdot(-a^6)=-a^{18}$；（2）$y^6+y^6-y^6=y^6$；（3）$-a^6+a^6-a^6=-a^6$；（4）$(a+b)^6(a+b)^8=(a+b)^{14}$。

108。

拆成 $(a^m)^2(a^n)^3$ 后整体代入。

$a^{2m+3n}=(a^m)^2(a^n)^3=2^2\times3^3=108$。

B。

将底数 4 改为 $2^2$，保留指数 $m+2n$。

$4^{m+2n}=2^{2m+4n}=(2^m)^2(2^{2n})^2=x^2y^2$，选 B。

C，25。

统一为底数 3，左侧每个 $9^2=3^4$。

$(9^2)^m=(3^4)^m=3^{4m}=3^{100}$，所以 $4m=100$，$m=25$。

8。

都改成底数 2，让指数出现已知整体 $2x+5y$。

$4^x32^y=2^{2x}2^{5y}=2^{2x+5y}$。由 $2x+5y=3$ 得原式为 $2^3=8$。

（1）64，64，$a^{mn}$；（2）①27；②$5^{333}<3^{555}<4^{444}$。

同底数比较指数；底数和指数都不同时，可将指数统一为公因数的倍数。

（1）$(2^2)^3=4^3=64=2^6$，规律为 $(a^m)^n=a^{mn}$。

（2）①$(a^{3n})^2=a^{6n}=(a^{2n})^3=3^3=27$。

②$3^{555}=(3^5)^{111}=243^{111}$，$4^{444}=(4^4)^{111}=256^{111}$，$5^{333}=(5^3)^{111}=125^{111}$；因 $125<243<256$，故 $5^{333}<3^{555}<4^{444}$。

C。

统一为大于 1 的底数 3，然后比较指数。

$a=(3^2)^{61}=3^{122}$，$b=(3^4)^{31}=3^{124}$，$c=(3^3)^{41}=3^{123}$。因为 $124>123>122$ 且 $3>1$，所以 $b>c>a$。

（1）指数相同的两个幂；正底数幂的指数相同时，底数大的幂大。（2）①$4^{50}>8^{33}$；②$3^{100}>5^{60}$。

可统一底数，也可统一指数；应用比较规律前先检查底数范围。

（1）把两幂分别写成 $16^{25},27^{25}$，指数相同；利用正数的同次幂随底数增大而增大。

（2）①$4^{50}=2^{100}$，$8^{33}=2^{99}$，底数 $2>1$，故 $4^{50}>8^{33}$。

②$3^{100}=243^{20}$，$5^{60}=125^{20}$；因为 $243>125>0$，所以 $3^{100}>5^{60}$。

128。

先把新记号转回幂等式，再利用指数关系。

$m^p=8,m^q=4,m^r=t$，所以 $t=m^{p+2q}=m^p(m^q)^2=8\times4^2=128$。新记号只在指数确实可确定的范围内使用。