七年级数学第 10 章：整式的加减单元测试·提升卷

D

数字幂属于系数，字母指数相加才得到单项式次数。

A 的系数是 $-2^3=-8$，次数为 $2+1=3$；B 的系数是 $-\pi$，次数为 $(m+2)+(7-m)=9$；C 是二次三项式；D 的最高次项为 $-5x^7y$，次数 $7+1=8$，共三项，正确。

B

先由已知同类项求参数，再逐项比较指数。

$2m=6$、$3-n=1$，故 $m=3,n=2$。A 中 $x$ 的指数分别为 $3,2$；B 中两项都含 $x^2y^2$；C 中 $x$ 的指数分别为 $3,4$；D 中 $y$ 的指数分别为 $4,3$，所以选 B。

B（①④）。

从最内层括号开始检查符号。

① 右边展开为 $a^2-ab+3-5a$，正确。② 左边应为 $a-2b+6c-2$，错误。③ 应写成 $(a^2-ab)-(5a-3)$，错误。④ 括号前的负号使各项变号，展开式正确。因此有 2 个正确。

D

作差并判断其符号能否确定。

$M-N=1-x$。当 $x<1$ 时 $M>N$；当 $x=1$ 时相等；当 $x>1$ 时 $M<N$。题目没有限定 $x$，故无法确定。

A

用第一个等式减去第二个等式的两倍，消去 $m$。

两式作上述线性组合，得

左边化简为 $x^2-14xy-5y^2$，右边为 $-41$。

D

先由“与 $x$ 无关”确定 $y$，再利用 $B=5$。

$A-2B=(y-2)x-2y$，所以 $y=2$，从而 $A-2B=-4$。由 $B=5$，得到 $A=2B-4=6$。

也可由 $x^2+2x+2=5$ 得 $x^2+2x=3$，故 $A=2(x^2+2x)=6$。

B

缺少某次项意味着对应系数为零。

$a-3=0$、$4-b=0$，得 $a=3,b=4$，所以 $(a-b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。

C

用两种摆法分别表示总高度，相减消去大长方形的边长。

设小长方形长、宽为 $u,v$，大长方形的长为 $h$。图中有 $a+2v=u+h$、$2u+b=v+h$。相减并整理得 $3u-3v=a-b$，因此 $u-v=\frac{a-b}{3}$。

C（①③）。

系数变号次数等于相应整数的约数个数；系数始终非零。

① 前 4 次后，负系数对应的指数为 $2,3,9,10,12,14,15$，共 7 个，正确。

② 操作只改变符号，$x^n$ 项系数一直为 $n$ 或 $-n$，不可能为零；且各项指数互异，求和不会抵消，所以错误。

③ 完成全部操作后，整数 $j$ 对应的项变号次数是 $j$ 的正约数个数。只有完全平方数的约数个数为奇数，故正系数项为 $x,4x^4,9x^9,16x^{16}$。对 $a,b\in\{1,4,9,16\}$，有 $|a-3|+|a-5|\ge2$、$|b-7|+|b-9|\ge2$。取 $a=4,b=9$，乘积恰为 4，故③正确。

B（仅①）。

对应系数相加后仍严格递减；枚举整数系数检查数量。

① 两组系数均严格递减，所以相加后的五个系数也严格递减，最多有一个为零，至少四个非零。因此和不可能为单项式，①正确。

② $c=1$ 时，满足条件的 $(a,b,c,d,e)$ 为

共 8 个，②错误。

③ 其余满足条件的系数组为 $(5,3,2,-2,-3)$、$(4,3,2,-1,-3)$、$(5,4,0,-1,-3)$、$(5,3,0,-1,-2)$，以及 $(1,0,-1,-2,-3)$。最后一组的系数和为 $-5$，同样满足绝对值条件。总计 $8+2+2+1=13$ 个，③错误，故只有 1 个说法正确。

（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤。

按单项式、整式、二项式的定义分类。

③④⑨ 是单项式；① 是三项式，②⑤ 是二项式，所以①②③④⑤⑨ 是整式。⑥⑦⑧ 分母含字母，不是整式。

六；三；$\frac35$。

展开外面的负号，再计算各项次数。

原式 $=-\frac35x^2y^3z-\frac25yz+\frac35$。三项次数依次为 $2+3+1=6$、$1+1=2$、$0$，所以是六次三项式，常数项为 $\frac35$。

（1）五，五，4，$-4b^5$；（2）$5a^4b+a^3+7a^2b^2-ab^3-4b^5$；（3）$a^3+5a^4b+7a^2b^2-ab^3-4b^5$。

次数取各项总次数的最大值；排列时仅看指定字母的指数。

（1）五项总次数为 $4,4,5,5,3$，故为五次五项式；$a$ 的最大指数是 $4$，$b$ 的最大指数是 $5$，对应项为 $-4b^5$。

（2）按 $a$ 的指数 $4,3,2,1,0$ 排列，得 $5a^4b+a^3+7a^2b^2-ab^3-4b^5$。

（3）按 $b$ 的指数 $0,1,2,3,5$ 排列，得 $a^3+5a^4b+7a^2b^2-ab^3-4b^5$。

$5x^2-7x+13$。

错误结果比正确结果多加了两次同一个多项式。

方法一：由 $M+(-2x^2+5x-3)=x^2+3x+7$ 得 $M=3x^2-2x+10$，所以正确结果为 $M-(-2x^2+5x-3)=5x^2-7x+13$。

方法二：设 $N=-2x^2+5x-3$、$P=x^2+3x+7$，则 $M+N=P$，所求 $M-N=P-2N=5x^2-7x+13$。

$\frac12a^2-3a+18$。

从两个正方形的总面积中减去两块空白三角形的面积。

由图得

2

恒等式的一次项系数必须为零。

$3P-2Q=3(3ax-8x+1)-2(x-2ax-3)=(13a-26)x+9$。恒等于 $9$，故 $13a-26=0$，得 $a=2$。

$-27$。

比较二次项系数确定项数，再比较一次项和常数项。

左边共 $k-1$ 项，故 $k-1=4$，得 $k=5$。展开得 $4x^2+(2+3+4+5)(x-a)=4x^2+14x-14a$。与右边比较，得 $b=-14$、$a=-\frac{10}{7}$，所以 $\frac12b-ab=-7-20=-27$。

（1）24；（2）$a=5b$。

用 $AD$ 表示两块空白矩形的面积，再比较其系数。

（1）$AB=a+3b=14$，$S_1=3b(AD-a)=6\times12=72$，$S_2=a(AD-4b)=8\times12=96$，故差为 $24$。

（2）设 $AD=t$，则 $3S_2-5S_1=3a(t-4b)-15b(t-a)=(3a-15b)t+3ab$。与 $t$ 无关，故 $3a-15b=0$，即 $a=5b$。

（1）$2xy-6y^2$；（2）$a+2b$；（3）$2a^2+8a$；（4）$-4a^2+8ab+4a$。

先去括号，再合并同类项；两层括号从内到外处理。

（1）原式 $=(-3+5)xy+(-2-4)y^2=2xy-6y^2$。

（2）原式 $=2a-5a+3b+4a-b=a+2b$。

（3）原式 $=10a^2-4a+12a-8a^2=2a^2+8a$。

（4）原式 $=-3a^2+4ab-a^2+4a+4ab=-4a^2+8ab+4a$。

（1）$A=4x^2-6x+12$；（2）22。

漏括号后的实际计算式为 $A-x^2+2x-5$。

（1）$A-x^2+2x-5=3x^2-4x+7$，所以 $A=3x^2-4x+7+x^2-2x+5=4x^2-6x+12$。

（2）最大的负整数为 $-1$，代入得 $A=4+6+12=22$。

（1）$b=\frac83$；（2）$k=-2$；（3）$B\ge A$，当且仅当 $n=0$ 时相等。

由已知值提取关系 $2a-3b=-4$，进行整体代入。

由 $10=-2a+3b+6$ 得 $2a-3b=-4$。

（1）代入 $a=2$ 得 $4-3b=-4$，所以 $b=\frac83$。

（2）$12b-20a+k=-16a+6b+6$，故 $k=4a-6b+6=2(2a-3b)+6=-2$。

（3）$x=1$ 时，$A=2a-3b+6=2$，$B=-\frac12(2a-3b)+n^2=2+n^2$，所以 $B\ge A$，相等条件为 $n=0$。

（1）$k=1$；（2）2021。

三次项系数为零，而二次项系数不能为零；方括号表示向下取整。

（1）$|k|-1=0$ 且 $k+1\ne0$，故 $k=1$。

（2）$2m^2+4m-3=2$，所以 $m^2+2m=\frac52$。因而 $2024k^2-m^2-2m=2024-\frac52=2021.5$，向下取整得 $2021$。

（1）4；$2y$。（2）11。（3）原题条件矛盾，不存在齐次四项式。（4）$a=1,-1,3$；具体排列见详细解析。

判断项数前先合并同类项；除系数为零外，还可能通过合并使项数减少。

（1）代入得 $3x^2y^2+2y-\frac12xy^3$，次数为 4，一次项为 $2y$。

（2）值为 $3\times2^2\times(-1)^2+2\times(-1)-\frac12\times2\times(-1)^3=11$。

（3）原题条件矛盾。 如果是齐次四项式，因为固定项 $3x^2y^2$ 为四次，各项均须为四次，故 $|a|+3=4$、$b+2=4$，给出 $a=\pm1,b=2$。$a=1$ 时末项为零，只剩三项；$a=-1$ 时末项 $-2xy^3$ 与第三项合并，也只剩三项。因此不存在满足“齐次四项式”的参数。

若取 $a=-1,b=2$，则 $2a+b=0$，但此时多项式实际为 $3x^2y^2+4y^4-\frac52xy^3$，是齐次三项式，不能作为原题的答案。

（4）合并同类项后恰有三项且最高次数为 6，有三种情况：

• $a=1$ 时，末项系数为零。取 $b=4$，按 $x$ 升幂排列为 $2y^6-\frac12xy^3+3x^2y^2$。
• $a=-1$ 时，末项为 $-2xy^3$，与 $-\frac12xy^3$ 合并。取 $b=4$，排列为 $4y^6-\frac52xy^3+3x^2y^2$。
• $a=3$ 时，第二项系数为零，末项为六次项，排列为 $-\frac12xy^3+3x^2y^2+2x^3y^3$。

其余 $a$ 既不会使这两项系数为零，也不能让末项与已有项合并成符合要求的六次三项式，因此 $a=1,-1,3$。

（1）$-7(x-y)^2$；（2）23；（3）① 2；② $-44$。

合并整体的系数，用已知等式代换整体。

（1）系数和为 $-4+2-5=-7$，结果为 $-7(x-y)^2$。

（2）$8xy-4x^2+3=-4(x^2-2xy)+3=-4\times(-5)+3=23$。

（3）① 两个等式相加得 $3(x+y)=6$，所以 $x+y=2$。②原式 $=2(3x-2^2)-3(4^2-2y)=6(x+y)-56=-44$。

（1）0；（2）奇整式；（3）①偶整式 $x^2+1$，奇整式 $x^5-x^3+x$；②35。

成对相反的输入使奇整式值抵消，偶整式值相等。

（1）由定义 $A_2=-A_1$，故和为 $0$。

（2）设 $F(x)=(x-2)^2-(x+2)^2$，则 $F(-x)=(x+2)^2-(x-2)^2=-F(x)$，所以是奇整式；也可展开为 $-8x$。

（3）①拆为 $(x^2+1)+(x^5-x^3+x)$，前者代入 $-x$ 后不变，后者变为原式的相反数。②奇整式在三组相反数处的值互相抵消，且在零处值为零。因此总和等于偶整式值之和 $10+5+2+1+2+5+10=35$。

（1）$x+y$；$x+3y$；$(x+3y)^2$。（2）64。（3）224。

依次利用相邻正方形边长的加减关系，再用长方形的对边相等建立约束。

（1）3 号边长为 $x+y$，4 号为 $x+2y$，5 号为 $x+3y$，故 5 号面积为 $(x+3y)^2$。

（2）6 号边长为 $(x+3y)+y-x=4y$，面积为 $16y^2$，$y=2$ 时为 $64$。

（3）7 号边长为 $4y-x$，10 号为 $(4y-x)-x-(x+y)=3y-3x$；8 号为 $7y-4x$；9 号为 $10y-7x$。

由左右边相等，$x+3y+4y=(7y-4x)+(10y-7x)$，整理得 $6x=5y$。长方形长为 $15y-5x$，宽为 $x+7y$，周长为 $2(22y-4x)$。

正整数解为 $x=5t,y=6t$（$t$ 为正整数），此时十个正方形边长均为正且互异，周长为 $224t$，最小值为 $224$。

（1）$a=-15,k_3=-4$；（2）$p=3,q=2$；（3）②必成立；（4）$m=\frac73$。

相关整式组合为常数，故一次项系数为零；零常数的条件还要求常数项系数为零。

（1）$x+(3x+1)+k_3(x+4)=(4+k_3)x+1+4k_3=a$，得 $k_3=-4,a=-15$。

（2）$(px+q)-(x+1)+3(-\frac23x+\frac13)=(p-3)x+q=2$，得 $p=3,q=2$。