七年级数学 11.4：乘法公式（两课时）

系列阅读：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章综合复习。

阅读提示

建议计算时先辨认乘法结构，注意负号、指数及合并同类项；几何应用先明确每部分面积。

一、知识清单#

知识点 1 平方差公式（第1课时）#

1.思考#

$(a+b)(a-b)$ 的结果有什么特征?

$( \mathrm {a} + \mathrm {b} ) ( \mathrm {a} - \mathrm {b} ) = \mathrm {a}^{2} - \mathrm {a} \mathrm {b} + \mathrm {a} \mathrm {b} - \mathrm {b}^{2} = \mathrm {a}^{2} - \mathrm {b}^{2}$ 即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差.平方差公式： $( {\mathrm {a}} + {\mathrm {b}} ) ( {\mathrm {a}} - {\mathrm {b}} ) {=} {\mathrm {a}}^{2} - {\mathrm {b}}^{2}$

2.思考#

分别计算图 $11-2-1(1)(2)$ 中涂色组合图形的面积，你能从中发现平方差公式吗?

满足平方差公式特征的整式乘法，可以用平方差公式直接写出运算结果

要点：#

在这里， $a,b$ 既可以是具体数字，也可以是整式.

抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：如 $( a + b ) ( - b + a )$ 利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：如 $( 3 x + 5 y ) ( 3 x - 5 y )$

（3）指数变化：如 $( m^{3} + n^{2} ) ( m^{3} - n^{2} )$

（4）符号变化：如 $( - a - b ) ( a - b )$

（5）增项变化：如 $( m + n + p ) ( m - n + p )$

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) $\left( x - {\frac {1} {2}} \right) \left( x + {\frac {1} {2}} \right) .$

(2) ${\big (} 0 . 1 - x {\big )} {\big (} 0 . 1 + x {\big )}$

(3) ${\big (} x + y {\big )} {\big (} - y + x {\big )} ~ ;$

(4) $\displaystyle {\bigl (} 2 + 3 a {\bigr )} {\bigl (} 3 a - 2 {\bigr )}$

查看答案

$( 1 ) x^{2} - {\frac {1} {4}}$

(2) $0 . 01 - x^{2}$

(3) $x^{2} - y^{2}$

(4) $9 a^{2} - 4$

查看分析思路

本题考查了平方差公式运算；

（1）由平方差公式 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ ，即可求解；

（2）由平方差公式 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ ，即可求解；

（3）由平方差公式 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ ，即可求解；

（4）由平方差公式 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ ，即可求解；

掌握平方差公式是解题的关键.

查看详细解析

（1）解：原式 $= x^{2} - {\frac {1} {4}}$

（2）解：原式 $= 0 . 01 - x^{2}$

（3）解：原式 $= x^{2} - y^{2}$

（4）解：原式 $= 9 a^{2} - 4$

第 2 题#

计算：

(1) $( 5 + a ) ( 5 - a )$

(2) $\left( 2 m n - 3 \right) \left( 2 m n + 3 \right)$

(3) $( {\frac {1} {3}} x - y ) \left( - {\frac {1} {3}} x - y \right) ;$

(4) ${( a^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}$

查看答案

$( 1 ) 25 - a^{2}$

(2) $4 m^{2} n^{2} - 9$

(3) $y^2-\frac19x^2$ （等价于 $-\frac19x^2+y^2$ ）。

(4) $a^{4} - 1$

查看分析思路

本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键

（1）直接利用平方差公式求解即可；

（2）直接利用平方差公式求解即可：

（3）直接利用平方差公式求解即可

（4）直接利用平方差公式求解即可.

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（1）解： $( 5 + a ) ( 5 - a ) = 25 - a^{2}$ .

（2）解： $\big ( 2 m n - 3 \big ) \big ( 2 m n + 3 \big ) = 4 m^{2} n^{2} - 9$

（3）解： $\begin{array} {r} {\left( \frac {1} {3} x - y \right) \left( - \frac {1} {3} x - y \right) = - \frac {1} {9} x^{2} + y^{2} ;} \end{array}$

（4）解： ${( a^{2} + 1 ) ( a + 1 ) ( a - 1 )}$

$= ( a^{2} + 1 ) [ ( a + 1 ) ( a - 1 ) ]$

$=(a^2+1)(a^2-1)=a^4-1.$

第 3 题#

用简便方法计算：

(1) $9 . 9 \times 10 . 1 ;$

(2) $2025^{2} - 2024 \times 2026$

查看答案

(1)99.99

(2)1

查看分析思路

本题主要考查了平方差公式的应用，将原式化成含有平方差公式的形式是解题的关键

（1）运用平方差公式进行简便运算即可：

（2）先对原式进行变形，然后再运用平方差公式进行简便运算即可.

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（1）解： $9 . 9 \times 10 . 1$

$= (10-0.1)(10+0.1)$

$= 10^{2} - 0 . 1^{2}$

$=100-0.01=99.99.$

（2）解： $2025^{2} - 2024 \times 2026$

$=2025^2-[(2025-1)(2025+1)]$

$=2025^2-(2025^2-1)$

$=2025^2-2025^2+1=1.$

第 4 题#

下列各式可以用平方差公式计算的是（）A. $(-x+2)(x-2)$ B. $(x+2)(x-2)$ C. $(x+2)(x-3)$ D. $(x-2)(x-2)$

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查看分析思路

本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的特点是解题的关键： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ ．根据平方差公式的结构特征逐项判断即可.

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解：A、 $- ( x - 2 ) ( x - 2 ) = - ( x - 2 )^{2}$ ，不符合平方差公式，不符合题意 B、 $\left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) = x^{2} - 4$ ，可用平方差公式计算，符合题意. c、 $(x+2)(x-3)$ ，不符合平方差公式，不符合题意. D、 $(x-2)(x-2)$ ，不符合平方差公式，不符合题意. 故选；B.

第 5 题#

如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式_.（请用含a，b的等式表示）

查看答案

$( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

查看分析思路

本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图中阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，右边一幅图中阴影部分面积等于长为 $a+b$ ，宽为 $a-b$ 的长方形面积据此分别求出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案

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解：左边一幅图中，阴影部分面积为 $a^{2} - b^{2}$

右边一幅图中，阴影部分面积为 ${\bigl (} a + b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$

因为两幅图中阴影部分面积相等，

$\therefore ( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

故答案为： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

知识点 2 完全平方公式（第2课时）#

1.思考#

$(a+b)^2$ 和 $(a-b)^2$ 的结果有什么特征?

$( a + b )^{2} = ( a + b ) ( a + b ) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} ;$

$( \mathrm {a} {-} \mathrm {b} )^{2} {=} ( \mathrm {a} {-} \mathrm {b} ) ( \mathrm {a} {-} \mathrm {b} ) {=} \mathrm {a}^{2} {\ -} \mathrm {a} \mathrm {b} {-} \mathrm {a} \mathrm {b} {+} \mathrm {b}^{2} {=} \mathrm {a}^{2} {-} 2 \mathrm {a} \mathrm {b} {+} \mathrm {b}^{2} ,$

即两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方的和，加上(或减去)这两个数的积的两倍.

完全平方公式： $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ； $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 。

2.思考#

你能分别根据图 $11-2-2(1)(2)$ 中涂色组合图形的面积计算发现两个完全平方公式吗?

对于满足完全平方公式特征的整式乘法，可以利用完全平方公式直接写出运算结果.平方差公式与完全平方公式是常用的乘法公式.

要点：

公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

$a^{2} + b^{2} = \left( a + b \right)^{2} - 2 a b = \left( a - b \right)^{2} + 2 a b$

${( a + b )}^{2} = {( a - b )}^{2} + 4 a b$

3. 补充公式#

$( x + p ) ( x + q ) = x^{2} + ( p + q ) x + p q ; ( a \pm b ) ( a^{2} \mp a b + b^{2} ) = a^{3} \pm b^{3} ;$

$\left( a \pm b \right)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3} ; ( a + b + c )^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c .$

即学即练#

第 1 题#

计算：

(1) $\left( x + 7 y \right)^{2}$

(2) $\left( - 4 a + 5 b \right)^{2}$

(3) $\left( - 2 m - n \right)^{2}$

(4) ${\bigl (} 2 x + 3 y {\bigr )} {\bigl (} - 2 x - 3 y {\bigr )}$

查看答案

$( 1 ) x^{2} + 14 x y + 49 y^{2}$

(2) $25 b^{2} - 40 a b + 16 a^{2}$

(3) $4m^2+4mn+n^2$

(4) $- 4 x^{2} - 12 x y - 9 y^{2}$

查看分析思路

（1）根据完全平方公式计算即可；

（2）根据完全平方公式计算即可；

（3）根据完全平方公式计算即可；

（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；

查看详细解析

（1）解： $\left( x + 7 y \right)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 y + \left( 7 y \right)^{2} =x^2+14xy+49y^2$

(2）解： $\left( - 4 a + 5 b \right)^{2} = \left( 5 b - 4 a \right)^{2} = \left( 5 b \right)^{2} - 2 \cdot 5 b \cdot 4 a + \left( 4 a \right)^{2} = 25 b^{2} - 40 a b + 16 a^{2} ;$

（3）解： $\left( - 2 m - n \right)^{2} = \left( 2 m + n \right)^{2} = \left( 2 m \right)^{2} + 2 \cdot 2 m \cdot n + n^{2} = 4m^2+4mn+n^2$

（4）解： ${\bigl (} 2 x + 3 y {\bigr )} {\bigl (} - 2 x - 3 y {\bigr )}$

$=-(2x+3y)^2=-[(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2]=-(4x^2+12xy+9y^2)=-4x^2-12xy-9y^2$ 。

点睛。 本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键

第 2 题#

运用完全平方公式计算：

(1) $50 . 01^{2}$

(2) $\phantom {-} 49 . 9 \phantom {-}^{2}$

查看答案

(1)2501.0001

(2) 2490.01

查看分析思路

（1）根据完全平方公式计算即可；

（2）根据完全平方公式计算即可.

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（1）解： $50.01^2=(50+0.01)^2=50^2+2\times50\times0.01+0.01^2=2500+1+0.0001=2501.0001$ 。

（2）解： $49.9^2=(50-0.1)^2=50^2-2\times50\times0.1+0.1^2=2500-10+0.01=2490.01$ 。

点睛。 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟记完全平方公式

第 3 题#

先化简，再求值： $( x - 2 y )^{2} + ( x - 2 y ) ( x + 2 y )$ ，其中 $x {=} 2 , y {=} {-} 1$

查看答案

$2x^2-4xy$ ；16。

查看分析思路

首先对中括号内的式子用完全平方公式和平方差公式计算，合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可.

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解：原 $= x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x^{2} - 4 y^{2}$ $= 2 x^{2} - 4 x y$ 将 $x = 2 , y = - 1$ 代入上式，可得原式=16.

点睛。 本题考查了整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则以及完全平方公式，平方差公式的运算法则是解题的关键

第 4 题#

下列不能用完全平方公式计算的是（）A. $\left( x - 2 y \right)^{2}$ B. $( - x + y )^{2}$ C. $x^{2} + y^{2}$ D. $( 2 x - 1 )^{2}$

查看答案

C。

查看分析思路

本题主要考查了完全平方公式计算，根据可以用完全平方公式计算的式子必须是两个数的和（差）的平方的形式即可得出答案

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解：A. $\left( x - 2 y \right)^{2}$ 能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意； B. $( - x + y )^{2}$ 能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意： C. $x^{2} + y^{2}$ 不能用完全平方公式计算，故该选项符合题意； D. $( 2 x - 1 )^{2}$ 能用完全平方公式计算，故该选项不符合题意；故选：C.

第 5 题#

若代数式 $x^{2} - k x + 4$ 是完全平方式，则k的值是（）A. -4 B. 0 C. 4 D. ±4

查看答案

查看分析思路

根据完全平方式的结构，将代数式 $x^{2} - k x + 4$ 与 $\left( x \pm a \right)^{2}$ 展开后的形式对比，确定参数a的值，进而求出k的可能取值.

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解：因为代数式 $x^{2} - k x + 4$ 是完全平方式， $\therefore x^{2} - k x + 4 = ( x \pm 2 )^{2}$ 当 $x^{2} - 4 x + 4 = ( x - 2 )^{2}$ ，即- $k=-4$ ，解得： $k=4$ ，当 $x^{2} + 4 x + 4 = ( x + 2 )^{2}$ ，即- $k=4$ ，解得： $k =-4$ ，因此 k的取值为±4，故选：D.

第 6 题#

如图.长方形ABCD的周长是30cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和 ADGH 的面积之和为 $153 \mathrm {c m}^{2}$ ，那么长方形ABCD的面积是

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设 $A B = a , A D = b$ ，根据题意可得 $2 a + 2 b = 30 , a^{2} + b^{2} = 153$ ，利用完全平方公式的变形求出 $ab=36$ 即可得到答案.

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解：设 $A B = a , A D = b$

由题意得， $2 a + 2 b = 30 , a^{2} + b^{2} = 153 ,$

$\therefore 2 a b = ( a + b )^{2} - \left( a^{2} + b^{2} \right) = 15^{2} - 153 = 72 {\mathrm {,}}$

$S_{ABCD}=ab=\frac{72}{2}=36\ (\mathrm{cm}^2).$

故答案为：36.

点睛。 本题主要考查了完全平方公式与几何图形的应用，正确推出 $ab=36$ 是解题的关键

二、题型精讲#

第1课时：平方差公式#

题型 01 利用平方差公式计算#

典例1#

利用平方差公式计算：

$(1)(5+6x)(5-6x)$ ;

$(2)(x-2y)(x+2y)$ ;

$(3)(-m+n)(-m-n)$ .

查看答案

$( 1 ) 25 - 36 x^{2}$

(2) $x^{2} - 4 y^{2}$

(3) $m^{2} - n^{2}$

查看分析思路

（1）根据平方差公式进行计算即可，

（2）根据平方差公式进行计算即可：

（3）根据平方差公式进行计算即可；

本题主要考查了整式的乘法，解题关键是熟练掌握平方差公式

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（1）解：原式 $= 5^{2} - \left( 6 x \right)^{2}$

$= 25 - 36 x^{2}$

（2）解：原式 $= x^{2} - \left( 2 y \right)^{2}$

$= x^{2} - 4 y^{2}$

（3）解：原式 $= \left( - m \right)^{2} - n^{2}$

$= m^{2} - n^{2}$

变式1#

运用平方差公式计算：

(1) $( 3 p + 5 ) ( 3 p - 5 )$

(2) $( m - n ) ( - n - m )$

(3) $( 4 n - 3 m ) ( 3 m + 4 n )$

(4) $( 2 m - 3 n ) ( 3 n + 2 m )$

(5) $( - 2 x + 3 y ) ( - 3 y - 2 x )$

(6) $99 \frac {4} {5} {\times} 100 \frac {1} {5}$

查看答案

$( 1 ) 9 p^{2} - 25$

(2) $n^{2} - m^{2}$

(3) $16 n^{2} - 9 m^{2}$

(4) $4 m^{2} - 9 n^{2}$

(5) $4 x^{2} - 9 y^{2}$

(6) $9999 {\frac {24} {25}}$

查看分析思路

此题考查了用平方差公式计算，熟练掌握公式是解本题的关键

（1）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果：

（2）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果

（3）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果：

（4）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果；

（5）原式各项利用平方差公式计算即可得到结果.

查看详细解析

（1）解： $( 3 p + 5 ) ( 3 p - 5 )$

$= 9 p^{2} - 25$

（2）解： $( m - n ) ( - n - m )$

$= n^{2} - m^{2}$

（3）解： $( 4 n - 3 m ) ( 3 m + 4 n )$

$= 16 n^{2} - 9 m^{2}$

（4）解： $( 2 m - 3 n ) ( 3 n + 2 m )$ $= 4 m^{2} - 9 n^{2}$ （5）解： $( - 2 x + 3 y ) ( - 3 y - 2 x )$ $= 4 x^{2} - 9 y^{2}$ （6）解： $99 \frac {4} {5} {\times} 100 \frac {1} {5}$ $= \left( 100 - {\frac {1} {5}} \right) \times \left( 100 + {\frac {1} {5}} \right)$ $= 10000 - \frac {1} {25}$ $= 9999 {\frac {24} {25}}$

变式2#

填空：

(1) $(a+2)(\quad)=a^2-4$ ；

(2) $(\quad)(5-x)=25-x^2$ ；

(3) $(2a+4b)(\quad)=16b^2-4a^2$ ；

(4) $(x^n+y^n)(\quad)=x^{2n}-y^{2n}$ ；

(5) $(\quad)(\quad)=169x^2-196y^2$ ；

(6) $(m^2-5n)(5n+m^2)=(\quad)$ ；

(7) $(a+b-c-d)(a-b-c+d)=[(\quad)+(\quad)][(\quad)-(\quad)]$ 。

查看答案

(1) $a-2$ ；(2) $5+x$ ；(3) $4b-2a$ ；(4) $x^n-y^n$ ；(5) $13x+14y$ ， $13x-14y$ ；(6) $m^4-25n^2$ ；(7) $a-c,b-d,a-c,b-d$ 。

查看分析思路

本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键

（1）根据平方差公式结构特征解答即可：（2）根据平方差公式结构特征解答即可；（3）根据平方差公式结构特征解答即可：（4）根据平方差公式结构特征解答即可（5）根据平方差公式结构特征解答即可（6）根据平方差公式结构特征解答即可.

查看详细解析

解：（1） $( a + 2 ) ( a - 2 ) = a^{2} - 4$ 故答案为： $a-2$ ；

(2) ${\big (} 5 + x {\big )} {\big (} 5 - x {\big )} = 25 - x^{2}$

故答案为： $5 + x$

(3) $\big ( 2 a + 4 b \big ) \big ( 4 b - 2 a \big ) = 16 b^{2} - 4 a^{2}$

故答案为： ${4 b - 2 a}$ (4) $\left( x^{n} + y^{n} \right) \left( x^{n} - y^{n} \right) = x^{2 n} - y^{2 n}$ 故答案为： $x^{n} - y^{n}$ (5) ${\big (} 13 x + 14 y {\big )} {\big (} 13 x - 14 y {\big )} = 169 x^{2} - 196 y^{2}$ 故答案为： $13x+14y$ ， $13x-14y$ ； (6) $(m^2-5n)(5n+m^2)=m^4-25n^2$ ，故答案为 $m^4-25n^2$ 。

(7) $( a + b - c - d ) ( a - b - c + d ) = \left[ \left( a - c \right) + \left( b - d \right) \right] \left[ \left( a - c \right) - \left( b - d \right) \right]$

故答案为： $a - c ~ , ~ b - d ~ , ~ a - c ~ , ~ b - d$

变式3#

运用平方差公式计算 $( x + 3 y - z ) ( x - 3 y + z )$ ，下列变形正确的是（）A. $\left[ x - \left( 3 y + z \right) \right]^{2}$ B. $[ \left( x - 3 y \right) + z ] [ \left( x - 3 y \right) - z ]$ C. $[ x - ( 3 y - z ) ] [ x + ( 3 y - z ) ]$ D. $[ \left( x + 3 y \right) - z ] [ \left( x + 3 y \right) + z ]$

查看答案

查看分析思路

本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ 根据平方差公式即可进行解答.

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解：运用平方差公式计算 $( x + 3 y - z ) ( x - 3 y + z )$ 应变形为 $[ x + ( 3 y - z ) ] [ x - ( 3 y - z ) ]$ 故选：C.

题型 02 辨析是否能用平方差公式计算#

典例1#

下列各式可以用平方差公式计算的是（）A. $( - x + 2 ) ( x - 2 )$ B. $(x+2)(x-2)$ C. $(x+2)(x-3)$ D. $(x-2)(x-2)$

查看答案

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本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的特点是解题的关键： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ ．根据平方差公式的结构特征逐项判断即可.

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解：A、 $- ( x - 2 ) ( x - 2 ) = - ( x - 2 )^{2}$ ，不符合平方差公式，不符合题意 B、 $\left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right) = x^{2} - 4$ 可用平方差公式计算，符合题意. c、 $(x+2)(x-3)$ ，不符合平方差公式，不符合题意. D、 $(x-2)(x-2)$ ，不符合平方差公式，不符合题意.

故选；B.

变式1#

下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. $( x^{3} - y^{3} ) \left( x^{3} + y^{3} \right)$ B. $( - a - b ) ( a - b )$

C. $\displaystyle {\bigl ( c^{2} - d^{2} \bigr ) \bigl ( d^{2} + c^{2} \bigr )}$ D. ${\big (} m - n {\big )} {\big (} - m + n {\big )}$

查看答案

查看分析思路

本题考查平方差公式的应用，判断各选项是否符合“和与差的乘积”结构即可.

查看详细解析

选项 $A : \ \left( x^{3} - y^{3} \right) \left( x^{3} + y^{3} \right)$ ，符合平方差公式的形式，不符合题意；

选项B: ${\bigl (} - a - b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$ ，可整理为 $- ( a + b ) ( a - b )$ ，符合平方差公式的形式，不符合题意；

选项C: $\displaystyle {\bigl ( c^{2} - d^{2} \bigr ) \bigl ( d^{2} + c^{2} \bigr )}$ ，交换顺序后为 $( c^{2} - d^{2} ) \bigl ( c^{2} + d^{2} \bigr )$ ，符合平方差公式的形式，不符合题意；

选项D: ${\big (} m - n {\big )} {\big (} - m + n {\big )}$ ，即 ${\big (} m - n {\big )} {\big (} n - m {\big )}$ ，可化为 $- ( m - n )^{2}$ ，属于完全平方的相反数，不符合平方差公式结构，符合题意；

故选：D.

题型 03 平方差公式求值问题#

典例1#

已知 $2 x^{2} + 3 x - 6 = 0$ ，求代数式 $3 x {\bigl (} 2 x + 1 {\bigr )} - {\bigl (} 2 x + 1 {\bigr )} {\bigl (} 2 x - 1 {\bigr )}$ 的值.

查看答案

查看分析思路

本题考查了整式的乘法混合运算，涉及单项式乘整式及平方差公式；先展开并合并同类项，再由 $2x^2+3x-6=0$ 得 $2x^2+3x=6$ ，整体代入。

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解：因为 $2x^2+3x-6=0$ ，所以 $2x^2+3x=6$ 。原式 $=6x^2+3x-4x^2+1=2x^2+3x+1=6+1=7$ 。

变式1#

先化简，再求值： $( 2 m + 1 ) ( 2 m - 1 ) - ( m + 1 ) ( 4 m + 1 )$ ，其中 $m = 3$

查看答案

$-5m-2$ ； $-17$ 。

查看分析思路

本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键

先利用平方差公式和整式乘整式法则化简整式，再将 $m=3$ 代入化简后的式子计算即可.

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解：原式 $= \left( 4 m^{2} - 1 \right) - \left( 4 m^{2} + m + 4 m + 1 \right)$

原式 $=4m^2-1-4m^2-m-4m-1=-5m-2$ ；当 $m=3$ 时，原式 $=-5\times3-2=-17$ 。

变式2#

先化简，再求值： $\bigl ( m + n \bigr ) \bigl ( m - n \bigr ) \bigl ( - m^{2} - n^{2} \bigr ) - \bigl ( - 2 m + n \bigr ) \bigl ( - 2 m - n \bigr ) \bigl ( 4 m^{2} + n^{2} \bigr )$ ，其中 $m = 1 , n = - 2$

查看答案

$- 17 m^{4} + 2 n^{4}$ ，15

查看分析思路

本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键先根据平方差公式进行化简，去括号，然后合并同类项，最后将m和n的值代入即可求解

查看详细解析

解： $\bigl ( m + n \bigr ) \bigl ( m - n \bigr ) \bigl ( - m^{2} - n^{2} \bigr ) - \bigl ( - 2 m + n \bigr ) \bigl ( - 2 m - n \bigr ) \bigl ( 4 m^{2} + n^{2} \bigr )$ $= \left( m^{2} - n^{2} \right) \left( - m^{2} - n^{2} \right) - \left( 4 m^{2} - n^{2} \right) \left( 4 m^{2} + n^{2} \right)$ = $n^4 - m^4 -16m^4 + n^4$ = − $17m^4 + 2n^4$ ; 当 $m = 1$ , $n = -2$ 时，原式 $= - 17 \times 1^{4} + 2 \times \left( - 2 \right)^{4} = - 17 + 32 = 15 .$

题型 04 平方差公式的简便运算#

典例1#

用简便方法计算：

$175^{2} - 75^{2}$

$2016^{2} - 2015 {\times} 2017$

查看答案

(1)25000 (2)1

查看分析思路

该题考查了运用平方差公式进行简便计算. （1）根据平方差公式可以化简题目中的式子即可解答. (2）根据平方差公式可以化简题目中的式子即可解答.

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（1）解： $175^{2} - 75^{2}$ = $(175+75)\times (175-75)$ = $250\times 100$ = 25000 . （2）解： $2016^{2} - 2015 {\times} 2017$ = $2016^2-$ [ $(2016-1)\times (2016+1)$ ] = $2016^2 -(2016^2 -1)$ = $2016^2-2016^2+1$ =1.

变式1#

用简便方法计算：

$79 \times 81$

$99 {\times} 101 {\times} 10001 .$

查看答案

(1) 6399；(2) 99999999。

查看分析思路

本题主要考查了利用平方差公式进行简便运算，将原式进行正确的变形是解题的关键.

（1）利用平方差公式计算即可；（2）利用平方差公式计算即可.

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（1）解：原式= $(80+1)\times (80-1)$ = $6400-1$ = 6399 ; （2）解：原式= $(100-1)\times (100+1)\times 10001$ = $(10000-1)\times (10000+1)$ = $10^8-1$ = 99999999 .

变式2#

利用平方差公式计算. (1) $1003 \times 997$ (2) $(14+\frac23)(15+\frac13)$ (3) $2009^{2} - 2010 \times 2008 .$

查看答案

(1)999991 (2) $224 {\frac {8} {9}}$ (3)1

查看分析思路

本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键（1）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；（2）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；（3）先将原式进行变形，再根据平方差公式求解即可；

查看详细解析

（1）解： $1003\times 997$ = $(1000+3)\times (1000-3)$ = $1000000-9$ = 999991 ; （2）解： $14 {\frac {2} {3}} {\times} 15 {\frac {1} {3}}$ $= ( 15 - {\frac {1} {3}} ) \times \left( 15 + {\frac {1} {3}} \right)$ $= 15^{2} - {\frac {1} {9}}$ $= 224 {\frac {8} {9}} ;$ （3）解： $2009^{2} - 2010 \times 2008$

$= 2009^{2} - \left( 2009 + 1 \right) \times \left( 2009 - 1 \right)$ $= 2009^{2} - 2009^{2} + 1$ =1.

题型 05 利用平方差公式求代数式的值#

典例1#

若 $a+b=1$ ， $a-b=2022$ ，则 $a^{2} - b^{2}$

查看答案

2022

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本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式，即可求解．熟练掌握平方差公式 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ 是解题的关键.

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解： $\because a + b = 1$ ， $a-b=2022$ , $\therefore a^{2} - b^{2}$ $= ( a + b ) ( a - b )$ $= 1 \times 2022$ $= 2022$

故答案为：2022.

变式1#

若 $a^{2} - b^{2} {=} 4$ ，则 $\left( a + b \right)^{2} \left( a - b \right)^{2}$ 的值是（） A. 24 B. 16 C. 8 D. 4

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查看分析思路

把 $\left( a + b \right)^{2} \left( a - b \right)^{2}$ 利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可.

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$\because ( a + b )^{2} ( a - b )^{2} = \left[ ( a + b ) ( a - b ) \right]^{2} = \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2}$ $\because a^{2} - b^{2} = 4$ $\therefore ( a + b )^{2} ( a - b )^{2} = \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} = 4^{2} = 16$ 故答案为：B. 点睛。 本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便.

变式2#

已知 $a - b = 5$ ，则 $a^{2} - b^{2} - 10 b$ 的值为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 25

查看答案

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借助已知条件 $a - b = 5$ ，原式利用平方差化简边代入边求解即可.

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解： $\because a - b = 5$ 因此原式 $= a^{2} - b^{2} - 10 b$ $= ( a - b ) ( a + b ) - 10 b$ $= 5 {\bigl (} a + b {\bigr )} - 10 b$

$= 5 ( a - b )$ $= 25$ 故选：D.

点睛。 此题考查平方差公式，熟悉平方差公式及代数式求值技巧是关键，此题主要是边代入边求解.

变式3#

若 $( a^{2} + b^{2} + 1 ) ( a^{2} + b^{2} - 1 ) = 35$ ，则 $a^2+b^2=$ （） A. 3 B. 6 C. ±3 D. ±6

查看答案

查看分析思路

根据平方差公式即可求解.

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解： $\cdot {\big (} a^{2} + b^{2} + 1 {\big )} {\big (} a^{2} + b^{2} - 1 {\big )} = 35$ $\therefore ( a^{2} + b^{2} )^{2} - 1 = 35$ 则 $\left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} = 36$ 解得： $a^{2} + b^{2} = 6$ 或 $a^{2} + b^{2} = - 6$ (舍), 故选：B. 点睛。 本题主要考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

题型 06 多重平方差公式#

典例1#

计算 ${\big (} a - b {\big )} {\big (} a + b {\big )} {\big (} a^{2} + b^{2} {\big )} {\big (} a^{4} + b^{4} {\big )}$ 的结果是

查看答案

$a^8-b^8$ （等价于 $-b^8+a^8$ ）。

查看分析思路

本题主要考查了平方差公式，先利用平方差公式计算前两项的乘积，再继续用平方差公式一步步计算即可得到答案.

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解： ${\big (} a - b {\big )} {\big (} a + b {\big )} {\big (} a^{2} + b^{2} {\big )} {\big (} a^{4} + b^{4} {\big )}$ $= {\Big (} a^{2} - b^{2} {\Big )} {\Big (} a^{2} + b^{2} {\Big )} {\Big (} a^{4} + b^{4} {\Big )}$ $= ( a^{4} - b^{4} ) \left( a^{4} + b^{4} \right)$ $= a^{8} - b^{8}$

$a^{8} - b^{8}$

变式1#

计算 $( 3 + 2 ) {\times} ( 3^{2} + 2^{2} ) {\times} ( 3^{4} + 2^{4} ) {\times} ( 3^{8} + 2^{8} )$ 结果等于（）A. 1 B. $3^{16} - 2^{16}$ C. $3^{32} + 2^{32}$ D. $3^{32} - 2^{32}$

查看答案

查看分析思路

根据含乘方的有理数的计算法则和平方差公式进行求解即可

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解： $( 3 + 2 ) {\times} ( 3^{2} + 2^{2} ) {\times} ( 3^{4} + 2^{4} ) {\times} ( 3^{8} + 2^{8} )$ $= \frac {( 3 - 2 ) {\left( 3 + 2 \right)} ( 3^{2} + 2^{2} ) \times ( 3^{4} + 2^{4} ) \times ( 3^{8} + 2^{8} )} {3 - 2}$ $= \frac {\left( 3^{2} - 2^{2} \right) ( 3^{2} + 2^{2} ) \times ( 3^{4} + 2^{4} ) \times ( 3^{8} + 2^{8} )} {3 - 2}$ $= \frac{(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)}{3-2}$ $= \frac {( 3^{8} - 2^{8} ) \times ( 3^{8} + 2^{8} )} {3 - 2}$ $= 3^{16} - 2^{16}$ 故选B.

点睛。 本题主要考查了含乘方的有理数乘法计算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式.

变式2#

式子 $\left( 2 + 1 \right) \left( 2^{2} + 1 \right) \left( 2^{4} + 1 \right) \left( 2^{8} + 1 \right) \cdots \left( 2^{1024} + 1 \right)$ 化简的结果为（）A. $2^{1024} - 1$ B. $2^{1024} + 1$ C. $2^{2048} - 1$ D. $2^{2048} + 1$

查看答案

查看分析思路

利用添项法，构造平方差公式计算即可.

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解：设 $S = \ \left( 2 + 1 \right) \left( 2^{2} + 1 \right) \left( 2^{4} + 1 \right) \left( 2^{8} + 1 \right) \cdots \left( 2^{1024} + 1 \right)$ $\therefore \ ( 2 - 1 ) S = \ ( 2 - 1 ) \quad {\bigl (} 2 + 1 {\bigr )} {\bigl (} 2^{2} + 1 {\bigr )} {\bigl (} 2^{4} + 1 {\bigr )} {\bigl (} 2^{8} + 1 {\bigr )} \cdots {\bigl (} 2^{1024} + 1 {\bigr )}$ $\therefore S = {\Big (} 2^{2} - 1 {\Big )} {\Big (} 2^{2} + 1 {\Big )} {\Big (} 2^{4} + 1 {\Big )} {\Big (} 2^{8} + 1 {\Big )} \cdots {\Big (} 2^{1024} + 1 {\Big )}$ $= \Big ( 2^{4} - 1 \Big ) \Big ( 2^{4} + 1 \Big ) \Big ( 2^{8} + 1 \Big ) \cdots \Big ( 2^{1024} + 1 \Big )$ $= \ \left( 2^{1024} - 1 \right) \left( 2^{1024} + 1 \right)$ $= ~ 2^{2048} - 1$ 故答案为：C.

点睛。 此题主要考查平方差公式的运算，解题的关键是根据式子的特点进行添项

变式3#

计算： $\left( 1 - {\frac {1} {2^{2}}} \right) \left( 1 - {\frac {1} {3^{2}}} \right) \left( 1 - {\frac {1} {4^{2}}} \right) \cdots \left( 1 - {\frac {1} {2024^{2}}} \right)$

查看答案

$\frac {2025} {4048}$

查看分析思路

此题考查了平方差公式，首先利用平方差公式的逆运算求解，然后计算乘法即可.

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解： $\left( 1 - {\frac {1} {2^{2}}} \right) \left( 1 - {\frac {1} {3^{2}}} \right) \left( 1 - {\frac {1} {4^{2}}} \right) \cdots \left( 1 - {\frac {1} {2024^{2}}} \right)$ $=(1-\frac12)(1+\frac12)(1-\frac13)(1+\frac13)(1-\frac14)(1+\frac14)\cdots(1-\frac1{2024})(1+\frac1{2024})$ $= \frac {1} {2} \times \frac {3} {2} \times \frac {2} {3} \times \frac {4} {3} \times \frac {3} {4} \times \frac {5} {4} \cdots \frac {2023} {2024} \times \frac {2025} {2024}$ $= \frac {1} {2} \times \frac {2025} {2024}$

$= \frac {2025} {4048}$

题型 07 平方差公式的代数应用#

典例1#

已知： $M = 2008 \times 2009 \times 2010$ $N = 2007 \times 2009 \times 2011$ ，则M、N的大小关系是

查看答案

$M>N$ 。

查看分析思路

本题考查了平方差公式的应用；

利用平方差公式对M，N进行变形，然后计算出 $M - N > 0$ ，可得答案.

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解： $\because M = 2008 \times 2009 \times 2010$ $= \left( 2009 - 1 \right) \times \left( 2009 + 1 \right) \times 2009$ $= \left( 2009^{2} - 1 \right) \times 2009$ $= 2009^{3} - 2009 ;$ $N = 2007 \times 2009 \times 2011$ $= \left( 2009 - 2 \right) \times \left( 2009 + 2 \right) \times 2009$ $= ( 2009^{2} - 4 ) \times 2009$ $= 2009^{3} - 4 \times 2009 ~ ;$ $\therefore M - N = 2009^{3} - 2009 - \left( 2009^{3} - 4 \times 2009 \right)$ $= 2009^{3} - 2009 - 2009^{3} + 4 \times 2009$ $= 3\times2009>0$ $\therefore M > N$

故答案为： $M > N$

变式1#

若 $a = 2022^{0}$ $b = 2021 \times 2023 - 2022^{2}$ $c = \left( - {\frac {3} {4}} \right)^{3022} \times \left( {\frac {4} {3}} \right)^{3023}$ 则a，b，c的大小关系是（）A. $a < b < c$ B. $b < a < c$ C. $c < b < a$ D. $b < c < a$

查看答案

查看分析思路

利用平方差公式，积的乘方，零指数幂等知识将各数进行计算求出结果进行比较即可

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解： $a = 2022^{0} = 1$ $b = 2021 \times 2023 - 2022^{2} = \left( 2022 - 1 \right) \times \left( 2022 + 1 \right) - 2022^{2} = 2022^{2} - 1 - 2022^{2} = - 1$ $c = \left( - {\frac {3} {4}} \right)^{3022} \times {\left( {\frac {4} {3}} \right)}^{3023} = \left( - {\frac {3} {4}} \right)^{3022} \times {\left( {\frac {4} {3}} \right)}^{3022} \times {\frac {4} {3}} = \left( - {\frac {3} {4}} \times {\frac {4} {3}} \right)^{3022} \times {\frac {4} {3}} = \left( - 1 \right)^{3022} \times {\frac {4} {3}} = {\frac {4} {3}} ,$ $\because {\frac {4} {3}} > 1 > - 1$ $\therefore b < a < c$ 故选：B.

点睛。 本题考查有理数的大小比较，平方差公式，积的乘方，零指数幂，将各数进行计算求得正确的结果是解题的关键.

变式2#

对于任何整数 m，整式 $( 4 m + 5 )^{2} - 9$ 都能被（）整除.A. 8 B. m C. $m-1$ D. $2 m - 1$

查看答案

查看分析思路

直接套用平方差公式，整理即可判断.

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因为 $( 4 m + 5 )^{2} - 9 = ( 4 m + 5 - 3 ) ( 4 m + 5 + 3 )$ $= ( 4 m + 2 ) ( 4 m + 8 )$ $= 2 ( 2 m + 1 ) \times 4 ( m + 2 )$ $= 8 ( 2 m + 1 ) ( m + 2 )$ 所以原式能被8整除. 故选A.

点睛。 本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握 $a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b )$ 是解答本题的关键.

题型 08 平方差公式的几何应用#

典例1#

根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是_.

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$( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

查看分析思路

此题主要考查了平方差公式的几何背景，正确得出图形面积是解题关键直接利用已知图形面积进而分析得出公式.

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解：由图①可得，图形面积为： $( a + b ) ( a - b )$

由图(2)可得，图形面积为： $a^{2} - b^{2}$

故这个公式是： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

故答案为： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

变式1#

如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积.

查看答案

阴影部分的面积是5

查看分析思路

直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案.

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由题知： $a^{2} - b^{2} = 10$

阴影部分的面积是： ${\frac {1} {2}} A E^{\cdot} B C + {\frac {1} {2}} A E^{\cdot} B D = {\frac {1} {2}} A E ~ ( B C + B D ) ~ = {\frac {1} {2}} ~ ( A B - B E ) ~ ( B C + B D )$

$= {\frac {1} {2}} ( a - b ) ( a + b ) = {\frac {1} {2}} (a^2-b^2) = {\frac {1} {2}} \times 10 {=} 5 .$

答：阴影部分的面积是5.

点睛。 本题主要考查平方差公式与三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键.

变式2#

我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是（）

A. $a \left( a + 9 \right) = a^{2} + 9 a$ B. $\scriptstyle ( a + 3 ) ( a - 3 ) = a^{2} - 9$ C. ${\big (} a + 3 {\big )} {\big (} a - 6 {\big )} = a^{2} - 3 a - 36$ D. $\left( a + 3 \right)^{2} = a^{2} + 6 a + 9$

查看答案

查看分析思路

本题主要考查了平方差公式

根据第一个阴影部分的面积等于 $(a+3)(a-3)$ ，第二个阴影部分的面积等于 $a^{2} - 3^{2}$ ，再根据面积相等可得答案.

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解：根据题意可得 $( a + 3 ) ( a - 3 ) = a^{2} - 3^{2} = a^{2} - 9$

故选：B.

题型09 平方差公式的综合应用#

典例1#

从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).

(1)上述操作可以得到一个公式： $\_{\ast}$

(2)利用你得到的公式，计算： $2024^{2} - 2023 \times 2025$

(3)计算： $3 {\left( 2^{2} + 1 \right)} {\left( 2^{4} + 1 \right)} {\left( 2^{8} + 1 \right)} {\left( 2^{16} + 1 \right)}$

查看答案

$( 1 ) a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b )$

(2)1

(3) $2^{32} - 1$

查看分析思路

本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提.

（1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为 $\displaystyle \left( a + b \right)$ ，宽为 $( a - b )$ ，因此面积为 $( a + b ) ( a - b )$ ，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式；

(2)将 $2023 \times 2025$ 写为 $(2024-1)(2024+1)$ ，利用平方差公式即可求解；

（3）原式变形为 $\left( 2^{2} - 1 \right) \left( 2^{2} + 1 \right) \left( 2^{4} + 1 \right) \left( 2^{8} + 1 \right) \left( 2^{16} + 1 \right)$ ，连续利用平方差公式进行计算即可

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（1）解：图1中阴影部分的面积为 $a^{2} - b^{2}$ ，图2中阴影部分的面积为 ${\bigl (} a + b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$

$\therefore a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b )$

故答案为： $a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b )$

（2）解： $2024^{2} - 2023 \times 2025$

$=2024^2-(2024-1)(2024+1)=2024^2-(2024^2-1)$

$=2024^2-2024^2+1=1.$

（3）解： $3 {\left( 2^{2} + 1 \right)} {\left( 2^{4} + 1 \right)} {\left( 2^{8} + 1 \right)} {\left( 2^{16} + 1 \right)}$

$= {\Big (} 2^{2} - 1 {\Big )} {\Big (} 2^{2} + 1 {\Big )} {\Big (} 2^{4} + 1 {\Big )} {\Big (} 2^{8} + 1 {\Big )} {\Big (} 2^{16} + 1 {\Big )}$

$= {\Big (} 2^{4} - 1 {\Big )} {\Big (} 2^{4} + 1 {\Big )} {\Big (} 2^{8} + 1 {\Big )} {\Big (} 2^{16} + 1 {\Big )}$

$=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)$

$=(2^{16}-1)(2^{16}+1)$

$=2^{32}-1$ 。

变式1#

乘法公式的探究及应用.

(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);

(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的面积是（用a，b表示，并写成整式乘法的形式)，

(3)比较图1、图2两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用等式表达).

(4)运用你所得到的公式，计算下列各题：

① $10 . 2 \times 9 . 8$

② $\left( m + n - p \right) \left( m - n + p \right)$

查看答案

$( 1 ) a^{2} - b^{2}$

(2) ${\bigl (} a + b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$

(3) ${\big (} a + b {\big )} {\big (} a - b {\big )} = a^{2} - b^{2}$

(4)① $99 . 96 ; (2) m^{2} - n^{2} + 2 n p - p^{2}$

查看分析思路

此题主要考查了平方差公式的应用，代数式表示式，整式的混合运算，利用数形结合求解是解题关键.

（1）利用正方形的面积公式就可求出；

（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；

（3）利用等面积法建立等式就可得出公式；

(4）①把原式化为 $(10+0$ . $2)\times (10-0$ .2)，利用平方差公式就可方便简单的计算

②把原式化为 $[ m + ( n - p ) ] [ m - ( n - p ) ]$ ，利用平方差公式就可方便简单的计算

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（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积= $: a^{2} - b^{2}$ 故答案为： $a^{2} - b^{2}$

（2）解：由图可知长方形的宽是 $a-b$ ，长是 $a+b$ ，所以面积是 ${\bigl (} a + b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$ 故答案为： ${\bigl (} a + b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$ ;

（3）解： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

故答案为： $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

（4）解：① $10.2\times9.8=(10+0.2)(10-0.2)=10^2-0.2^2=100-0.04=99.96$ 。

② $(m+n-p)(m-n+p)=[m+(n-p)][m-(n-p)]=m^2-(n-p)^2=m^2-n^2+2np-p^2$ 。

变式2#

从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).

(1)设图1中阴影部分面积为 $S_{1}$ ，图2中阴影部分面积为 $S_{2}$ ，请直接用含a，b的代数式表示 $S_{1}$ 二 $S_{2} =$ ；写出上述过程所揭示的乘法公式：

(2)请应用上面的公式完成下列各题：①若 $9 a^{2} - 4 b^{2} = 32$ $3 a + 2 b = 8$ ，则 $3 a - 2 b =$

②计算： $\left( 1 - {\frac {1} {2^{2}}} \right) \times \left( 1 - {\frac {1} {3^{2}}} \right) \times \left( 1 - {\frac {1} {4^{2}}} \right) \times \cdots \times \left( 1 - {\frac {1} {2025^{2}}} \right)$

查看答案

（1 $a^{2} - b^{2} ; ( a + b ) ( a - b ) ; a^{2} - b^{2} = \left( a + b \right) \left( a - b \right)$

(2)①4; $(2) \frac {1013} {2025}$

查看分析思路

本题主要考查了平方差公式的推导（通过图形面积转化）及应用，熟练掌握平方差公式 $a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b )$ 的结构特征和灵活运用公式进行计算、变形是解题的关键

（1）分别根据图1、图2的图形特征，用面积公式表示出 $S_{1} , S_{2}$ ，再通过面积相等得出乘法公式.

（2）①利用（1）中得出的乘法公式，将 $9 a^{2} - 4 b^{2}$ 变形后，结合已知条件求解．②把每个括号内的式子用平方差公式变形，然后通过约分计算出结果.

查看详细解析

（1）解：图1中阴影部分是大正方形减小正方形，大正方形边长为a，小正方形边长为b， $\therefore S_{1} = a^{2} - b^{2}$

图2中长方形长为 $(a+b)$ ，宽为 $\left( a - b \right)$

$\therefore S_{2} = ( a + b ) ( a - b )$

因为 $S_{1} = S_{2}$

$\therefore a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b )$

故答案为： $a^{2} - b^{2} ; ( a + b ) ( a - b ) , a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b )$

（2）解： $(1) \because 9 a^{2} - 4 b^{2} = {\bigl (} 3 a + 2 b {\bigr )} {\bigl (} 3 a - 2 b {\bigr )}$ ，且 $9 a^{2} - 4 b^{2} = 32 , 3 a + 2 b = 8$

$\therefore 32 = 8 \times \left( 3 a - 2 b \right)$

$\therefore 3 a - 2 b = 32 \div 8 = 4$

故答案为4.

② 原式 $=(1-\frac12)(1+\frac12)(1-\frac13)(1+\frac13)\cdots(1-\frac1{2025})(1+\frac1{2025})=\frac12\times\frac32\times\frac23\times\frac43\cdots\frac{2024}{2025}\times\frac{2026}{2025}=\frac12\times\frac{2026}{2025}=\frac{1013}{2025}$ 。

变式3#

某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”：

(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有；（填序号）

(2)【应用】利用“平方差公式”计算： $2026^{2} - 2022 \times 2030$

(3)【拓展】计算： $\left( 1 + {\frac {1} {2}} \right) \times \left( 1 + {\frac {1} {2^{2}}} \right) \times \left( 1 + {\frac {1} {2^{4}}} \right) \times \left( 1 + {\frac {1} {2^{8}}} \right) \times \left( 1 + {\frac {1} {2^{16}}} \right) \times \left( 1 + {\frac {1} {2^{32}}} \right)$

查看答案

(1)①③ (2)16 (3) $2 - \frac {1} {2^{63}}$

查看分析思路

本题考查平方差公式与几何图形的面积，利用平方差公式进行简算，熟练掌握平方差公式，是解题的关键：

（1）用两种方法表示出阴影部分的面积，进行判断即可；

（2）利用平方差公式进行简算即可；

(3) 先将原式乘 $(1-\frac12)$ ，连续使用平方差公式，最后除以 $(1-\frac12)$ 。

查看详细解析

(1)解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 $\left( a^{2} - b^{2} \right)$ ，拼成的右图是底为 $\left( a + b \right)$ 高为 $(a-b)$ 的平行四边形，面积为 ${\bigl (} a + b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$

$\therefore ( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

图②中，左图阴影部分的面积4 $\cdot \left( {\frac {a - b} {2}} \right)^{2} = \left( a - b \right)^{2}$ 右图阴影部分的面积可以表示为 $\left( a - b \right)^{2}$ ，故图②不能验证平方差公式；

图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即 $\left( a^{2} - b^{2} \right)$ ，拼成的右图是底为 $(a+b)$ ，高为 $\left( a - b \right)$ 的平行四边形，面积为 ${\bigl (} a + b {\bigr )} {\bigl (} a - b {\bigr )}$

$\therefore ( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即 $\left( a + b \right)^{2} - \left( a - b \right)^{2}$ ，拼成的右图是长为2a，宽为2b的长方形，面积为 $4 a b$

$\therefore ( a + b )^{2} - ( a - b )^{2} = 4 a b$

$2026^{2} - 2022 \times 2030$

$= 2026^{2} - {\bigl (} 2026 - 4 {\bigr )} {\bigl (} 2026 + 4 {\bigr )}$

$= 2026^{2} - \left( 2026^{2} - 4^{2} \right)$

$= 2026^{2} - 2026^{2} + 4^{2} = 16 {\mathrm {;}}$

(3) 解：设原式为 $P$ ，则

\begin{aligned} (1-\tfrac12)P&=(1-\tfrac12)(1+\tfrac12)(1+\tfrac1{2^2})(1+\tfrac1{2^4})(1+\tfrac1{2^8})(1+\tfrac1{2^{16}})(1+\tfrac1{2^{32}})\\ &=(1-\tfrac1{2^2})(1+\tfrac1{2^2})(1+\tfrac1{2^4})(1+\tfrac1{2^8})(1+\tfrac1{2^{16}})(1+\tfrac1{2^{32}})\\ &=(1-\tfrac1{2^4})(1+\tfrac1{2^4})(1+\tfrac1{2^8})(1+\tfrac1{2^{16}})(1+\tfrac1{2^{32}})\\ &=(1-\tfrac1{2^8})(1+\tfrac1{2^8})(1+\tfrac1{2^{16}})(1+\tfrac1{2^{32}})\\ &=(1-\tfrac1{2^{16}})(1+\tfrac1{2^{16}})(1+\tfrac1{2^{32}})\\ &=(1-\tfrac1{2^{32}})(1+\tfrac1{2^{32}})=1-\tfrac1{2^{64}}. \end{aligned}

因此原式 $= \left( 1 - {\frac {1} {2^{64}}} \right) \div \left( 1 - {\frac {1} {2}} \right) = \left( 1 - {\frac {1} {2^{64}}} \right) \times 2 = 2 - {\frac {1} {2^{63}}} ~ .$

第2课时：完全平方公式#

题型 10 运用完全平方公式计算#

典例1#

计算：

(1) $\left( 2 y + 3 \right)^{2}$

(2) $\left( - \frac {1} {3} a + 2 b \right)^{2}$

(3) $\left( 2 a + 3 \right)^{2} + \left( 3 a - 2 \right)^{2}$

查看答案

$( 1 ) 4 y^{2} + 12 y + 9$

(2) ${\frac {1} {9}} a^{2} - {\frac {4} {3}} a b + 4 b^{2}$

(3) $13 a^{2} + 13$

查看分析思路

（1）利用完全平方公式展开计算即可；

（2）利用完全平方公式展开计算即可：

（3）利用完全平方公式展开计算即可.

查看详细解析

$( 1 ) \ \left( 2 y + 3 \right)^{2}$ $= \left( 2 y \right)^{2} + 2 \times 2 y \times 3 + 3^{2}$ $= 4 y^{2} + 12 y + 9 .$ (2) $\left( - {\frac {1} {3}} a + 2 b \right)^{2}$ $= \left( - \frac 13 a \right)^{2} + 2 \times ( - \frac 13 a ) \times 2 b + \left( 2 b \right)^{2}$ $= {\frac {1} {9}} a^{2} - {\frac {4} {3}} a b + 4 b^{2}$ (3) $\left( 2 a + 3 \right)^{2} + \left( 3 a - 2 \right)^{2}$ $= \left( 2 a \right)^{2} + 2 \times 2 a \times 3 + 3^{2} + \left( 3 a \right)^{2} - 2 \times 3 a \times 2 + 2^{2}$

= $4a^2+12a+9+9a^2-12a+4$ = $13a^2 +13$

变式1#

运用完全平方公式计算：

(1) $( 2 a + 5 b )^{2}$

(2) $( 4 x - 3 y )^{2} ;$

(3) $( - 2 m - 1 )^{2}$

查看答案

$( 1 ) 4 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2}$

(2) $16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2}$

(3) $4 m^{2} + 4 m + 1$

查看分析思路

（1）利用完全平方公式 $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 直接求解即可.

（2）利用完全平方公式 $\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 直接求解即可.

（3）利用完全平方公式 $\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 直接求解即可.

查看详细解析

$( \mathit {1} ) ( 2 a + 5 b )^{2}$ = $(2a)^2+2\cdot 2a\cdot 5b+(5b)^2$ $= 4 a^{2} + 20 a b + 25 b^{2} ,$ $(2)(4x-3y)^2$ = $(4x)^2-2\cdot 4x\cdot 3y+(3y)^2$ $= 16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2} ,$ $(3)(-2m-1)^2$ = $(-2m)^2 -2\cdot (-2m)\cdot 1+1^2$ = $4m^2+4m+1$ ,

点睛。 本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式 $( a \pm b )^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$

变式2#

计算：

(1) $\left( x + 7 y \right)^{2}$

(2) $\left( - 4 a + 5 b \right)^{2}$

(3) $\left( - 2 m - n \right)^{2}$

(4) ${\bigl (} 2 x + 3 y {\bigr )} {\bigl (} - 2 x - 3 y {\bigr )}$

查看答案

$( 1 ) x^{2} + 14 x y + 49 y^{2}$

(2) $25 b^{2} - 40 a b + 16 a^{2}$

(3) $4m^2+4mn+n^2$

(4) $- 4 x^{2} - 12 x y - 9 y^{2}$

查看分析思路

（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可；（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；

查看详细解析

（1）解： $\left( x + 7 y \right)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 y + \left( 7 y \right)^{2} = x^{2} + 14 x y + 49 y^{2}$ （2）解： $\left( - 4 a + 5 b \right)^{2} = \left( 5 b - 4 a \right)^{2} = \left( 5 b \right)^{2} - 2 \cdot 5 b \cdot 4 a + \left( 4 a \right)^{2} = 25 b^{2} - 40 a b + 16a^2$ （3）解： $\left( - 2 m - n \right)^{2} = \left( 2 m + n \right)^{2} = \left( 2 m \right)^{2} + 2 \cdot 2 m \cdot n + n^{2} = 4m^2+4mn+n^2$ (4）解： $(2x+3y)(-2x-3y)$ =− $(2x+3y)^2$ $= - {\bigg [} {\big (} 2 x {\big )}^{2} + 2 \cdot 2 x 3 y + {\big (} 3 y {\big )}^{2} {\bigg ]}$ $= - {\Bigl (} 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2} {\Bigr )}$ $= - 4 x^{2} - 12 x y - 9 y^{2}$ 点睛。 本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键

题型 11 辨析是否能用完全平方公式计算#

典例1#

下列整式乘法中，能用完全平方公式计算的是（）A. $(a+2)(2-a)$ B. $(-a+b)(a-b)$ C. $(a+1)(a+2)$ D. $(-a-b)(a-b)$

查看答案

查看分析思路

此题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 利用完全平方公式判断即可.

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解：A、 $\big ( a + 2 \big ) \big ( 2 - a \big ) = \big ( 2 + a \big ) \big ( 2 - a \big )$ ，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意：B、 $(-a+b)(a-b)=-(a-b)^2$ ，能用完全平方公式，故此选项符合题意； C、 $(a+1)(a+2)$ ，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意； D、 $(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)$ ，不能用完全平方公式，故此选项不符合题意；故选：B.

变式1#

下列整式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ )A. $(m-n)(-m-n)$ B. ${\big (} m + n {\big )} {\big (} - m + n {\big )}$ C. ${\big (} m - n {\big )} {\big (} - m + n {\big )}$ D. $(m+2)(m-1)$

查看答案

查看分析思路

根据完全平方公式的结构 $\left( a \pm b \right)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 逐项分析判断即可求解

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解：A. $\left( m - n \right) \left( - m - n \right) = - \left( m - n \right) \left( m + n \right) = - m^{2} + n^{2}$ ，故该选项不符合题意：B. $\big ( m + n \big ) \big ( - m + n \big ) = n^{2} - m^{2}$ 故该选项不符合题意； C. $\big ( m - n \big ) \big ( - m + n \big ) = - \big ( m - n \big ) \big ( m - n \big ) = - \big ( m - n \big )^{2}$ ，故该选项正确，符合题意； D. $\left( m + 2 \right) \left( m - 1 \right) = m^{2} + m - 2$ ，故该选项不符合题意. 故选C.

题型 12 辨析完全平方公式的变形是否正确#

典例1#

下列计算正确的是（）A. $\left( 2 a + b \right)^{2} = 4 a^{2} + b^{2}$ B. $\left( 5 x - 2 y \right)^{2} = 25 x^{2} - 10 x y + 4 y^{2}$ C. $\left( {\frac {1} {2}} x - y \right)^{2} = {\frac {1} {2}} x^{2} - x y + y^{2}$ D. $\left( {\frac {1} {2}} x - {\frac {1} {3}} \right)^{2} = {\frac {1} {4}} x^{2} - {\frac {1} {3}} x + {\frac {1} {9}}$

查看答案

查看分析思路

根据完全平方公式，即可解答.

查看详细解析

解、 $( 2 a + b )^{2} = 4 a^{2} + 4 a b + b^{2}$ ，原计算错误，故此选项不符合题意； B、 $( 5 x - 2 y )^{2} = 25 x^{2} - 20 x y + 4 y^{2}$ ，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 $\left( {\frac {1} {2}} x - y \right)^{2} = {\frac {1} {4}} x^{2} - x y + y^{2}$ ，原计算错误，故此选项不符合题意误； D、原计算正确，故此选项符合题意. 故选. 点睛。 本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．注意： $\left( a \pm b \right)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$

变式1#

$( - 2 x - 3 y )^{2}$ 等于（）.A. $4 x^{2} - 12 x y - 9 y^{2}$ B. $- 4 x^{2} - 12 x y - 9 y^{2}$ C. $4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$ D. $4 x^{2} - 12 x y - 9 y^{2}$

查看答案

查看分析思路

根据完全平方公式 $( a \pm b )^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 即可求解.

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解： $( - 2 x - 3 y )^{2} = ( 2 x + 3 y )^{2} = ( 2 x )^{2} + 2 \times 2 x \times 3 y + ( 3 y )^{2} = 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$ 故选C

点睛。 本题考查了乘法公式，熟练应用完全平方公式是解题的关键

变式2#

若 $m \neq n$ ，则下列等式： $(1) ( m - n )^{2} = ( n - m )^{2} ; (2) ( m - n )^{2} = - ( n - m )^{2}$ ；③ $( m + n ) ( m - n ) = ( - m - n ) ( - m + n )$ ； ④ $( - m - n )^{2} = - ( m - n )^{2}$ ．其中错误的有（）A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个

查看答案

查看分析思路

本题考查的是完全平方公式与平方根公式的变形，理解并掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键，根据完全平方公式与平方差公式的含义变形即可判断

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解： $\because m \ne n$ $\therefore ( m - n )^{2} = \left\lceil - {\left( n - m \right)} \right\rceil^{2} = ( n - m )^{2}$ ，故①正确；②错误； $( m + n ) ( m - n ) = \left[ - {\bigl (} m + n {\bigr )} \right] \left[ - {\bigl (} m - n {\bigr )} \right] = ( - m - n ) ( - m + n )$ ，故③正确； $( - m - n )^{2} = \left[ - {\bigl (} m + n {\bigr )} \right]^{2} = ( m + n )^{2}$ ，故④错误；

故选：B

变式3#

若x≠y，下列等式： $(1) ( - x - y )^{2} = ( y + x )^{2} (2) ( x - y )^{2} = - ( y - x )^{2} (3) ( y - x )^{3} = - ( x - y )^{3}$ ④ $( x - y )^{3} = ( y - x )^{3} (5) ( - x + y ) ( - x - y ) = x^{2} - y^{2}$ ，其中错误的有（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

查看答案

C。

查看分析思路

利用完全平方公式以及平方差公式，进行逐一判断即可.

查看详细解析

解： $( - x - y )^{2} = ( y + x )^{2}$ 故①说法正确； $( x - y )^{2} = ( y - x )^{2}$ 故②说法错误； $( y - x )^{3} = - ( x - y )^{3}$ 故③说法正确，④说法错误； $( - x + y ) ( - x - y ) = ( x - y ) ( x + y ) = x^{2} - y^{2}$ ，故⑤说法正确；错误的有2个，故选C.

点睛。 本题主要考查了乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

变式4#

${\big (} a + b - c {\big )} {\big (} - a - b + c {\big )}$ 与下列哪个式子相等（）A. $\left( a + b - c \right)^{2}$ B. $- {\left( - a - b + c \right)}^{2}$ C. $- {\left( a - b + c \right)}^{2}$ D. $\left( a - b + c \right)^{2}$

查看答案

查看分析思路

本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式进行计算判断即可

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解： $\displaystyle {\big ( a + b - c \big ) \big ( - a - b + c \big ) = - \big ( - a - b + c \big ) \big ( - a - b + c \big ) = - \big ( - a - b + c \big )^{2}}$ 故选：B.

题型 13 利用乘法公式计算#

典例1#

计算：

(1) ${\Bigg (} a + {\frac {1} {2}} b {\Bigg )}^{2} {\Bigg (} a - {\frac {1} {2}} b {\Bigg )}^{2}$ (2) $( - m - 3 )^{2} ( m - 3 )^{2}$ (3) ${\big (} a - b + c {\big )} {\big (} a + b - c {\big )}$

(4) ${\big (} a + b + c {\big )} {\big (} a - b - c {\big )}$

查看答案

$( 1 ) a^{4} - \frac {1} {2} a^{2} b^{2} + \frac {1} {16} b^{4}$

(2) $m^{4} - 18 m^{2} + 81$

(3) $a^{2} - b^{2} + 2 b c - c^{2}$

(4) $a^{2} - b^{2} - 2 b c - c^{2}$

查看分析思路

本题考查了乘法公式，理解并掌握乘法是解决问题的关键；

（1）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解；

（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解：

（3）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解：

（4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解

查看详细解析

（1）解：原式 $: = \left[ \left( a + {\frac {1} {2}} b \right) \left( a - {\frac {1} {2}} b \right) \right]^{2}$ $= \left( a^{2} - {\frac {1} {4}} b^{2} \right)^{2}$ $= a^{4} - {\frac {1} {2}} a^{2} b^{2} + {\frac {1} {16}} b^{4}$ （2）解：原式 $= \left[ \left( m + 3 \right) \left( m - 3 \right) \right]^{2}$ $= \left( m^{2} - 9 \right)^{2}$ $= m^{4} - 18 m^{2} + 81 ;$

（3）解：原式 $= {\Big [} a - {\big (} b - c {\big )} {\Big ]} {\Big [} a + {\big (} b - c {\big )} {\Big ]}$

$= a^{2} - \left( b - c \right)^{2}$

$= a^{2} - b^{2} + 2 b c - c^{2}$

（4）解：原式 $= {\Bigl [} a + {\bigl (} b + c {\bigr )} {\Bigr ]} {\Bigl [} a - {\bigl (} b + c {\bigr )} {\Bigr ]}$

$= a^{2} - \left( b + c \right)^{2}$

$= a^{2} - b^{2} - 2 b c - c^{2}$

变式1#

利用乘法公式计算：

(1) $( x + 1 ) ( x - 1 ) \left( x^{2} + 1 \right) \left( x^{4} + 1 \right)$

(2) $( 3 x + 2 )^{2} - ( 3 x - 5 )^{2}$

(3) $( x - 2 y + 1 ) ( x + 2 y - 1 )$

(4) $( a - 3 b - 2 c ) ( a - 3 b + 2 c )$

查看答案

$( 1 ) x^{8} - 1$

(2) $42 x - 21$

(3) $x^{2} - 4 y^{2} + 4 y - 1$

(4) $a^{2} - 6 a b + 9 b^{2} - 4 c^{2}$

查看分析思路

本题主要考查乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键；

（1）根据平方差公式可进行求解

（2）根据平方差公式可进行求解；

（3）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解；

（4）根据平方差公式及完全平方公式可进行求解.

查看详细解析

（1）解：原式 $= ( x^{2} - 1 ) \left( x^{2} + 1 \right) \left( x^{4} + 1 \right)$ $= ( x^{4} - 1 ) \left( x^{4} + 1 \right)$ $= x^{8} - 1 ;$ （2）解：原式 $\therefore = [ ( 3 x + 2 ) + ( 3 x - 5 ) ] [ ( 3 x + 2 ) - ( 3 x - 5 ) ]$ $= 7 ( 6 x - 3 )$ $= 42 x - 21 ;$ （3）解：原式 $= {\Big [} x - {\big (} 2 y - 1 {\big )} {\Big ]} {\Big [} x + {\big (} 2 y - 1 {\big )} {\Big ]}$ $= x^{2} - \left( 2 y - 1 \right)^{2}$ $= x^{2} - 4 y^{2} + 4 y - 1 ;$ （4）解：原式 $= \left[ \left( a - 3 b \right) - 2 c \right] \left[ \left( a - 3 b \right) + 2 c \right]$ $= \left( a - 3 b \right)^{2} - 4 c^{2}$ $= a^{2} - 6 a b + 9 b^{2} - 4 c^{2}$

变式2#

利用乘法公式计算：

(1) $500^{2} - 499 \times 501$

(2) $1005 \times 995 - 998^{2}$

查看答案

(1)1

(2)3971

查看分析思路

本题考查乘法公式的应用：

（1）将原式变形为 $500^{2} - ( 500 - 1 ) \times ( 500 + 1 )$ ，利用平方差公式计算；

（2）将原式变形为 $( 1000 + 5 ) \times ( 1000 - 5 ) - ( 1000 - 2 )^{2}$ ，利用平方差公式、完全平方公式计算.

查看详细解析

（1）解：原式 $= 500^{2} - ( 500 - 1 ) \times ( 500 + 1 )$

$= 500^{2} - \left( 500^{2} - 1 \right)$

$=500^2-500^2+1=1.$

（2）解：原式 $= ( 1000 + 5 ) \times ( 1000 - 5 ) - ( 1000 - 2 )^{2}$ $= 1000^{2} - 5^{2} - 1000^{2} + 2 \times 2 \times 1000 - 2^{2}$ $= - 25 + 4000 - 4$ $= 3971$

题型 14 乘法公式求值问题#

典例1#

先化简，再求值： $( 2 x + y )^{2} + ( x - y ) ( x + y ) - 5 x {\bigl (} x - y {\bigr )}$ ，其中 $x = 2 \ , y = \frac {1} {2}$

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$9xy$ ；9。

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本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式．先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘整式的运算法则进行计算，再合并同类项即可化简，最后代入求值

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解： $( 2 x + y )^{2} + ( x - y ) ( x + y ) - 5 x {\bigl (} x - y {\bigr )}$ $= 4 x^{2} + 4 x y + y^{2} + x^{2} - y^{2} - 5 x^{2} + 5 x y$ $= 9 x y$ 当 $x = 2 \ , y = \frac {1} {2}$ 时，原式 $= 9 \times 2 \times {\frac {1} {2}} = 9$

变式1#

先化简，再求值： $\left( x + 2 y \right) \left( x - 2 y \right) - \left( 2 y - x \right)^{2}$ ，其中 $x = 2 \ , y = \frac {1} {2}$

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$-8y^2+4xy$ ；2。

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本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案.

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解： $\left( x + 2 y \right) \left( x - 2 y \right) - \left( 2 y - x \right)^{2}$

$= x^{2} - 4 y^{2} - \left( 4 y^{2} - 4 x y + x^{2} \right)$

$= x^{2} - 4 y^{2} - 4 y^{2} + 4 x y - x^{2}$

$= - 8 y^{2} + 4 x y .$

当 $x = 2 \ , y = \frac {1} {2}$ 时，原式 $= - 8 \times \left( {\frac {1} {2}} \right)^{2} + 4 \times 2 \times {\frac {1} {2}} = - 2 + 4 = 2$

变式2#

已知 $3 y^{2} - 5 x y - 2 = 0$ ，求代数式 $( 2 x - 3 y )^{2} - x \left( 3 y + 4 x \right)$ 的值.

查看答案

$9 y^{2} - 15 x y$ ；6

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本题考查了完全平方公式，单项式乘整式及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键：先利用完全平方公式化简所求代数式，再根据化简结果将已知等式进行变形得出 $3 y^{2} - 5 x y = 2$ ，然后作为整体代入求值即可得.

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.解： $( 2 x - 3 y )^{2} - x \left( 3 y + 4 x \right)$ $= 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} - 3 x y - 4 x^{2}$ $= 9 y^{2} - 15 x y$ $\because 3 y^{2} - 5 x y - 2 = 0$ $\therefore 3 y^{2} - 5 x y = 2$ 因此原式 $= 9 y^{2} - 15 x y = 3 {\Big (} 3 y^{2} - 5 x y {\Big )} = 3 \times 2 = 6$

题型 15 根据完全平方公式求参数值#

典例1#

若 $x^{2} + a x + 25$ 是完全平方式，则a的值可能是（）A. 5 或-5 B. 25 C. 10 或-10 D. 8

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本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特点“首平方、尾平方、中间为2倍项”成为解题的关键.根据完全平方式的结构特征求解即可．确定常数项对应的平方根，进而求出一次项系数

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解： $x^{2} + a x + 25 = {\bigl (} x \pm 5 {\bigr )}^{2} = x^{2} \pm 10 x + 25$ 所以a的可能值为10或-10.

故选 C.

变式1#

如果整式 $4 x^{4} + 4 x^{2} + M$ 是完全平方式，那么M不可能是（）A. $x^{6}$ B. $8 x^{3}$ C. 1 D. 4

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将各选项代入 $M$ ，检查能否写成两个单项式和的平方；既要核对首尾平方项，也要核对二倍乘积项。

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A.当 $M = x^{6}$ 时，原式 $= 4 x^{4} + 4 x^{2} + x^{6} = ( x^{3} + 2 x )^{2} .$ 故正确； B. 当 $\boldsymbol {M =} ~ 8 \boldsymbol {x}^{3}$ 时，原式 $= 4 x^{4} + 4 x^{2} + 8 x^{3} = ( 2 x^{2} + 2 x )^{2}$ ,故正确； C. 当M=1时，原式 $= 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 = ( 2 x^{2} + 1 )^{2}$ ,故正确； D. 当M=4 时，原式 $= 4 x^{4} + 4 x^{2} + 4$ ,不能变形为完全平方的形式，故不正确. 故选D.

变式2#

小明计算一个二项式的平方时，得到正确结果 $a^2-10ab+$ ▮ ，但最后一项不慎被污染了，这一项应是（）.A. 5b B. $5 b^{2}$ C. $25 b^{2}$ D. $100 b^{2}$

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中间项为 $-10ab=2a(-5b)$ ，所以另一个单项式是 $-5b$ ；末项应为其平方 $25b^2$ 。

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试题解析： $\because - 10 a b = 2 a \times ( - 5 ) \times b$ 因此最后一项为 $( - 5 b )^{2} = 25 b^{2}$

故选C.

变式3#

若 $4 y^{2} - \left( m + 2 \right) y + 16$ 可以配成一个完全平方公式，则m的值为（）A. -18 B. ±18 C. 14 D. 14 或-18

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本题主要考查完全平方公式；将整式配成完全平方公式，得出 $b=4$ 或 $b=-4$ ，分别计算求解即可.

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解：原式为 $4 y^{2} - \left( m + 2 \right) y + 16$ 需配成完全平方形式 $\left( a y \pm b \right)^{2}$ 首项 $4 y^{2} = \left( 2 y \right)^{2}$ ，故 $a = 2$ 常数项 $16 = 4^{2}$ ，故 $b=4$ 或 $b = - 4$ 当为 $\left( 2 y + 4 \right)^{2}$ 时，展开得 $4 y^{2} + 16 y + 16$ ，中间项系数为16.由题知中间项系数为- $(m+2)$ ，故 $- {\bigl (} m + 2 {\bigr )} = 16$ ，解得 $m = - 18$ 当为 $\left( 2 y - 4 \right)^{2}$ 时，展开得 $4 y^{2} - 16 y + 16$ ，中间项系数为-16.此时 $- {\big (} m + 2 {\big )} = - 16$ ，解得 $m=14$ . $\therefore m$ 的值为14或-18，

故选：D.

变式4#

如果 $x^{2} + 2 {\bigl (} k - 1 {\bigr )} x + 16$ 是一个完全平方式，那么k的值是（）A. 5或-3 B. 3或-1 C. -3 D. 3或5

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此题考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同号是解题的关键。根据完全平方公式，两数的平方和加上（减去）这两个数积的 2 倍，即为两数和（差）的平方；列出 $k$ 的方程求解。常数项 $16=4^2$ ，因此完全平方式为 $(x\pm4)^2$ ；比较一次项系数得 $2(k-1)=\pm8$ 。

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解： $\therefore ( x \pm 4 )^{2} = x^{2} \pm 8 x + 16$ $2 {\left( k - 1 \right)} = \pm 8$ 解得： $k = 5$ 或 $k =-3$ .

故选：A.

变式 5#

关于x的整式 $9 x^{2} + a x + 1$ 是完全平方式，则实数a的值是（）A. 3 B. ±3 C. ±6 D. 6

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根据完全平方公式进行分析计算.

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解：因为整式 $9 x^{2} + a x + 1$ 是完全平方式 $\therefore a = \pm 2 \times 3 \times 1 = \pm 6$ 故选：C.

点睛。 本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式 $\left( a \pm b \right)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 是解题关键.

变式6#

若 $x^{2} + \left( 2 m - 6 \right) x + 16$ 是一个完全平方式，则m的值是（）A. 4 B. -1或7 C. -1或4 D. 7

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本题主要考查了完全平方公式，根据题意可知 $x^{2} + \left( 2 m - 6 \right) x + 16 = \left( x \pm 4 \right)^{2} = x^{2} \pm 8 x + 16$ ，进而可得出 $2 m - 6 = \pm 8$ ，解一元一次方程即可得出答案

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解：因为若 $x^{2} + {\bigl (} 2 m - 6 {\bigr )} x + 16$ 是一个完全平方式， $\therefore x^{2} + ( 2 m - 6 ) x + 16 = ( x \pm 4 )^{2} = x^{2} \pm 8 x + 16$ $\therefore 2 m - 6 = \pm 8$ 解得： $m=-1$ 或 $m=7$ ，

故选：B

变式7#

若 $x^{2} - 3 ( a + 1 ) x + 16$ 是一个完全平方式，则a的值为（）A. $\frac {11} {3}$ 或 $- {\frac {5} {3}}$ B. $- {\frac {11} {3}}$ C. $\frac {5} {3}$ D. $- {\frac {11} {3}}$ 或 $\frac {5} {3}$

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本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得出 $- 3 ( a + 1 ) = \pm 8$ ，进而可求出a的值.

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解：因为 $x^2-3(a+1)x+16$ 是完全平方式，所以 $x^2-3(a+1)x+16=(x\pm4)^2=x^2\pm8x+16$ ，因此 $-3(a+1)=\pm8$ 。解得 $a=-\frac{11}{3}$ 或 $a=\frac53$ ，故选 D。

题型 16 根据完全平方公式求代数式的值#

典例1#

已知： $a + b = - 1 , a b = - 6$ ，求下列各式的值： $( 1 ) {\bigl (} a - b {\bigr )}^{2}$ (2) $a^{2} + b^{2}$

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(1)25

(2)13

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（1）利用 ${( a - b )}^{2} = {( a + b )}^{2} - 4 a b$ ，进行计算即可；（2）利用 $a^{2} + b^{2} = \left( a - b \right)^{2} + 2 a b$ ，进行计算即可.

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（1）解： ${( a - b )}^{2} = {( a + b )}^{2} - 4 a b$ $\because a + b = - 1 , a b = - 6$ 因此原式 $= ( - 1 )^{2} - 4 \times ( - 6 ) = 1 + 24 = 25$ （2）解：由（1）知： $\left( a - b \right)^{2} = 25$ $\therefore a^{2} + b^{2} = \left( a - b \right)^{2} + 2 a b = 25 + 2 \times ( - 6 ) = 13$ 点睛。 本题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

变式1#

若 $x-y =5$ ， $x y = - 4$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为（）A. 21 B. 29 C. 17 D. 33

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根据 $\left( x - y \right)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ 变形，然后将已知代入即可求.

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解： $\because \left( x - y \right)^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ $\therefore x^{2} + y^{2} = \left( x - y \right)^{2} + 2 x y = 5^{2} + 2 \times ( - 4 ) = 17$ 故选C.

点睛。 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握公式并进行恰当变形是解题的关键.

变式2#

已知 $\left( x + y \right)^{2} = 16$ ，且 $( x - y )^{2} = 100$ ，则 $2xy =$ _

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-42

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两个等式相减，平方项抵消，得到 $4xy=16-100$ ，再除以 2 求 $2xy$ 。

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$\because ( x + y )^{2} = 16 , \left( x - y \right)^{2} = 100 , \therefore x^{2} + 2 x y + y^{2} = 16 , (1) x^{2} - 2 x y + y^{2} = 100$ ，②因为由 $(1) - (2)$ 得 $4 x y = - 84 , \therefore 2 x y = - 42$

变式3#

已知 $x^{2} + y^{2} = 25$ ， $x-y=1$ ，求 $x+y$ 的值.

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$\pm7$

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可求 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = 1$ 从而可求 $2 x y = 24$ ，可得 $\left( x + y \right)^{2} = 49$ ，即可求解.

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解： $\because x - y = 1$ $\therefore \left( x - y \right)^{2} = 1$ 即 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = 1$ 又 $\because x^{2} + y^{2} = 25$ 因此 $2xy = 24$ , $\therefore x^{2} + 2 x y + y^{2} = 25 + 24 = 49$ 即 $\left( x + y \right)^{2} = 49$ $\therefore x + y = \pm 7$

点睛。 本题考查了完全平方公式 $\left( a \pm b \right)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的变式计算，掌握完全平方公式是解题的关键.

变式4#

已知 $( a + b )^{2} = 7$ $\left( a - b \right)^{2} = 3$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 与 ab的值分别是（）

A. 4、1 B. 2、 $\frac {3} {2}$ C. 5、1 D. 10、 $\frac {3} {2}$

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两式相减即可求出ab的值，把ab的值代入 $( a + b )^{2} = 7$ 中即可求出 $a^{2} + b^{2}$ 的值.

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$1 \ \because ( a + b )^{2} = 7 \ , ( a - b )^{2} = 3$ $\therefore ( a + b )^{2} - ( a - b )^{2} = 7 - 3$ 解得： $a b = 1$ 把 $ab=1$ 代入 $( a + b )^{2} = 7$ 中得 $a^{2} + b^{2} = 5$ ，故选C.

变式5#

对于等式 $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ，甲、乙、丙三人有不同看法，则下列说法正确的是（）甲：无论a和b取何值，等式均不能成立. 乙：只有当 $a=0$ 时，等式才能成立. 丙：当 $a=0$ 或 $b=0$ 时，等式成立.A. 只有甲正确 B. 只有乙正确 C. 只有丙正确 D. 三人说法均不正确

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根据完全平方公式 $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ 要使 $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + b^{2}$ 成立则 $a^{2} + b^{2} + 2 a b = a^{2} + b^{2}$ ，则 $a b = 0$ ，由此求解即可.

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解： $\because \left( a + b \right)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ 因此要使得 $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + b^{2}$ 即 $a^{2} + b^{2} + 2 a b = a^{2} + b^{2}$ $\therefore a b = 0$ $\therefore a = 0$ 或 $b=0$ ，故丙说法正确，故选C. 点睛。 本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式.

题型 17 完全平方公式的代数应用-最值问题#

典例1#

不论x、y为什么实数，代数式 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 7$ 的值（）A. 可为任何实数 B. 不小于7C. 不小于2 D. 可能为负数

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本题考查了完全平方公式及非负数的性质，解题的关键是把代数式化成两个完全平方和的形式．把代数式 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 7$ 利用配方法化成两个完全平方和的形式，再进行求解即可

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解： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 7$

$= x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 4 y + 4 + 2$ $= \left( x + 1 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} + 2 ,$ $\because \left( x + 1 \right)^{2} \geq 0 , \left( y - 2 \right)^{2} \geq 0 ,$ $\therefore ( x + 1 )^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} + 2 \geq 2 ,$ 因此代数式 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 7$ 的值不小于2，故选：C.

变式1#

实数a，b，c满足 $a - 2 b + c = 0$ ，则 $b^{2} - a c \_0 .$ (填“>”、“<”、“≥”、“≤”、“=”)

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≥

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本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键

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解：因为 $a-2b+c=0$ ，所以 $2b=a+c$ 。

$b^2=\frac14(a+c)^2=\frac14(a^2+2ac+c^2),$

$b^2-ac=\frac14(a^2+2ac+c^2)-ac=\frac14(a^2-2ac+c^2)=\frac14(a-c)^2\ge0.$

故答案为 $\ge$ 。

变式2#

已知实数 a，b满足 $a^{2} + a b + b^{2} = 1$ ，若 $p = a b + 2 a + 2 b$ ，则p的最小值为

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-2

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本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为 $a b = \left( a + b \right)^{2} - 1$ ，再将 $p = a b + 2 a + 2 b$ 配方为 $\scriptstyle p = \left( a + b + 1 \right)^{2} - 2$ ，利用平方式的非负性求解即可

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解：

$\because a^{2} + a b + b^{2} = 1$

$\therefore ( a + b )^{2} - a b = 1$

$a b = \left( a + b \right)^{2} - 1$

$\therefore p = a b + 2 a + 2 b$

$= ( a + b )^{2} - 1 + 2 ( a + b )$

$= \left( a + b + 1 \right)^{2} - 2 \geq - 2 ,$

当 $a+b+1=0$ 时， $p$ 取最小值 $-2$ 。例如 $a=0,b=-1$ 满足条件。

故答案为：-2.

变式3#

不论a、b为任意有理数，整式 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 2 b + 7$ 的值总是不小于

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本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；先利用完全平方公式得到

$( a - 2 )^{2} + ( b + 1 )^{2} + 2$ 然后根据非负数的性质进行判断.

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解： $a^{2} + b^{2} - 4 a + 2 b + 7$ $= a^{2} - 4 a + 4 + b^{2} + 2 b + 1 + 2$ $= ( a - 2 )^{2} + \left( b + 1 \right)^{2} + 2$ $\because \left( a - 2 \right)^{2} \geq 0 , \left( b + 1 \right)^{2} \geq 0$ $\therefore ( a - 2 )^{2} + ( b + 1 )^{2} + 2 \geq 2$ 因此不论a、b为任意有理数，整式 $a^{2} + b^{2} - 4 a + 2 b + 7$ 的值总是不小于2.故答案为：2.

题型 18 完全平方公式的几何应用#

典例1#

如图，正方形ABCD、正方形CEFG的边长分别为a和 b，若 $a+b=10$ ， $ab=8$ ，则阴影部分的面积是（）

A. 38 B. 40 C. 42 D. 44

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先由完全平方公式得 $a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab=76$ ；再用 $S_{\text{阴}}=S_{ABCD}+S_{CEFG}-S_{\triangle ADB}-S_{\triangle BGF}=\frac12(a^2+b^2-ab)$ 求面积。

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解： $\because a + b = 10 , a b = 8$ $\therefore a^{2} + b^{2} - a b$ $= a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a b$ $= ( a + b )^{2} - 3 a b$ $= 100 - 3 {\times} 8$ = 76 , $S_{\text{阴}}=S_{ABCD}+S_{CEFG}-S_{\triangle ADB}-S_{\triangle BGF}$ $= {\frac {1} {2}} a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} b {\bigl (} a + b {\bigr )}$ $= {\frac {1} {2}} a^{2} + b^{2} - {\frac {1} {2}} a b - {\frac {1} {2}} b^{2}$ $= {\frac {1} {2}} a^{2} + {\frac {1} {2}} b^{2} - {\frac {1} {2}} a b$ $= {\frac {1} {2}} {\Big (} a^{2} + b^{2} - a b {\Big )}$ $= \frac {1} {2} \times 76$ $= 38$

变式1#

有两个正方形A，B，若将B放在A的内部，则得到图1，若将A，B并列放置后构成新的正方形，则得到图2.当图1阴影面积为5，正方形A，B的面积之和为17，则图2阴影面积是（）

A. 6 B. 7 C. 10 D. 12

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本题考查了完全平方公式的几何背景，设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是 $a^{2} + b^{2}$ ．根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为 $(a-b)$ ，图②中新正方形的边长为 $(a+b)$ ，根据完全平方公式求出2ab即可求解，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键.

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解：设正方形 $A,B$ 的边长分别为 $a,b$ 。由题意 $(a-b)^2=5$ ， $a^2+b^2=17$ 。所以 $a^2+b^2-2ab=5$ ，从而 $2ab=17-5=12$ 。图②阴影面积 $=(a+b)^2-a^2-b^2=2ab=12$ ，故选 D。

变式2#

图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的方法拼成一个边长为 $m+n$ 的正方形.

(1)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.

方法1： _ ;

方法2：_.

(2)观察图2写 $\left( m + n \right)^{2} , \left( m - n \right)^{2}$ ，mn三个代数式之间的等量关系：_.

(3)根据（2）中你发现的等量关系，解决如下问题：若 $a + 2 b = 8$ $\mathbf {a b} = {\frac {7} {2}}$ ，求 $\left( a - 2 b \right)^{2}$ 的值.

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$( 1 ) \left( m - n \right)^{2} , ~ \left( m + n \right)^{2} - 4 m n$

(2) $\left( m - n \right)^{2} = \left( m + n \right)^{2} - 4 m n$

(3)36

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（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积

(2) $\left( m + n \right)^{2} , \left( m - n \right)^{2}$ ，mn三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系；

（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果.

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（1）根据图形可得：

方法1： $\left( m - n \right)^{2}$ 方法2： $\left( m + n \right)^{2} - 4 m n$

故答案为： $\left( m - n \right)^{2} , \left( m + n \right)^{2} - 4 m n$

（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，

可得： $\left( m - n \right)^{2} = \left( m + n \right)^{2} - 4 m n$

故答案为： $\left( m - n \right)^{2} = \left( m + n \right)^{2} - 4 m n$

(3) $\because a+2b=8,ab=\frac {7} {2}$

$\therefore ( a - 2 b )^{2} = \left( a + 2 b \right)^{2} - 8 a b$

$= 8^{2} - 8 \times \frac {7} {2}$

$= 36$

点睛。 本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到.

变式3#

如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形 $( a {>} b )$

(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式；

图2

(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为 $(2a+b)$ 大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张.

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(1) $( a + b ) ^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

(2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张.

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（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式 $( a + b )^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

(2) 由计算 $( 2 a + b )^{2}$ 的结果可得此题结果.

查看详细解析

（1）解：因为图2中正方形的面积可表示为： $( a + b )^{2}$ 和 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$

因此可得公式 $( a + b ) ^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

故答案为： $( a + b )^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} :$

（2）解：由计算 $( 2 a + b )^{2} = 4 a^{2} + 4 a b + b^{2}$ 可得，

需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张.

点睛。 本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形.

三、强化训练#

一、单选题#

第 1 题#

在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A. $( m - n ) ( - m + n )$ B. ${\left( x^{3} - y^{3} \right)} {\left( x^{3} + y^{3} \right)}$ C. $( - a - b ) ( a - b )$ D. $\displaystyle {\bigl ( c^{2} - d^{2} \bigr ) \bigl ( d^{2} + c^{2} \bigr )}$

查看答案

A。

查看分析思路

平方差公式为 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ ，抓住两个因式中，一项是两数和，另一项是两数差，字母可以表示数也可以表示式，对选项进行——分析看是否符合公式特征即可.

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解：因为平方差公式为 $( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$ 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项两数差， A. $( m - n ) ( - m + n ) = - ( m - n ) ( m - n ) = - {\bigl (} m - n {\bigr )}^{2}$ 不能用平方差公式计算，故选项A符合题意； B. ${\left( x^{3} - y^{3} \right)} {\left( x^{3} + y^{3} \right)}$ 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差， $\scriptstyle \left( x^{3} - y^{3} \right) \left( x^{3} + y^{3} \right) = x^{6} - y^{6}$ 能用平方差公式计算，故选项B不符合题意； C. $(-a-b)(a-b)$ 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，， $( - a - b ) ( a - b ) = [ \ - b \ + a ] [ \ - b \ - a ] = b^{2} - a^{2}$ 能用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D. $\displaystyle {\bigl ( c^{2} - d^{2} \bigr ) \bigl ( d^{2} + c^{2} \bigr )}$ 两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位， $( c^{2} - d^{2} ) \bigl ( c^{2} + d^{2} \bigr )$ 一项是两数和，另一项是两数差，可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意. 故选择A.

点睛。 本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键

第 2 题#

下列计算正确的是（）A. $\left( a + b \right)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ B. $( b - a ) ( a + b ) = a^{2} - b^{2}$ C. $( a - 3 ) ( b + 2 ) = a b - 6$ D. $\left( a - b \right)^{2} = a^{2} - b^{2}$

查看答案

A。

查看分析思路

本题考查整式乘法公式的应用，涉及完全平方和公式、平方差公式、完全平方差公式等知识，逐验证各选项的正确性即可得到答案，熟记整式乘法公式是解决问题的关键

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解：A选项： $\left( a + b \right)^{2}$ 应用完全平方公式展开，结果为 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，与选项一致，正确；B选项： ${\big (} b - a {\big )} {\big (} a + b {\big )}$ 可整理为- $\cdot ( a - b ) ( a + b )$ ，利用平方差公式得 $- \left( a^{2} - b^{2} \right) = b^{2} - a^{2}$ ，但选项结果为 $a^{2} - b^{2}$ 符号错误，错误；C选项：展开 $(a-3)(b+2)$ ，结果为 $a b + 2 a - 3 b - 6$ ，选项缺少 $2 a - 3 b$ 项，错误；D选项： $\left( a - b \right)^{2}$ 应展开为 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，但选项结果为 $a^{2} - b^{2}$ ，错误；故选：A.

第 3 题#

计算 $2021^{2} - 2022 \times 2020$ 的结果是( )A. 2 B. -2 C. -1 D. 1

查看答案

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根据平方差公式计算可得选项

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解： $2021^{2} - 2022 \times 2020$ $= 2021^{2} - ( 2021 + 1 ) ( 2021 - 1 )$ $= 2021^{2} - ( 2021^{2} - 1 )$ $= 2021^{2} - 2021^{2} + 1$ =1. 故选：D.

第 4 题#

给出下列式子： ① $\left( 3 a + 4 \right) \left( 3 a - 4 \right) = 9 a^{2} - 4 \ ;$ ② $\left( a - 2 b \right)^{2} = a^{2} - 4 b^{2}$ ③ $\bigl ( 3 x - y \bigr ) \bigl ( x + y \bigr ) = 3 x^{2} - 2 x y + y^{2}$ ④ $\left( - 3 a + 2 \right) \left( - 3 a - 2 \right) = 9 a^{2} - 4$ 其中正确的是（）A. ④ B. ③ C. ② D. ①

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A。

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本题主要考查平方差公式和完全平方公式，应用平方差公式和完全平方公式逐一验证各等式是否成立，进行判断即可.

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解：①左边展开： $\left( 3 a + 4 \right) \left( 3 a - 4 \right) = \left( 3 a \right)^{2} - 4^{2} = 9 a^{2} - 16$ ，但右边为 $9 a^{2} - 4$ ，错误.左边展开： $( a - 2 b )^{2} = a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$ ，但右边为 $a^{2} - 4 b^{2}$ ，错误.3 左边展开： $\big ( 3 x - y \big ) \big ( x + y \big ) = 3 x^{2} + 3 x y - x y - y^{2} = 3 x^{2} + 2 x y - y^{2}$ ，但右边为 $3 x^{2} - 2 x y + y^{2}$ ，符号和项均不符，错误.）左边展开： $\left( - 3 a + 2 \right) \left( - 3 a - 2 \right) = \left( - 3 a \right)^{2} - 2^{2} = 9 a^{2} - 4$ ，与右边完全一致，正确. 综上，只有④正确，故选：A.

第 5 题#

若 $4 y^{2} - \left( m + 2 \right) y + 16$ 可以配成一个完全平方公式，则m的值为（）A. -18 B. ±18 C. 14 D. 14 或-18

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D。

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本题主要考查完全平方公式；将整式配成完全平方公式，得出 $b=4$ 或 $b=-4$ ，分别计算求解即可

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解：原式为 $4 y^{2} - \left( m + 2 \right) y + 16$ ，需配成完全平方形式 $\left( a y \pm b \right)^{2}$ 首项 $4 y^{2} = \left( 2 y \right)^{2}$ ，故 $a = 2$ 常数项 $16 = 4^{2}$ ，故 $b=4$ 或 $b=-4$ .当为 $\left( 2 y + 4 \right)^{2}$ 时，展开得 $4 y^{2} + 16 y + 16$ ，中间项系数为16.由题知中间项系数为 $- ( m + 2 )$ $-(m+2)=16$ ，解得 $m = - 18$

当为 $\left( 2 y - 4 \right)^{2}$ 时，展开得 $4 y^{2} - 16 y + 16$ ，中间项系数为-16.此时 $- {\big (} m + 2 {\big )} = - 16$ ，解得 $m = 14$ 因此 m的值为14或-18，故选：D.

第 6 题#

已知 $a+b+3=0$ ，且 $a-b-4=0$ ，则 $a^2-b^2=$ （）。 A. 12 B. -12 C. 24 D. $\pm12$

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根据平方差公式，即可求解.

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解： $\because a + b + 3 = 0 , a - b - 4 = 0$ $\therefore a + b = - 3 , a - b = 4 ,$ $\therefore a^{2} - b^{2} = ( a + b ) ( a - b ) = - 3 \times 4 = - 12 .$ 故选B. 点睛。 本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键

第 7 题#

一个边长为a的大正方形与一个直角边长为b的等腰直角三角形按如图所示放置，如果 $a - b = 2 , a b = 26$ ，那么图中阴影部分的总面积是（）

A. 15 B. 17 C. 20 D. 22

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题目主要考查利用完全平方公式求面积，熟练掌握完全平方公式的变形是解题关键根据题意得出阴影部分的面积，然后利用完全平方公式求解即可

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解：根据题意得，阴影部分的面积为： ${\frac {1} {2}} \times a \left( a - b \right) + {\frac {1} {2}} b^{2} = {\frac {1} {2}} {\Big (} a^{2} - 2 a b + b^{2} {\Big )} + {\frac {1} {2}} a b = {\frac {1} {2}} {\Big (} a - b {\Big )}^{2} + {\frac {1} {2}} a b$ $\because a - b = 2 , a b = 26 ,$ 因此原式 $= \frac {1} {2} \times 4 + \frac {1} {2} \times 26 = 15$ 故选：A

第 8 题#

已知 $\left( x - 2023 \right)^{2} + \left( x - 2027 \right)^{2} = 38$ ，则 $\left( x - 2025 \right)^{2}$ 的值是（）A. 11 B. 13 C. 15 D. 19

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本题考查求代数式的值，通过变量代换简化方程，利用平方展开和合并同类项求解．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键

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解：设 $y = x - 2025$

$\therefore x - 2023 = x - 2025 + 2 = y + 2 , x - 2027 = x - 2025 - 2 = y - 2 ,$

$\therefore 38 = \left( x - 2023 \right)^{2} + \left( x - 2027 \right)^{2} = \left( y + 2 \right)^{2} + \left( y - 2 \right)^{2} ,$

$\therefore ( y^{2} + 4 y + 4 ) + ( y^{2} - 4 y + 4 ) = 38 ,$

$\therefore 2 y^{2} + 8 = 38$

解得： $y^{2} = 15$

$\therefore {\big (} x - 2025 {\big )}^{2} = y^{2} = 15 .$

故选：C.

二、填空题#

第 9 题#

填空

(1) ${\bigg (} - 3 + {\frac {a} {2}} {\bigg )} {\bigg (} 3 + {\frac {a} {2}} {\bigg )} =$ _;(2) $( - 3 x - 5 y ) ( - 3 x + 5 y ) =$

查看答案

${\frac {a^{2}} {4}} - 9 \qquad 9 x^{2} - 25 y^{2}$

查看分析思路

直接根据平方差公式进行计算即可.

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解：(1) $(-3+\frac a2)(3+\frac a2)=\frac{a^2}{4}-9$ 。

(2) $( - 3 x - 5 y ) ( - 3 x + 5 y ) = 9 x^{2} - 25 y^{2}$ 故答案为： ${\frac {a^{2}} {4}} - 9 ; 9 x^{2} - 25 y^{2}$

点睛。 本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键

第 10 题#

$(1)(x-2y)(2y + x) ==$

(2) ${\big (} 2 x + 1 {\big )} {\big (} 2 x - 1 {\big )} {\big (} 4 x^{2} + 1 {\big )} = \qquad \quad ;$

查看答案

(1) $x^2-4y^2$ ；(2) $16x^4-1$ 。

查看分析思路

（1）根据平方差公式直接计算即可：

（2）两次运用平方差公式计算即可.

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解：（1） $\big ( x - 2 y \big ) \big ( 2 y + x \big ) = x^{2} - \big ( 2 y \big )^{2} = x^{2} - 4 y^{2}$

(2) $\bigl ( 2 x + 1 \bigr ) \bigl ( 2 x - 1 \bigr ) \bigl ( 4 x^{2} + 1 \bigr ) = \bigl ( 4 x^{2} - 1 \bigr ) \bigl ( 4 x^{2} + 1 \bigr ) = 16 x^{4} - 1$

故答案为 $x^{2} - \left( 2 y \right)^{2} , x^{2} - 4 y^{2} , 16 x^{4} - 1$

点睛。 本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键

第 11 题#

若 $( x + 1 ) ( x - 1 ) = 3$ ，则 $x^{2} = \_$

查看答案

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本题主要考查了平方差公式.熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．平方差公式：

$( a + b ) ( a - b ) = a^{2} - b^{2}$

运用平方差公式展开，移顶合并即可.

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$\because ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 3$

$\therefore x^{2} - 1 = 3$

$\therefore x^{2} = 4 .$

故答案为：4.

第 12 题#

若 $\left( x + y \right)^{2} = 6 ~ , ~ x y = 2$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$

查看答案

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由 $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=6$ ，将 $xy=2$ 代入即可形式上求得 $x^2+y^2=2$ 。若限定 $x,y$ 为实数，则 $(x-y)^2=6-8=-2$ ，原条件无实数解；本题保留原题与原形式计算，并注明条件矛盾。

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解： $\because \left( x + y \right)^{2} = 6$

$\therefore x^{2} + 2 x y + y^{2} = 6$

$\because x y = 2 ,$

$\therefore x^{2} + y^{2} = 2 ,$

故答案为：2.

第 13 题#

若 $( a + b + c ) ( a - b + c ) = ( A - B ) ( A + B )$ ，则A=. ,B =

查看答案

$a+c$ ; b

查看分析思路

利用单平方差公式把原式变形，注意 $a+c$ 看成是一个整体.

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解： $( a + b + c ) ( a - b + c ) = [ ( a + c ) + b ] [ ( a + c ) - b ] = ( A - B ) ( A + B )$

$\therefore A = a + c ; B = b .$

故填： $a + c ; ~ b$

点睛。 此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单

第 14 题#

已知 $a^{2} + a b + b^{2} = 7 , a^{2} - a b + b^{2} = 5$ ，则 $\left( a + b \right)^{2}$ 二

查看答案

查看分析思路

本题考查了代数式求值，完全平方公式，掌握 $\left( a \pm b \right)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 是解题关键．将已知等作差，得到 $a b = 1$ ，再结合完全平方公式计算求值即可

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解： $\therefore a^{2} + a b + b^{2} = 7 , a^{2} - a b + b^{2} = 5$

$\therefore a^{2} + a b + b^{2} - \left( a^{2} - a b + b^{2} \right) = 7 - 5 ,$ $\therefore 2 a b = 2$ $\therefore a b = 1 ,$ $\therefore ( a + b )^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} = a^{2} + a b + b^{2} + a b = 7 + 1 = 8 ,$ 故答案为：8.

第 15 题#

若a，b满足 $2 a^{2} + b^{2} + 2 a b - 4 a + 4 = 0$ ，则 $a+3b$ 的值为

查看答案

-4

查看分析思路

已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出a，b的值，代入原式计算即可得到结果.

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解：已知等式变形得： $\left( a^{2} + 2 a b + b^{2} \right) + \left( a^{2} - 4 a + 4 \right) = 0$

即 $\left( a + b \right)^{2} + \left( a - 2 \right)^{2} = 0$

$\because \left( a + b \right)^{2} \geq 0 , \left( a - 2 \right)^{2} \geq 0 ,$

$\therefore a + b = 0 , a - 2 = 0 ,$

解得： $a = 2 ~ , ~ b = - 2$

则 $a + 3 b = 2 - 6 = - 4$

故答案为：-4.

点睛。 此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键

第 16 题#

如图，有正方形卡片A类9张，B类4张和C类5张，如果要拼一个边长为 $(3a+2b)$ 的大正方形，则还需要C类卡片__张.

查看答案

查看分析思路

此题考查了完全平方公式的应用，关键是熟练掌握图形的面积与公式的关系.

利用完全平方公式，结合图形，即可得到答案.

查看详细解析

解：边长为 $(3a+2b)$ 的正方形面积为 $\left( 3 a + 2 b \right)^{2} = 9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2}$

A 图形面积为 $a^{2}$ ，B图形面积为 $b^{2}$ ，C图形面积为ab，

因此有正方形卡片A类9张，B类4张和C类5张，如果要拼一个大正方形，则还需要C类卡片 $12 - 5 = 7$ 张，故答案为：7.

三、解答题#

第 17 题#

计算：

(1) ${\bigg (} 3 a^{n} + {\frac {b} {2}} {\bigg )} {\bigg (} 3 a^{n} - {\frac {b} {2}} {\bigg )}$

(2) $\left( {\frac {2 m} {3}} + {\frac {3 n} {4}} \right) \left( - {\frac {3 n} {4}} + {\frac {2 m} {3}} \right)$

(3) $\left( {\frac {x} {4}} - {\frac {y} {2}} \right) \left( - {\frac {x} {4}} - {\frac {y} {2}} \right)$

(4) $\frac {2 x - 3 y} {2} \cdot \frac {3 y + 2 x} {3}$

(5) $\left( - m^{2} n + 2 \right) \left( - m^{2} n - 2 \right)$

(6) $( x + 1 ) \bigl ( x^{2} + 1 \bigr ) ( x - 1 ) \bigl ( x^{4} + 1 \bigr )$

查看答案

（1） $9 a^{2 n} - {\frac {1} {4}} b^{2} ; ~ ( 2 ) ~ {\frac {4} {9}} m^{2} - {\frac {9} {16}} n^{2} ; ~ ( 3 ) ~ {\frac {1} {4}} y^{2} - {\frac {1} {16}} x^{2} ; ~ ( 4 ) ~ {\frac {2} {3}} x^{2} - {\frac {3} {2}} y^{2} ; ~ ( 5 ) ~ m^{4} n^{2} - 4 ; ~ ( 6 ) ~ x^{8} - 1$

查看分析思路

（1）根据平方差公式计算即可；

（2）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可；

（3）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可：

（4）先利用平方差公式计算分子，再利用除法化简系数即可：

（5）利用平方差公式计算即可：

（6）连续使用平方差公式计算即可.

查看详细解析

解：（1） ${\Bigg (} 3 a^{n} + {\frac {b} {2}} {\Bigg )} {\Bigg (} 3 a^{n} - {\frac {b} {2}} {\Bigg )} = {\Big (} 3 a^{n} {\Big )}^{2} - {\Bigg (} {\frac {b} {2}} {\Bigg )}^{2} = 9 a^{2 n} - {\frac {1} {4}} b^{2} ;$

$\left( {\frac {2 m} {3}} + {\frac {3 n} {4}} \right) \left( - {\frac {3 n} {4}} + {\frac {2 m} {3}} \right) = \left( {\frac {2 m} {3}} + {\frac {3 n} {4}} \right) \left( {\frac {2 m} {3}} - {\frac {3 n} {4}} \right) = \left( {\frac {2 m} {3}} \right)^{2} - \left( {\frac {3 n} {4}} \right)^{2} =\frac49m^2-\frac9{16}n^2.$

(3) $\left( {\frac {x} {4}} - {\frac {y} {2}} \right) \left( - {\frac {x} {4}} - {\frac {y} {2}} \right) = - \left( {\frac {x} {4}} + {\frac {y} {2}} \right) \left( {\frac {x} {4}} - {\frac {y} {2}} \right) = - \left( {\frac {x} {4}} \right)^{2} + \left( {\frac {y} {2}} \right)^{2} = - {\frac {1} {16}} x^{2} + {\frac {1} {4}} y^{2} = {\frac {1} {4}} y^{2} - {\frac {1} {16}} x^{2} ,$

(4) $\frac {2 x - 3 y} {2} \cdot \frac {3 y + 2 x} {3} = \frac {\left( 2 x - 3 y \right) \left( 2 x + 3 y \right)} {6} = \frac {4 x^{2} - 9 y^{2}} {6} = \frac {2} {3} x^{2} - \frac {3} {2} y^{2} ;$

(5) $\left( - m^{2} n + 2 \right) \left( - m^{2} n - 2 \right) = \left( - m^{2} n \right)^{2} - 4 = m^{4} n^{2} - 4$ (6) $( x + 1 ) \bigl ( x^{2} + 1 \bigr ) ( x - 1 ) \bigl ( x^{4} + 1 \bigr )$

$= ( x + 1 ) ( x - 1 ) \left( x^{2} + 1 \right) \left( x^{4} + 1 \right)$

$= ( x^{2} - 1 ) \left( x^{2} + 1 \right) \left( x^{4} + 1 \right)$

$= ( x^{4} - 1 ) \left( x^{4} + 1 \right)$

$= x^{8} - 1$

点睛。 本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征，使用时注意系数与次数的变化是解题关键。

第 18 题#

运用乘法公式计算：

(1) $\left( a + {\frac {1} {2}} \right)^{2}$

(2) $\left( 7 y - 2 x \right)^{2}$

(3) $\left( - 1 + {\frac {1} {2}} x y \right)^{2}$

(4) $\left( 2 a - b \right)^{2} - b^{2}$

(5) $\left( - 3 a - 1 \right)^{2}$

查看答案

$( 1 ) a^{2} + a + {\frac {1} {4}}$

(2) $49 y^{2} - 28 x y + 4 x^{2}$

(3) $1 - x y + {\frac {1} {4}} x^{2} y^{2}$

(4) $4 a^{2} - 4 a b$

(5) $9 a^{2} + 6 a + 1$

查看分析思路

本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征解答本题的关键

（1）原式运用完全平方公式进行计算即可：

（2）原式运用完全平方公式进行计算即可：

（3）原式运用完全平方公式进行计算即可：

（4）原式运用完全平方公式将括号展开，再合并即可；

（5）原式运用完全平方公式进行计算即可：

查看详细解析

（1）解： $\left( a + {\frac {1} {2}} \right)^{2}$

$= a^{2} + 2 \times \frac {1} {2} \times a + \left( \frac {1} {2} \right)^{2}$

${} = a^{2} + a + {\frac {1} {4}} ;$

（2）解： $\left( 7 y - 2 x \right)^{2}$

$= \left( 7 y \right)^{2} - 2 \times 7 y \times 2 x + \left( 2 x \right)^{2}$

$= 49 y^{2} - 28 x y + 4 x^{2} ;$

（3）解： $\left( - 1 + {\frac {1} {2}} x y \right)^{2}$

$= ( - 1 )^{2} + 2 \times ( - 1 ) \times \frac {1} {2} x y + ( \frac {1} {2} x y )^{2}$

$= 1 - x y + {\frac {1} {4}} x^{2} y^{2}$

（4）解： $\left( 2 a - b \right)^{2} - b^{2}$

$= 4 a^{2} - 4 a b + b^{2} - b^{2}$

$= 4 a^{2} - 4 a b$

（5）解： $\left( - 3 a - 1 \right)^{2}$

$= \left( - 3 \mathbf {a} \right)^{2} - 2 \times \left( - 3 a \right) + 1^{2}$

$= 9 a^{2} + 6 a + 1$

第 19 题#

先化简，再求值： $( 2 b + a ) ( a - 2 b ) - ( a - 3 b )^{2} - 13 b ( a - b )$ ，其中 $a = {\frac {2} {7}} , b = {\frac {3} {4}}$

查看答案

$- 7 b a \ , - \frac {3} {2}$

查看分析思路

本题考查了平方差公式、完全平方公式、单项式乘整式，先根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘整式进行展开，再合并同类项，得-7ba，然后把 $a = {\frac {2} {7}} , b = {\frac {3} {4}}$ 分别代入进行计算，即可作答

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解： $( 2 b + a ) ( a - 2 b ) - ( a - 3 b )^{2} - 13 b ( a - b )$ $= a^{2} - ( 2 b )^{2} - ( a^{2} - 6 a b + 9 b^{2} ) - 13 b a + 13 b^{2}$ $= a^{2} - 4 b^{2} - a^{2} + 6 a b - 9 b^{2} - 13 b a + 13 b^{2}$ $= - 7 b a$ 当 $a = \frac {2} {7} , b = \frac {3} {4}$ 原式 $=-7\times\frac27\times\frac34$ $= - {\frac {3} {2}}$

第 20 题#

先化简，后求值： $\bigl ( - m - 2 n \bigr ) \bigl ( m - 2 n \bigr ) - \bigl ( 2 m - 3 n \bigr )^{2} + \bigl ( m - 5 n \bigr ) \bigl ( 5 m - n \bigr )$ ，其中 $m = - 1 , n = 2$

查看答案

$-14mn$ ；28。

查看分析思路

本题主要考查了完全平方公式、平方差公式、整式乘以整式以及代数求值，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键.

根据完全平方公式、平方差公式、整式乘以整式化简，然后将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题.

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解： $\bigl ( - m - 2 n \bigr ) \bigl ( m - 2 n \bigr ) - \bigl ( 2 m - 3 n \bigr )^{2} + \bigl ( m - 5 n \bigr ) \bigl ( 5 m - n \bigr )$ $= 4 n^{2} - m^{2} - \left( 4 m^{2} - 12 m n + 9 n^{2} \right) + 5 m^{2} - m n - 25 m n + 5 n^{2}$ $= 4 n^{2} - m^{2} - 4 m^{2} + 12 m n - 9 n^{2} + 5 m^{2} - m n - 25 m n + 5 n^{2}$ $= - 14 m n$ $\because m = - 1 , n = 2$ 因此原式 $\phantom {+} = - 14 m n = - 14 \times ( - 1 ) \times 2 = 28$

第 21 题#

张老师在黑板上布置了一道题，内容如下：

先化简，再求值： ${\bigl (} 2 x - y {\bigr )} {\bigl (} 2 x + y {\bigr )} + y^{2}$ ，其中x是最小的正整数

小红和小彬展开了讨论：

小红：“只知道 $x$ 值的相关信息，没有告诉 $y$ 的值，求不出答案。”

小彬：“这道题与 $y$ 的值无关，可以求出答案。”

根据上述条件，请判断谁的说法对？如果小红的说法对，请补充y的值，并求出代数式的值；如果小彬的说法对，请求出代数式的值

查看答案

小彬的说法对，理由见解析，代数式的值为4

查看分析思路

本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式去括号，然后合并同类项可知化简结果与y无关，再由x是最小的正整数，得到 $x=1$ ，据此代值计算即可

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解：小彬的说法对，理由如下：

${\bigl (} 2 x - y {\bigr )} {\bigl (} 2 x + y {\bigr )} + y^{2}$

$= 4 x^{2} - y^{2} + y^{2}$

$= 4 {x}^{2}$

因此化简的结果与y值无关，

因此小彬的说法对，

因为 $x$ 是最小的正整数，所以 $x=1$ ，

因此原式 $4 \times 1^{2} = 4$

第 22 题#

已知 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，求下列各式的值.

(1) $x - {\frac {1} {x}}$

(2) $x^{2} + {\frac {1} {x^{2}}}$

查看答案

(1)1

(2)3

查看分析思路

本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的变形求值，正确求出 $x - {\frac {1} {x}}$ 的值是解题的关键

（1）把已给条件式两边同时除以x即可得到答案；

（2）根据（1）所求结合完全平方公式得到 $x^{2} + {\frac {1} {x^{2}}} - 2 = 1$ ，据此可得答案

查看详细解析

（1）解：当 $x=0$ 时， $x^{2} - x - 1 = - 1 \neq 0$

$\because x^{2} - x - 1 = 0$

$\therefore x \neq 0 \ ,$

$\therefore x - 1 - {\frac {1} {x}} = 0 \ ,$

$\therefore x - {\frac {1} {x}} = 1 ;$ （2）解： $\because x - {\frac {1} {x}} = 1$ $\therefore \left( x - {\frac {1} {x}} \right)^{2} = 1 ,$ $\therefore x^{2} + {\frac {1} {x^{2}}} - 2 = 1 ,$ $\therefore x^{2} + {\frac {1} {x^{2}}} = 3 .$

第 23 题#

已知： $ab=2$ ， $a + b = 4$ .求：

(1) $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(2) $\left( a - b \right)^{2}$ 的值；

(3) $a^{4} + b^{4}$ 的值.

查看答案

(1)12

(2)8

(3)136

查看分析思路

本题考查了利用完全平方公式及其变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键.

（1）由 $a^{2} + b^{2} = \left( a + b \right)^{2} - 2 a b$ 即可求解；

（2）由 ${( a - b )}^{2} = {( a + b )}^{2} - 4 a b$ 即可求解；

(3) $a^{4} + b^{4} = \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} - 2 \left( a b \right)^{2}$ ，再代入 $a^{2} + b^{2}$ 和ab值即可求解

查看详细解析

（1）解：因为 $ab=2$ ， $a+b=4$ $\therefore a^{2} + b^{2}$ = $(a+b)^2-2ab=4^2-2\times 2=12$ ;(2）解： $(a-b)^2$ $= a^{2} + b^{2} - 2 a b$ $= \left( a + b \right)^{2} - 2 a b - 2 a b$ $= ( a + b )^{2} - 4 a b$ = $4^2-4\times 2=8$ ;（3）解：由（1）得 $a^{2} + b^{2} = 12$ $\therefore a^{4} + b^{4}$

${\begin{array} {r l} & {= \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} - 2 a^{2} b^{2}} \\ & {} \\ & {= \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} - 2 {\big (} a b {\big )}^{2}} \\ & {} \\ & {= 12^{2} - 2 \times 2^{2}} \\ & {} \\ & {= 136 .} \end{array}}$

第 24 题#

如图1，是一个长为4a，宽为b的长方形，将其沿图中虚线剪开，平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成如图2的正方形.

(1)观察图2，写出 $\left( a + b \right)^{2} , \left( b - a \right)^{2}$ ，ab之间的等量关系为

(2)根据（1）中的结论，回答问题：若 $x + y = 10 , x y = 16 , x > y$ ，求 $x-y$ 的值；

(3)如图3，正方形ABCD，AEFG的边长分别为x,y，若 $x^{2} + y^{2} = 20 \ , BE = 2$ ，求图中阴影部分的面积之和.

查看答案

(1) $\left( a + b \right)^{2} = 4 a b + \left( b - a \right)^{2}$

(2)6

(3)6

查看分析思路

本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到 $\left( a + b \right)^{2} , \left( a - b \right)^{2}$ $a b$ 间的等量关系式是解题的关键

（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论；

（2）利用（1）中关系式计算可得结论；

（3）由条件先求解 $x+y=6$ ，再利用三角形的面积公式表示出阴影部分的面积，然后整体代入即可.

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（1）因为大正方形的面积等于4个小长方形面积和1个小正方形面积之和

$\therefore ( a + b )^{2} = 4 a b + ( b - a )^{2}$

（2）由（1）得 $\left( x + y \right)^{2} = \left( x - y \right)^{2} + 4 x y$ $\therefore \left( x - y \right)^{2} = \left( x + y \right)^{2} - 4 x y \ .$ 因为 $x + y = 10$ , $xy = 16$ , $\therefore \left( x - y \right)^{2} = 100 - 64 = 36 .$ $\because x > y$ ，即 $x - y > 0$ 又 $\because 6^{2} = 36$ $\therefore x - y = 6 .$ （3）因为四边形ABCD，AEFG为正方形，边长分别为x,y， $B E = 2$ $\therefore D G = B E = 2 , x - y = 2$ $\therefore \left( x - y \right)^{2} = 4 ,$ $\therefore x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 .$ $\because x^{2} + y^{2} = 20 ,$ $\therefore 2 x y = \left( x^{2} + y^{2} \right) - \left( x - y \right)^{2} = 20 - 4 = 16 ,$ $\therefore x^{2} + 2 x y + y^{2} = 2 x y + {\Big (} x^{2} + y^{2} {\Big )} = 16 + 20 = 36 \ ,$ $\therefore ( x + y )^{2} = 36 .$ $\because x > 0 , y > 0 ,$ $\therefore x + y = 6 \ ,$ $S_{\text{阴}}=\frac12BE\cdot EF+\frac12CD\cdot DG=\frac12\times2\times y+\frac12\times x\times2=x+y=6$ 。

第 25 题#

我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”。这个三角形给出了 $(a+b)^n$ （ $n=1,2,3,4,\ldots$ ）展开式的系数规律（按 $a$ 的次数由大到小的顺序）：

系数	展开式
1，1	$(a+b)^1=a+b$
1，2，1	$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
1，3，3，1	$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
1，4，6，4，1	$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

……

请依据上述规律，写出 $\left( x - 3 \right)^{2021}$ 展开式中含 $x^{2020}$ 项的系数是

查看答案

$-6063$ 。

查看分析思路

本题考查了规律探索，读懂题意并根据所给的式子寻求规律是解题的关键首先确定含 $x^{2020}$ 的项是展开式中的第几项，根据杨辉三角解决问题即可.

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解： $\because \left( x - 3 \right)^{2021} = x^{2021} - 2021 x^{2020} \times 3 + \ldots ,$ 可知，展开式中第二项为 $- 2021 x^{2020} \times 3 = - 6063 x^{2020}$ $\therefore \left( x - 3 \right)^{2021}$ 展开式中含 $x^{2020}$ 项的系数是-6063，故答案为：-6063.

第 26 题#

配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.

我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2} ( a , b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为 $10 = 3^{2} + 1^{2}$ ．再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {\bigl (} x + y {\bigr )}^{2} + y^{2}$ (x，y是整数)，所以M也是“完全数”.

解决问题：

（1）请你再写一个小于10的“完全数” ；并判断40是否为“完全数”

（2）若二次三项式 $x^{2} - 4 x + 8$ （x是整数）是“完全数”，可配方成 $\left( x - m \right)^{2} + n^{2} ( m$ ，n为常数)，则mn的值为

探究问题：

（3）已知“完全数” $^{\prime} x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 5$ （x，y是整数）的值为0，则 $x+y$ 的值为

(4)已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 12 y + k \ ( x \ , y$ 是整数，k是常数)，要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值.拓展结论：已知实数x，y满足 $- x^{2} + 3 x + y - 2 = 0$ ，求 $x+y$ 的最小值是

查看答案

解决问题：（1）4；40是“完全数”（2）4或-4；探究问题： $( 3 ) 1 ; ( 4 ) 10$ ；拓展结论：1

查看分析思路

本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键

解决问题（1）根据题目信息即可求解；

（2）根据 $x^{2} - 4 x + 8 = \left( x - 2 \right)^{2} + \left( - 2 \right)^{2}$ 即可求解；

探究问题（3）根据 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 5 = {\bigl (} x - 2 {\bigr )}^{2} + {\bigl (} y + 1 {\bigr )}^{2} = 0$ 即可求解；

（4）根据 $x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 12 y + k = {\left( x + 1 \right)}^{2} + {\left( 2 y - 3 \right)}^{2} + k - 10$ ，即可求解；

拓展结论：根据题意可得 $x + y = x^{2} - 2 x + 2 = {\bigl (} x - 1 {\bigr )}^{2} + 1 \geq 1$ 即可求解；

查看详细解析

解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为 $4=2^2+0^2$ 。

40是“完全数”，理由：因为 $40 = 6^{2} + 2^{2}$

故答案为：4；40是“完全数”.

(2) $\because x^{2} - 4 x + 8 = x^{2} - 4 x + 4 + 4 = \left( x - 2 \right)^{2} + 2^{2} = \left( x - 2 \right)^{2} + \left( - 2 \right)^{2} ,$

故答案为：4或-4；

探究问题：（3） $\because x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 5 = \left( x - 2 \right)^{2} + \left( y + 1 \right)^{2} = 0$

所以 $x=2,y=-1$ ， $x+y=1$ 。

故答案为：1。

(4) $S = x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 12 y + k = {\left( x + 1 \right)}^{2} + {\left( 2 y - 3 \right)}^{2} + k - 10$

取 $k-10=0$ ，得 $k=10$ ，此时 $S=(x+1)^2+(2y-3)^2$ 为“完全数”。

拓展结论： $\because - x^{2} + 3 x + y - 2 = 0$ ，

因此 $x+y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge1$ 。

因此当 $x=1$ 时， $x+y$ 最小，最小值为1.

故答案为：1.

系列导航：11.1 同底数幂的乘法与幂的乘方 · 11.2 积的乘方与幂的综合运算 · 11.3 整式的乘法 · 11.4 乘法公式（两课时） · 11.5 整式的除法 · 第11章整式的乘除综合复习 · 第10章综合复习。